中考压轴题突破：几何最值问题大全(将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等)

中考压轴题突破：几何最值问题大全
（将军饮马、造桥选址、胡不归、阿波罗尼斯圆等）
一、基本图形
所有问题的老祖宗只有两个：
①[定点到定点]：两点之间，线段最短；
②[定点到定线]：点线之间，垂线段最短。

由此派生：③[定点到定点]：三角形两边之和大于第三边；
④[定线到定线]：平行线之间，垂线段最短；
⑤[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）；
⑥[定线到定圆]：线圆之间，心垂线截距最短；
⑦[定圆到定圆]：圆圆之间，连心线截距最短（长）。

余不赘述，下面仅举一例证明：[定点到定圆]：点圆之间，点心线截距最短（长）。

已知⊙O半径为r，AO=d，P是⊙O上一点，求AP的最大值和最小值。

证明：由“两点之间，线段最短”得AP≤AO+PO，AO≤AP+PO，得d-r≤AP≤d+r，AP最小时点P在B处，最大时点P在C处。

即过圆心和定点的直线截得的线段AB、AC分别
最小、最大值。

(可用“三角形两边之和大于第三边”，其实质也是由“两点之间，线段最短”推得）。

上面几种是解决相关问题的基本图形，所有的几何最值问题都是转化成上述基本图形解决的。

二、考试中出现的问题都是在基本图形的基础上进行变式，如圆与线这些图形不是直接给出，而是以符合一定条件的动点的形式确定的；再如过定点的直线与动点所在路径不相交而需要进行变换的。

类型分三种情况：（1）直接包含基本图形；（2）动点路径待确定；（3）动线（定点）位置需变换。

（一）直接包含基本图形
例 1.在⊙O中，圆的半径为6，∠B=30°，AC是⊙O的切线，则CD的最小值是。

（二）动点路径待确定
例2.，如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，BC=3，P是AB边上的动点（不与点B 重合），将△BCP沿CP所在的直线翻折，得到△B′CP，连接B′A，则B′A长度的最小值是。

（三）动线（定点）位置需变换
线段变换的方法：（1）等值变换：翻折、平移；（2）比例变换：三角、相似。

【翻折变换类】典型问题：“将军饮马”
例4.如∠AOB=30°，点M、N分别是射线OA、OB上的动点，OP平分∠AOB，且OP=6，当△PMN的周长最小值为。

例5.在锐角△ABC中，AB=4，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM+MN的最小值是。

【平移变换类】典型问题：“造桥选址”
例6.如图，m、n是小河两岸，河宽20米，A、B
是河旁两个村庄，要在河上造一座桥，要使A、B
之间的路径最短应该如何选址（桥须与河岸垂直）？
例7.如图，CD是直线y=x上的一条定长的动线段，且CD=2，点A（4，0），连接AC、AD，设C点横坐标为m，求m为何值时，△ACD的周长最小，并求出这个最小值。

【三角变换类】典型问题：“胡不归”
例8.如图，A地在公路BC旁的沙漠里，A到BC的距离AH＝2√3，AB＝2√19，在公路BC上行进的速度是在沙漠里行驶速度的2倍。

某人在B地工作，A地家中父亲病危，他急着沿直线BA赶路，谁知最终没能见到父亲最后一面，其父离世之时思念儿子，连连问：“胡不归，胡不归……！”（怎么还不回来），这真是一个悲伤的故事，也是因为不懂数学而导致的。

那么，从B至A怎样行进才能最快到达？
【相似变换类】典型问题：“阿氏圆”
“阿氏圆”：知平面上两点A、B，则所有满足PA/PB=k且不等于1的点P的轨迹是一个圆，这个轨迹最先由古希腊数学家阿波罗尼斯发现，故称阿氏圆，如下图所示，其中PO：BO＝AO：PO＝PA：PB＝k。

例9.已知A(-4，-4)、B(0, 4)、C(0, -6)、 D(0, -1)，AB与x轴交于点E，以点E 为圆心，ED长为半径作圆，点M为⊙E上一动点，求 1/2AM+CM 的最小值。

【解法大一统】
万法归宗：路径成最短，折线到直线。

（所求路径在一般情况下是若干折线的组合，这些折线在同一直线上时即为最短路径）基本图形：动点有轨迹，动线居两边。

（动点轨迹可以是线或圆，动线指动点与定点或定线、定圆的连线，动线与折线同指）核心方法：同侧变异侧，分散化连续。

（动线在同侧进，要变为异侧，一般用翻折、三角、相似的方法构造；动折线被定长线段分散时需化为连续折线，一般用平移的方法构造，如造桥选址问题）
下图是构造完成的目标图形：
再举一例说明上述规律的运用方法：
1.如图，菱形ABCD中，∠A=60°，AB＝3，⊙A、⊙B的半径为2和1，P、E、F分别是CD、⊙A、⊙B上的动点，则PE+PF的最小值为.
中考热点:三种构造辅助圆解题的模型
一、问题导读
“圆”是一个完美的图形，在初中数学中具有丰富内容，其中大部分是与角度相关性质，如在圆周角中能轻易找到，等角和直角并与圆心角联系也比较紧密，通过在图形中构造辅助圆往往能获得意想不到的效果，如果题目中出现了以下条件：三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆；同一侧有相等的角，或者需要构造出相等的角时，作辅助圆；若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．在这些情况下，借助圆去解决一些问题都是非常好的一个选择，下面举例说明这三种构造辅助圆解题的模型应用。

二、典例精析
类型1 根据共端点等线段模型，根据圆的定义构造圆
1.如图，已知OA＝OB＝OC，且∠AOB＝k∠BOC，则∠ACB是∠BAC的（）
A．k/2倍 B．k倍 C．2k D．1/k
2.如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，点F在边AC上，并且CF＝2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是（）
A．1.5 B．1.2 C．2.4 D．以上都不对
3.如图2所示,在凸四边形ABCD中,AB=BC=BD,∠ABC=80°,则∠ADC的度数为____度
4. 如图，在四边形ABCD中，AB＝AC＝AD，若∠BAC＝25°，∠CAD＝75°，则∠BDC＝度，∠DBC ＝_____度．
类型2 直角模型，依据直径所对的圆周角是直角，构造三角形的外接圆解题
5. 如图所示，矩形ABCG与矩形CDEF全等，点BCD在一条直线上，∠APE的顶点P在线段BD上移动，使得∠APE为直角的点P的个数是_____个．
6. 已知：如图，直尺的宽度为2，A、B两点在直尺的一条边上，AB＝6，C、D两点在直尺的另一条边上．若∠ACB＝∠ADB＝90°，则C、D两点之间的距离为_____．
7. 已知Rt△ABC中，AC＝5，BC＝12，∠ACB＝90°，P是AB边上的动点（与点A、B不重合），Q是BC边上的动点（与点B、C不重合）
（1）如图，当PQ∥AC，且Q为BC的中点时，求线段CP的长；
（2）当PQ与AC不平行时，△CPQ可能为直角三角形吗？若有可能，请求出线段CQ的长的取值范围；若不可能，请说明理由．
8.已知平面直角坐标系中两定点A(-1,0),B(4,0),抛物线y=ax+bx-2过点A,B,顶点为C,点P(m,n)为抛物线上一点,其中n<0.
(1)求抛物线的解析式和顶点C的坐标;
(2)当∠APB为钝角时,求m的取值范围.
类型3 四点共圆模型
(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆；
(2)动点对定线段所张的角为定值.
9. 如图2，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为（0，m），点B的坐标为（0，n），其中m＞n＞0．点P为x轴正半轴上的一个动点，当∠APB达到最大时，直接写出此时点P的坐标________．
10. 在平面直角坐标系中，已知点A（4，0）、B（﹣6，0），点C是y轴上的一个动点，当∠BCA＝45°时，点C的坐标为_____．
11. 已知△ABC是等腰直角三角形，AC＝BC＝2，D是边AB上一中点，将△CAD绕C逆时针向旋α得到△CEF，其点E是点A的对应点，点F是点D的对应点．DF与AE交于点M；当α从90°变化到180°时，点M运动的路径长为______．
三、总结提升
圆是我们初中阶段学习的唯一一个曲线图形，除了它本身的基本性质和计算常被考察到以外，还可以用作辅助线。

除了我们已知一条线段进行等腰三角形和直角三角形所使用的“两圆一垂”和“两垂一圆”以外，在涉及到一些动点相关的最值问题时，也特别常用，这时候我们需要的圆并不存在(有时题设中没有涉及圆；有时题目中虽然题设涉及圆，但是此圆并不是我们需要用的圆)，这就需要我们利用已知条件，借助图形把需要的实际存在的圆找出来，画出来。

上面讲述了常见的可以添加辅助圆的方法，具体归纳如下：
1．利用圆的定义添补辅助圆
到一个定点等距离的几个点在同一个圆上，这是利用圆的定义添辅助圆的最基本方法．简而言之，就是三点及三点以上到同一点距离相等，作辅助圆。

2．作三角形的外接圆
任意不在同一直线上的三点共圆，但是我们最常见到的确实是利用圆周角定理的推论，直角三角形在以斜边为直径的圆上。

3．四点共圆
(1)若一个四边形的一组对角互补，则它的四个顶点共圆．这是由书上圆内接四边形对角互补的性质拓展出来的一个应用，前者在中考中出现频率特别大，我甚至跟我学生说只要出现了内接和四边形等字眼，一定要想着去应用这条性质。

而由此拓展出来的一条判定四点共圆的方法在我们解决线段长度和最值相关的问题时，特别好用。

(2)同底同侧有相等顶角的三角形，则各顶点四点共圆（若能证明其两顶角为直角，即可肯定这四个点共圆，且斜边上两点连线为该圆直径。

）判断四点共圆后，就可以借助过这四点的辅助圆解题。

这也是我们非常常见的一类共圆问题，还可以拓展到利用圆来构造相等的角。