第九章+方差分析

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四、应用条件
1）各样本是相互独立的随机样本 ）各样本是相互独立的随机样本 2）各样本来自正态总体 ）各样本来自正态总体 3）各处理组总体方差相等，即方差齐 ）各处理组总体方差相等，
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第二节
完全随机设计资料的 方差分析
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一、完全随机设计 completely random design
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目的： 目的：推断各处理组即多个总体均数是
否有差别。 否有差别。 也可用于两个
方法：方差分析，即多个样本均数比较 方法：方差分析，
检验。（ 。（能否用多个两两比较 的 F 检验。（能否用多个两两比较 检验代替？ 的 t 检验代替？）
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不能……原因有二： 原因有二： 不能 原因有二
不全相等， 值将明显大于1 如果 µ1 , µ 2 ,L , µ k 不全相等，F 值将明显大于1。 界值（ 用F界值（单侧界值）确定 值。 界值 单侧界值）确定P
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三、变异分解
C=
(∑X)2 N
完全随机设计资料的方差分析表
变异来源 总变异 自由度 N－1 k－1 SS MS F
随 机
糖尿病患者
І组 П组 Ш组
分 组
组间误差=随机误差 组间误差 随机误差
MS组间 = MS组内
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组间误差=随机误差 组间误差 随机误差 +干预因素 干预因素
MS组间 ≥ MS组内?
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组间误差与组内误差示意图
检验统计量： 检验统计量：
M 组间 S F= , ν1 =ν组间, ν2 =ν组内 M 组内 S 如果 µ1 = µ2 = L = µ k ，则 M 组间, M 组内 都为 S S 随机误差 2 的估计，F 值应接近于1。 σ 的估计， 值应接近于1
第九章 方差分析
analysis of variance, ANOVA
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方差分析由 R.A.Fisher(英)首创， 英 首创 首创， 又称F检验 又称 检验 缩写： 缩写：ANOVA
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讲授内容 方差分析的基本思想及应用条件 完全随机设计资料的方差分析 随机区组设计资料的方差分析 析因设计的方差分析 重复测量资料的方差分析 多个样本均数间的多重比较
α = 0.05
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2 . 计算检验统计量 :
可根据下表的公式和前面表9-1下半部分数据来计算 可根据下表的公式和前面表 下半部分数据来计算 也可用统计软件包如SAS或SPSS等进行计算，直接 或 等进行计算， 也可用统计软件包如 等进行计算 获得表9-4的方差分析表。 获得表 的方差分析表。 的方差分析表
i= j= 1 1 i k ni
v组内 = v2 = N −k
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SS组内 = (21−1 ×17.6305+(19−1 ×18.1867+(20−1 ×12.3843 ) ) ) = 909.8723
v组内 = v2 = 60−3
M =909.8723/57 =15.9627 S
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1.总变异 1.总变异: 所有测量值之间总的变异程度
SS总 = SST = ∑∑(Xij − X)
i= j = 1 1 k ni 2
ν总 = N −1
SS总=18.4176×（60-1）=1086.6384 × ）
ν=60-1=59
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2.组间变异：各组均数与总均数的离均差平方和，反 组间变异：各组均数与总均数的离均差平方和，
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表 9-1 高剂量组 （i=1） 5.6 9.5 6.0 8.7 9.2
Xij
三组患者 4 周后血糖的下降值（mmol / L） 低剂量组 （i=2） 对照组 （i=3） 2.0 5.6 7.0 7.9 4.3 6.4 7.0 5.4 3.1 12.4 0.9 7.0 3.9 1.6 6.4 3.0 3.9 2.2 1.1 2.7 7.8 6.9 1.5 9.4 3.8 7.5 8.4 12.2 6.0 合计
∑X2 −C
组 间
∑ni (Xi − X)
i
2
SS组间
ν组间 ν组内
M 组间 S M 组内 S
组 内
N－k
SS总 −SS组间
SS组内
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四、分析步骤
1. 建立检验假设，确定检验水准 建立检验假设，确定检验水准:
H0：µ1 = µ 2 = µ 3 即3组总体均数相等 组总体均数相等 H1：3组总体均数不等或不全相等 组总体均数不等或不全相等
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注意： 注意：
方差分析的结果拒绝H 接受H 方差分析的结果拒绝 0，接受 1，不能 说明各组总体均数间两两都有差别。 说明各组总体均数间两两都有差别 。 如果 要分析哪些两组间有差别， 可进行多个均 要分析哪些两组间有差别 ， 数间的多重比较（见本章第五节） 数间的多重比较（见本章第五节）。当k=2 时 ， 完全随机设计方差分析与成组设计资 料的t 检验等价， 料的 检验等价，有 t = F 。
表 9-4 例 9-1 的方差分析表 df SS MS F 变异来源 59 1086.63 总变异 2 176.76 88.38 5.537 组 间 909.87 15.96 组 内（误差） 57
P <0.01
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ANOVA X Sum of Squares Between Groups 180.513 Within Groups 908.569 Total 1089.082 df Mean Square 2 90.257 57 15.940 59 F 5.662 Sig. .006
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返回
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二、方差分析的几个名词和符号
什么是方差？ 什么是方差？ 方差 离均差 离均差平方和SS 离均差平方和 方差（ 均方（ ） 方差（σ2 S2 ）均方（MS） 标准差： 标准差：S 自由度： 自由度： ν 关系： 关系： MS= SS/ ν
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各种符号的意义
Xij第i 个组的第 个观察值 个组的第j i=1,2,…k j=1,2,…ni ni第i 个处理组的例数 ∑ni=N Xi =第i组的均数 第 组的均数 X=总的均数 总的均数
16.3 11.8 14.6 4.9 8.1 3.8 6.1 13.2 16.5 9.2
-0.6 5.7 12.8 4.1 -1.8 -0.1 6.3 12.7 9.8 12.6
5.0 3.5 5.8 8.8 15.5 11.8
Байду номын сангаас
ni
Xi
21 9.1952 17.3605
19 5.8000 18.1867
第一节
基本思想及应用条件
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一、为什么要学方差分析？ 为什么要学方差分析？
概述：在进行科研时， 概述：在进行科研时，有时要按实验设计将 所研究的对象分为多个处理组施加不同的干 处理因素， 施加的干预称为处理因素 处理因素至 预，施加的干预称为处理因素，处理因素至 少有两个水平。 少有两个水平。
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3. 确定 值，作出推断结论： 确定P值 作出推断结论：
本例： 本例：ν1=3−1=2，ν2=60−3=57。因附表 中ν2无57， ， 。因附表3中 ， 故取最接近者ν 水准， 故取最接近者 2=60, 得P<0.01。按α=0.05水准，拒绝 。 水准 H0，接受 1，有统计学意义。 接受H 有统计学意义。 可以认为2型糖尿病患者经药物 新药和标准药物 可以认为 型糖尿病患者经药物(新药和标准药物 治 型糖尿病患者经药物 新药和标准药物)治 小时血糖的总体平均水平不全相同， 疗4周，其餐后 小时血糖的总体平均水平不全相同， 周 其餐后2小时血糖的总体平均水平不全相同 即三个总体均数中至少有两个不同。 即三个总体均数中至少有两个不同。
v 间 = 3−1 组
M 组间 =176.7612/ 2 =88.3806 S
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3．组内变异：各组内各测量值Xij与其所 组内变异：
在组的均数的差值的平方和，反映随机误差 在组的均数的差值的平方和，反映随机误差 的影响. 的影响.
SS组内 = SSW = SSE = ∑∑ Xij − Xi )2 = ∑ ni −1 Si2 ( ( )
20 5.4300 2.3843
60（N） 6.859( X 18.4176(S²)
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)
Si
总变异
组间
组内
二、列举存在的变异及意义
1、全部的 个实验数据之间大小不等， 、全部的60个实验数据之间大小不等 个实验数据之间大小不等， 存在变异（总变异）。 存在变异（总变异）。 2、各个组间存在变异：反映处理因素之 、各个组间存在变异： 间的作用，以及随机误差。 间的作用，以及随机误差。 3、各个组内个体间数据不同：反映了观 、各个组内个体间数据不同： 察值的随机误差。 察值的随机误差。 思考：各种变异的表示方法？ 思考：各种变异的表示方法？
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三、方差分析的基本思想
根据变异的来源，将全部观察值总的离均差平 根据变异的来源，将全部观察值总的离均差平 方和及自由度分解为两个或多个部分 分解为两个或多个部分， 方和及自由度分解为两个或多个部分，除随机 误差外， 误差外，其余每个部分的变异可由某些特定因 素的作用加以解释。 素的作用加以解释。 通过比较不同来源变异的方差（ 通过比较不同来源变异的方差（也叫均方 MS），借助 分布做出统计推断，从而判断某 ），借助 分布做出统计推断， ），借助F分布做出统计推断 因素对观察指标有无影响。 因素对观察指标有无影响。
甲处理（ 甲处理（n1） 乙处理 （n2） 处理（ 处理（n3） 各 组 例 数 可 以 相 等 或 不 等
试验对象 （N） ）
随机化分组
M
验 (one-way ANOVA)
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例9-1 Page 150
某医生为研究一种四类降糖新药的疗效， 某医生为研究一种四类降糖新药的疗效， 以统一的纳入标准和排除标准选择了60名 以统一的纳入标准和排除标准选择了 名2 型糖尿病患者，按完全随机设计方案将患 型糖尿病患者， 者分为三组进行双盲临床试验。问治疗 周 者分为三组进行双盲临床试验。问治疗4周 餐后2小时血糖下降值的三组总体平均 后，餐后 小时血糖下降值的三组总体平均 水平是否不同？ 水平是否不同？
映处理因素的作用和随机误差的影响
如果有 个总体均数有 如果有——k个总体均数有差别 个总体均数 如果无 个总体均数无 如果无——k个总体均数无差别 个总体均数
SS组间 = SSB = ∑ni (Xi − X)
i= 1
k
2
ν组间 = k −1
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SS组间 = 21(9.1952−6.8650)2 +19(5.8000−6.8650)2 +20(5.4300−6.850)2 =176.7612
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处理因素和 处理因素和水平
研究者对研究对象人为地施加某种干预措施， 研究者对研究对象人为地施加某种干预措施， 称为处理因素(factor)或实验因素； 或实验因素； 称为处理因素 或实验因素 处理因素所处的不同状态称为水平(level)。 。 处理因素所处的不同状态称为水平 处理因素的水平数≥2，即实验的组数。 处理因素的水平数 ，即实验的组数。
检验， 多次重复使用 t 检验，会使犯第一类 错误的概率增大。 错误的概率增大。下一页 脱离了原先的实验设计， 脱离了原先的实验设计，将多个样本 均数地同时比较转变为两个均数的多 次比较。 次比较。
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例如，有4个样本均数，两两组合数 4 检验做6次比较 次比较， 为 ( ) = 6 ，若用 t 检验做 次比较，且每次比 2 较的检验水准定为α=0.05， 则每次比较不犯 较的检验水准定为 ， 次均不犯Ⅰ ） 次均不犯 Ⅰ类错误的概率为（1－0.05），6次均不犯Ⅰ 类错误的概率为（ 类错误的概率为 (1-0.05)6，这时，总的检验 这时， 远比0.05大。因 水准变为 1-(1-0.05)6 = 0.26 ，远比 大 此 ， 样本均数间的多重比较不能用两样本均 检验。 数比较的 t 检验。
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三种变异的关系：
SS总 = SS组间 + SS组内
ν总 =ν组间 +ν组内
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均方差，均方( 均方差，均方(mean square，MS)。 ， )
M 组间 = S M 组内 = S
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SS组间
ν组间
SS组内
ν组内
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干预前
干预后 干预后 高剂量 i=1 低剂量 i=2 对 照 i=3