二重积分的所有变换
21.4二重积分的变量变换
§4 二重积分的变量变换教学目的 了解二重积分的一般的变量变换公式，掌握用极坐标计算二重积分． 教学内容 二重积分的一般的变量变换公式；极坐标变换公式．(1) 基本要求：了解二重积分的一般的变量变换公式，掌握二重积分的极坐标变换．(2) 较高要求：理解二重积分的一般的变量变换公式的证明． 教学建议(1) 本节的重点是极坐标变换公式，要求学生必须熟练掌握．(2) 本节的难点是二重积分的一般的变量变换公式的证明，可要求较好学生了解． 教学程序一、二重积分的变量变换公式引理 设变换T ：()v u x x ,=，()v u y y ,=将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆，一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数()v u x x ,=，()v u y y ,=在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式()v u J ,=()()v u y x ,,∂∂≠0，()v u ,∈∆，则区域的面积()D μ=()dudv v u J ⎰⎰∆, . （5）证明 现给出()v u y y ,=在∆内分别具有二阶连续偏导数时的证明，()v u y y ,=在∆内分别具有一阶连续偏导数的证明以后给出．由于变换T 是一对一的，且()v u J ,≠0，因而T 把∆的内点变为D 的内点，所以∆的按段光滑边界曲线∆L 变换到D 时，其边界曲线D L 也是按段光滑曲线，设曲线∆L 的参数方程为u =()t u ，v =()t v ()βα≤≤t ．由于∆L 按段光滑，所以()t u '，()t v '在[]βα,上至多除去有限个第一类间断点外，在其他点上都是连续的．因为()∆=L T L D ，所以D L 的参数方程为:()()()(),,t v t u x t x x ==()()()(),,t v t u y t y ==()βα≤≤t ．若规定t 从α变β到时，对应于D L 的正向，则根据格林公式，取()()x y x Q y x P ==,,0,，有()D μ=()()dtt y t x xdy DL'=⎰⎰βα=()()()()()dt t v v y t u u y t v t u x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂βα,, （6） 另一方面，在uv 平面上()⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂L dv v y du u y v u x ,=±()()()()()dt t v v y t u u y t v t u x ⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂βα, , （7） 其中正号及负号分别由t 从α变β到时，是对应于D L 的正向或是负方向所决定．由（6）及（7）得到()D μ=±()⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂L dv v y du u yv u x ,=±()()⎰∆∂∂+∂∂L dv vyv u x du u y v u x ,,．令()()u y v u x v u P ∂∂=,,，()()v yv u x v u Q ∂∂=,,在平面uv 上对上式应用格林公式，得到()D μ=±⎰⎰∆⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂dudv v P u Q由于函数()v u y y ,=具有二阶连续偏听偏信导数，即有u v yv u y ∂∂∂=∂∂∂22，因此v Pu Q ∂∂-∂∂=()v u J ,，于是()D μ=±()⎰⎰∆dudvv u J ,．又因为()D μ总是非负的，而()v u J ,在∆上不为零且连续，故其函数值∆在上不变号，所以()D μ=()dudvv u J ⎰⎰∆,．定理21.13 设()y x f ,在有界闭区域D 上可积，变换T ：()v u x x ,=，()v u y y ,=将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域∆一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数()v u x x ,=，()v u y y ,=在∆内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式()v u J ,=()()v u y x ,,∂∂≠0，()v u ,∈∆，则()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()()()()⎰⎰∆dudvv u J v u y v u x f ,,,,．证明 用曲线网∆把分成n 个小区域i ∆，在变换T 作用下区域D 也相应地分成个n 小区域i D ，记i ∆及i D 的面积为()i ∆μ及()i D μ()n i ,,1Λ=由引理及二重积分的中值定理，有()iD μ=()dudv v u J i⎰⎰∆,=()ii v u J ,()i∆μ,其中()i i v u ,∈i ∆()n i ,,1Λ=．令x i =ξ()i i v u ,，y i =η()i i v u ,，则()i i ηξ,∈i D ．作二重积分()y x f ,的积分和σ=()()∑=n i iiiD f 1,μηξ=()()()()()∑=∆ni iiiiiiiv u J v u y v u x f 1,,,,μ,上式右边的和式是上的可积函数()()()()v u J v u y v u x f ,,,,的积分和．又由变换T 的连续性可知，当区域∆的分割的细度0→∆T 时，区域D 相应的分割的细度D T 也趋于零．因此得到()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()()()()⎰⎰∆dudvv u J v u y v u x f ,,,,．例1 求⎰⎰+-Dyx yx dxdye，其中D 是由1,0,0=+==y x y x 所围区域.解 作变换y x v y x u +=-=,即()()u v y v u x -=+=21,21,则()v u J ,=021>,⎰⎰+-Dyx yx dxdy e=⎰⎰∆⋅dudv e vu21=⎰⎰-1021du e dv v v v u=⎰⎰-1021du e dv vv v u=()421111---=-⎰e e dv e e v .例2 求抛物线mxy=2，nxy=2和直线xyα=，xyβ=所围成区域D的面积()Dμ()βα<<<<0,0nm．解D的面积()Dμ=⎰⎰Ddxdy作变换vuyvux==,2，()v u J,=4vu.()Dμ=⎰⎰Ddxdy=⎰⎰∆dudvvu4=⎰⎰βαduvudvnm4=()()333326βααβ--mn.二、用极坐标计算二重积分T :⎩⎨⎧==θθsincosryrx,πθ20,0≤≤+∞<≤r（8）定理21.14 设()y x f ,满足定理21．13的条件，且在极坐标变换（8）下，xy 平面上有界区域D 与θr 平面上区域∆对应，则成立()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()⎰⎰∆θθθrdrd r r f sin ,cos .证明 若D 为圆域(){}222,R y xy x ≤+，则∆为θr 平面上的矩形区域[][]π2,0,0⨯R ．设εD 为在圆环(){}22220,R y x y x ≤+≤<ε中除去中心角为ε的扇形A A B B ''所得的区域，则在变换（8）下，εD 对应于平面上的矩形区域ε∆=[][]επε-⨯2,0,R ．但极坐标变换（8）在εD 与ε∆之间是一对一变换，且ε∆在上函数行列式()0,>θr J ．于是由定理21．13有()⎰⎰εD dxdy y x f ,=()⎰⎰∆εθθθrdrd r r f sin ,cos ，因为()y x f ,在有界闭区域D 上有界，在上式中令0→ε即得()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()⎰⎰∆θθθrdrd r r f sin ,cos .若D 是一般的有界区域，则取足够大的0>R ，使D 包含在圆域R D =(){}222,Ry x y x ≤+内，并且在R D 上定义函数()y x f ,=()()()⎩⎨⎧∉∈D y x D y x y x f ,,0,,,， （ⅰ）若原点D O ∉,xy 平面上射线θ=常数与D 的边界至多交于两点.∆表示为()()βθαθθ≤≤≤≤,21r r r ，于是有()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()()()⎰⎰βαθθθθθ21sin ,cos r r rdr r r f d .若原点D O ∉,xy 平面上的圆r =常数与D 的边界至多交于两点．∆表示为()()2121,r r r r r ≤≤≤≤θθθ，于是有()⎰⎰Ddxdy y x f ,=()()()⎰⎰2121sin ,cos r r r rd r r f rdr θθθθθ．（ⅱ）若原点O为D的内点，D的边界方程表示为()θrr=，则∆表示为()πθθ20,0≤≤≤≤rr，于是有()⎰⎰Ddxdyyxf,=()()⎰⎰πθθθθ200sin,cosrrdrrrfd.（ⅲ）若原点O在D的边界上，则∆为()βθαθ≤≤≤≤,0rr，于是有()⎰⎰Ddxdyyxf,=()()⎰⎰βαθθθθrrdrrrfdsin,cos.例3 计算I=⎰⎰--Ddyxσ2211，其中为圆域122≤+yx.解⎰⎰--Ddyxσ2211=⎰⎰-πθ2121drrrd=[]⎰--πθ2211dr=⎰πθ2d=π2.例4 球2222Rzyx=++被圆柱面Rxyx=+22所割下部分的体积．解 V =4⎰⎰--Dd y x R σ222=4⎰⎰-2cos 022πθθR rdr r R d =334R ()⎰-23sin 1πθθd=⎪⎭⎫ ⎝⎛-322343πR .例5 计算I =()⎰⎰+-Dy xd e σ22，其中D 为圆域：222R y x ≤+解 I =⎰⎰-πθ202Rrdr re d =()21Re --π，作广义极坐标变换T :⎩⎨⎧==θθsin cos br y ar x ,πθ20,0≤≤+∞<≤r ，()abr r J =θ,，例6 求椭球体1222222≤++c z b y a x 的体积.解 V =8⎰⎰--D dxdy b y a x c 22221,广义极坐标变换V =8⎰⎰-201021πθabrdr r c d =abc π34，当R c b a ===时得到球的体积为334R π.作业 P242: 1-8。
二重积分的变量变换
则有
f ( x , y )dxdy f ( x(u, v ), y(u, v )) | J ( u, v ) |dudv .
D
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例1 求
e
D
x y x y
dxdy , 其中
y
1
D是由 x 0, y 0, x y 1 所围的区域(图21-23). 解 为了简化被积函数, 令
0
4 3 2 R r r dr R . 3 2 3
2 2
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o
2 cos
D
2
x
D
x y d
2 2
d
2 2
0
r rdr
32 16 8 3 3 2 2 cos d 0 cos d . 9 3 3 2
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例5 计算
I
D
d 1 x y
2 2
,
其中 D 为圆域: x y 1.
二、二重积分的极坐标变换
当积分区域是圆域或圆域的一部分, 或者被积函数
的形式为 f ( x 2 y 2 ) 时, 采用极坐标变换
x r cos , T : 0 r , 0 2π , y r sin ,
变换 T 的函数行列式为
(8)
往往能达到简化积分区域或被积函数的目的. 此时,
T : x x ( u , v ), y y( u , v ) 将 uv 平面由按段光滑封
闭曲线所围成的闭区域 一对一地映成 xy 平面上 的闭区域 D, 函数 x( u , v ), y( u , v ) 在 内分别具有 一阶连续偏导数且它们的函数行列式
二重积分与三重积分的坐标变换
二重积分与三重积分的坐标变换在多元积分中，二重积分和三重积分是常见且重要的概念。
而在进行积分计算时，经常需要进行坐标变换，以便更方便地求解积分。
本文将介绍二重积分和三重积分的坐标变换方法，帮助读者更好地理解和应用这些概念。
一、二重积分的坐标变换二重积分是在平面上对被积函数进行积分运算的过程。
当我们需要对一般区域进行积分时，可以通过进行坐标变换来简化积分的求解过程。
1. 极坐标变换极坐标变换是指从直角坐标系(x, y)到极坐标系(r, θ)的变换。
一般情况下，使用极坐标变换可以将边界简化为较简单的形式，从而简化积分的计算过程。
对于给定区域D，我们可以将其用极坐标表示为D={(x, y):(r, θ)}，其中x=r*cosθ，y=r*sinθ。
同时还需要考虑到变换过程中的雅可比行列式的影响，若将函数的积分表达式中的dx*dy替换为r*dr*dθ，则可以得到在极坐标系下的二重积分。
举例来说，若我们要计算函数f(x, y)在区域D内的积分，可以通过极坐标变换将二重积分转化为在极坐标系下的积分，即∬f(x,y)dxdy=∬f(r*cosθ,r*sinθ)*rdrdθ。
2. 其他坐标变换在实际应用中，除了极坐标变换外，还存在其他一些常用的坐标变换方法，如矩形坐标变换、椭圆坐标变换等。
这些方法的选择应根据具体的问题和积分区域的特点来决定。
二、三重积分的坐标变换三重积分是在空间中对被积函数进行积分运算的过程。
与二重积分类似，当需要对复杂的三维区域进行积分时，可以采用适当的坐标变换来简化计算过程。
1. 柱面坐标变换柱面坐标变换是将直角坐标系(x, y, z)转化为柱坐标系(ρ, θ, z)的过程。
在进行柱坐标变换时，需要注意到变换过程中的雅可比行列式的影响。
对于给定区域G，我们可以将其用柱面坐标表示为G={(x, y, z):(ρ, θ, z)}，其中x=ρ*cosθ，y=ρ*sinθ。
同时考虑到雅可比行列式的影响，可以通过将函数的积分表达式中的dx*dy*dz替换为ρ*dρ*dθ*dz，将三重积分转化为在柱坐标系下的积分。
二重积分变换积分次序
二重积分变换积分次序一、引言二重积分是高等数学中一个重要的概念，它在数学、物理、工程等领域有着广泛的应用。
对于复杂函数的积分问题，通过二重积分的计算方法可以大大简化问题求解的难度。
本篇文章将介绍二重积分的变换、计算实例以及应用，帮助读者更好地理解和掌握二重积分的相关知识。
二、二重积分的基本概念1.重积分的定义重积分是指对一个函数在某个几何区域内进行多次积分的过程。
设函数f(x, y)在平面直角坐标系中的一个有界区域D上连续，D的边界分别为曲线C1、C2、C3和C4，则重积分的定义为：∫∫f(x, y)dydx，其中积分区域为D。
2.重积分的性质重积分具有线性、可积性、保号性等基本性质。
此外，重积分还满足交换积分次序、累次积分与重积分的转换等性质。
3.重积分的基本公式重积分的基本公式包括：重积分换元法、重积分坐标变换法等。
这些公式为二重积分的计算提供了理论依据。
三、二重积分的变换1.积分区域变换（1）平面直角坐标系到极坐标系的变换设平面直角坐标系中的积分区域D，其边界曲线为C1和C2。
通过极坐标变换，可以将平面直角坐标系下的二重积分转化为极坐标系下的二重积分。
极坐标变换公式为：x = r*cosθ，y = r*sinθ（2）柱面坐标系到直角坐标系的变换设柱面坐标系中的积分区域D，其边界曲线为C1、C2和C3。
通过柱面坐标变换，可以将柱面坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分。
柱面坐标变换公式为：x = r*cosθ，y = r*sinθ，z = r（3）球面坐标系到直角坐标系的变换设球面坐标系中的积分区域D，其边界曲线为C1、C2和C3。
通过球面坐标变换，可以将球面坐标系下的二重积分转化为直角坐标系下的二重积分。
球面坐标变换公式为：x = r*cosθ，y = r*sinθ，z = r*sinθ2.积分顺序变换（1）交换积分次序的原理根据重积分的线性性质，可以交换积分次序，即将原积分顺序颠倒，从而简化积分计算。
数学分析(下)21-4二重积分的变量变换
§4二重积分的变量变换本节将介绍二重积分的变量变换公式, 并用格林公式加以证明. 特别对常用的极坐标变换方法作了详细的讨论.一、二重积分的变量变换公式二、二重积分的极坐标变换三、二重积分的广义极坐标变换返回一、二重积分的变量变换公式在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设()f x [,]a b ()x t j =t a b 在区间上连续, 当从变到时严格单调地从a 变到b , 且()t j 连续可导, 则()d (())()d .(1)b a f x x f t t t b a j j ¢=òòa b <()0t j ¢>[,],[,],X a b Y a b ==当(即)时, 记则1(),().X Y Y X j j -==利用这些记号, 公式(1)又可写成1()()d (())()d .(2)X X f x x f t t t j j j -¢=òòa b >()0t j ¢<当(即)时, (1)式可写成1()()d (())()d .(3)X X f x x f t t t j j j -¢=-òò故当()t j 为严格单调且连续可微时, (2)式和(3)式可统一写成如下的形式:1()()d (())|()|d .(4)X X f x x f t t t j j j -¢=òò下面要把公式(4)推广到二重积分的场合. 为此先给出下面的引理.引理设变换:(,),(,)==将uv平面T x x u v y y u v(,)y u v D 证下面给出当在内具有二阶连续偏导数时的证明. ( 注: 对(,)y u v 具有一阶连续偏导数条件下的一般下的一般证明证明,将在本章将在本章§§9 中给出. ) (,)0,J u v ¹D 由于T 是一对一变换, 且因而T 把的D L D 内点变为D 的内点, 所以的按段光滑边界曲线D L 也变换为D 的按段光滑按段光滑边界曲线边界曲线. 设曲线L D 的参数方程为(),()().u u t v v t t a b ==££L D (),()u t v t ¢¢[,]a b 由于按段光滑, 因此在上至多除去有限个第一类间断点外, 在其他的点上都连续. 又另一方面, 在uv平面上y y ¶¶()(,)d d .D J u v u v m D=±òò()D m (,)J u v D 又因为总是非负的, 而在上不为零且连续, 故其函数值在D 上不变号, 所以()|(,)|d d .D J u v u v m D=òò定理21.13设(,)f x y 在有界闭区域D 上可积, 变换:(,),(,)T x x u v y y u v ==将uv 平面由按段光滑平面由按段光滑封封闭曲线所围成的闭区域D 一对一地映成xy 平面上(,),(,)x u v y u v D 的闭区域D , 函数在内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式加强条件下,由引理及二重积分中值定理, 有n åx y -2123-图1D11O 2124-图1Du =v=-111e e u--D2y=图2125-u()12121212,,.y t xy u x t u y t u -====即证令则二、二重积分的极坐标变换容易知道, 极坐标变换T 把r q 平面上的矩形[0,]R ´此对应不是一对一的,例如,xy 平面上原点(0,0)O 于r q 平面上两条直线段CD 和EF (图21-26). 又当0r =(,)0,J r q =时, 因此不满足因此不满足定理定理21.13 的条件.但是仍然有下面的结论.222:.D x y R +£变换成xy 平面上的圆域[0,2]p 但r q 0r =与平面上直线相对相对应应,x 轴上线段对应AA ¢21.平面上的有界闭域OyB ¢A BeD e(a)OqeFE(,)d d (cos ,sin )d d .(9)Df x y x y f r r r r q q q D =òòòò222,[0,][0,2].D x y R R p 为一圆:则+£D =´证若BB A A ¢¢e 为的扇形后所得的区域(图21-26(a )),则( 图21-26 (b ) ). 又因在D e e D 与之间是一一对应的设{}2222(,)|D x y x y Re e £+£为圆环除去中心角在变换(8)下, D e 对应于[,][0,2],R e e p e D =´-且上(,)0,J r q >于是由定理21.13, 有Dòòòòòòf r r r r(cos,sin)d dq q q(,),(,),(,)0,(,)\.R f x y x y D F x y x y D D Îì=íÎîR D 在中函数F 至多在有限条按段光滑曲线上至多在有限条按段光滑曲线上间断间断,因此因此由前述得到由前述得到(,)d d (cos ,sin )d d ,RRD F x y x y F r r r r q q q D =òòòòR D r q [0,][0,2].R p ´其中为平面上矩形区域由函数(,)F x y 的定义, (9)式对一般的D 也成立.R D 上定义函数并且在由定理21.14 看到, 用极坐标变换计算二重积分时, 除变量作相应的替换外, 还须把“面积微元”d d x y 换成d d .r r q 下面介绍二重积分在极坐标系下如何化为累次积分来计算.12()(),,r r r q q a q b ££££D r q q 1.常用的是将分解为平面中的型区域. ,O D Ï(i) 若原点则型区域型区域必可表示成必可表示成(图21-27) q 于是有r D0(),02.r r q q p ££££Dab()r r q =ODq r r =(iii)若原点在D 的边界上(图21-28(b)), 则为:DD() r rq12G 1x y +=1G 0x y +=y(a)13D 4D 1D 2D (b)π1ìüìüπ1例5计算2222x y z R ++£22x y Rx +=例6求球体被圆柱面2131-R2132-图cos r R =D积. 在第一卦限内的立体是一个曲顶柱体, 其底为例7计算22()ed ,x y DI s -+=òò其中D 为圆域:22x y +£2.R 解利用极坐标变换, 由公式(12),容易求得2220d ed (1e).Rr R I r r pq p --==-òò若不用极坐标变换, 而直接在直角坐标系下化为累次积分计算, 则会遇到无法算出2ed y y -ò的难的难题题.三、二重积分的广义极坐标变换里就不再赘述了.为底的曲顶柱体, 所以作业P254：2（1）（3）；3（3）；4（2）；6（2）。
二重积分变换次序
二重积分变换次序摘要：一、二重积分基本概念1.二重积分的定义2.二重积分的性质二、二重积分变换次序1.坐标变换对二重积分的影响2.常用的二重积分变换次序2.1 先积xy，再积yx2.2 先积y，再积x2.3 先积x，再积y三、二重积分变换次序的应用1.实际问题中的例子2.变换次序对结果的影响正文：一、二重积分基本概念二重积分是数学中一种重要的积分形式，它是对二维函数进行积分的一种方法。
给定一个定义域为R的函数f(x, y)，我们可以通过分割坐标轴，将二重积分转化为两个一重积分进行求解。
二重积分的性质包括线性性质、保号性、可积性等。
这些性质为我们研究二重积分提供了理论依据。
二、二重积分变换次序在进行二重积分计算时，我们常常需要对被积函数进行坐标变换，以简化计算过程。
变换次序的不同，可能会导致最终的结果不同。
下面我们介绍几种常用的二重积分变换次序。
2.1 先积xy，再积yx这种变换次序适用于被积函数中xy的指数均为1的情况。
例如，对于函数f(x, y) = xy，我们先对x和y分别进行积分，再将两个积分结果相乘，即可得到最终结果。
2.2 先积y，再积x这种变换次序适用于被积函数中y的指数为1，x的指数大于1的情况。
例如，对于函数f(x, y) = xy，我们先对y进行积分，再对x进行积分，最后将两个积分结果相乘，即可得到最终结果。
2.3 先积x，再积y这种变换次序适用于被积函数中x的指数为1，y的指数大于1的情况。
例如，对于函数f(x, y) = yx，我们先对x进行积分，再对y进行积分，最后将两个积分结果相乘，即可得到最终结果。
三、二重积分变换次序的应用在实际问题中，二重积分的变换次序往往需要根据具体情况进行选择。
例如，在求解曲面的面积时，我们通常选择先积xy，再积yx的次序，因为这样可以简化计算过程。
另外，在某些情况下，变换次序的不同可能导致最终结果的不同。
数学分析21.4二重积分的变量变换(含习题及参考答案)
第二十一章 重积分 4二重积分的变量变换一、二重积分的变量变换公式定积分的变量变换：设f(x) 在[a,b]上连续，x=φ(t)当t 从α变到β时，严格单调地从a 变到b ，且φ(t)连续可导，则⎰b a dx x f )(=⎰'βαϕϕdt t t f )())((. 当α<β(即φ’(t)>0)时，记X=[a,b], Y=[α,β]，则X=φ(Y), Y=φ-1(X)，则 上面的公式可以写成⎰X dx x f )(=⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ.当α>β(即φ’(t)<0)时，又可改写成⎰X dx x f )(=-⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ，即当φ(t)严格单调且连续可微时，有⎰X dx x f )(=⎰-')(1)())((X dt t t f ϕϕϕ.引理：设变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面上由按段光滑封闭曲线所围的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式 J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则区域D 的面积μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(. 证：当y(u,v)在△内具有二阶连续偏导数时， (后面章节证明只具有一阶连续导数的情况)∵T 为一对一变换, 且J(u,v)≠0, ∴T 把△的内点变成D 的内点， △的按段光滑边界曲线L △变换到D 时，其边界曲线L D 也按段光滑. 设曲线L △的参数方程为u=u(t), v=v(t) (α≤t ≤β), 由L △光滑知， u ’(t), v ’(t)在[α,β]上至多除去有限个第一类间断点外，在其他点上连续. ∵L D =T(L △), ∴x=x(t)=x(u(t),v(t)), y=y(t)=y(u(t),v(t)) (α≤t ≤β). 若规定t 从α变到β时，对应于L D 的正向，则根据格林公式，取P(x,y)=0, Q(x,y)=x, 有 μ(D)=⎰DL xdy =⎰'βαdt t y t x )()( =⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂βαdt t v v y t u u y t v t u x )()())(),((, 又在uv 平面上，⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂L dv v y du u y v u x ),(=⎰⎥⎦⎤⎢⎣⎡'∂∂+'∂∂±βαdt t v v y t u u y t v t u x )()())(),((, 其中t 从α变到β时，对应于L △的方向决定了上式的符号性质. ∴μ(D)=⎰∆⎥⎦⎤⎢⎣⎡∂∂+∂∂±L dv v y du uy v u x ),(=⎰∆∂∂+∂∂±L dv v y v u x du u y v u x ),(),(. 令P(u,v)=x(u,v)u y ∂∂, Q(u,v)=x(u,v)vy∂∂, 在uv 平面上应用格林公式，得 μ(D)=⎰⎰∆⎪⎭⎫⎝⎛∂∂-∂∂±dudv v P u Q , 又y(u,v)具有二阶连续偏导数，即有 u v y v u y ∂∂∂=∂∂∂22，∴v P u Q ∂∂-∂∂=J(u,v). ∴μ(D)=⎰⎰∆±dudv v u J ),(. 又μ(D)非负，而J(u,v)在△上不为零且连续，即其函数值在△上不变号， ∴μ(D)=⎰⎰∆dudv v u J ),(.定理21.13：设f(x,y)在有界闭域D 上可积，变换T ：x=x(u,v), y=y(u,v)将uv 平面由按段光滑封闭曲线所围成的闭区域△一对一地映成xy 平面上的闭区域D ，函数x(u,v), y(u,v)在△内分别具有一阶连续偏导数且它们的函数行列式J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂≠0, (u,v)∈△,则 ⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆dudv v u J v u y v u x f ),()),(),,((.证：用曲线网把△分成n 个小区域△i ,在变换T 作用下，区域D 也相应地被分成n 个小区域D i . 记△i 及D i 的面积为μ(△i )及μ(D i ) (i=1,2,…,n).由引理及二重积分中值定理，有μ(D i )=⎰⎰∆idudv v u J ),(=|J(u i ,v i )|μ(△i ),其中(u i ,v i )∈△i (i=1,2,…,n). 令ξi =x(u i ,v i ), ηi =y(u i ,v i ), 则 (ξi ,ηi )∈D i (i=1,2,…,n). 作二重积分⎰⎰Ddxdy y x f ),(的积分和，则得△上f(x(u,v),y(u,v))|J(u,v)|的积分和，即σ=)(),(1i ni i i D f μηξ∑==)(),()),(),,((1i ni i i i i i i v u J v u y v u x f ∆∑=μ. 由变换T 连续知，当区域△的分割T △：{△1,△2,…,△n }的细度∆T →0时， 区域D 相应的分割T D ：{D 1,D 2,…,D n }的细度D T →0. ∴⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆dudv v u J v u y v u x f ),()),(),,((.例1：求⎰⎰+-Dyx y x dxdy e，其中D 是由x=0, y=0, x+y=1所围区域.解：令u=x-y, v=x+y, 则得变换T ：x=21(u+v), y=21(v-u), 且J(u,v)=),(),(v u y x ∂∂=v y uyv x ux∂∂∂∂∂∂∂∂=21212121- =21>0. 在变换T 的作用下，得 区域D={(x,y)|x ≥0, y ≥0, x+y ≤1}的原象△={(u,v)|-v ≤u ≤v, 0≤v ≤1}, ∴⎰⎰+-Dyx y x dxdy e=⎰⎰∆⋅dudv e vu21=⎰⎰-v v v udu e dv 1021=⎰--101)(21vdv e e =)(411--e e .例2：求抛物线y 2=mx, y 2=nx 和直线y=ax, y=bx 所围区域D 的面积μ(D) (0<m<n, 0<a<b). 解：D={(x,y)|2b m ≤x ≤2a n ,ax ≤y ≤bx,nx ≤y 2≤mx}.作变换x=2v u , y=v u ,把D 对应到uv 平面上的△=[m,n]×[a,b]且J(u,v)=232121vu vv uv--=4v u >0. ∴μ(D)=⎰⎰Ddxdy =⎰⎰∆dudv v u4=⎰⎰n m b a du v u dv 4=⎰-b a dv v m n 42221 =3333226))((b a a b m n --.二、用极坐标计算二重积分定理21.14：设f(x,y)满足定理21.13的条件，且有极坐标变换 T ：⎩⎨⎧==θθsin cos r y r x , 0≤r<+∞, 0≤θ≤2π, 则J(r,θ)=θθθθcos sin sin cos r r -=r>0.xy 平面上的有界闭域D 与r θ平面上区域△对应，则成立⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.证：若D 为圆域{(x,y)|x 2+y 2≤R 2}, 则△为r θ平面上的区域[0,R]×[0,2π]. 设D ε为在圆环{(x,y)|0<ε2≤x 2+y 2≤R 2}中除去圆心角为ε的扇形所得 区域BB ’A ’A(如图1)，则在变换T 下，D ε对应r θ平面上的矩形区域 △ε=[ε,R] ×[0,2π-ε](如图2). T 在D ε与△ε之间为一一变换，且J(r,θ)>0. 由定理21.13，有⎰⎰εD dxdy y x f ),(=⎰⎰∆εθθθrdrd r r f )sin ,cos (.∵f(x,y)在有界闭域D 上有界，令ε→0即得⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.若D 是一般的有界闭区域，则取足够大的R>0，使D 包含在圆域D R ={(x,y)|x 2+y 2≤R 2}内, 并在D R 上定义函数： F(x,y)=⎩⎨⎧∉∈D y x ，Dy x ，y x f ),(0),(),( ,F 在D R 内至多在有限条按段光滑曲线上间断， ∴⎰⎰RD dxdy y x F ),(=⎰⎰∆Rrdrd r r F θθθ)sin ,cos (, 其中△R 为r θ平面上的矩形区域[0,R] ×[0,2π]. 由F 的定义即得：⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰∆θθθrdrd r r f )sin ,cos (.二重积分在极坐标下化为累次积分.1、若原点O ∉D ，且xy 平面上射线θ=常数与D 的边界至多交于两点(如图1)，则△必可表示为r 1(θ)≤r ≤r 2(θ), α≤θ≤β, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)()(21)sin ,cos (θθβαθθθr r rdr r r f d .同理，若xy 平面上的圆r=常数与D 的边界至多交于两点(如图2)，则△必可表示为θ1(r)≤θ≤θ2(r),r 1≤r ≤r 2, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)()(2121)sin ,cos (r r r r d r r f rdr θθθθθ.(2)若原点为D 的内点(如图3)，D 的边界的极坐标方程为r=r(θ)，则 △必可表示为0≤r ≤r(θ),0≤θ≤2π, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)(020)sin ,cos (θπθθθr rdr r r f d .(3)若原点O 在D 的边界上(如图4)，则 △可表示为0≤r ≤r(θ),α≤θ≤β, 于是有⎰⎰Ddxdy y x f ),(=⎰⎰)(0)sin ,cos (θβαθθθr rdr r r f d .例3：计算I=⎰⎰--Dy x d 221σ, 其中D 为圆域x 2+y 2≤1.解：∵原点是D 的内点， ∴⎰⎰--Dy x d 221σ=⎰⎰--1222220sin cos 1dr r r rd θθθπ=⎰πθ20d =2π.例4：求球体x 2+y 2+z 2≤R 2被圆柱面x 2+y 2=Rx 所割下部分的体积(称为维维安尼体)解：由对称性，求出第一卦限内的部分体积，就能得到所求立体体积. 第一卦限内底为D={(x,y)|y ≥0, x 2+y 2≤Rx}, 曲顶方程：z=222y x R --. ∴V=4⎰⎰--Dd y x R σ222=4⎰⎰-θπθcos 02220R drr R r d=⎰-2033)sin 1(34πθθd R =)322(343-πR .例5：计算I=⎰⎰+-Dy x d eσ)(22，其中D 为圆域x 2+y 2≤R 2.解：I=⎰⎰+-Dy x d e σ)(22=⎰⎰-Rr dr re d 0202πθ=⎰--πθ20)1(212d e R =)1(2R e --π.注：与极坐标类似的，可作以下广义极坐标变换： T ：⎩⎨⎧==θθsin cos br y ar x , 0≤r<+∞, 0≤θ≤2π，则J(r,θ)=θθθθcos sin sin cos br b ar a -=abr>0.例6：求椭球体222222cz b y a x ++≤1的体积.解：第一卦限部分是以z=c 22221by a x --为曲顶，D={(x,y)|0≤y ≤b 221ax -, 0≤x ≤a}为底的曲顶柱体，由对称性得：V=8c ⎰⎰--Dd by a x σ22221=8c ⎰⎰-102201abrdr r d πθ=38abc ⎰20πθd =34πabc.注：当a=b=c=R 时，得到球体的体积公式：34πR 3.习题1、对⎰⎰Dd y x f σ),(进行极坐标变换并写出变换后不同顺序的累次积分：(1)当D 为由不等式a 2≤x 2+y 2≤b 2, y ≥0所确定的区域； (2)D={(x,y)|x 2+y 2≤y, x ≥0}； (3)D={(x,y)|0≤x ≤1, 0<x+y ≤1}.解：(1)当D 为由不等式a 2≤x 2+y 2≤b 2, y ≥0所确定的区域时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰b adr r r rf d )sin ,cos (0θθθπ=⎰⎰πθθθ0)sin ,cos (d r r rf dr b a.(2)当D={(x,y)|x 2+y 2≤y, x ≥0}时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰θπθθθsin 20)sin ,cos (adr r r rf d =⎰⎰2arcsin 1)sin ,cos (πθθθrd r r rf dr .(3)当D={(x,y)|0≤x ≤1, 0<x+y ≤1}时，⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰-θπθθθsec 004)cos ,cos (dr r r rf d +⎰⎰+θθπθθθsin cos 1020)cos ,cos (drr r rf d=⎰⎰-24220)sin ,cos (ππθθθd r r rf dr +⎰⎰--rd r r rf dr 21arccos44122)sin ,cos (ππθθθ+⎰⎰+221arccos4122)sin ,cos (ππθθθrd r r rf dr +⎰⎰--r d r r rf dr 1arccos421)sin ,cos (πθθθ.2、用极坐标计算下列二重积分：(1)⎰⎰+Dd y x σ22sin , 其中D={(x,y)|π2≤x 2+y 2≤4π2}；(2)⎰⎰+Dd y x σ)(, 其中D={(x,y)|x 2+y 2≤x+y}；(3)⎰⎰Dd xy σ, 其中D 为圆域x 2+y 2≤a 2；(4)⎰⎰+'Dd y x f σ)(22, 其中D 为圆域x 2+y 2≤R 2.解：(1)当D={(x,y)|π2≤x 2+y 2≤4π2}时，⎰⎰+Dd y x σ22sin =⎰⎰πππθ220sin rdr r d =⎰-πθπ203d =-6π2.(2)当D={(x,y)|x 2+y 2≤x+y}时，应用极坐标变换后积分区域为： D ’={(r,θ)|-45π≤θ≤-4π, r ≤cos θ+sin θ}，即有 ⎰⎰+Dd y x σ)(=⎰⎰+--+θθππθθθsin cos 02445)sin (cos dr r d =⎰--+4454)sin (cos 31ππθθθd =2π.(3)当D 为圆域x 2+y 2≤a 2时，根据D 的对称性，有⎰⎰Dd xy σ=4⎰⎰adr r d 032sin cos θθθπ=θθπd a ⎰2042sin 2=24a .(4)当D 为圆域x 2+y 2≤R 2时，有⎰⎰+'Dd y x f σ)(22=⎰⎰'πθ2020)(d r f r dr R =π⎰'Rdr r f 022)(=π[f(R 2)-f(0)].3、在下列积分中引入新变量u,v 后，试将它化为累次积分. (1)⎰⎰--xx dy y x f dx 2120),(, 若u=x+y, v=x-y ；(2)⎰⎰D d y x f σ),(, 其中D={(x,y)|x +y ≤a }, 若x=ucos 4v, y=usin 4v ；(3)⎰⎰Dd y x f σ),(, 其中D={(x,y)|x+y ≤a, x ≥0, y ≥0}, 若x+y=u, y=uv.解：(1)若u=x+y, v=x-y ，则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 又变换后的区域D ’={(u,v)|1≤u ≤2, -u ≤v ≤4-u}, 如图：∴⎰⎰--xx dy y x f dx 2120),(=⎰⎰---+uu dv vu v u f du 421)2,2(21=⎢⎣⎡-+⎰⎰---212)2,2(21v du v u v u f dv+⎰⎰-+-2121)2,2(du v u v u f dv +⎥⎦⎤-+⎰⎰-v du v u v u f dv 4132)2,2(. (2)若x=ucos 4v, y=usin 4v, 则u=(x +y )2, v=arctan 41⎪⎭⎫⎝⎛x y ,∴变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤a, 0≤v ≤2π},又J(u,v)=vv u v v v u v cos sin 4sin sin cos 4cos 3434-=4usin 3vcos 3v>0，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰2044330)sin ,cos (cos sin 4πdvv u v u vf v u du a=⎰⎰adu v u v u vf v u dv 0443320)sin ,cos (cos sin 4π. (3)若x+y=u, y=uv, 即x=u(1-v)，则u=x+y, v=yx y +, ∴变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤a, 0≤v ≤1}, 又J(u,v)=uvu v --1=u ，∴⎰⎰Dd y x f σ),(=⎰⎰-100),(dv uv uv u uf du a=⎰⎰-adu uv uv u uf dv 010),(.4、试作适当变换，计算下列积分.(1)⎰⎰-+Dd y x y x σ)sin()(, D={(x,y)|0≤x+y ≤π, 0≤x-y ≤π}；(2)⎰⎰+Dyx y d eσ, 其中D={(x,y)|x+y ≤1, x ≥0, y ≥0}.解：(1)令u=x+y, v=x-y ，则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 又变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤π, 0≤v ≤π},∴⎰⎰-+Dd y x y x σ)sin()(=⎰⎰ππ00sin 21vdv u du =⎰π0udu =22π.(2)令u=x+y, v=y ，则x=u-v, y=v, J(u,v)=111-= 1>0.又变换后的区域D ’={(u,v)|0≤u ≤1, 0≤v ≤u}, ∴⎰⎰+Dyx yd eσ=⎰⎰uuv dv e du 010=⎰-1)1(du e u =21-e .5、求由下列曲面所围立体V 的体积：(1)V 是由z=x 2+y 2和z=x+y 所围的立体；(2)V 是由曲面z 2=42x +92y 和2z=42x +92y 所围的立体.解：(1)由z=x 2+y 2和z=x+y 得x 2+y 2=x+y ，∴积分区域D ：221⎪⎭⎫ ⎝⎛-x +221⎪⎭⎫⎝⎛-y ≤21.作变换T ：x=21+rcos θ, y=21+rsin θ，得V=()[]⎰⎰+-+Dd y x y x σ22)(=⎰⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-22022021rdr r d πθ=⎰πθ20161d =8π. (2)由z 2=2z, 得z 1=0, z 2=2. 所得立体V 在xoy 平面上的投影为42x +92y ≤4，立体顶面为z=9422y x +, 底面为z=⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+942122y x , 作变换x=2rcos θ, y=3rsin θ，则J(r,θ)=θθθθcos 3sin 3sin 2cos 2r r -=6r>0.∴V=⎰⎰⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+D d y x y x σ9421942222=⎰⎰⎪⎪⎭⎫⎝⎛-2022026rdr r r d πθ=4⎰πθ20d =8π.6、求由下列曲线所围的平面图形面积： (1)x+y=a, x+y=b, y=αx, y=βx (0<a<b, 0<α<β)；(2)22222⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+b y a x =x 2+y 2； (3)(x 2+y 2)2=2a 2(x 2-y 2) (x 2+y 2≥a 2). 解：(1)令u=x+y, v=xy, 则x=v u +1, y=vuv +1, 变换后的区域D ’={(u,v)|a ≤u ≤b, α≤v ≤β},又J(r,θ)=22)1(1)1(11v u vv v uv+++-+=2)1(v u +>0. ∴曲线所围的平面图形面积 S D =⎰⎰Dd σ=⎰⎰+ba du v u dv 2)1(βα=⎰+-βαdv v a b 222)1(12=)1)(1(2))((22βααβ++--a b .(2)令x=arcos θ, y=brcos θ，则方程变换为r 4=a 2r 2cos 2θ+b 2r 2sin 2θ, 即 r=θθ2222sin cos b a +，又J=abr>0，∴曲线所围的平面图形面积 S D =⎰⎰+θθπθ2222sin cos 020b a rdr d ab =⎰+πθθθ202222)sin cos (2d b a ab =2)(22πb a ab +. (3)x=rcos θ, y=rcos θ，则方程变换为r 4=2a 2r 2cos2θ, 即r=θ2cos 2a . 当cos2θ=21, 即θ=±6π时，r=a. 由图形的对称性可知 S D =4⎰⎰θπθ2cos 260a a rdr d =2a2⎰-60)12cos 2(πθθd =(3-3π)a 2.7、设f(x,y)为连续函数，且f(x,y)=f(y,x). 证明：⎰⎰xdy y x f dx 010),(=⎰⎰--xdy y x f dx 010)1,1(.证：作变换：x=1-u, y=1-v, 则J(u,v)=101--=1>0, 又f(x,y)=f(y,x)，∴⎰⎰xdy y x f dx 010),(=⎰⎰--vdu v u f dv 010)1,1(=⎰⎰--vdu u v f dv 010)1,1(=⎰⎰--xdy y x f dx 010)1,1(.8、试作适当变换，把下列二重积分化为单重积分： (1)⎰⎰+D d y x f σ)(22, D 为圆域x 2+y 2≤1；(2)⎰⎰+Dd y x f σ)(22, D={(x,y)||y|≤|x|, |x|≤1}；(3)⎰⎰+Dd y x f σ)(, D={(x,y)||x|+|y|≤1}；(4)⎰⎰Dd xy f σ)(, 其中D={(x,y)|x ≤y ≤4x, 1≤xy ≤2}.解：(1)作极坐标变换得：⎰⎰+D d y x f σ)(22=⎰⎰1020)(rdr r f d πθ=2π⎰10)(rdr r f .(2)如图，根据区域D 和被积函数的对称性知， 积分值是第一象限部分D 1上积分的4倍. D 1={(x,y)|y ≤x ≤1, y ≥0}，作极坐标变换得：⎰⎰+1)(22D d y x f σ=⎰⎰4010)(πθrd r f dr +⎰⎰41arccos21)(πθrrd r f dr=⎰1)(4rdr r f π+⎰⎪⎭⎫ ⎝⎛-21)(1arccos 4rdr r f r π=⎰20)(4rdr r f π-⎰21)(1arccos dr r f r r . ∴⎰⎰+Dd y x f σ)(22=π⎰20)(rdr r f -4⎰21)(1arccos dr r f rr .(3)令u=x+y, v=x-y, 则x=2v u +, y=2vu -, J(u,v)=21212121-=-21<0. 原积分区域变换为：D ’={(u,v)|-1≤u ≤1, -1≤v ≤1}. ∴⎰⎰+Dd y x f σ)(=⎰⎰--1111)(21dv u f du =⎰-11)(du u f . (4)令u=xy, v=x y, 则x=v u , y=uv , J(u,v)=vuuv v uv vu 212121121-=v 21>0.原积分区域变换为：D ’={(u,v)|1≤u ≤2, 1≤v ≤4}. ∴⎰⎰Dd xy f σ)(=⎰⎰41211)(21dv vu f du =ln2⎰21)(du u f .。
二重积分变换积分次序
二重积分变换积分次序摘要：一、引言二、二重积分的基本概念1.单重积分2.二重积分的定义三、二重积分的变换公式1.变量替换2.极坐标变换3.柱坐标变换4.球坐标变换四、积分次序的确定1.面积分与体积分的区别2.雅可比行列式与积分次序的关系五、实例分析1.二维平面上的二重积分2.三维空间中的二重积分六、二重积分的应用1.求解面积或体积2.物理、工程领域的应用七、总结与展望正文：一、引言二重积分是微积分中的一个重要概念，它在数学、物理、工程等领域具有广泛的应用。
二重积分变换积分次序是解决实际问题中的关键步骤，通过对积分次序的合理变换，可以使原本复杂的积分问题变得易于求解。
本篇文章将详细介绍二重积分变换积分次序的方法和步骤。
二、二重积分的基本概念1.单重积分单重积分是指对一个一元函数在某个区间上进行积分。
它可以理解为求解该函数在区间上的累积量。
单重积分包括两类：黎曼积分和勒让德积分。
2.二重积分的定义二重积分是对一个二元函数在某个区域上进行积分。
它可以理解为求解该函数在区域上的累积量。
二重积分有两种常见的定义方式：面积分和体积分。
三、二重积分的变换公式1.变量替换在求解二重积分时，变量替换是一种常用的方法。
通过合适的变量替换，可以将复杂的积分问题转化为易于求解的形式。
例如，在二维平面上的单位圆上求解二重积分，可以通过变量替换将问题转化为求解单位圆上的单重积分。
2.极坐标变换在求解二重积分时，极坐标变换也是一种常用的方法。
通过极坐标变换，可以将笛卡尔坐标系下的复杂区域转化为极坐标系下的简单区域，从而简化积分问题。
例如，在求解三维空间中的二重积分时，可以通过极坐标变换将问题转化为求解极坐标系下的单重积分。
3.柱坐标变换柱坐标变换是将三维空间中的问题转化为二维平面上的问题，从而简化积分问题。
例如，在求解三维空间中的二重积分时，可以通过柱坐标变换将问题转化为求解二维平面上的单重积分。
4.球坐标变换球坐标变换是将三维空间中的问题转化为球坐标系下的问题，从而简化积分问题。
二重积分的变量变换.
于是,
f (ax by)dxdy
f (u)dudv
(D : u2
v2
1)
D
11
du
1u 2 1u 2
D
f (u)dv 211 f (u)
1 u2du.
练习P338 第7题(1)
证明: 区域 R: x y 1 x 是由四条直线 y 1,
x y 1, x y 1, x y 1 所围成.
解 令 u y x, v y x,
则 x vu, y vu.
2
2
D D, 即 x 0 u v;
x y2
D
o
x
v
v2
y 0 u v; x y 2 v 2.
u v D u v
o
u
J
(x, y) (u, v )
1 2 1
1
2 1
1, 2
xvu, yvu
2
2
v
v2
22
变换T : x r cos , y r sin y r .P(x,y)
其中r为极径，为OP与x轴正向的夹角
0 r ,0 2
O
x
r. 此时J (r, ) (x, y) cos r sin
(r, ) sin r cos
r 于是,有 f (x, y)dxdy f (r cos , r sin ) drd.
v
(u, v)
v(x, y),
求J有两种办法
(i)先求出x x(u,v), y y(u,v)，再求J
(ii)先求出
(u, (x,
v) y)
,
再求J＝
1 (u,
v)
(x, y)
(3)在变换下确定u,v的范围 D ;
二重积分的所有变换
ax
.
y 5x
例4 计算二重积分 (x6,y其)d中xdy
D
D是由三条线 yx,y所5x围,x成1 的区域.
yx
x 1
解 易知积分区域可表为
D :0x 1 ,xy 5 x
于是
1 5x
(x6y)dxdy dx (x6y)dy
D
0x
1(xy3y2)
0
5x x
dx
176x2dx 76.
0
3
y
D1:00yx122x2, D2:02yx822x2 将 D D 1D 2视为Y–型区域 , 则
x2 y2 8
2
y
1 2
x2
D1
D2
o 22 2 x
D :
2yx 8y2 0y2
2
8y2
ID f(x,y)dxdy 0 d y 2y f (x,y)dx
.
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例8. 计算I xln y ( 1y2)dxdy,其中D 由 D
exydxdy( 1exdx)( 2eydy)ex1ey2
0
1
01
D
(e1)(e2e)e(e1)2
或先积 y再积 x
exydxdy
1
dx
2exydy
01
e1 xy
0
2 1
dx
D
1(ex2
0
ex1)dx
(ex2
ex1)
1 0
(e3 e2)(e2 e) e(e1)2
.
例3 计算二重积分 x y.d其x d中y 积分区域 分 D
k
k
r rk x
域的面积
k 1 2(rk rk)2 k12rk2k
二重积分的变换.
02
d
( )
0
f
(r cos ,
r sin ) r
dr.
极坐标系下区域的面积 rdrd .
D
例1 将 f ( x, y) d 化为在极坐标系下的二次积分。
D
y
1）
2
x2 y2 4
D
o
2x
2）
2
y
2
x2 y2 4
D
o
2x
3）
2
y
2
x2 y2 4 4）
y
x2 y2 4x
D
o
D 可表示为
0 , 0 r 2.
2
f ( x, y) d
D
f (r cos , r sin ) r drd
D
0
d
2
0
f
(r
cos
,
r sin ) r
dr.
y
2
x2 y2 4
D
o
2x
r2 o 2A
3）在极坐标系中，闭区域 D 可表示为
0 2 , 0 r 2. 2
f ( x, y) d
极坐标系下二重积分的计算
一、极坐标系下二重积分的一般公式
1、面积元素
d r drd . 或 dxdy r drd .
r ri ri r ri
2、一般公式
f ( x, y)dxdy
o
D
f (r cos , r sin )rdrd .
D
i i
i D
i A
二、极坐标系下二重积分化为累次积分的
4
即( ex2dx)2 ,
0
4
所求广义积分
ex2 dx
二重积分的坐标变换
r = ϕ1 (θ)
r = ϕ2 (θ)
α ≤θ ≤ β,
D
ϕ 1 (θ ) ≤ r ≤ ϕ 2 (θ ).
o
β
α
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
A
= ∫ dθ ∫
α
β
ϕ 2 (θ )
ϕ1 (θ )
f (r cosθ , r sinθ )rdr.
2. 微元变换： dσ = dxdy = rdrdθ 微元变换：
3. 区域变换： Dxy → Drθ 区域变换：
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ .
D D
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二重积分化为二次积分的公式: 型区域 二重积分化为二次积分的公式 θ-型区域
结束
3. 原点在区域的内部 区域特征如图 π 0 ≤ θ ≤ 2π, 0 ≤ r ≤ ϕ (θ ).
r = ϕ (θ )
∫∫ f ( r cosθ , r sinθ )rdrdθ
D
D
o
2π
A
= ∫ dθ ∫
0
ϕ (θ )
0
f ( r cosθ , r sinθ )rdr .
极坐标系下区域的面积 σ =
π 2
2
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结束
例 6 求曲线 ( x 2 + y 2 )2 = 2a 2 ( x 2 − y 2 ) 所围成的图形的面积. 和 x 2 + y 2 ≥ a 2 所围成的图形的面积
解 根据对称性有 D = 4D1
在极坐标系下
二重积分的变量变换
(1)
当 (即(t) 0 )时, 记 X [a , b], Y [ , ], 则
X (Y ), Y 1( X ). 利用这些记号, 公式(1)又可
写成
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
f (x)dx
f ((t))(t)dt . (2)
图 21 24
所以
x y
e x ydxdy
u
ev
1
dudv
D
2
1
1
dv
v
u
ev du
1
1v(e e1 )dv
e e1 .
20
v
20
4
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
例2 求抛物线 y2 mx , y2 nx 和直线 y x , y
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
x y
例1 求 e x y dxdy , 其中
D
D是由 x 0, y 0, x y 1
广义极坐标变换
y
1
所围的区域(图21-23). 解 为了简化被积函数, 令
D O
1x
u x y,v x y. 即作变换
图 21 23
2
f ( xy )d ln 21 f ( t )dt.
证
令
D
t xy, u
y
即 x t1 2u1 2 , y t1 2u1 2 . 则
x
(t, u) [1,2][1,4], 有
二重积分的坐标变换
4 sin( x2 y2 ) dxdy
D1
x2 y2
4
2 d
2 sin r rdr 4.
0 1r
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例 6 求曲线 ( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) 和 x2 y2 a2所围成的图形的面积.
解 根据对称性有 D 4D1
在极坐标系下
D1
x2 y2 a2 r a,
r cos r sin
2. 微元变换：d dxdy rdrd
3. 区域变换：Dxy Dr
f ( x, y)dxdy f (r cos , r sin )rdrd .
D
D
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二重积分化为二次积分的公式: θ-型区域
1. 原点在区域的外面
(1) 区域特征如图
r 1()
,
二重积分的变量代换
极坐标变换 一般变量代换
广义极坐标变换
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结束
一、利用极坐标系计算二重积分
i
1 2 (ri
ri
)2
i
1 2
ri
2
i
1 2
(2ri
ri
)ri
i
r ri ri r ri
i i i
ri ri i o(ri i ),
D
i
d rdrd
o
A
极坐标下的面积元素
( x2 y2 )2 2a2( x2 y2 ) r a 2cos2 ,
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结束
由r a
2cos 2
,
ra
2108二重积分的变量变换公式
则有
J= (u , v) ∂( x , y) ≠ 0 , (u , v) ∈ ∆ , ∂(u, v)
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x(u,v), y(u,v)) | J (u,v) |dudv .
D
∆
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
n
∑ σ = f (ξi , ηi )µ( Di )
i =1
n
∑ f ( x(ui , vi ), y(ui , vi )) | J (ui , vi ) | µ(∆i ).
i =1
这个和式是可积函数 f ( x(u, v), y(u, v)) | J (u, v) |
在 ∆ 上的积分和. 又由变换 T 的连续性可知, 当∆
的分割 T∆
:
{∆
1
,
∆
2
,
∆
n
}
的细度
||
T∆
||→ 0 时,
D的
相应分割 TD : {D1 , D2 , Dn } 的细度 || TD ||也趋于零. 因此得到
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫∫ f ( x(u,v), y(u,v)) | J (u,v) |dudv .
第八讲 二重积分的变量变换公式
数学分析 第二十一章 重积分
高等教育出版社
§4 二重积分的变量变换 变量变换公式 极坐标变换
广义极坐标变换
二重积分的变量变换公式
在定积分的计算中, 我们得到了如下结论: 设 f ( x)
在区间[a , b]上连续, x = ϕ (t)当 t 从α 变到 β 时严格
二重积分与三重积分的极坐标变换
二重积分与三重积分的极坐标变换极坐标变换是二重积分和三重积分中常用的坐标变换方式。
它通过将直角坐标系下的积分区域转化为极坐标系下的积分区域，简化了积分计算的过程。
本文将详细介绍二重积分和三重积分的极坐标变换，并通过实例演示其应用。
一、二重积分的极坐标变换对于二重积分，其一般形式为∬Df(x,y)dxdy，其中 f(x,y)为被积函数，D为积分区域。
当被积函数具有极坐标的形式，即f(r,θ)时，我们可以采用极坐标变换来简化积分计算。
具体而言，利用极坐标变换公式：x = rcosθ，y = rsinθ，我们可以将积分区域D在直角坐标系下表示为D'，在极坐标系下表示为R。
同时，坐标变换的雅可比行列式为r。
因此，二重积分的极坐标变换公式应用于被积函数f(r,θ)时，可表示为：∬D'f(x,y)dxdy = ∬Rf(r,θ)rdθdr。
二、三重积分的极坐标变换类似地，对于三重积分，其一般形式为∭Eg(x,y,z)dxdydz，其中g(x,y,z)为被积函数，E为积分区域。
当被积函数具有极坐标的形式，即g(ρ,θ,z)时，我们同样可以利用极坐标变换来简化积分计算。
具体而言，利用极坐标变换公式：x = ρsinθcosφ，y = ρsinθsinφ，z = ρcosθ，我们可以将积分区域E在直角坐标系下表示为E'，在极坐标系下表示为Ω。
同时，坐标变换的雅可比行列式为ρ^2sinθ。
因此，三重积分的极坐标变换公式应用于被积函数g(ρ,θ,z)时，可表示为：∭E'g(x,y,z)dxdydz = ∭Ωg(ρ,θ,z)ρ^2sinθdρdθdφ。
三、极坐标变换的应用举例为了更好地理解极坐标变换的应用，下面通过一个具体的例子进行说明：例：计算二重积分∬Dxydxdy，其中 D为由直线x+y=1以及坐标轴所围成的区域。
解：首先，我们将被积函数 f(x,y)=xy转化为极坐标形式f(r,θ)=r^2sinθcosθ。
二重积分的变量变换
x v du y v dv
vv
S
u A( u0 , v 0 )
B
u u ( x , y ) v v ( x ,y )
C S uu
B
A( x0 , y0 )
O
O
u
x
dxdy
dx 0
0 dy
v
vk v
M4 M1
u u (x , y ) v v (x , y )
u u ( x ,y )
v v ( x ,y ) x x ( u ,v ) y y ( u ,v )
y
M4
D
M3
M3
u uh u
M1
M2
o x M 1M 4 {x v v, y v v }
j yu yv k xu 0 || xv 0 yu | u v yv
i | M 1M 2 M 1M 4 | | x u xv
当 u, v 充分小时, 曲边四边形 M1M2M3M4 近似于 平行四边形,故其面积为
v
vk v
M4 M1
D
M3
o
M2
x x (u , v ) T : y y (u , v )
y
M4
M3
D
u uh u
M1
M2
o
x
M 1(x (u, v ), y (u, v )) , M 2 (x (u u, v ), x (u u, v ))
D D
推广一般
: f (x, y )d xd y
D
f (x (u, v), y(u, v)) |
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二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法 三
机动
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一、利用直角坐标计算二重积分
二重积分定义为积分和式的极限． 二重积分定义为积分和式的极限 ． 如果直接用 二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的， 二重积分的定义去计算它的值 ， 是相当困难的 ， 甚 至是不可能的.下面我们根据二重积分的几何意义— 至是不可能的.下面我们根据二重积分的几何意义 几何意义 曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法. 曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法.这个方 法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积 即二次积分. 分，即二次积分.
o
a
x
b
x
其中 A( x ) 是垂直于 x 轴的平面与曲顶柱体相交部分 的面积. 是一个曲边梯形的面积. 曲边梯形的面积 的面积.即 A( x )是一个曲边梯形的面积.
对固定的 x ,此曲边梯形 曲边是由方程 的曲边是由方程 z = f ( x, y ) 确定的关于 y 的一元函数 的曲线, 的曲线,而底边沿着 y 方 向从 ϕ1 ( x) 变到 ϕ2 ( x) .故 其面 A( x ) 积为
A( x ) = ∫
ϕ2 ( x ) ϕ1 ( x )
z
A( x)
y
y = ϕ2 ( x)
o
a
x
b
y = ϕ1 ( x)
x
f ( x, y )dy
从而
ϕ2 ( x) f (x, y)dy dx (1) ∫∫ f (x, y)dσ = ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫a ∫ϕ1(x) D D
y = ϕ1 ( x)
y = ϕ1 ( x)
o
a
x
b
x
o a
x
b
x
o a x
b
x
由二重积分的几何意义知: 由二重积分的几何意义知:
z
A( x)
∫∫ f ( x, y)dσ 是区域 D 上以曲面
z = f ( x, y ) 为顶的 曲顶柱体的 为顶的曲顶柱体的
D
y
体积. 体积.
为确定曲顶柱体的体积, 为确定曲顶柱体的体积,可在
D
1
5x
( x + 6 y )dy
2
= ∫ ( xy + 3 y )
2 0
1
5x x
76 dx = ∫0 76 x dx = . 3
1
例5. 计算 ∫∫D xydσ, 其中D 是抛物线 所围成的闭区域.
及直线
y 2 y2 = x 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y
则
y2 ≤ x ≤ y + 2 D: −1 ≤ y ≤ 2
∴ ∫∫ xydσ = ∫ dy∫
D
o −1
D
2
y +2
2
y = x−2
4 x
=∫
2 1 2 y+2 x y 2 dy y −1 2
[
−1
]
y
xy d x
1 2 = ∫ [ y( y + 2)2 − y5] dy 2 −1
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sin x 例6. 计算 ∫∫ dxdy, 其中D 是直线 D x 所围成的闭区域. y y=x 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, D x =π 因此取D 为X – 型域 : π x o 0 ≤ y ≤ x D: 0 ≤ x ≤ π π sin x x sin x ∴ ∫∫ dxdy = ∫ dx∫ dy D x 0 x 0
x 处用垂直 x 轴的平面去截曲
顶柱体, 顶柱体,设其截面面积为 A( x )
o
a
x
b
x
定积分的应用可知 可知： 由定积分的应用可知：已知 平行截面面积的立体的体积 平行截面面积的立体的体积 公式为
V = ∫ A( x)dx
a b
z
A( x)
y
从而
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫
D
b
a
A( x)dx
看作是常量， 是积分变量；第二次积分时， 时，x 看作是常量，y 是积分变量；第二次积分时， x 是积分变量. 是积分变量. 的两次积分( 型区域). 这是先对 y ，后对 x 的两次积分(适合于 X 型区域).
类似地，如果D 型区域, 类似地，如果D是Y型区域,可用垂直于 y 轴的平面 去截曲顶柱体,此时D 去截曲顶柱体,此时D为
o a x
y = ϕ1 ( x)
y
y = ϕ2 ( x)
b
x
例1
x y 计算二重积分 ∫∫ 1 − 4 − 3 dxdy ,其中 D D
为矩形： 为矩形：
D : − 2 ≤ x ≤ 2, − 1 ≤ y ≤ 1.
解1 先积 y 再积 x
2 1 x y x y 1 − − dxdy = ∫ dx ∫ 1 − − dy ∫∫ 4 3 −2 −1 4 3 D
= ∫ sin x dx
0
π
=2
说明: 说明 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
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例7. 交换下列积分顺序
I = ∫ dx∫
0
2
x2 2 0
f (x, y)dy +∫
2 2
2
dx∫
8−x2
0
f (x, y)dy
y
x2 + y 2 = 8
解: 积分域由两部分组成:
I = ∫∫ f (x, y) d x d y = ∫ dy ∫
D
2
8− y2 2y
机动
0
f (x, y)dx
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上连续, 设函数 z = f ( x, y )在区域 D 上连续,且当( x, y ) ∈ D时，
f ( x, y ) ≥ 0 如果区域 D 是由直线 x = a ， = b 与曲线 x
y = ϕ1 ( x ), y = ϕ 2 ( x )
所围成( 型区域),如下图, ),如下图 所围成(称为 X 型区域),如下图,即
则
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫
D
b
a
dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
c c a
d
d
b
若函数可积， （ⅱ）若函数可积，且D为
D : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d
且 则 例如
D
f ( x, y) = f1 ( x) ⋅ f2 ( y)
0 ≤ y ≤ 1 x2 0 ≤ y ≤ 8 − x2 2 , D2 : D : 2 1 0≤ x ≤2 2 ≤ x ≤ 2 2 y = 1 x2 2 D D2 1 将D = D + D2 视为Y–型区域 , 则 1 o
22 2 x
2y ≤ x ≤ 8 − y2 D: 0≤ y ≤2
b
通常写成
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫
D
b
a
dx ∫
ϕ2 ( x )
ϕ1 ( x )
f ( x, y )dy
(2)
这样， 这样，我们就把计算二重积分的问题化为计算两次 定积分的问题。 定积分的问题。第一次计算定积分
A( x) = ∫
ϕ2 ( x ) ϕ1 ( x )
f ( x, y )dy
D : a ≤ x ≤ b, ϕ1 ( x) ≤ y ≤ ϕ2 ( x)
型区域的特点: X 型区域的特点:在 (a, b)内任取一点 x,过x 作平行于
y 轴的直线,则该直线与 D 的边界曲线的交点不多 轴的直线,
于两个
y
y = ϕ2 ( x)
y
y = ϕ2 ( x)
y
y = ϕ2 ( x)
y = ϕ1 ( x )
D:c ≤ y ≤ d
φ1 ( y ) ≤ x ≤ φ2 ( y )
d c
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫
D
dy ∫
φ2 ( y )
φ1 ( y )
f ( x, y )dx
的两次积分. 这是先对 x ，后对 y 的两次积分.
y
x = φ1 ( y )
y
Hale Waihona Puke dydx = φ2 ( y )
x = φ1 ( y )
例3
计算二重积分 ∫∫ xydxdy .其中积分区域 D 分
D
别如下图所示： 三角形； 四分之一椭圆。 别如下图所示： ⑴ 三角形；⑵ 四分之一椭圆。 解 ⑴因为下图所示的三角形 区域的斜边方程是 x + y = 1 所以 D 可表示为
a b
y
b
x o a D : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b(1 − ) a 2 x x b (1− ) a b (1− ) a xy xydxdy = ∫ dx ∫ a xydy = ∫ ( ) 0 a dx ∫∫ 0 0 0 2 D 2 ab x 2 1 2 a 2 x 2 x3 =∫ + 2 )dx (1 − ) xdx = b ∫ ( x − 0 2 0 a 2 a a 1 2 x 2 2 x3 x 4 a 1 2 2 = b ( − + 2) 0 = ab 2 2 3 a 4a 24
y
c
o
c
o x
x = φ2 ( y )
x
如果去掉以上结论中关于 z = f ( x, y ) ≥ 0, ( x, y ) ∈ D 的限制，则上述结论仍是成立的. 的限制，则上述结论仍是成立的.