结构力学课件11位移法(1)
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第十一章
位移法
24.11.2020
.
1
§11-1 位移法的基本概念
P
A θA
C
θA
荷载效应包括： 内力效应：M、Q、N；
位移效应：θA
B
附加
P
刚臂 A
C
A θA
C
θA
附加刚臂限制结
点位移，荷载作
B 用下附加刚臂上
产生附加力矩
24.11.2020
.
施加力偶使结点产
生的角位移，以实
B 现结点位移状态的
A
②杆端弯矩对杆端以顺时针为正
l
B
MBA
对结点或支座以逆时针为正。
MAB
A
（1）由杆端弯矩M A和 BM B引 A 起 A和 的 B
B
MBA
MBA
利用单位荷载法可求得
A E1I12MABl32MBAl13
MAB
1
El I13MAB16MBA
设 EI i
l
A31iMAB61iMBA
24.11.2020
MAB
4iA
2iB
6i l
mAB
MBA
2iA
4iB
6i l
mBA
24.11.2020
Q AB 6 li A6 l.i B 1 l2 i2 Q AB
12
§11-3 位移法的基本体系
一、超静定结构计算的总原则:
欲求超静定结构先取一个基本体系,然 后让基本体系在受力方面和变形方面与原 结构完全一样。
3i l
3i l2
0
11
二、由荷载求固端反力
mAB
Q AB Q AB
q
EI l q
EI l
mABq82l
Q BA
mBA
Q BA
mBA
ql 2 8
Q AB
5 8
ql
Q BA
3 ql 8
Q AB
3 8
ql
Q BA
5 ql 8
»在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角
位移方程）：
MBA
代入（2）式可得
l
1 2
A
.
M A B iA M B A 10iA
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图
θ=1
A
B
A
θ=1
ຫໍສະໝຸດ BaiduA A
θ=1
A
B1
B
B
1
B
MAB
4i
6i l
3i
3i l
i
24.11.2020
.
MBA
2i
6i l
0 0
－i
QAB= QBA
6i l 12 i
l2
1C
l
2C
l 3EI
X1
l 6EI
X2
l
A
l 6EI
X1
l 3EI
X2
l
B
24.11.2020 令
i EI l
Δ
θA
X1
θB
X2
Δ
X1=1
1
M1
1/l
1
M2
X2=1 1/l
X1
4i
A
2i B
6i l
.
X2
2i A
4i B
6i l
8
可以将上式写成矩阵形式
M AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
2、结构独立线位移：
每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：
（1）忽略轴向力产生的轴向变形---变形后的曲杆与原直杆等长；
（2）变形后的曲杆长度与其弦等长。
上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。
2
C
D
1
C
D
A
B
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.
14
线位移数也可以用几何方法确定。 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几 何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的 几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。
一致性。
2
P A θA
C
实现位移状态可 分两步完成：
θA
1）在可动结点上附加约束，
限制其位移，在荷载作用下，
附加约束上产生附加约束力；
B 2）在附加约束上施加外力，
使结构发生与原结构一致的结
分析：
点位移。
1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及 位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；
6i
l 6i
l
A B
QAB
6i l
6i l
12i l 2
1
4
2
3
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.
9
几种不同远端支座的刚度方程
（1）远端为固定支座
MAB
A
EI l
（2）远端为固定铰支座
MAB
A
EI l
（3）远端为定向支座
MAB
A
EI
24.11.2020
l
MBA
MAB4iA MBA2iA
EAi li
sin 2 i
P
基本 未知
ui sini
几何条件
量
Ni sini P
平衡条件
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El.iAi sin2i P
P
EAi li
sin2
4
i
位移法基本作法小结:
（1）基本未知量是结点位移； （2）基本方程的实质含义是静力平衡条件； （3）建立基本方程分两步——单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整
力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件
（变形协调条件）
位移法的特点： 基本未知量—— 独立结点位移
基本体系——一组？单跨超静定梁
基本方程—— 平衡条件
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.
13
二、基本未知量的选取
1、结点角位移数： 结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
1
同理可得
.
B61iMAB31i6MBA
MAB
A
MAB
A
EI
l
B
B
MBA MBA
A31iMAB61iMBA
B61iMAB31iMBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
A B
我们的任务是要由杆端位移求 杆端力，变换上面的式子可得：
24.11.2020
体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量;
（4）由杆件的刚度方程求出杆件内力，画弯矩图。
关于刚架的结点未知量
A
P C
A
q
B
A
M AB
P A
A
M AB A
C
B
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.
5
§11-2 等截面杆件的刚度方程
一、由杆端位移求杆端弯矩
杆端力和杆端位移的正负规定
MAB
EI
①杆端转角θA、θB ，弦转角 β＝Δ/l都以顺时针为正。
B6 1iMAB 3 1iM BA l
MAB4iA MBA2iA
2iB 4iB
6i 6i
l (1) l
Q . A BQ B A 6 li A 6 li B 1 l2 i 2 7 (2 )
用力法求解单跨超静定梁
11X112X21CA 21X122X22CB
11E 1I2l 3 23E l I22 12E 12 Il1 36E l I21
2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上 的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。
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.
3
i
1 2 34 5
B B
P
B
A i
Ai ,li B
ui
B
ui sini
i B
B
Ni
选择
物N理i 条E件lAi i ui
变形条件
Ni EliAi sini
Ni
EAi li
sin i
2iB 4iB
6i 6i
l (1) l
因B = 0，代入(1)式可得
M AB
4i A
6i l
M BA
2i A
6i l
因MBA = 0，代入(1)式可得
MAB3iA 3li
Q A BQ 因B A B 6 li0 A ,Q A 6 liB B Q B 1 l2 i A 2 0 (2 )
位移法
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1
§11-1 位移法的基本概念
P
A θA
C
θA
荷载效应包括： 内力效应：M、Q、N；
位移效应：θA
B
附加
P
刚臂 A
C
A θA
C
θA
附加刚臂限制结
点位移，荷载作
B 用下附加刚臂上
产生附加力矩
24.11.2020
.
施加力偶使结点产
生的角位移，以实
B 现结点位移状态的
A
②杆端弯矩对杆端以顺时针为正
l
B
MBA
对结点或支座以逆时针为正。
MAB
A
（1）由杆端弯矩M A和 BM B引 A 起 A和 的 B
B
MBA
MBA
利用单位荷载法可求得
A E1I12MABl32MBAl13
MAB
1
El I13MAB16MBA
设 EI i
l
A31iMAB61iMBA
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MAB
4iA
2iB
6i l
mAB
MBA
2iA
4iB
6i l
mBA
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Q AB 6 li A6 l.i B 1 l2 i2 Q AB
12
§11-3 位移法的基本体系
一、超静定结构计算的总原则:
欲求超静定结构先取一个基本体系,然 后让基本体系在受力方面和变形方面与原 结构完全一样。
3i l
3i l2
0
11
二、由荷载求固端反力
mAB
Q AB Q AB
q
EI l q
EI l
mABq82l
Q BA
mBA
Q BA
mBA
ql 2 8
Q AB
5 8
ql
Q BA
3 ql 8
Q AB
3 8
ql
Q BA
5 ql 8
»在已知荷载及杆端位移的共同作用下的杆端力一般公式（转角
位移方程）：
MBA
代入（2）式可得
l
1 2
A
.
M A B iA M B A 10iA
由单位杆端位移引起的杆端力称为形常数。
单跨超静定梁简图
θ=1
A
B
A
θ=1
ຫໍສະໝຸດ BaiduA A
θ=1
A
B1
B
B
1
B
MAB
4i
6i l
3i
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MBA
2i
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0 0
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QAB= QBA
6i l 12 i
l2
1C
l
2C
l 3EI
X1
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A
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X1
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B
24.11.2020 令
i EI l
Δ
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X1
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X2
Δ
X1=1
1
M1
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1
M2
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X1
4i
A
2i B
6i l
.
X2
2i A
4i B
6i l
8
可以将上式写成矩阵形式
M AB
4i
M
BA
2i
2i 4i
2、结构独立线位移：
每个结点有两个线位移，为了减少未知量，引入与实际相符的两个假设：
（1）忽略轴向力产生的轴向变形---变形后的曲杆与原直杆等长；
（2）变形后的曲杆长度与其弦等长。
上面两个假设导致杆件变形后两个端点距离保持不变。
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C
D
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C
D
A
B
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线位移数也可以用几何方法确定。 将结构中所有刚结点和固定支座，代之以铰结点和铰支座，分析新体系的几 何构造性质，若为几何可变体系，则通过增加支座链杆使其变为无多余联系的 几何不变体系，所需增加的链杆数，即为原结构位移法计算时的线位移数。
一致性。
2
P A θA
C
实现位移状态可 分两步完成：
θA
1）在可动结点上附加约束，
限制其位移，在荷载作用下，
附加约束上产生附加约束力；
B 2）在附加约束上施加外力，
使结构发生与原结构一致的结
分析：
点位移。
1）叠加两步作用效应，约束结构与原结构的荷载特征及 位移特征完全一致，则其内力状态也完全相等；
6i
l 6i
l
A B
QAB
6i l
6i l
12i l 2
1
4
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3
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9
几种不同远端支座的刚度方程
（1）远端为固定支座
MAB
A
EI l
（2）远端为固定铰支座
MAB
A
EI l
（3）远端为定向支座
MAB
A
EI
24.11.2020
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MBA
MAB4iA MBA2iA
EAi li
sin 2 i
P
基本 未知
ui sini
几何条件
量
Ni sini P
平衡条件
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El.iAi sin2i P
P
EAi li
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4
i
位移法基本作法小结:
（1）基本未知量是结点位移； （2）基本方程的实质含义是静力平衡条件； （3）建立基本方程分两步——单元分析（拆分）求得单元刚度方程，整
力法的特点： 基本未知量——多余未知力； 基本体系——静定结构； 基本方程——位移条件
（变形协调条件）
位移法的特点： 基本未知量—— 独立结点位移
基本体系——一组？单跨超静定梁
基本方程—— 平衡条件
24.11.2020
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13
二、基本未知量的选取
1、结点角位移数： 结构上可动刚结点数即为位移法计算的结点角位移数。
1
同理可得
.
B61iMAB31i6MBA
MAB
A
MAB
A
EI
l
B
B
MBA MBA
A31iMAB61iMBA
B61iMAB31iMBA
（2）由于相对线位移引起的A和B
A
B
l
以上两过程的叠加
A3 1iMAB 6 1iMBA l
A B
我们的任务是要由杆端位移求 杆端力，变换上面的式子可得：
24.11.2020
体分析（组合）建立位移法基本方程，解方程求出基本未知量;
（4）由杆件的刚度方程求出杆件内力，画弯矩图。
关于刚架的结点未知量
A
P C
A
q
B
A
M AB
P A
A
M AB A
C
B
24.11.2020
.
5
§11-2 等截面杆件的刚度方程
一、由杆端位移求杆端弯矩
杆端力和杆端位移的正负规定
MAB
EI
①杆端转角θA、θB ，弦转角 β＝Δ/l都以顺时针为正。
B6 1iMAB 3 1iM BA l
MAB4iA MBA2iA
2iB 4iB
6i 6i
l (1) l
Q . A BQ B A 6 li A 6 li B 1 l2 i 2 7 (2 )
用力法求解单跨超静定梁
11X112X21CA 21X122X22CB
11E 1I2l 3 23E l I22 12E 12 Il1 36E l I21
2）结点位移计算方法：对比两结构可发现，附加约束上 的附加内力应等于0，按此可列出基本方程。
24.11.2020
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3
i
1 2 34 5
B B
P
B
A i
Ai ,li B
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B
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i B
B
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选择
物N理i 条E件lAi i ui
变形条件
Ni EliAi sini
Ni
EAi li
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2iB 4iB
6i 6i
l (1) l
因B = 0，代入(1)式可得
M AB
4i A
6i l
M BA
2i A
6i l
因MBA = 0，代入(1)式可得
MAB3iA 3li
Q A BQ 因B A B 6 li0 A ,Q A 6 liB B Q B 1 l2 i A 2 0 (2 )