二重积分的所有变换

o
a
x
b
x
其中 A( x ) 是垂直于 x 轴的平面与曲顶柱体相交部分 的面积. 是一个曲边梯形的面积. 曲边梯形的面积 的面积.即 A( x )是一个曲边梯形的面积.
对固定的 x ,此曲边梯形 曲边是由方程 的曲边是由方程 z = f ( x, y ) 确定的关于 y 的一元函数 的曲线, 的曲线,而底边沿着 y 方 向从 ϕ1 ( x) 变到 ϕ2 ( x) .故 其面 A( x ) 积为
看作是常量， 是积分变量；第二次积分时， 时，x 看作是常量，y 是积分变量；第二次积分时， x 是积分变量. 是积分变量. 的两次积分( 型区域). 这是先对 y ，后对 x 的两次积分(适合于 X 型区域).
类似地，如果D 型区域, 类似地，如果D是Y型区域,可用垂直于 y 轴的平面 去截曲顶柱体,此时D 去截曲顶柱体,此时D为
o a x
y = ϕ1 ( x)
y
y = ϕ2 ( x)
b
x
例1
x y 计算二重积分 ∫∫ 1 − 4 − 3 dxdy ,其中 D D
为矩形： 为矩形：
D : − 2 ≤ x ≤ 2, − 1 ≤ y ≤ 1.
解1 先积 y 再积 x
2 1 x y x y 1 − − dxdy = ∫ dx ∫ 1 − − dy ∫∫ 4 3 −2 −1 4 3 D
I = ∫∫ f (x, y) d x d y = ∫ dy ∫
D
2
8− y2 2y
机动
0
f (x, y)dx
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D:c ≤ y ≤ d
φ1 ( y ) ≤ x ≤ φ2 ( y )
d c
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫
D
dy ∫
φ2 ( y )
φ1 ( y )
f ( x, y )dx
的两次积分. 这是先对 x ，后对 y 的两次积分.
y
x = φ1 ( y )
y
d
y
d
x = φ2 ( y )
x = φ1 ( y )
x 处用垂直 x 轴的平面去截曲
顶柱体, 顶柱体,设其截面面积为 A( x )
o
a
x
b
x
定积分的应用可知 可知： 由定积分的应用可知：已知 平行截面面积的立体的体积 平行截面面积的立体的体积 公式为
V = ∫ A( x)dx
a b
wk.baidu.com
z
A( x)
y
从而
∫∫ f ( x, y)dσ = ∫
D
b
a
A( x)dx
∫∫ f (x, y)dxdy = ( ∫
1 1
b
a
f1 ( x)dx
1
)( ∫
1
d
c
f2 ( y)dy
)
1 1 1 ∫0 ∫0 xydxdy = ∫0 xdx ∫0 ydy = 2 ⋅ 2 = 4
( )(
)
（ⅲ）上面所讨论的积分区域 D 是 X 型区域， 型或 Y 型区域，即平行于 y 轴或 x 轴 的直线与区域 D 边界曲线的交点不多 于两点. 不满足这个条件, 于两点.若 D不满足这个条件,可将 D 分块.再应用积分的分域性质来计算. 分块.再应用积分的分域性质来计算.
A( x ) = ∫
ϕ2 ( x ) ϕ1 ( x )
z
A( x)
y
y = ϕ2 ( x)
o
a
x
b
y = ϕ1 ( x)
x
f ( x, y )dy
从而
ϕ2 ( x) f (x, y)dy dx (1) ∫∫ f (x, y)dσ = ∫∫ f (x, y)dxdy = ∫a ∫ϕ1(x) D D
∴ ∫∫ xydσ = ∫ dy∫
D
o −1
D
2
y +2
2
y = x−2
4 x
=∫
2 1 2 y+2 x y 2 dy y −1 2
[
−1
]
y
xy d x
1 2 = ∫ [ y( y + 2)2 − y5] dy 2 −1
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sin x 例6. 计算 ∫∫ dxdy, 其中D 是直线 D x 所围成的闭区域. y y=x 解: 由被积函数可知, 先对 x 积分不行, D x =π 因此取D 为X – 型域 : π x o 0 ≤ y ≤ x D: 0 ≤ x ≤ π π sin x x sin x ∴ ∫∫ dxdy = ∫ dx∫ dy D x 0 x 0
2 −2
dy
4y 2 y2 = ∫ (4 − )dy = (4 y − ) −1 3 3
1
1 −1
=8
例2
计算二重积分 ∫∫ e x + y dxdy ,其中区域 D 为矩形： 为矩形：
D : 0 ≤ x ≤ 1, 1 ≤ y ≤ 2
解 因为 e x + y = e x ⋅ e y ,所以
1 2 x 1 0 y 2 1
0 ≤ y ≤ 1 x2 0 ≤ y ≤ 8 − x2 2 , D2 : D : 2 1 0≤ x ≤2 2 ≤ x ≤ 2 2 y = 1 x2 2 D D2 1 将D = D + D2 视为Y–型区域 , 则 1 o
22 2 x
2y ≤ x ≤ 8 − y2 D: 0≤ y ≤2
D
∫∫ e
D
x+ y
dxdy = ( ∫ e dx)( ∫ e dy ) = e
x y 0 1
⋅e
= (e − 1)(e2 − e) = e(e − 1) 2
或先积 y再积 x
∫∫ e
D
x+ y
dxdy = ∫ dx ∫ e
0 1 1 0
1
2
x+ y
dy = ∫ e x + y
0
1
2 1
dx
1 0
= ∫ (e x + 2 − e x +1 )dx = (e x + 2 − e x +1 ) = (e3 − e2 ) − (e 2 − e) = e(e − 1) 2
解2 先积 x 再积 y
xy y 2 = ∫ (y − − ) −2 4 6 x2 2 = (2 x − ) −2 = 8 4
2
1 −1
x dx = ∫ (2 − )dx −2 2
2
1 2 1 x y x 2 xy x y ∫∫ 1 − 4 − 3 dxdy = ∫−1 dy ∫−2 1 − 4 − 3 dx = ∫−1 ( x − 8 − 3 ) D
则
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫
D
b
a
dx ∫ f ( x, y )dy = ∫ dy ∫ f ( x, y )dx
c c a
d
d
b
若函数可积， （ⅱ）若函数可积，且D为
D : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d
且 则 例如
D
f ( x, y) = f1 ( x) ⋅ f2 ( y)
y
c
o
c
o x
x = φ2 ( y )
x
如果去掉以上结论中关于 z = f ( x, y ) ≥ 0, ( x, y ) ∈ D 的限制，则上述结论仍是成立的. 的限制，则上述结论仍是成立的.
几点说明： 几点说明：
（ⅰ）若区域D是一个矩形，即D为 若区域D是一个矩形，
D : a ≤ x ≤ b, c ≤ y ≤ d
D
1
5x
( x + 6 y )dy
2
= ∫ ( xy + 3 y )
2 0
1
5x x
76 dx = ∫0 76 x dx = . 3
1
例5. 计算 ∫∫D xydσ, 其中D 是抛物线 所围成的闭区域.
及直线
y 2 y2 = x 解: 为计算简便, 先对 x 后对 y 积分, y
则
y2 ≤ x ≤ y + 2 D: −1 ≤ y ≤ 2
o
a
x
y = 5x
例4 计算二重积分
∫∫ ( x + 6 y)dxdy,其中
D
D是由三条线 y = x, y = 5 x, x = 1 所围成
y=x
的区域. 的区域.
x =1
解 于是
易知积分区域可表为
D : 0 ≤ x ≤ 1, x ≤ y ≤ 5 x
∫∫ ( x + 6 y)dxdy = ∫0 dx ∫x
D : a ≤ x ≤ b, ϕ1 ( x) ≤ y ≤ ϕ2 ( x)
型区域的特点: X 型区域的特点:在 (a, b)内任取一点 x,过x 作平行于
y 轴的直线,则该直线与 D 的边界曲线的交点不多 轴的直线,
于两个
y
y = ϕ2 ( x)
y
y = ϕ2 ( x)
y
y = ϕ2 ( x)
y = ϕ1 ( x )
x
⑵
前图所示的四分之一椭圆区域可表示为
x2 D : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b 1 − 2 a
因此
y
∫∫ xydxdy = ∫ dx ∫
0 D
a
a
b 1−
x2 a2
0
xydy
b
1 2 x2 = ∫ b (1 − 2 ) xdx 0 2 a 1 2 x2 x4 a = b ( − 2) 0 2 2 4a 1 2 a2 a4 1 = b ( − 2 ) = a 2b 2 2 2 4a 8
第二节
二重积分的计算法
一、利用直角坐标计算二重积分 二、利用极坐标计算二重积分 *三、二重积分的换元法 三
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一、利用直角坐标计算二重积分
二重积分定义为积分和式的极限． 二重积分定义为积分和式的极限 ． 如果直接用 二重积分的定义去计算它的值， 是相当困难的， 二重积分的定义去计算它的值 ， 是相当困难的 ， 甚 至是不可能的.下面我们根据二重积分的几何意义— 至是不可能的.下面我们根据二重积分的几何意义 几何意义 曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法. 曲顶柱体的体积来导出二重积分的计算方法.这个方 法就是把二重积分的计算转化为接连计算两次定积 即二次积分. 分，即二次积分.
y = ϕ1 ( x)
y = ϕ1 ( x)
o
a
x
b
x
o a
x
b
x
o a x
b
x
由二重积分的几何意义知: 由二重积分的几何意义知:
z
A( x)
∫∫ f ( x, y)dσ 是区域 D 上以曲面
z = f ( x, y ) 为顶的 曲顶柱体的 为顶的曲顶柱体的
D
y
体积. 体积.
为确定曲顶柱体的体积, 为确定曲顶柱体的体积,可在
0
y
D1
D2
D3
x
由于二重积分归结于计算两个定积分, 由于二重积分归结于计算两个定积分,因此计算重 积分本身没有新困难,对于初学者来说, 积分本身没有新困难,对于初学者来说,感到困难的 去确定两次积分的上、下限. 是如何根据区域 D 去确定两次积分的上、下限.建 的图形画出， 议读者先将区域 D 的图形画出，再写出区域 D上的 坐标所要满足的不等式以确定积分的上 点的坐标所要满足的不等式以确定积分的上、下限. 点的坐标所要满足的不等式以确定积分的上、下限. 定限法则:就 X 型区域而言 定限法则: 后积先定限,域内穿射线, 后积先定限,域内穿射线, 先交为下限,后交为上限. 先交为下限,后交为上限. 如右图
例3
计算二重积分 ∫∫ xydxdy .其中积分区域 D 分
D
别如下图所示： 三角形； 四分之一椭圆。 别如下图所示： ⑴ 三角形；⑵ 四分之一椭圆。 解 ⑴因为下图所示的三角形 区域的斜边方程是 x + y = 1 所以 D 可表示为
a b
y
b
x o a D : 0 ≤ x ≤ a, 0 ≤ y ≤ b(1 − ) a 2 x x b (1− ) a b (1− ) a xy xydxdy = ∫ dx ∫ a xydy = ∫ ( ) 0 a dx ∫∫ 0 0 0 2 D 2 ab x 2 1 2 a 2 x 2 x3 =∫ + 2 )dx (1 − ) xdx = b ∫ ( x − 0 2 0 a 2 a a 1 2 x 2 2 x3 x 4 a 1 2 2 = b ( − + 2) 0 = ab 2 2 3 a 4a 24
= ∫ sin x dx
0
π
=2
说明: 说明 有些二次积分为了积分方便, 还需交换积分顺序.
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例7. 交换下列积分顺序
I = ∫ dx∫
0
2
x2 2 0
f (x, y)dy +∫
2 2
2
dx∫
8−x2
0
f (x, y)dy
y
x2 + y 2 = 8
解: 积分域由两部分组成:
b
通常写成
∫∫ f ( x, y)dxdy = ∫
D
b
a
dx ∫
ϕ2 ( x )
ϕ1 ( x )
f ( x, y )dy
(2)
这样， 这样，我们就把计算二重积分的问题化为计算两次 定积分的问题。 定积分的问题。第一次计算定积分
A( x) = ∫
ϕ2 ( x ) ϕ1 ( x )
f ( x, y )dy
上连续, 设函数 z = f ( x, y )在区域 D 上连续,且当( x, y ) ∈ D时，
f ( x, y ) ≥ 0 如果区域 D 是由直线 x = a ， = b 与曲线 x
y = ϕ1 ( x ), y = ϕ 2 ( x )
所围成( 型区域),如下图, ),如下图 所围成(称为 X 型区域),如下图,即