黄金分割法的数学理论

黄金分割法的数学理论

０．６１８０３３９８８……一个极为迷人而神秘的数字，它有着一个很动听的名字——黄金分割率。黄金分割由２５００多年前古希腊的数学家、哲学家毕达哥拉斯提出，并由数学家欧几里德第一次用几何的方法给出了计算。古往今来，这个数字一直被后人奉为科学和美学的金科玉律。这个数值不但在诸如绘画、雕塑、音乐、建筑等艺术领域，而且在管理、工程设计等方面都发挥着不可忽视的作用。

（一） 黄金分割点的计算

设一条线段ＡＢ的长度为ａ，Ｃ点在靠近Ｂ点的黄金分割点上且ＡＣ为ｂ，则： ＡＣ/ＡＢ=ＢＣ/ＡＣ ｂ^２=ａ×(ａ-ｂ)

ｂ^２=ａ^２-ａｂ

ａ^２-ａｂ+(１/４)ｂ^２=(５/４)×ｂ^２

(ａ-ｂ/２)^２=(５/４)ｂ^２ ａ-ｂ/２=（√５/２）×ｂ

ａ-ｂ/２=(√５)ｂ/２

ａ=ｂ/２+(√５)ｂ/２

ａ=ｂ(√５+１）/２ ｂ/ａ=(√５-１）/２

人们常用希腊字母

表示黄金比值。根据定义，如果假设ａ是单位长度，那么

，即有:

黄金分割奇妙之处，在于其倒数为自身减１。例如：１．６１８的倒数是０．６１８，恰为１．６１８-１。因为：

归纳一下，黄金分割存在以下特点：

（1）数列中任一数字都是由前两个数字之和构成。

（2）前一数字与后一数字之比例，趋近于一固定常数，即０．６１８。

（3）后一数字与前一数字之比例，趋近于１．６１８。

（4）１．６１８与０．６１８互为倒数，其乘积则约等于１。

（5）任一数字如与后两数字相比，其值趋近于２．６１８；如与前两数字相比，其值则趋近于０．３８２。

（二）黄金分割中的数学思想

●『斐波那契数列』

说起黄金分割，就不得不提起大名鼎鼎的斐波那契数列。

斐波那契数列指的是这样一个数列：１，１，２，３，５，８，１３，２１……这个数列从第三项开始，每一项都等于前两项之和。它的通项公式为：(１/√５)×{[(１+√５)/２]^ｎ - [(１-√５)/２]^ｎ}

斐波那契数列与黄金分割有什么关系呢？实际上，相邻两个斐波那契数的比值是随序号的增加而逐渐趋于黄金分割比的。即ｆ(ｎ)/ｆ(ｎ-１)-→０．６１８……由于斐波那契数都是整数，两个整数相除之商是有理数，所以只是逐渐逼近黄金分割比这个无理数。但是当我们继续计算出后面更大的斐波那契数时，就会发现相邻两数之比确实是非常接近黄金分割比的。

不仅这个由１，１，２，３，５……开始的斐波那契数是这样，随便选两个整数，然后按照斐波那契数的规律排下去，两数间比也是会逐渐逼近黄金比的。

●『分形几何学』

客观自然界中许多事物，具有自相似的“层次”结构，在理想情况下，甚至具有无穷层次。适当的放大或缩小几何尺寸，整个结构并不改变。不少复杂的物理现象，背后就是反映着这类层次结构的分形几何学。

科学家们经过广泛计算，发现自然界的一维分形维度大多集中在１．６—１．７附近，这让人很自然想起神秘的黄金分割率。理论上讲，一维分形分数维度可以有无穷多个取值，但自然却唯独偏爱这些近似黄金分割的这些取值，这跟黄金分割本身又有什么内在联系呢？

黄金分割实际上是一种特殊的自相似结构，如果把一条线段ＡＢ连接上它的黄金分割线段ＢＣ=×ＡＢ排列，ＢＣ再连接ＣＤ＝×ＢＣ，无限下去，用等比数列求和

公式很容易证明，线段的总长度为ＡＢ乘上黄金分数，即×ＡＢ。黄金分割充分体现了部分和整体“依次排列”的自相似性。

“黄金分割”这种分形是生物进化的一个“极值”，是生物界自然选择的结果。目前的研究发现，不仅仅是生物界，在自然界很多领域都存在这种自相似倍数为黄金数的分形，诸如一些准晶体结构，高分子，太阳系间行星距离，海浪漩涡等等。总之，分形大多以黄金分割为原则这是自然界的重要现象。

（三）黄金分割的运用

黄金分割率，它的出现即使在我们的日常生活中也十分常见，而其出现总是伴随着“美”和“科学”。

●人体中的

近年来，人们在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中有１４个“黄金点”（物体短段与长段之比值为０．６１８），１２个“黄金矩形”（宽与长比值为０．６１８的长方形）和２个“黄金指数”（两物体间的比例关系为０．６１８）。黄金点：(１)肚脐：头顶－足底之分割点；(２)咽喉：头顶－肚脐之分割点；(３)、(４)膝关节：肚脐－足底之分割点；(５)、(６)肘关节：肩关节－中指尖之分割点；(７)、(８)乳头：躯干乳头纵轴上这分割点；(９)眉间点：发际－颏底间距上１/３与中下２/３之分割点；

(１０)鼻下点：发际－颏底间距下１/３与上中２/３之分割点；(１１)唇珠点：鼻底－颏底间距上１/３与中下２/３之分割点；(１２)颏唇沟正路点：鼻底－颏底间距下１/３与上中２/３之分割点；(１３)左口角点：口裂水平线左１/３与右２/３之分割点；(１４) 右口角点：口裂水平线右１/３与左２/３之分割点。面部黄金分割率面部三庭五眼黄金矩形：(１)躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；(２)面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；(３)鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；(４)唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；(５)、(６)手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；(７)、(８)、(９)、(１０)、(１１)、(１２)上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。

●医学中的

黄金分割可解释人为什么在环境２２至２４摄摄氏度时感觉最舒适。因为人的体温为３７°Ｃ与０．６１８的乘积为２２．８°Ｃ，而且这一温度中肌体的新陈代谢、生理节奏和生理功能均处于最佳状态。科学家们还发现，当外界环境温度为人体温度的０．６１８倍时，人会感到最舒服．现代医学研究还表明，０．６１８与养生之道息息相关，动与静是一个０．６１８的比例关系，大致四分动六分静，才是最佳的养生之道。医学分析还发现，饭吃六七成饱的几乎不生胃病。

●艺术中的

高雅的艺术殿堂里，自然也留下了黄金数的足迹。画家们发现，按０．６１８:１来设计腿长与身高的比例，画出的人体身材最优美，而现今的女性，腰身以下的长度平均只占身高的０．５８，因此古希腊维纳斯女神塑像及太阳神阿波罗的形象都通过故意延长双腿，使之与身高的比值为０．６１８，从而创造艺术美。难怪许多姑娘都愿意穿上高跟鞋，而芭蕾舞演员则在翩翩起舞时，不时地踮起脚尖。音乐家发现，二胡演奏中，“千金”分弦的比符合０．６１８∶１时，奏出来的音调最和谐、最悦耳。

●自然界中的

植物叶子，千姿百态，生机盎然，给大自然带来了美丽的绿色世界。尽管叶子形态随种而异，但它在茎上的排列顺序（称为叶序），却是极有规律的。有些植物的花瓣及主干上枝条的生长，也是符合这个规律的。你从植物茎的顶端向下看，经细心观察，发现上下层中相邻的两片叶子之间约成１３７．５°角。如果每层叶子只画一片来代表，第一层和第二层的相邻两叶之间的角度差约是１３７．５°，以后二到三层，三到四层，四到五层……两叶之间都成这个角度。植物学家经过计算表明：这个角度对叶子的采光、通风都是最佳的。叶子的排布，多么精巧！叶子间的１３７．５°角中，藏有什么“密码”呢？我们知道，一周是３６０°，３６０°-１３７．５°=２２２．５°，而１３７．５°∶２２２．５°≈０．６１８

从上文可看出，黄金分割看似神秘，实际与我们的生活息息相关，相信随着科技的发挥，人类一定会探索出更多黄金分割值的奥秘。