离散数学--第二章 命题逻辑的推理理论

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Dr Chen Guangxi
第二章 命题逻辑的推理理论
(4)构造证明法 构造证明法 当前提与结论中命题变项较多时，前几种方法 的工作量太大，不方便，而构造证明法较为方 便。构造证明法必须在给定的推理规则下进行。 常用的推理规则有以下11条： (1)前提引入规则：在证明的任何步骤上，都可 以引入前提。 (2)结论引入规则：在证明的任何步骤上，所得 中间结果都可以作为后继证明的前提。 (3)置换规则：在证明的任何步骤上的公式中的 子公式均可用与之等值的公式置换。
离散数学
Discrete Mathematics
Chen Guangxi
School of Mathematics and Computing Science
第二章 命题逻辑的推理理论
目标:
掌握推理形式结构 熟练运用构造推理方法 了解命题逻辑归结证明
学习建议:
与初中平面几何证明进行对比 勤做练习
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第二章 命题逻辑的推理理论
(8)假言三段论 ：
A→B B→C ∴A→C
(9)析取三段论规则： A∨ B A∨ B ¬A ¬B 或者 ∴B ∴A
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第二章 命题逻辑的推理理论
(10)构造性二难推理规则：
A → B C → D A∨C ∴B∨ D
(11)合取引入规则：
A B ∴A∧ B
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第二章 命题逻辑的推理理论
是重言式类似， 与用 A ⇔ B 表示 A ↔ B是重言式类似，用 A ⇒ B表示A → B 是重言式， 不是联结词 是重言式， ⇒ 符。 推出B的推理正确 的推理正确， 若 A , A ,⋯, A 推出 的推理正确，则记作 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) ⇒ B 为蕴涵式。 称A⇒B为蕴涵式。 ⇒ 为蕴涵式
第二章 命题逻辑的推理理论
解：设p：今天是1号。q：明天是3号。r： 后天是5号。s：今天是2号。t：明天是6 号。 5个推理对应的形式结构分别为： (1) {( p → q ), p} ├q； (2) {( p → q), ¬q}├﹁q； (3) {( p → q), (q → r )} p → r ； ├ (4) {( p ∨ s ), ¬p} ├s； (5) {( p → q ), ( s → t ), ( p ∨ s )}├ q ∨ t 。
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第二章 命题逻辑的推理理论
【定义2.1.1】有效结论 定义 】 是一个有限公式的集合， 设 Γ = { A1 , A2 ,⋯ , Ak }是一个有限公式的集合， 是命题公式， 是另一个 其中 A1 , A 2 ,⋯, Ak 是命题公式，B是另一个 公式， 公式，记 Γ = { A1 , A2 ,⋯ , Ak } B ├ 为推理的形式结构。 为推理的形式结构。
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第二章 命题逻辑的推理理论
(2)等值演算法 等值演算法 通过等值演算。若公式
( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) → B ⇔ 1
则说明推理正确。 (3)主析取范式法 主析取范式法 若公式 ( A ∧ A ∧ ⋯ ∧ A ) → B 的主析取范式含 全部2n个极小项，则说明推理正确。否 则推理不正确。
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第二章 命题逻辑的推理理论
〖例2.1.1〗判断下列推理是否正确： 〗 （4）今天是1号或2号。今天不是1号。所 以，今天是2号。 （5）若今天是1号，则明天是3号。若今天 是2号，则明天是6号。今天是1号或2号。 所以，明天是3号或6号。
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第二章 命题逻辑的推理理论
蕴涵式有下列性质： 蕴涵式有下列性质： 对任何公式A， 对任何公式 ，有A⇒A； ⇒ ； (1)若A⇒B，B⇒C，则A⇒C； 若 ⇒ ， ⇒ ， ⇒ ； (2)若A⇒B，A⇒C，则A⇒(B∧C)； 若 ⇒ ， ⇒ ， ⇒ ∧ ； (3)若B⇒A，C⇒A，则(B∨C)⇒A。 若 ⇒ ， ⇒ ， ∨ ⇒ 。
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第二章 命题逻辑的推理理论
(2)设p：今天我休息。q：我要去象鼻山 公园玩。r：我要去七星公园玩。s：象鼻 山公园游人多。 前提：p → (q ∨ r ), s → ¬q, p, s 结论：r 推理的形式结构为： {( p → (q ∨ r ))， → ¬q )，p， s} ├ r (s
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第二章 命题逻辑的推理理论
( 4、 A → B ) ∧ ¬B ⇒ ¬A 、 拒取式 5、 A ∨ B ) ∧ ¬B ⇒ A ( 、 析取三段论 6、 A → B ) ∧ ( B → C ) ⇒ ( A → C假言三段论 、 ( ) ( 7、A ↔ B) ∧ ( B ↔ C ) ⇒ ( A ↔ C ) 等价三段论 、 ( 8、A → B ) ∧ (C → D ) ∧ ( A ∨ C ) ⇒ ( B ∨ D ) 、 构造性二难 以上8条中 用得最多的是第三， 条中， 以上 条中，用得最多的是第三，第五和 第六条。 第六条。
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第二章 命题逻辑的推理理论
〖例2.1.2〗判断下列推理是否正确，并 〗 且给出证明。 (1)若a是偶数，则b是奇数。或者a是偶数， 或者a整除b。a是偶数。所以，b不是奇 数。 (2)因为今天我休息，所以我要到象鼻山公 园或七星公园去玩。如果象鼻山公园的 游人太多，我就不去象鼻山公园玩。今 天我休息。象鼻山公园游人太多。所以， 我去七星公园玩。
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第二章 命题逻辑的推理理论
在实际中的推理，恰好为8条推理定律的 推理还是不多的，在大多数情况下，要 证明推理正确，就是证明公式为重言式， 其证明方法主要有以下几种： (1)真值表法 真值表法 将 ( A ∧ A ∧ ⋯ ∧ A ) → B 的真值表写出来。若真 值表的最后一列全为1，说明为重言式， 因而推理正确。否则，推理不正确。
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第二章 命题逻辑的推理理论
证明过程如下： ① p → (q ∨ r ) ② p ③ q∨r ④ s → ¬q ⑤ s ⑥ ¬q ⑦ r
前提引入 前提引入 ①、②、假言推理 前提引入 前提引入 ④、⑤、假言推理 ③、⑥、析取三段论
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第二章 命题逻辑的推理理论
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第二章 命题逻辑的推理理论
为重言式， 若公式 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) → B为重言式，则 得到结论B的推理是 称由前提 A1 , A 2 ,⋯, Ak 得到结论 的推理是 正确的或有效的，并且称B是前提的 正确的或有效的，并且称 是前提的 A1 , A 2 , ⋯ , Ak 有效结论。 有效结论。若 ( A1 ∧ A2 ∧ ⋯ ∧ Ak ) → B公式不是 重言式，则称推理不正确。 重言式，则称推理不正确。
第二章 命题逻辑的推理理论
①真值表法 当前命题为： 当前命题为：( p → q) ∧ ( p ∨ r ) ∧ p → ¬q
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第二章 命题逻辑的推理理论
②等值演算法
( p → q) ∧ ( p ∨ r ) ∧ p → ¬q
⇔ ( p → q ) ∧ p → ¬q ⇔ ( ¬p ∨ q ) ∧ p → ¬q
〖例2.1.3〗构造下面推理的证明 〗 前提： p ∨ q, p → ¬r , s → t , ¬s → r , ¬t 结论：q 证明： ① s→t 前提引入 ② ¬t 前提引入 ③ ¬s ①、②、拒取式 ④ ¬s → r 前提引入 ⑤ r ③、④、假言推理 ⑥ p → ¬r 前提引入 ⑦ ¬p ⑤、⑥、拒取式 ⑧ p∨q 前提引入 ⑨ q ⑦、⑧、析取三段论
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第二章 命题逻辑的推理理论
〖例2.1.1〗判断下列推理是否正确： 〗 （1）若今天是1号，则明天是3号。今天是 1号。所以，明天是3号。 （2）若今天是1号，则明天是3号。明天不 是3号。所以，今天不是1号。 （3）若今天是1号，则明天是3号。若明天 是3号，则后天是5号。所以，若今天是1 号，则后天是5号。
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第二章 命题逻辑的推理理论
解：(1)先将简单命题符号化。 p：a是偶数，q：b是奇数，r：a整除b. 再写出前提和结论。 前提： p → q, p ∨ r , p 结论： ¬q 推理的形式结构为 { p → q, p ∨ r , p }├ ¬q
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第二章பைடு நூலகம்命题逻辑的推理理论
在构造证明时，有时采用下面介绍的方 法更简单。 附加前提证明法 我们在推理的时候常常使用这样一条规 则，比如我们要利用一些公理和定理去 证明命题：如果两条直线平行，则内错 角相等。我们在证明时，总是将结论的 前提“如果两条直线平行”作为已知条 件的。这就是附加前提推理规则。
第二章 命题逻辑的推理理论
第一节 命题逻辑的推理演算 第二节 命题逻辑的归结推理方法 第三节 命题逻辑的公理系统
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第二章 命题逻辑的推理理论
推理是由前提出发推出结论的思维过程。 推理是由前提出发推出结论的思维过程。 前提是已知的命题公式， 前提是已知的命题公式，结论是由前提 出发运用推理规则所推出的命题公式。 出发运用推理规则所推出的命题公式。 为前提， 是另一个命题 设 A1 , A 2 , ⋯ , Ak 为前提，B是另一个命题 公式， 是否为 公式，B是否为A1 , A 2 ,⋯, Ak 的结论定义如 下：
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第二章 命题逻辑的推理理论
【定理2.1.1】 定理 】 A⇔B当且仅当 ⇒B且B⇒A。 当且仅当A⇒ 且 ⇒ 。 ⇔ 当且仅当 有些重要的重言蕴涵式称为推理定律， 有些重要的重言蕴涵式称为推理定律， 它们在推理理论中占有重要的地位。 它们在推理理论中占有重要的地位。重 要的重言蕴涵式主要有以下8条 要的重言蕴涵式主要有以下 条： 1、 A ⇒ ( A ∨ B) 附加律 、 2、 ( A ∧ B ) ⇒ A 化简律 、 3、 ( A → B) ∧ A ⇒ B 假言推理 或分离规则 假言推理(或分离规则 或分离规则) 、
⇔ ¬((¬p ∨ q ) ∧ p ) ∨ ¬q ⇔ ( p ∧ ¬q ) ∨ ¬p ∨ ¬ q ⇔ ¬p ∨ ¬ q (吸收律)
（吸收律）
由最后结果可知，有两个成假赋值， 由最后结果可知，有两个成假赋值，就是 110和111，这与真值表的结果是一致的。 和 ，这与真值表的结果是一致的。
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第二章 命题逻辑的推理理论
(4)假言推理规则(或叫分离规则)：
A→B A ∴B (5)附加规则：
A ∴A∨ B
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第二章 命题逻辑的推理理论
(6)化简规则：
A∧ B ∴A
(7)拒取式规则： A→ B ¬B ∴ ¬A
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第二章 命题逻辑的推理理论
③主析取范式法 ( p → q ) ∧ ( p ∨ r ) ∧ p → ¬q ⇔ m0 ∨ m1 ∨ m2 ∨ m3 ∨ m4 ∨ m5
( 由主析取范式可知， p → q) ∧ ( p ∨ r) ∧ p → ¬q 由主析取范式可知， 不是重言式(不含极小项 不是重言式 不含极小项 m6和m7 )，所以 ， 推理不正确。 推理不正确。
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第二章 命题逻辑的推理理论
〖例2.1.4〗已知¬(P∧¬Q)，¬Q∨R，¬R成立，则¬P. 〗 证明： 证明 只需证明(¬(P∧¬Q)∧(¬Q∨R)∧¬R)→¬P是永真 式即可。 (¬(P∧¬Q)∧(¬Q∨R)∧¬R)→¬P ⇔((¬P∨Q)∧(¬Q∨R)∧¬R)→¬P ⇔((¬P∨Q)∧((¬Q∧R)∨(R∧¬R)))→¬P ⇔((¬P∨Q)∧(¬Q∧R))→¬P ⇔((¬P∧¬Q∧¬R)∨(Q∧¬Q∧R))→¬P ⇔((¬P∧¬Q∧¬R)→¬P ⇔(¬(¬P∧¬Q∧¬R)∨¬P ⇔P∨Q∨R∨¬P ⇔1