计算结构动力学 多自由度体系的振动

从式（12）和特征方程立即可证 它表明第j振型对应的{弹A}性jT恢[K复]{A力}i=在0第i振型位移上不(13) 做功。
4.2 振型的正交性
式(12)和式(13)从数学上说，是不同振型对质量、
刚度加权正交。也即振型具有正交性。
从第i振型幅值方程，立即可得
记
i2{A}iT[M]{A}i= {A}iT[K]{A}i
(a)
两边同时左乘{A}jT[K][M]-1，则
i2{A}jT[K][M]-1[M]{A}i=
=i2{A}jT[K] {A}i=i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i=0 (b)
式(a)两边同时左乘{A}jT[K][M]-1[K][M]-1，则可证
i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i
出式: 2[M]{A}=[K]{A} 。
3）两自由度问题n=2。展开特征方程将得到双二次频 率方程，解此频率方程即可得频率1和2。
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4.1 多自由度无阻尼自由振动
4）将频率1和2代回特征方程只能得到和某频率对
应的位移比值（齐次方程只能得到比值），对它可以 进行“规格化”,一般使最大值等于1，即可得振型。
yi (t ) Aieiitsin(d ,i t i ) 自由振动

t 0
hi
(t


)
Pi*
(
)d
脉响函数
代回{u}=yi(t){A}i ，即可得多自由度受迫振动解答。
4.3 多自由度的受迫振动
如果
[P(t)]=[P]f(t)
则
Pi*(t)={A}iT[P]f(t)= Pi*f(t)
(24)
其中Mi*、Ci*、Ki*分别称为第i振型广义质量、广义阻
尼、广义刚度。再记第i振型广义荷载为
{A}iT[P(t)]=Pi*(t)
(25)
则式(24)是广义坐标yi(t)的单自由度方程
Mi*ÿi(t) +Ci*ýi(t)+Ki*yi(t)=Pi*(t)
(26)
利用Duhamel积分可求出式(26)的解答为
= i2{A}jT[K]([M]-1[K])2{A}i=0
(c)
按此思路继续左乘,即可证明
{A}jT[K]([M]-1[K])n{A}i=0
(18)
类似地，请自行证明
{A}jT[M]([K]-1[M])n{A}i=0
(19)
式(18)和式(19)中n是正整数。
4.2 振型的正交性
式(12)和(13) [或式(18)和(19)]正交性在多自由度分 析中有极重要的作用，应该深刻理解。
记
i ={A}iT[P]/Mi*=Pi*/Mi*
称为第i振型的振型参与系数。则可得
Mi*ÿi(t) +Ci*ýi(t)+Ki*yi(t)=i Mi*f(t)
或
ÿi(t) +2iiýi(t)+i2yi(t)=if(t)
在零初始条件下，广义坐标为
(27) (c)
(28)
(29) (30)
t
yi (t) i 0 hi (t ) f ( )d i i (t) (31)
│- 2[M]+[K] │=0
（1）
或者
(- 2[M]+[K]) {A}={0}
（2）
上述两式分别称为频率和特征方程。
由式（1）展开可得双n次方程，对一般建筑工程结
构，求解可得到n个实的不等的正根，它们即为系统
的频率。但一般更多是从式（2）出发。
式（2）可改写为
2[M]{A}=[K]{A}
（3）
结果
{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i
(37)
4.4 杆系结构有限元动力分析
4.4.1 基本原理
对动力问题，设单元位移场仍表示成[d]=[N][d]e，
只是设现杆在单[元d]=的[d密(x度,t)为]，[，d]e将=[微d(段t)]。惯性力-[a]Adx作为
体积力，则这一单元荷载的总虚功为
利用正交性可作如下工作： 1）在正确确定[K]、[M]前提下，可用它校核振型计算 的正确性。 2）已知振型、 [K]、[M]的条件下，可用它求振型对 应的频率。 3）可用正交性将任意位移分解成振型的组合。例如
有位移{y}，可设{y}=ci{A}i ，ci 为组合系数。等式两
边同时左乘{A}jT[M]，根据正交性则有
由分此解可的求 结出果组。合系{A数}jTc[jM，]代{y}回=c{jyM}=j*ci{A}i即可得按振型(d)
4.2 振型的正交性
4）可将多自由度问题化成单自由度问题来解决。实
际上，只要设{u(t)}=yi(t){A}i ，代入运动方程可得
[M]ÿi(t){A}i +[K] yi(t){A}i={0}
矩阵{A}。
由数学可知，对建筑工程一般问题，从n阶的特征
方程（3）可求得n个特征对，也即有n个频率i以及 和i对应的振型{A}i。按i从小到大排列可得结构的频 谱，1和{A}1分别称为第一频率（基本频率或基频）、
第一振型。其他依次称第二、第三等等频率、振型。
有了任意n自由度问题自由振动解法、结论，两自
[M]ÿi(t){A}i +[C]ýi(t){A}i +[K]yi(t){A}i={P(t)} (a) 如果阻尼矩阵对振型不正交，也即
{A}jT[C]{A}i0
(b)
则式(a)将是联列的微分方程组，求解将是很困难的。
为此，通常引入正交阻尼假设，也称Rayleigh(瑞利)比
例阻尼如下
[C]=0[M]+ 1[K]
则由式(28)可求得各振型的振型参与系数i ，当只讨论 稳态振动，并且认为i=i,d (忽略阻尼对频率的影响)
时，根据单自由度所得结果，广义位移为
i(t)=isin(it-i)/i2
(34)
式(34)中i为第i振型动力系数
i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2
(35)
其中i为第i振型频率比(i=/i)， i为第i振型相位角
5）自由振动的通解可由各频率的简谐振动解答叠加 得到，振幅、相位由质量的初位移、初速度（n个自 由度有2n个初始条件）来确定。
综上可见，有了[M]、[K]或[f]，剩余工作主要是数 学运算了。
4.2 振型的正交性
因为 i2[M]{A}i=[K]{A}i、j2[M]{A}j=[K]{A}j前一式
确定请思考。
6）正交性还是受迫振动分析的基础。
4.3 多自由度的受迫振动
4.3.1 多自由度受迫振动的振型分解法 多自由度任意荷载下运动方程为
Mu Cu Ku P(t)
象上节4）一样，设{u}=yi(t){A}i ，也即位移分解成各 振型的组合，组合系数yi(t)称广义坐标。则
4.1 多自由度无阻尼自由振动
多自由度运动方程为
Mu Cu Ku P(t)
无阻尼自由振动运动方程为
Mu Ku 0
设其解为{A}sint ，代入运动方程可得
(- 2[M]+[K]) {A}sint={0}
为使系统有非零的振动解答，必须
左乘{A}jT、后一式左乘{A}iT，再将两式相减，由于质 量、刚度的对称性，可得
由此可得
(i2-j2){A}jT[M]{A}i=0
(11)
{A}jT[M]{A}i=0
(12)
上式乘j2，考虑到j2[M]{A}j物理意义是第j振型对应
的惯性力幅值，因此式（12）表明第j振型对应的惯性
力在第i振型位移上不做功，反之亦然。
（8）
令：{x} =[L]T{A}，[D]=[L]-1[K][L]-T，[D]是对称矩阵
有：2 {x}= [D]{x}
（9）
式
2{X}=[D]{X}
（9）
就是实对称矩阵标准特征值问题的方程，利用线性代
数所介绍的特征值问题解法就可求得[D]矩阵的特征对
[2，{X}]，再由式（5）可求得广义特征问题的振型
(22)
也即认为阻尼和系统质量、刚度成正比，0比1可用
振型正交性由阻尼比i，j和频率i，j确定(4-122)。
4.3 多自由度的受迫振动
在正交阻尼假设下，{A}iT[C]{A}i=Ci*
(23)
式(a)两边同时左乘{A}iT，则可得
Mi*ÿi(t) +Ci*ýi(t)+Ki*yi(t)={A}iT{P(t)}
四、 多自由度体系的振动
多自由度无阻尼自由振动

振型的正交性
多自由度的受迫振动
杆系结构有限元动力分析
多自由度时程分析方法

结论与讨论
虽然有些工程问题可以化为单自由度 问题计算，但为了有足够的分析精度，更 多的问题必须作为多自由度进行分析。
本章介绍多自由度系统与频率、模态 相关的基本理论。
先求无阻尼自由振动的频率、振型等 动力特性，然后利用振型的正交性，在假 定阻尼矩阵也正交条件下，将多自由度分 析通过振型分解化为单自由度问题的组合 来解决。
数学上称作广义特征值问题。为了将其化为标准实对
称矩阵特征值问题，作如下改造：
设 [M]=[L] [L]T
（4）
2[L] [L]T{A}=[K]{A}
（5）
2[L]T{A}=[L]-1[K]{A}
（6）
2[L]T{A}=[L]-1[K]([L]-T[L]T){A}
（7）
2[L]T{A}=[L]-1[K][L]-T[L]T{A}
由度问题可以作为它的特例，按上述解法、思路进行
分析。
4.1 多自由度无阻尼自由振动
基本结论:
1）在无阻尼自由振动下-[M]{ü}=[K]{u}，也即惯性力 和弹性恢复力平衡，且它们同相位。因此如果设振幅 为{A}，式（3）也可通过列惯性力、恢复力的幅值方 程得到。
2）对于一个具体问题，关键是正确确定[M]、[K]或[f] （柔度）。有了它们不管什麽结构，由统一格式可写
(14)
称作第i振型广义质量M，i*=记{A}iT[M]{A}i
(15)
称作第i振型广义刚度K。i*=则{A}iT[K]{A}i
(16)
i2=Ki*/Mi*
(17)
也即第i频率的平方可象单自由度一样，由广义刚度和
质量来求。
式(12)和(13)是最基本、最常用的正交关系。
4.2 振型的正交性
因为
i2[M]{A}i=[K]{A}i
l
0
(
2d
t 2
)T

d Adx
(38)


deT
l
0
N
T

N
Adx
d
e
引入单元一致质量矩阵[m]e
me

l
0
N
T
N Adx
(39)
4.4 杆系结构有限元动力分析
由式(39)代入形函数并积分，对质量均匀分布的平 面弯曲单元，其单元一致质量矩阵[m]e为
当动荷载为 {P}sint[或 {P}cost ]时，多自由度系
统稳态反应分析，可按如下步骤进行
1）确定系统质量[M]、刚度[K]（或柔度[f]）矩阵。
2）求无阻尼自由振动的振型{A}i 、频率i 。 3）用阻尼比1,2和频率1,2求瑞利阻尼的0和1 。 4）求i振型振型参与系数i={A}iT[P]/{A}iT[M]{A}i 。 5）求i振型阻尼比i =1/2(0/i+1i) 6）求i振型动力系数i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2 。 7）求i振型相位角i=arctg[2i/i(1-i2)]。 8）求i振型广义位移i(t)=isin(it-i)/i2。 9）将各振型广义位移代回{u}=ii(t){A}i ，则得最终
hi (t
)

1
d ,i
eii (t )sind ,i
(t

)
(32)
代回{u}=yi(t){A}i ，即可得{u}=ii(t){A}i 。i(t)称为
第i振型的广义位移。
4.3 多自由度的受迫振动
4.3.2 简谐荷载下的受迫振动反应
设动荷载（转动机器引起）为 {P(t)}={P}sint (33)
tgi=2i/i(1-i2)
(36)
将式(34)代回
{u}=ii(t){A}i ， 得
{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i
(37)
无阻尼情况自然可以当作有阻尼情况的特例，在上
述结果中令i=0得到。
4.3 多自由度的受迫振动
4.3.3 简谐荷载受迫振动反应分析步骤
(e)
方程两边同时左乘{A}jT，根据正交性则有
Mj*ÿj(t)+Kj*yi(t)=0
(20)
从式(20)可得(根据单自由度自由振动结果)
yi(t)=aisin(it+ci)
(f)
代回多自由度所假设的解，即可得
{u(t)}=aisin(it+ci){A}i
(21)
5）式(21)中的待定常数ai、ci可由初始条件确定。如何