简单的逻辑用语

简单的逻辑用语：
一、框架
1、原命题、逆否命题同真假。

2、充分条件、必要条件、充要条件的判断：
①、审题注意明确什么是什么的什么条件，谓语是什么，从哪里推到哪里；
②、注意小范围推出大范围，大范围不能推出小范围。

3、否命题、命题的否定：
①、否命题：既要否定条件，又要否定结论；
②、命题的否定：不用否定条件，只要否定结论。

4、复合命题常见的答案格式：
①、先求出,p q 都为真命题，对应的参数的取值范围；
②、再由p q ∧、p q ∨、p ⌝的真假判断,p q 的真假；
③、结合上面两步求出问题的答案。

二、方法诠释
第一方面：充分条件、必要条件、充要条件、充分不必要条件、必要不充分条件
例1：已知()221:12,:21003
x p q x x m m --≤-+-≤>，若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件，求实数m 的取值范围。

解：由题意知：命题：若p ⌝是q ⌝的必要而不充分条件的等价命题即逆否命题为：p 是q 的充分不必要条件．
111:1221213210333
x x x p x ----≤⇒-≤-≤⇒-≤≤⇒-≤≤， ()()22:210110q x x m x m x m -+-≤⇒---+≤⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦ *
∵p 是q 的充分不必要条件，∴不等式1123
x --
≤的解集是()222100x x m m -+-≤>解集的子集， 又∵0m >，∴不等式*的解集为11m x m -≤≤+，
∴1211109m m m m -≤≥⎧⎧⇒⎨⎨+≥≥⎩⎩，∴9m ≥，∴实数m 的取值范围是[)9,+∞．
第二方面：简单的逻辑连接词
例2：已知命题p :关于x 的不等式0422
>++ax x 对一切R x ∈恒成立，命题q ：()(43)x f x a =-是增函数，若p 或q 为真，p 且q 为假.求实数a 的取值范围.
解：当命题p 为真时，01642<-=∆a ，(1分) 所以22<<-a . (2分) 当命题q 为真时，431a ->，(3分)所以1<a (4分)
因为p 或q 为真，p 且q 为假，p ，q 为一真一假. (5分)
当p 真q 假时，⎩
⎨⎧≥<<-122a a ，(6分)所以21<≤a (7分) 当p 假q 真时，⎩⎨
⎧<≥-≤1
22a a a 或 ，(8分) 所以2-≤a (9分) 综上所述，实数a 的取值范围是)2,1[]2( --∞， (10分)
第三方面：简单的逻辑连接词综合训练
例3.1：已知命题p ：关于x 的一元二次方程022=++m x x 没有实数根，命题q ：函数)16
1lg()(2m x mx x f +-=的定义域为R ，若p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，求实数m 的取值范围.
解:因为x 的一元二次方程022=++m x x 没有实数根
所以044<-=∆m ，解得1>m ，即命题p ：1>m
3分 又函数)16
1lg()(2m x mx x f +-=的定义域为R 所以2>m ，即命题q ：2>m 6分 又p 或q 为真命题，p 且q 为假命题，所以p 和q 一真一假，9分
所以实数m 的取值范围21≤<m 12分
小结：解决该类问题的基本步骤：
(1) 弄清构成复合命题中简单命题p 和q 的真假；
(2) 明确其构成形式；
(3) 根据复合命题的真假规律判断构成新命题的真假．
例3.2：设命题p ：方程01)2(442=+-+x a x 无实数根；命题q ：函数2ln(1)y x ax =++的值域是R ． 如果命题q p 或为真命题，q p 且为假命题，求实数a 的取值范围。

解：若p 为真命题，则 ()()
034161621622<+-=--=∆a a a 解得31<<a
若q 为真命题，则042≥-=∆a 恒成立，
解得.22≥-≤a a 或
又由题意知p 和q 有且只有一个是真命题，
若p 真q 假：⎩⎨⎧<<-<<2
231a a 此时求得a 的范围为: 21<<a
若p 假 q 真：⎩
⎨⎧≥-≤≥≤2231a a a a 或或 此时求得a 的范围为:32≥-≤a a 或
三、综合训练
1．若“01x <<”是“()[(2)]0x a x a --+≤”的充分不必要条件，则实数a 的取值范围是（ ）
A.(,0][1,)-∞+∞
B.(1,0)-
C.[1,0]-
D.(,1)(0,)-∞-+∞
2．“sin 02θ
=”是“sin 0θ=”的（ ）
A ．充分不必要条件
B ．必要不充分条件
C ．充要条件
D ．既不充分也不必要条件
3. “m=2
1”是“直线(m+2)x+3my+1=0与直线(m －2)x+(m+2)y －3=0相互垂直”的 ( ) A. 充分必要条件 B. 充分而不必要条件
C. 必要而不充分条件
D. 既不充分也不必要条件
4．已知1a >，22()x x f x a +=，则使()1f x <成立的一个充分不必要条件是（ ）
A ．20x -<<
B ．10x -<<
C ．21x -<<
D ．10x -<≤
5．下列说法正确的是（ ）
A ．命题“,0x x R e ∀∈>”的否定是“,e 0x x R ∃∈>”
B ．命题“已知,x y R ∈，若3x y +≠，则2x ≠或1y ≠”是真命题
C ．“22x x a x +≥在[]1,2x ∈上恒成立”⇔“()()2max min 2x x
ax +≥在[]1,2x ∈上恒成立” D ．命题“若1a =-，则函数()221f x ax x =+-只有一个零点”的逆命题为真命题
6.设p ：3||>-a x ，q ：0)12)(1(≥-+x x ，若p ⌝是q 的充分不必充要条件，则实数a 的取值范围是 ．
7．命题“若1x ≥，则2421x x -+≥-”的否命题为 ．
8．设命题:p 若||2x >，则2x <-或2x >．那么p 的逆否命题为 ．
9．设:p 关于x 的方程2420x x a -+=在区间[]0,5上有两相异实根；:q “至少存在一个实数[]
01,2x ∈，使不等式2220x ax a ++->成立”．若“p q ⌝∧”为真命题，参数a 的取值范围为 ．
10．已知p:01322≤+-x x ,q ：0)1()12(2≤+++-a a x a x （1）若a=2
1，且q p ∧为真，求实数x 的取值范围. （2）若p 是q 的充分不必要条件，求实数a 的取值范围.
简单的逻辑用语答案：
1．C 【解析】试题分析：由题设⎩⎨⎧≥+≤1
20a a ,解之得01≤≤-a ,故应选C.
考点：不等式的解法与充分必要条件的判定. 2．A 【解析】试题分析：由sin
02θ=，得Z k k ∈=,2πθ，则Z k k ∈=,2πθ，故sin 0θ=；若sin 0θ=得Z k k ∈=,πθ，则Z k k ∈=,2
2πθ，故sin 02θ=不成立；故“sin 02θ=”是“sin 0θ=”的充分不必要条件，故选A.考点：充分、必要条件的判定. 3.【答案】B 【解析】试题分析：两直线垂直则有()()()22320m m m m +-++=,解得2m =-或12m =
.所以12
m =是两直线垂直的充分而不必要条件.故B 正确.考点：1两直线垂直;2充分必要条件. 4.B 【解析】试题分析：因为1a >，所以22()1x x f x a +=<可得220x x +<解得20x -<<，
所以使()1f x <成立的一个充分不必要条件是应该是{}|20x x -<<的一个真子集，故选B.
考点：指数函数的性质与充要条件．
5.B 【解析】试题分析：A 应为否定是“,e 0x x R ∃∈≤”.C 应为“()min 2x a +≥”.D 逆命题是“若函数
()221f x ax x =+-只有一个零点，则1a =-”
，当0a =时，也有一个零点，故为假命题.综上所述，选B.考点：四种命题及其相互关系.
6．7(,4][,)2
-∞-+∞【解析】试题分析：:3,3p x a x a <->+，1:1,2
q x x ≤-≥，:33p a x a ⌝-≤≤+，p ⌝是q 的充分不必充要条件，所以131,32a a +≤--≥或，解得7(,4][,)2a ∈-∞-+∞. 考点：充要条件，绝对值不等式，一元二次不等式.
7．若1x <，则2421x x -+<-【解析】试题分析：根据否命题的概念，有否命题为：若1x <，则
2421x x -+<-．考点：四种命题及其相互关系．
8．若,22≤≤-x 则.2||≤x 【解析】试题分析：原命题：若p ,则.q 逆否命题为若.,p q ⌝⌝则故原命题的逆否命题为若,22≤≤-x 则.2||≤x 考点：1、命题．
9．()[)∞+，20,3- 【解析】试题分析：:p ()()⎪⎩
⎪⎨⎧≥+=≥=>-=-=∆0255020081642a f a f a ac b ，解得：20<≤a ；:q 将不等
式转化为[]2,1∈∃x ，使()1222-+->x x a ，即min
2122⎥⎦⎤⎢⎣⎡-+->x x a 设()()()[]
()⎥⎦
⎤⎢⎣⎡+-+--=-+-+-=-+-=212912411291221241-12222x x x x x x x y ，设[]3,112∈=-t x ，即⎥⎦⎤⎢⎣⎡++-=2941t t y ，[]3,1∈t ，函数在此区间单调递增，所以函数的最小值是当1=t 时，3min -=y ，若命题q 为真命题，那么3->a ，0:<⌝a p 或2≥a ，若“p q ⌝∧”为真命题，即⎩
⎨⎧->≥<320a a a 或，所以解集为()[)∞+，
20,3- ，故填：()[
)∞+，20,3-
10、【答案】（1）}121|{≤≤x x ；（2）}2
10|{≤≤a a . 【解析】试题分析：（1）先化简命题q p ,对应的集合，再利用真值表判定q p ,各自的真假，利用相应数集进行求解；（2）利用小范围是大范围的充分不必要条件转化为集合间的包含关系进行求解.
解题思路:1.符合命题的真值表：当且仅当q p ,都为真命题时，q p ∧为真命题；当且仅当q p ,都为假命题时，q p ∨为假命题；命题p 与命题p ⌝真假性相反；2.小范围是大范围的充分不必要条件. 试题解析：（1）∵q p ∧为真， ∴p 真q 真
P 真：则设A={x|01322≤+-x x }=}12
1|{≤≤x x q 真：B={x|0)1()12(2≤+++-a a x a x }=}1|{+≤≤a x a x ∵21=
a ∴B=}2321|{≤≤x x ∴=⋂B A }121|{≤≤x x ∴实数x 的取值范围为:}12
1|{≤≤x x （2）由（1）知设A={x|}121|{≤≤x x ，B=}1|{+≤≤a x a x ∵p 是q 的充分不必要条件， ∴A 是B 的真子集 ∴⎪⎩⎪⎨⎧>+≤1121a a 或⎪⎩
⎪⎨⎧≥+<1121a a 解得210≤≤a ，∴实数a 的取值范围为：}210|{≤≤a a 考点：1.复合命题的真值表；2.充分条件与必要条件.。