计算结构动力学 多自由度体系的振动
多自由度振动系统的动力学模型构建
多自由度振动系统的动力学模型构建引言：多自由度振动系统是指由多个自由度的质点组成的系统，在这样的系统中，每个自由度都可以独立地进行运动。
动力学模型的构建是研究和理解振动系统行为的基础。
本文将介绍多自由度振动系统动力学模型的构建方法及应用。
一、质点模型多自由度振动系统的最基本组成单位是质点。
质点的运动可以用坐标形式以及质点的质量、刚性等参数来描述。
对于一个有n个自由度的振动系统，可以通过将每个自由度的质点模型相连接构成整个系统。
二、约束关系与广义坐标在多自由度振动系统中，质点之间相互约束，其运动不再是自由的，而是受到约束的影响。
为了描述约束关系，引入广义坐标来表示系统各个自由度的相对运动。
广义坐标是将实际坐标通过约束条件变换得到的坐标表示。
三、拉格朗日方程与振动方程拉格朗日方程是多自由度振动系统的基本动力学方程。
通过对系统的动能和势能进行推导和求导，可以得到描述系统运动的拉格朗日方程。
对于振动系统而言，通过求解拉格朗日方程，可以得到系统的振动方程，进一步描述系统的运动行为。
四、模态分析与特征频率模态分析是研究振动系统固有特性的方法。
对于多自由度振动系统，可以通过模态分析得到系统的固有模态和特征频率。
固有模态是指系统在自由振动时，各个自由度的振动模式。
特征频率是指系统在不同固有模态下的振动频率。
五、系统的耦合与动态响应多自由度振动系统中的各个质点之间存在耦合关系，一个自由度的振动会对其他自由度的振动产生影响。
通过研究系统的耦合关系，可以得到系统的动态响应。
动态响应是指系统对外界激励的响应行为，可以通过求解振动方程得到。
六、应用案例：建筑结构振动多自由度振动系统的应用广泛，尤其在建筑结构的振动研究中起到了重要作用。
通过对建筑结构的多自由度振动系统进行建模和分析，可以评估结构的稳定性、抗震性能等。
振动模型的构建和分析可以提供设计和改进建筑结构的依据。
结论：多自由度振动系统的动力学模型构建是研究振动系统行为的关键步骤。
复振型分解反应谱法
复振型分解反应谱法复振型分解反应谱法（Multiple Degree of Freedom Modal Analysis Method）是一种结构动力学分析方法，适用于多自由度体系的振动问题。
它通过将结构系统划分为多个振型，从而简化振动问题的求解过程，提供了一种有效的分析工具。
对于一个多自由度体系，其振动方程可以表示为：[M]{u}''+[C]{u}'+[K]{u}={F}其中[M]、[C]和[K]分别是质量矩阵、阻尼矩阵和刚度矩阵，{u}是位移向量，{F}是外力向量。
复振型分解反应谱法的基本思想是通过将位移向量{u}分解为一系列振型分量的叠加，使得振动方程能够化简为多个单自由度振动方程。
为了实现这个目标，首先需要进行模态分析，确定结构的固有振型和固有频率。
模态分析的过程中，需要求解下面的特征值问题：[K]{\phi}=-\lambda[M]{\phi}其中[K]是结构的刚度矩阵，[M]是质量矩阵，{\phi}是由模态向量组成的矩阵，{\lambda}是由模态频率的平方组成的对角矩阵。
通过解特征值问题，可以得到特征频率和特征向量。
根据特征频率，可以计算结构的固有周期，根据特征向量，可以得到结构的模态形式。
接下来，将位移向量{u}按照模态形式进行分解：{u}=\sum_{i=1}^{N}q_i{\phi}_i其中，{q}是由模态振幅组成的位移向量，{q_i}是第i个模态的振幅。
将位移向量{u}的分解形式代入振动方程，可以得到每个模态的单自由度振动方程：m_i{q_i}''+c_i{q_i}'+k_i{q_i}=f_i其中，m_i、c_i和k_i是第i个模态的质量、阻尼和刚度，f_i 是每个模态对应的外力分量。
对于每个单自由度振动方程，可以采用反应谱法进行求解。
反应谱是结构对地震激励的响应的频率特性分析结果，表示结构的响应在不同频率下的幅值。
通过分析反应谱，可以评估结构对地震的响应程度。
结构动力学多自由度
▪ 振型方程：
(K i2M)ji 0 (i 1, 2, 3, n)
▪∵
K 2i M 0
▪ ∴ 第i 个振型方程中的n 个方程中只有n-1个是独立的！ ▪ ——无法得到j1i、 j2i、 … 、 jni 的确定值， ▪ 但可以确定各质点振幅之间的相对比值： ▪ —— 振型的幅值是任意的，但形状是惟一的。
一致质量矩阵：
L
pava m13v1 0 fI ( x)v( x)dx
L
0
m( x) 3( x)v3
L
1( x)v1dx
mij 0 EI ( x)i ( x) j ( x)dx
L
cij 0 c( x) i ( x) j ( x)dx
其中，c(x)表示分布的粘滞阻尼特性。
一致节点荷载
L
vˆ 表示体系的形状，不随时间变化。
v 2vˆ sin(t ) 2v 2mvˆ sin(t ) kvˆ sin(t ) 0
k 2m vˆ 0
k 2m vˆ 0
即： k 2m 0
上式的N个根，表述体系可能存在的N个振型的频率。
1
2
3
N
2)
2
)
y32
(t
)
jˆ
32
s
in
(
2
t
2
)
1
jˆ
2i
yi
(t
)
jˆ3i
s
in(i
t
i
)
jˆ ni
1
jˆ 21
jˆ 31
jˆ 32
1
jˆ 22
将N个振型中的每一振型形式，用F表示N个振型所组成的方阵。
11 12 13 1N
第2章——多自由度系统的振动——运动方程建立方法0425
船体振动基础1第章多自由度系统的振第2章多自由度系统的振动一、引言二、两自由度系统的振动三、多自由度系统的振动四、振动方程建立的其他方法2有阻尼的多自由度系统振动1、拉格朗日方程式1、拉格朗日方程式P38拉格朗日法是建立微分方程一种简单的方法：先求出系统的动能、势能，进而得出质量矩阵和刚度矩阵.优点：系统的动能和势能都是标量，无需考虑力的方向。
141、拉格朗日方程式P38拉格朗日第二类方程式适用于完整约束的系统。
完整约束完整约束：当约束方程本身或约束方程通过积分后可以下式所示的形式表示时，称为完整约束。
不完整约束：当约束方程本含有不能积分的速度项时，系统的约束称为不完整约束。
具有不完整约束的系统，系统的自由度不等于广义坐标数自由度数小于广义坐标数于广义坐标数，自由度数小于广义坐标数。
151、拉格朗日方程式P3811•位移方程和柔度矩阵P40对于静定结构，有时通过柔度矩阵建立位移方程比通过对于静定结构有时通过m1x1x2以准静态方式作用在梁上。
梁只产生位移（即挠度），不产生加速度。
的静平衡位置为坐标P1=1 f11 f21 f12P2=1 f22（1）P1 = 1、P2 = 0 时 m1 位移：x1 = f11 m2 位移：x2 = f 21 （3）P1、P2 同时作用 m1 位移： 位移 x1 = f11 P 1 + f12 P 2 m2 位移：x2 = f 21 P 1 + f 22 P 2（2）P1 = 0、P2 = 1 时 m1 位移：x1 = f12 m2 位移：x2 = f 22P1 m1 x1 x2 P2 m2P1=1 f11 f21 f12 P1 m1 x1P2=1 f22 P2 m2 x2P 同时作用时 1、P 2 同时作用时：x1 = f11P 1 + f12 P 2 x2 = f 21P 1 + f 22 P 2矩阵形式 X = FP 矩阵形式：⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦f ij 柔度影响系数f12 ⎤ f 22 ⎥ ⎦⎡ f11 F=⎢ ⎣ f 21⎡P 1⎤ P=⎢ ⎥ ⎣ P2 ⎦物理意义： 系统仅在第 j 个坐标受到 单位力作用时相应于第 i 个坐标上产生的位移柔度矩阵P1 m1 x1P2 m2 x2P1(t) m1 m2P2(t)&1 m1 & x&2 m2 & xX = FP⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P 1⎤ ⎢P ⎥ f 22 ⎥ ⎦⎣ 2 ⎦当P 1、P 2 是动载荷时 集中质量上有惯性力存在⎡ x1 ⎤ ⎡ f11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21 f12 ⎤ ⎡ P && 1 (t ) − m1 x1 ⎤ ⎢ P (t ) − m & ⎥ f 22 ⎥ & x 2 2⎦ ⎦⎣ 2⎡ x1 ⎤ ⎡ f 11 ⎢x ⎥ = ⎢ f ⎣ 2 ⎦ ⎣ 21位移方程:f 12 ⎤⎛ ⎡ P1 (t ) ⎤ ⎡m1 ⎜⎢ −⎢ ⎥ ⎥ ⎜ f 22 ⎦⎝ ⎣ P2 (t ) ⎦ ⎣ 0&1 ⎤ ⎞ 0 ⎤⎡ & x ⎟ ⎥ ⎢ ⎥ &2 ⎦ ⎟ m2 ⎦ ⎣ & x ⎠&& ) X = F ( P − MXP1(t) m1 m2P2(t)⎡ x1 ⎤ X =⎢ ⎥ ⎣ x2 ⎦⎡P 1 (t ) ⎤ P=⎢ ⎥ P ( t ) ⎣ 2 ⎦&1 m1 & x&2 m2 & x位移方程 位移方程：&& ) X = F ( P − MX也可按作用力方程建立方程：&& + KX = P MX刚度矩阵&& + X = FP FMX柔度矩阵与刚度矩阵的关系 柔度矩阵与刚度矩阵的关系：&& KX = P − MX若K非奇异F=K−1FK = I&& ) X = K −1 ( P − MX应当注意：对于允许刚体运动产生的系统（即具有刚体自由度的系统） ， 柔度矩阵不存在。
newmark法计算多自由度结构响应
newmark法计算多自由度结构响应多自由度结构是指具有多个独立振动模式的结构，在地震、风荷载等外部力作用下，结构会产生复杂的振动响应。
为了分析这种结构的振动响应，工程师通常使用有限元法中的newmark法。
本文将介绍newmark法的基本原理，以及如何使用该方法计算多自由度结构的振动响应。
一、newmark法的基本原理newmark法是一种常用的求解结构动力学问题的数值方法，它通过离散化结构的振动方程，将结构的振动响应分解为一系列的时间步长来进行计算。
newmark法的基本原理是基于结构的动力学方程和位移速度加速度之间的关系，通过数值积分的方法求解结构的位移、速度和加速度随时间的变化。
newmark法的基本框架可以表示为：\[ M\Delta \ddot{u}^{n+1} + C\Delta\dot{u}^{n+1} +Ku^{n+1} = P^n \]其中\(M\)是结构的质量矩阵，\(C\)是结构的阻尼矩阵，\(K\)是结构的刚度矩阵，\(\Delta \ddot{u}^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的加速度增量，\(\Delta\dot{u}^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的速度增量，\(u^{n+1}\)是时间步长\(n+1\)时刻的位移，\(P^n\)是时间步长\(n\)时刻的外部荷载。
通过对上述结构动力学方程进行离散化，并选取合适的数值积分格式，可以得到newmark法的具体计算公式，其中包括了位移、速度和加速度的更新公式。
因此，newmark法可以方便地用于求解多自由度结构的振动响应。
二、使用newmark法计算多自由度结构的振动响应1.模型建立首先，需要对多自由度结构进行建模。
建模过程包括确定结构的几何形状、确定结构的材料性质、确定结构的边界条件等。
一般来说，可以采用有限元法来对多自由度结构进行离散化，将结构划分为多个小单元，并在每个小单元上建立适当的位移场和应变场。
结构动力学3
2)当m1=nm2 , k1=nk2
[(n1)k
2
2
nm2
](k2
2m2
)k
2 2
0
k11=（1+n）k2，k12=－k2
求频率：
2 1 2
1 2
2
1 n
+
4 n
1 n2
k2 m2
求振型：Y2 k11 2m1 (n 1)k2 2nm2
k m
2 2
3 2
5
k m
2.61803 k m
2 1.61803
k m
求振型： ω1→第一主振型：
Y11 k12
Y21 k11 12m1
k
1
2k 0.38197k 1.618
ω2→第二主振型：
Y12 k12
Y22 k11 22m1
k
1
2k 2.61803k 0.618
质量集中在楼层上m1、m2 ，层间侧移刚度为k1、k2
m2
k21
1
k2 1 k11
m1
k1
k22 k12
解：求刚度系数：
k2
k1
k11=k1+k2 , k21=－k2 ,
k21
k2
k22
k11
k22=k2 ,
k12=－k2
k12
k
k1 k2
k2
k2
k2
例题：12,2质量m12集2 中kmk1112在楼km2层22 上+m1、12m2km，111层1间km2侧22 k移k12121刚度k1为1k2km211、mkk2122k121k12k22
结力(下)复习(结构动力学)解析
k11
k12
12m1
1 7.5661
8．欲使图示体系的自振频率增大，在下述办法中可采用：
A．增大质量m； C．减小梁的EI；
m EI
B．将质量m 移至梁的跨中位置 ； D．将铰支座改为固定支座 。
k 1
m m
(D )
9．图 示 体 系 的 自 振 频 率 3EI1 / (mh3) 。 ( )
m
EI=oo
EI1
EI1
h
k 6EI1 , k 6EI1
h3
m mh3
10．图示体系 EI 2105 kN m2, 20s-1, k 3105 N/m, P 5103 N, W 10kN。 求质点处最大动位移和最大动弯矩 。
Psin t
k W
2m
2m
解：
1 (1 21 2 1 2) 1 1
Psin t
A
W
l /2
l /2
3l 16 5l 32 M1
解：自振频率
B
1 ( 1 l l 3l 1 l l 2 l 2)
EI 2 4 32 2 4 2 3 4
l3 ( 1 3 ) EI 48 256
要点：
结构动力学
1. 单自由度体系的自由振动，自振频率 (刚度法和柔度法) 2. 单自由度体系的强迫振动，动力系数，动内力和动位
移幅值(振幅) 3. 多自由度体系的自由振动的频率及主振型的计算 (刚度
法和柔度法) 4. 多自由度体系受同步简谐动荷作用下的动内力和动位
移幅值的计算
掌握所涉及到的所有公式。
2 1 [( k11 k22 ) ( k11 k22 )2 4(k11k22 k12k21) ]
2 m1 m2
在线测试题试题库及解答(第十章)结构动力学
在线测试题试题库及解答第十章结构动力学基础一、单项选择题1、结构的主振型与什么有关？A、质量和刚度B、荷载C、初始位移D、初始速度标准答案 A2、结构的自振频率与什么有关？A、质量和刚度B、荷载C、初始位移D、初始速度标准答案 A3、单自由度体系在简谐荷载作用下，下列哪种情况内力与位移的动力系数相同？A、均布荷载作用B、荷载作用在质点上与质点运动方向垂直C、荷载不作用在质点上D、惯性力与运动方向共线标准答案 D4、具有集中质量的体系，其动力计算自由度A、等于其集中质量数B、小于其集中质量数C、大于其集中质量数D、以上都有可能标准答案 D5、具有集中质量的体系，其动力计算自由度A、等于其集中质量数B、小于其集中质量数C、大于其集中质量数D、以上都有可能标准答案 D6、当简谐荷载作用于有阻尼的单自由度体系质点上时，若荷载频率远远大于体系的自振频率时，则此时与动荷载相平衡的主要是A、弹性恢复力B、重力C、阻尼力D、惯性力标准答案 D7、设ω为结构的自振频率，θ为荷载频率，β为动力系数下列论述正确的是A、ω越大β也越大B、θ/ω越大β也越大C、θ越大β也越大D、θ/ω越接近1，β绝对值越大标准答案 D8、如果体系的阻尼增大，下列论述错误的是A、自由振动的振幅衰减速度加快B、自振周期减小C、动力系数减小D、位移和简谐荷载的相位差变大标准答案 B9、无阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下，共振时与动荷载相平衡的是A、弹性恢复力B、惯性力C、惯性力与弹性力的合力D、没有力标准答案 D10、有阻尼单自由度体系在简谐荷载作用下，共振时与动荷载相平衡的是A、弹性恢复力B、惯性力与弹性力的合力C、惯性力D、阻尼力标准答案 D11、当简谐荷载作用于无阻尼的单自由度体系质点上时，若荷载频率远远小于体系的自振频率时，则此时与动荷载相平衡的主要是A、弹性恢复力B、阻尼力C、惯性力D、重力标准答案 A12、一单自由度振动体系，其阻尼比为ξ，动力系数β，共振时下列结果正确的是A、ξ=0.05，β=10B、ξ=0.1，β=15C、ξ=0.15，β=20D、ξ=0.2，β=25标准答案 A13、一单自由度振动体系，由初始位移0.685cm，初始速度为零产生自由振动，振动一个周期后最大位移为0.50cm，体系的阻尼比为A、ξ=0.05B、ξ=0.10C、ξ=0.15D、ξ=0.20标准答案 A14、在低阻尼体系中不能忽略阻尼对什么的影响？A、频率B、主振型C、周期D、振幅标准答案 D15、单自由度体系受简谐荷载作用，ω为体系自振频率，θ为荷载频率，动位移 y(t)与荷载 P(t) 的关系是A、当θ/ω＞1时，y(t)与P(t)同向，当θ/ω＜1时，y(t)与P(t)反向。
【结构动力学】第10章 多自由度体系2020
0
0
N
其中，ωn— 第n阶自振频率，{φ}n—第 n阶振型。
[Φ]和[Ω]也分别称为振型矩阵和谱矩阵。
13
5 DOF with uniform mass and stiffness
5 DOF Base Isolated 14
15
5 DOF with uniform mass and stiffness
k22 2m22 k2N 2m2n 0
k N1 2mN1 k N 2 2mN 2 k NN 2mNN
10
对于N个自由度的稳定结构体系，频率方程是关于ω2的 N次方程，
a N ( 2 ) N a N 1 ( 2 ) N 1 a1 2 a 0 0
由此可以解得N个正实根（ω12<ω22<ω32…<ωN2）。 ωn(n=1, 2, …, N)即为体系的自振频率。其中量值最小的 频率ω1叫基本频率(相应的周期T1=2π/ω1叫基本周期)。 从以上分析可知，多自由度体系只能按一些特定的频 率即按自振频率做自由振动。按某一自振频率振动时，结 构将保持一固定的形状，称为自振振型，或简称振型。
上述齐次方程组有非零解条件为：系数行列式为零
A [I ] 0
N×N矩阵[A]一般将有N个特征值，对应N个特征向量
6
§10-2 多自由度体系的自由振动
多自由度体系无阻尼自由振动的方程为：
M u K u 0
其中：[M]、[K]为N×N阶的质量和刚度矩阵 {u}和{ü}是N阶位移和加速度向量 {0}是N阶零向量
11
把相应的自振频率ωn代入运动方程的特征方程得到振型
K n 2 M n 0
{φ}n={φ1n, φ2n , …, φNn }T—体系的第n阶振型 。 ➢ 由于特征方程的齐次性(线性方程组是线性相关的)，振型向量 是不定的，只有人为给定向量中的某一值，例如令φ1n=1，才能确 定其余的值。 ➢ 实际求解时就是令振型向量中的某一分量取定值后才能求解。 虽然令不同的分量等于不同的量，得到的振型在量值上会不一样， 但其比例关系是不变的。
结构动力学-14
M MD Q 0 EIy(4) cb y (4)I q(x,t) ca y my
EIy(4) cb y (4)I q(x,t) ca y my
2.滞变阻尼 不计阻尼时 计阻尼时
EIy(4) q(x,t) my(x,t)
(1 i )EIy(4) q(x,t) my(x,t)
二.考虑轴力对弯曲的影响时的弯曲振动方程
Fy 0
dQ q(x) dx
M 0
dM Q N dy
dx
dx
y
Q dM N dy dx dx
dQ M (x) Ny(x)
N
dx
M (x) Ny(x) q(x)
q( x, t )
N
m
x
y( x, t )
dx
y
M
dy N
M dM
M (x) EIy(x) [EI (x) y(x)] q(x) Ny
习题：1.求剪切杆的运动方程。 2.求拉压杆的运动方程。
x
x
q( x, t )
ml GA
y
q( x, t )
m EA
l
A
m/A
mI
m
A
I
mr 2
dA A
zdA1
3.运动方程
Fy 0
（x, t)mr 2
M
my(x,t) q( x, t )
dQ q(x,t) my(x,Q
dM Q mr2(x,t)
dx
4.物理方程
M EI Q kGA
5.方程整理 几何方程： dy
dx
物理方程： M EI Q kGA
运动方程： dQ q(x,t) my(x,t) dx dM Q mr2(x,t)
多自由度系统的振动、响应和求解
D k vD
B Q2
A Q1
k vA
位移图
受力图
图(b) v21, v1v30时板的位移和受力图
（2）求刚度矩阵第二列 参见图 b，可得板的力平衡方程：
Q3 kvA kvD 0 Q1L (kvA kvD) L 0 Q1 Q2 kvE 0
；其中
k
12EI L3
解得 Q 1 2 k , Q 2 3 k , Q 3 0
微振动时， i ,
&
i
为小量，将以上能量保留到二阶小量，得
（注意：为了得到线性振动方程，能量表达式必须保留 到二阶微量）
T 12ml2[3&12 2&22 &32 4&1&2 2&2&3 2&3&1]
3
12ml2{&1,&2,&3}2
1
2 2 1
11&&12 1&3
V
1 2
mgl
(312
222
简支梁在横向集中力作用下的挠度公式为
P
f Pb(xl2x2b2), 0xa 6EIl
x
a
b
l
f Pb[l(xa)3(l2b2)xx3], axl
6EIlb
例4.1 写出图示梁的柔度矩阵，梁的抗弯刚度为EI。如果 将梁的质量按分段区间均分到区间的两个端点，写出梁的质
量矩阵，设梁单位长度的质量为 l。
；其中
k
12EI L3
Q1 Q2
2 2
(kvA
kvD
)
0
解得 Q 1 4 k , Q 2 2 k , Q 3 0
因此，刚度矩阵第一列为
结构动力学-多自由度系统振动
k 2k
y1 y2
0 0
m
M
0
0
k
m, K k
k
2k
解：①由频率方程求固有频率
K 2M 0 k m2
k 0
k 2k m2
展开上式得：(k m2 )(2k m2 ) k 2 0
2 1, 2
3k m
9k 2m2 4k 2m2 2m2
1 0.62
k, m
2 1.62
M20 0
M 21
y2 0
M1y1
M11
列力平衡方程为：M11 M1y1 0 M11 M1 M 21 0, M 31 0
同样的分析可以求得：M12 0, M 22 M 2 , M 23 0; M13 0, M 23 0, M 33 M 3;
所以，得到质量矩阵为： M1 0 0
k2
k3
P
p1 (t) p2 (t)
二、柔度矩阵法 用柔度矩阵法或者刚度矩阵建立方程本质上也是基于力的 动平衡来建立方程，关键在于求柔度系数或刚度系数。
例题 3-2 梁的跨长为 l ,梁上有两个集中质量 M1 和 M 2 ，分别受 到集中力 p1 (t) 和 p2 (t) 的作用。不计梁自身的质量和阻尼，建立 系统的垂向振动方程.
上面的方程为惯性解耦，刚度耦合方程。
kij 的物理意义：j 坐标发生单位位移，其余坐标位移全部为
零时, i 坐标引起的恢复力。
mij 的物理意义：仅在 j 坐标发生单位加速度时,在第 i 坐标所产生 的惯性力.
用柔度矩阵法建立的一般方程：
Y (P MY)
两边同乘以 1
1Y 1(P MY)
例题:针对下图给出的系统，建立振动微分方程。
结构动力学-第四章 MDOF(Part 1)
⎧ u1 ⎫ ⎧φ1 ⎫ ⎧a ⎫ ⎨ ⎬ = ⎨ ⎬ (ωt + θ ) = β ⎨ ⎬ sin (ωt + θ ) ⎩1 ⎭ ⎩u2 ⎭ ⎩φ2 ⎭
结构动力学 第四章 多自由度体系 5 of 42
或者
§4.1 两自由度体系的振动分析
算例 4.1 设 m1 = m2 = 1,000kg , k1 = 1,500 N / m, k2 = 1,000 N / m 求圆频率和振型
{d }1 {d }2
⎧φ1(1) ⎫ = ⎨ (1) ⎬ ⎩φ2 ⎭ ⎧φ1(2) ⎫ = ⎨ (2) ⎬ ⎩φ2 ⎭
用功能互等定理
{ f }1 {d }2 = { f }2 {d }1
将表达式代入并整理后,可得
(ω
结构动力学
2 1
− ω2 2 )( m1φ1(1)φ1(2) + m2φ2 (1)φ2 (2) ) = 0
结构动力学 第四章 多自由度体系 3 of 42 华南理工大学 土木与交通学院 土木工程系
§4.1 两自由度体系的振动分析
为得到非零解，必须有
2 Q (ω ) = m1m2ω 4 − ⎣ ω ⎡ m1k2 + m2 ( k1 + k2 )⎤ ⎦ + k1k2 = 0
方程的解
⎛ ⎡ k 1 k +k ω1 = ⎜ ⎢ 1 2 + 2 − ⎜ 2 ⎢ m1 m2 ⎝ ⎣ ⎛ ⎡ 1 ⎢ k1 + k2 k2 ⎜ + + ω2 = ⎜ 2 ⎢ m1 m2 ⎝ ⎣ ⎤⎞ ⎛ k1 + k2 k2 ⎞ k1k2 ⎥ ⎟ + − 4 ⎜ m ⎟ m m1m2 ⎥ ⎟ 1 2 ⎠ ⎝ ⎦⎠ 12 2 ⎞ ⎤ ⎛ k1 + k2 k2 ⎞ k1k2 ⎥ ⎟ ⎜ m + m ⎟ −4mm ⎟ 1 2 ⎠ 1 2 ⎥ ⎝ ⎦⎠
《结构动力学》-第六章-多自由度系统振动(一)
用矩阵符号可写成：
mn n k n1 x1 k n2 x2 k nn xn Fn (t ) x
M X K X F (t )
3
问题：[A]中元素是否一定为正？
〈例〉求图示三自由度系统的刚度矩阵和柔度矩阵。
k1
m1
x1 k2
m2
x2 k3
x3 m3
解：易得刚度矩阵为：
k1 k2 K k2 0 k2 k 2 k3 k3 0 k3 k5
m1上加单位力，各质量的位移分别为：
写成矩阵形式为：
x1 a11 x a 2 21 x n a n1 a1n m1 0 a 22 a 2 n 0 m2 a n 2 a nn 0 0 a12 0 1 0 x 0 2 0 x 0 mn n 0 x
⒉ 柔度法 柔度系数aij定义为： 在第j个质量上作用单位力时在第i个质量上产生的位移。
(a) m1 y1 mi yi
mi i y
1
mj mn yj yn
m j j y mn n y
m1 1 y
(b)
i
ii
j
ji
1
(c)
i
ij
j
jj
(a)
m1 y1
mi yi
mi i y
d L dt q j
L q j
0
〈例〉求图示三自由度系统的运动微分方程。
第三章 多自由度系统振动
U = U ( q1 , q2 ,..., qn )
通常将静平衡位置作为势能零点， 并且以静平衡 通常将静平衡位置作为势能零点， 位置为坐标原点。 位置为坐标原点。 我们研究的是在静平衡位置附 近的微振动， 近的微振动，则将 U 在静平衡位置作泰勒展开有
∂U U = U0 + ∑ i =1 ∂qi
0
q
对应的广义力，阻尼力，耗散力。 对应的广义力，阻尼力，耗散力。系统的第 k 个 质点受到的阻尼力
& Rk = − β k ⋅ rk
与势能形式上对应存在一个耗散函数
m n 1 ∂rk dqi n ∂rk dq j 1 & & Φ = ∑ β k ⋅ rk ⋅ rk = ∑ β k ⋅ ∑ ⋅ ⋅∑ ⋅ dt j =1 ∂q j dt k =1 2 k =1 2 i =1 ∂qi
kn 2 − mn 2ωi2 ) ⋅ ϕ 2i + ... + ( knn − mnnωi2 ) ⋅ ϕ ni = ( mn1ωi2 − kn1 ) ϕ1i (
n − 1 个方程，n − 1 未知数， 个方程， 未知数， 最终可求出 ϕ2i ,..., ϕni 用 ϕ1i
表示，其余都与其成一定比例。 表示，其余都与其成一定比例。 与其成一定比例
系统的能量等于各阶主振动的能量之和不同阶之间能量不发生变换每一阶主振动的动能和势能在内部交换总和保持常数34多自由度系统的受迫振动mxcxkx1特征值分析求出无阻尼的各阶固有频率和各阶主振型2模态叠加方法分解解耦期望阻尼阵也和mk一样具有正交性即如果这样就可以使用模态叠加法进行解耦分析求解
结 构 动 力 学
1 n n ∂ 2U U = ∑∑ 0 qi q j 2 i =1 j =1 ∂qi ∂q j ， 令
《结构力学》结构动力学(1)
结构的振动是由两部分组成，一部分是由初位移引起，表现为余 弦规律；另一部分是由初速度引起，表现为正弦规律（图14-6a、 b）。
y
(a)
y0
o
t
(b)
y
y0
o
t
(c)
y
T=
y0
a
a
o
a
a
t
图14-6
若令
y0 a sin ，
y0 a cos
振幅和相位角
a
y02
y02
2
tan y0
y0
则有
图14-2
振动体系的自由度数与计算假定有关，而与集中质量的数目和 超静定次数无关。如图14-3所示的体系。
图14-3
§14-3 单自由度结构的自由振动
自由振动是指结构在初始干扰（初位移或初速度）下开始振动， 而在振动过程中不受外部干扰力作用的那种振动。如图14-4所示。
原有平衡位置
强迫偏离位置
图14-4
和相位角 。
(2) 自振频率与质量的平方根成反比，质量越大，频率越小；自 振频率与刚度的平方根成正比，刚度越大，频率越大；要改变结 构的自振频率，只有从改变结构的质量或刚度着手。
例14-1 图14-7所示三种支承情况的梁，其跨度都为l，且EI都相 等，在中点有集中质量m。当不考虑梁的自重时，试比较这三者 的自振频率。
§14-1 概 述
1. 结构动力计算的特点 (1) 荷载、约束力、内力、位移等随时间变化，都是时间的函数。 (2) 建立平衡方程时要考虑质量的惯性力。
2. 动荷载分类
(1) 周期荷载 (2) 冲击荷载 (3) 随机荷载
3．结构动力计算的内容
(1) 确定结构的动力特性 即结构本身的自振频率、振型和阻尼参数。
结构动力学之多自由度体系的振动问题ppt课件
448 (1 536)2
m1m2l 6 (EI )2
0
解得
21
23l3 (m1 m2 2 1 536EI
)
529(m1 m2 )2l6 41 5362 (EI )2
448m1m2l 6 1 5362 (EI )2
从而得第一和第二阶自振频率
1
1
1
2
1
2
为了确定第一阶振型，可将1代入平衡方程。
其展开式是关于λ的n次代数方程,先求出λi再求 出频率ωi
柔度法
(11m1 )
12m2
...
21m1 ( 22m2 ) ...
...
...
...
1n mn 2nmn 0
...
n1m1
n2m2 ... ( nnmn )
将λi代入 ( [δ] [M] － λi [I ] ){Y(i)}={0} 可求出n个主振型。
多个自由度体系的自由振动
结构在受迫振动时的动力响应与结构的动力特性 密切相关；另外，当用振型叠加法计算任意干扰力 作用下结构的动力响应时，往往要用到自由振动的 频率(frequency)和振型(mode)。
为此，要需要首先分析自由振动。
自振频率和振型的计算
m1
m2
mi
mn
y1(t) y2(t)
yi(t)
刚度法
其中最小的频率1 称为最低自振频率，或称
基本频率。 通常将上述每一个频率所对应的振动都称为
主振动，对应于每一个主振动的形状称为主振 型。
1）如果各质体的初速度为零，而初位移和某 一振型成比例，然后任其自然，则系统就按 这个振型作简谐自由振动，此解答就相应于 该振动的一组特解；
结构动力学多自由度体系的自由振动
几点说明： 1.按振型作自由振动时，各质点的 速度的比值也为常数，且与位移 比值相同。
1 (t ) Y111 cos(1t 1 ) Y11 y 2 (t ) Y211 cos(1t 1 ) Y21 y
2.发生按振型的自由振动是有条件的.
2 2
I 2 m
若为自由振动则有
Fp (t ) 0 ,于是:
1 (t ) k11 y1 (t ) k12 y2 (t ) 0 m1 y 2 (t ) k21 y1 (t ) k22 y2 (t ) 0 m2 y
或记作
k y 0 m y
k11 k12 m1 0 k 22 [ ] m22 [ ] k 21 k 22 0 m2 1 y 0 y1 21 [ ] y y 21 [ ] 021 [ ] 2 y2 0 y
y1 (0) Y11 , y2 (0) Y21
1 (0) Y11 y 2 (0) Y21 y
y1 (t ) Y11 sin( 1t 1 ) Y11 y2 (t ) Y21 sin( 1t 1 ) Y21
3.振型与频率是体系本身固有的属性, 与外界因素无关.
定义:体系上所有质量按相同频率作自由振动时 的振动形状称作体系的主振型。
(k11 m1 )
2
k12 (k22 m2 )
2
2
k21
0 ---频率方程
展开上式可得到一个关于 的二次方程
(k11 m1 2 ) k21
展开 整理后有：
k12 (k22 m2 )
2
0
---频率方程
2
(k11 m1 )(k22 m2 ) k12 k21 0
第四章结构动力学多自由度体系详解
此时惯性力
设解为 y1(t) Y1 sin(t )
y2
(t)
Y2
s
in(t
)
幅值
m1y1(t) m1 2Y1 sin(t )
m2
y2
(t
)
m2
2Y2
s
in(t
)
2m1Y1 2m2Y2
Y1 ( 2m1Y1)11 ( 2m2Y2 )12
Y2 ( 2m1Y1) 21 ( 2m2Y2 ) 22
振但动其过比程值中始，终结保构持位不移变形。状保持不变的振动形式，称为主振型。
(k11 2m1
k21Y1 (k22
)Y1 k12Y2
2m2 )Y2
0 0
当然 Y1=Y2=0 为其解，为了求得不全为零的解，令
D (k11 2m1)
k12
0
k21
(k22 2m2 )
特征方程 频率方程
第1振型
第2振型
（2）求频率(k1 k2 2m1)(k2 2m2 ) k22 0
若有 m1 nm2 [(n 1)k2 2nm2 ](k2 2m2 ) k22 0
k1 n k2 （3）求主振型
12
2
1 2
(2
1) n
4 n
1 n2
k2 m2
1 :
Y21 Y11
k22
二、 柔度法
m2 y2 m2
m1y1 m1
在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、
y2(t) m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时 惯性力作用下的静力位移。
y1(t)
y1(t) m1y1(t)11 m2 y2(t)12
y2 (t) m1y1(t) 21 m2 y2 (t) 22
结构力学应用-结构动力学
（小阻尼） 令
有阻尼的自振频率
1
2
y(t ) e
t
y0 y0 ( y0 cos t sin t )
*写成
y(t ) b e
2 0
t
sin(t )
(14-12)
y0 y0 2 其中 b y ( )
柔度法（力法）
MY KY 0 MY Y 0
10、按柔度法求解
振型方程： ([ ][ 2 [ 1 M ]){Y } 00} ([ I ] M ] ][ [ I ]){Y } { 2 频率（特征）方程
D [ ][ M ] [ I ] 0
y0 tg y0 y0
位移－时间曲线如图示：
阻尼比——阻尼的基本参数： a.阻尼对频率（周期）的影响
k
2m
1 2
T T 1 2 T
0.2
T T
b、阻尼对振幅的影响
be
t
——振幅随时间逐渐衰减
11m1
1
12 m2
(k )
0 0
(14 63)
{Y }
(k )
Y1 Y2
(k )
11m1 k 12 m2
12 m2
k2
（k=1、2）
结构的刚度和质量分布 ——对称 其主振型 ——对称、反对称 计算自振频率： ——分别就正、反对称情况 ——取半跨结构计算 ——两个单自由度问题计算 显然，振型分别为： [1 1]T、[1 -1]T
1
0.2,
yn ln 2 j yn j 相隔j个周期： 1
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从式（12）和特征方程立即可证 它表明第j振型对应的{弹A}性jT恢[K复]{A力}i=在0第i振型位移上不(13) 做功。
4.2 振型的正交性
式(12)和式(13)从数学上说，是不同振型对质量、
刚度加权正交。也即振型具有正交性。
从第i振型幅值方程，立即可得
记
i2{A}iT[M]{A}i= {A}iT[K]{A}i
左乘{A}jT、后一式左乘{A}iT，再将两式相减，由于质 量、刚度的对称性，可得
由此可得
(i2-j2){A}jT[M]{A}i=0
(11)
{A}jT[M]{A}i=0
(12)
上式乘j2，考虑到j2[M]{A}j物理意义是第j振型对应
的惯性力幅值，因此式（12）表明第j振型对应的惯性
力在第i振型位移上不做功，反之亦然。
四、 多自由度体系的振动
多自由度无阻尼自由振动
振型的正交性
多自由度的受迫振动
杆系结构有限元动力分析
多自由度时程分析方法
结论与讨论
虽然有些工程问题可以化为单自由度 问题计算，但为了有足够的分析精度，更 多的问题必须作为多自由度进行分析。
本章介绍多自由度系统与频率、模态 相关的基本理论。
先求无阻尼自由振动的频率、振型等 动力特性，然后利用振型的正交性，在假 定阻尼矩阵也正交条件下，将多自由度分 析通过振型分解化为单自由度问题的组合 来解决。
[M]ÿi(t){A}i +[C]ýi(t){A}i +[K]yi(t){A}i={P(t)} (a) 如果阻尼矩阵对振型不正交，也即
{A}jT[C]{A}i0
(b)
则式(a)将是联列的微分方程组，求解将是很困难的。
为此，通常引入正交阻尼假设，也称Rayleigh(瑞利)比
例阻尼如下
[C]=0[M]+ 1[K]
当动荷载为 {P}sint[或 {P}cost ]时，多自由度系
统稳态反应分析，可按如下步骤进行
1）确定系统质量[M]、刚度[K]（或柔度[f]）矩阵。
2）求无阻尼自由振动的振型{A}i 、频率i 。 3）用阻尼比1,2和频率1,2求瑞利阻尼的0和1 。 4）求i振型振型参与系数i={A}iT[P]/{A}iT[M]{A}i 。 5）求i振型阻尼比i =1/2(0/i+1i) 6）求i振型动力系数i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2 。 7）求i振型相位角i=arctg[2i/i(1-i2)]。 8）求i振型广义位移i(t)=isin(it-i)/i2。 9）将各振型广义位移代回{u}=ii(t){A}i ，则得最终
yi (t ) Aieiitsin(d ,i t i ) 自由振动
t 0
hi
(t
)
Pi*
(
)d
脉响函数
代回{u}=yi(t){A}i ，即可得多自由度受迫振动解答。
4.3 多自由度的受迫振动
如果
[P(t)]=[P]f(t)
则
Pi*(t)={A}iT[P]f(t)= Pi*f(t)
5）自由振动的通解可由各频率的简谐振动解答叠加 得到，振幅、相位由质量的初位移、初速度（n个自 由度有2n个初始条件）来确定。
综上可见，有了[M]、[K]或[f]，剩余工作主要是数 学运算了。
4.2 振型的正交性
因为 i2[M]{A}i=[K]{A}i、j2[M]{A}j=[K]{A}j前一式
记
i ={A}iT[P]/Mi*=Pi*/Mi*
称为第i振型的振型参与系数。则可得
Mi*ÿi(t) +Ci*ýi(t)+Ki*yi(t)=i Mi*f(t)
或
ÿi(t) +2iiýi(t)+i2yi(t)=if(t)
在零初始条件下，广义坐标为
(27) (c)
(28)
(29) (30)
t
yi (t) i 0 hi (t ) f ( )d i i (t) (31)
则由式(28)可求得各振型的振型参与系数i ，当只讨论 稳态振动，并且认为i=i,d (忽略阻尼对频率的影响)
时，根据单自由度所得结果，广义位移为
i(t)=isin(it-i)/i2
(34)
式(34)中i为第i振型动力系数
i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2
(35)
其中i为第i振型频率比(i=/i)， i为第i振型相位角
数学上称作广义特征值问题。为了将其化为标准实对
称矩阵特征值问题，作如下改造：
设 [M]=[L] [L]T
（4）
2[L] [L]T{A}=[K]{A}
（5）
2[L]T{A}=[L]-1[K]{A}
（6）
2[L]T{A}=[L]-1[K]([L]-T[L]T){A}
（7）
2[L]T{A}=[L]-1[K][L]-T[L]T{A}
矩阵{A}。
由数学可知，对建筑工程一般问题，从n阶的特征
方程（3）可求得n个特征对，也即有n个频率i以及 和i对应的振型{A}i。按i从小到大排列可得结构的频 谱，1和{A}1分别称为第一频率（基本频率或基频）、
第一振型。其他依次称第二、第三等等频率、振型。
有了任意n自由度问题自由振动解法、结论，两自
4.1 多自由度无阻尼自由振动
多自由度运动方程为
Mu Cu Ku P(t)
无阻尼自由振动运动方程为
Mu Ku 0
设其解为{A}sint ，代入运动方程可得
(- 2[M]+[K]) {A}sint={0}
为使系统有非零的振动解答，必须
利用正交性可作如下工作： 1）在正确确定[K]、[M]前提下，可用它校核振型计算 的正确性。 2）已知振型、 [K]、[M]的条件下，可用它求振型对 应的频率。 3）可用正交性将任意位移分解成振型的组合。例如
有位移{y}，可设{y}=ci{A}i ，ci 为组合系数。等式两
边同时左乘{A}jT[M]，根据正交性则有
│- 2[M]+[K] │=0
（1）
或者
(- 2[M]+[K]) {A}={0}
（2）
上述两式分别称为频率和特征方程。
由式（1）展开可得双n次方程，对一般建筑工程结
构，求解可得到n个实的不等的正根，它们即为系统
的频率。但一般更多是从式（2）出发。
式（2）可改写为
2[M]{A}=[K]{A}
（3）
结果
{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i
(37)
4.4 杆系结构有限元动力分析
4.4.1 基本原理
对动力问题，设单元位移场仍表示成[d]=[N][d]e，
只是设现杆在单[元d]=的[d密(x度,t)为]，[，d]e将=[微d(段t)]。惯性力-[a]Adx作为
体积力，则这一单元荷载的总虚功为
由分此解可的求 结出果组。合系{A数}jTc[jM，]代{y}回=c{jyM}=j*ci{A}i即可得按振型(d)
4.2 振型的正交性
4）可将多自由度问题化成单自由度问题来解决。实
际上，只要设{u(t)}=yi(t){A}i ，代入运动方程可得
[M]ÿi(t){A}i +[K] yi(t){A}i={0}
由度问题可以作为它的特例，按上述解法、思路进行
分析。
4.1 多自由度无阻尼自由振动
基本结论:
1）在无阻尼自由振动下-[M]{ü}=[K]{u}，也即惯性力 和弹性恢复力平衡，且它们同相位。因此如果设振幅 为{A}，式（3）也可通过列惯性力、恢复力的幅值方 程得到。
2）对于一个具体问题，关键是正确确定[M]、[K]或[f] （柔度）。有了它们不管什麽结构，由统一格式可写
(a)
两边同时左乘{A}jT[K][M]-1，则
i2{A}jT[K][M]-1[M]{A}i=
=i2{A}jT[K] {A}i=i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i=0 (b)
式(a)两边同时左乘{A}jT[K][M]-1[K][M]-1，则可证
i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i
tgi=2i/i(1-i2)
(36)
将式(34)代回
{u}=ii(t){A}i ， 得
{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i
(37)
无阻尼情况自然可以当作有阻尼情况的特例，在上
述结果中令i=0得到。
4.3 多自由度的受迫振动
4.3.3 简谐荷载受迫振动反应分析步骤
l
0
(
2d
t 2
)T
d Adx
(38)
deT
l
0
N
T
N
Adx
d
e
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
引入单元一致质量矩阵[m]e
me
l
0
N
T
N Adx
(39)
4.4 杆系结构有限元动力分析
由式(39)代入形函数并积分，对质量均匀分布的平 面弯曲单元，其单元一致质量矩阵[m]e为
确定请思考。
6）正交性还是受迫振动分析的基础。
4.3 多自由度的受迫振动
4.3.1 多自由度受迫振动的振型分解法 多自由度任意荷载下运动方程为
Mu Cu Ku P(t)
象上节4）一样，设{u}=yi(t){A}i ，也即位移分解成各 振型的组合，组合系数yi(t)称广义坐标。则
= i2{A}jT[K]([M]-1[K])2{A}i=0
(c)
按此思路继续左乘,即可证明
{A}jT[K]([M]-1[K])n{A}i=0
(18)