雅可比行列式
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0
性，在点
x某邻域
0
,f(x)与f(x)保持同一符号，因而在函数yf(x)严格单调，它存在反函
0
数x(y)，且
dx
dy
1
dy
.
dx
和它类似的有：
定理2.若函数组uu(x,y),vv(x,y)有连续的偏导数，且
(u,v)
(x,y)
0
，则存在有连续偏导
数的反函数组xx(u,v),yy(u,v)，且
(x,y)1
,
sxsystxtyt
2
由行列式的乘法，有
uxuyuxuy
uu
(u,v)st
xsysxtyt
(s,t)vvvxvyvxvy
stxsysxtyt
uuxx
xystuvxy
(,)(,)
vvyy(x,y)(s,t)
.
xyst
若一元函数yf(x)在点
x某邻域具有连续的导数f(x)，且
0
fx.由连续函数的保号
()0
0
.
三、函数行列式的几何性质
3
n
fff
222
xxx
12
n
（2）
fff
nnn
xxx
12
n
称为函数组
(f,f,fn)在点(x1,x2,xn)的雅可比行列式，也称为函数行列式，表为
12
(f,f,f)D(f,f,f)
12n12n
或.(x,xx)D (x,xx)
12,n12,n
例：求下列函数组（变换）的函数行列式：1.极坐标变换
xrcos,
nnn
(x,x,,x,y,y,,y)fARRR，或
12n12n
yf(x,x,x),
1112n
yf(x,x,x),
2212n
(x,xx)A.(1)
12,n
yf(x,x,x).
nn12n
表为
f
i
(f,f,fn)，设它们对每个自变量都存在偏导数,1,2,1,2，行列式
injn
12
x
j
fff
111
xxx
12
§11.2 .函数行列式
教学目的掌握函数行列式．
教学要求
(1)．掌握函数行列式
(2)能用函数行列式解决一些简单的问题
一、函数行列式
由
n
AR到R的映射（或变换）就是n元函数，即
n
(,,,,)
xxxyfARRR，或
12n
yf(x,x,,x),(x,x,,x)A.
12n12n
由
n
AR到
n
R的映射（或变换）就是n个n元函数构成的函数组，即
zrcos.
xxx
r
sincosrcoscosrsinsin
(x,y,z)yyy
(r,,)r
2
sinsinrcossinrsincosrsin.
cosrsin0
zzz
r
二、函数行列式的性质
为了简单起见，仅就n=2的情形加以讨论，所有结果对任意自然数n都是正确的.
已知一元函数yf(x)与x(t)的复合函数yf[(t)]的导数是
dydydx
dtdxdt
，与它类似的
有：
定理1.若函数组uu(x,y),vv(x,y)有连续的偏导数，而xx(s,t),yy(s,t)也有连续偏
导数，则
(u,v)(u,v)(x,y)
(s,t)(x,y)(s,t)
.
证明：由复合函数的微分法则，有
uuxuyuuxuy
,
sxsystxtyt
vvxvyvvxvy
(u,v)
(u,v)
.(3)
(x,y)
证明：§11.1.定理3的推论已给出存在连续偏导数组的证明.下面证明（3）式成立.在定
理1中，令su,tv，有
(u,v)(x,y)(u,v)
(x,y)(u,v)(u,v)
uu
uv
vv
10
01
1
，
uv
即
(u,v)1
(x,y)
(x,y)
(u,v)
，
(u,v)
(x,y)
yrsin.
1
xx
(x,y)
(r,)
r
cosrsin
yysinrcos
22
rcosrsinr.
r
2.柱面坐标变换
xrcos,
yrsin,
zபைடு நூலகம்.
xxx
rz
cosrsin0
(x,y,z)yyy
22
sinrcos0rcosrsinr
(r,,z)rz
001
zzz
.
rz
3.球面坐标变换
xrsincos,
yrsinsin,
性，在点
x某邻域
0
,f(x)与f(x)保持同一符号，因而在函数yf(x)严格单调，它存在反函
0
数x(y)，且
dx
dy
1
dy
.
dx
和它类似的有：
定理2.若函数组uu(x,y),vv(x,y)有连续的偏导数，且
(u,v)
(x,y)
0
，则存在有连续偏导
数的反函数组xx(u,v),yy(u,v)，且
(x,y)1
,
sxsystxtyt
2
由行列式的乘法，有
uxuyuxuy
uu
(u,v)st
xsysxtyt
(s,t)vvvxvyvxvy
stxsysxtyt
uuxx
xystuvxy
(,)(,)
vvyy(x,y)(s,t)
.
xyst
若一元函数yf(x)在点
x某邻域具有连续的导数f(x)，且
0
fx.由连续函数的保号
()0
0
.
三、函数行列式的几何性质
3
n
fff
222
xxx
12
n
（2）
fff
nnn
xxx
12
n
称为函数组
(f,f,fn)在点(x1,x2,xn)的雅可比行列式，也称为函数行列式，表为
12
(f,f,f)D(f,f,f)
12n12n
或.(x,xx)D (x,xx)
12,n12,n
例：求下列函数组（变换）的函数行列式：1.极坐标变换
xrcos,
nnn
(x,x,,x,y,y,,y)fARRR，或
12n12n
yf(x,x,x),
1112n
yf(x,x,x),
2212n
(x,xx)A.(1)
12,n
yf(x,x,x).
nn12n
表为
f
i
(f,f,fn)，设它们对每个自变量都存在偏导数,1,2,1,2，行列式
injn
12
x
j
fff
111
xxx
12
§11.2 .函数行列式
教学目的掌握函数行列式．
教学要求
(1)．掌握函数行列式
(2)能用函数行列式解决一些简单的问题
一、函数行列式
由
n
AR到R的映射（或变换）就是n元函数，即
n
(,,,,)
xxxyfARRR，或
12n
yf(x,x,,x),(x,x,,x)A.
12n12n
由
n
AR到
n
R的映射（或变换）就是n个n元函数构成的函数组，即
zrcos.
xxx
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sincosrcoscosrsinsin
(x,y,z)yyy
(r,,)r
2
sinsinrcossinrsincosrsin.
cosrsin0
zzz
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二、函数行列式的性质
为了简单起见，仅就n=2的情形加以讨论，所有结果对任意自然数n都是正确的.
已知一元函数yf(x)与x(t)的复合函数yf[(t)]的导数是
dydydx
dtdxdt
，与它类似的
有：
定理1.若函数组uu(x,y),vv(x,y)有连续的偏导数，而xx(s,t),yy(s,t)也有连续偏
导数，则
(u,v)(u,v)(x,y)
(s,t)(x,y)(s,t)
.
证明：由复合函数的微分法则，有
uuxuyuuxuy
,
sxsystxtyt
vvxvyvvxvy
(u,v)
(u,v)
.(3)
(x,y)
证明：§11.1.定理3的推论已给出存在连续偏导数组的证明.下面证明（3）式成立.在定
理1中，令su,tv，有
(u,v)(x,y)(u,v)
(x,y)(u,v)(u,v)
uu
uv
vv
10
01
1
，
uv
即
(u,v)1
(x,y)
(x,y)
(u,v)
，
(u,v)
(x,y)
yrsin.
1
xx
(x,y)
(r,)
r
cosrsin
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22
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2.柱面坐标变换
xrcos,
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zபைடு நூலகம்.
xxx
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