群在集合上作用的定义

群在集合上作用的定义
近世代数是近一百年来发展起来的新的数学领域，它极大地扩充了代数学的研究范围，并出现了许多新的研究方法和研究对象。

我们知道，数、多项式、和矩阵的出现是为了刻画一些物理量和几何量，诸如长度、面积、速度、物理定理、空间中点的位置、平面的运动和几何变换等。

然而当人们企图刻画对称性时，——无论是物理现象中，还是数学世界中的对称性时，都无法用单个的数，多项式或矩阵来刻画。

为了刻画对称这一概念，人们发现了群。

现在我们知道，群是研究对称性的有力工具。

物理、几何、数学中对称这一概念的特殊重要性，是群称为近代数学极其深刻、极其重要的概念之一。

群论有着悠久的历史，现在已经发展成为一门范围广泛和内容十分丰富的数学分支，在近世代数中占有极为重要的地位。

19世纪初，青年数学家伽罗瓦和阿贝尔为了解决数学史上一个长达三世纪之久的难题，即五次和五次以上代数方程的根式解问题，引进了一种置换群的概念，它对今后数学的发展，特别是代数学的发展起着巨大的关键性作用。

之后，人们逐渐发现，置换群并不重要，重要的是对任意集合里所规定的代数运算的的研究，这样一个现在看来似乎很平凡的发现实际上是一个很大的突破，它的重要意义在于把置换群的研究推广到更一般的抽象群的研究上去。

这样便把群的研究建立在公理化的基础上，使它的理论更加清晰和严谨，从而为群论的发展开辟了广阔的前景。

本文第一章回顾了群与集合上变换的基本概念，第二章介绍了群在集合上作用的定义以及群作用的基本定理，最后我们引出了群在集合上作用的例子和应用，并由此说明群作用在数学中的重要性。

第一章基本概念
定义1.1 设A与B是两个集合，如果有一个对应法则ϕ，它对于A中每一个元素x，在B中都有一个唯一确定的元素y与之对应，则称法则ϕ是集合A到B
得一个映射。

这种关系常表示为
ϕ
=或y
(x
)
yϕ
:
xα
定义1.2 集合X到自身的映射，叫做集合X的一个变换。

同样可以定义满射变换、单射变换和双射变换。

Ｘ的双射变换也称为Ｘ的一个一一变换。

定义1.3 （群的定义）设Ｇ是一个非空集合，如果在Ｇ上定义了一个乘法代数运算，记作ab，而且它适合以下条件，那么Ｇ称为一个群：
1）对于Ｇ中任意元素ａ，ｂ，ｃ有
)
c
(
(=（结合律）
a)
ab
bc
2）在Ｇ中有一个元素ｅ，它对于Ｇ中任意元素ａ有
ea=
a
3）对于Ｇ中任一元素ａ都存在Ｇ中一个元素ｂ使
ba=
e
第二章群在集合上作用的定义
2.1 变换群的定义
设X={1,2,……，n}。

则对X 的每个双射变换ϕ，都能确定元素1,2……，n 的一个全排列ϕ(1)ϕ(2)……ϕ(n),反之，元素1,2，……，n 的任意一个全排列都确定X 的一个双射，而且不同的全排列确定不同的双射变换。

对有限集合X={1,2,……，n}的双射变换ϕ，常用一下特殊符号表示
⎪⎪⎭⎫
⎝⎛=)()2(2)1(1n n ϕϕϕϕΛΛ 并称其为一个ｎ元置换。

由群的定义容易验证Ｘ的双射变换全体作成一个群，即有：
定义2.1 设X 是任意一个非空集合，则由集合X 一些变换关于变换乘法所作成的群，称为集合X 的一个变换群；由Ｘ的全体双射变换作成的群，称为集合Ｘ的全变换群，记为)(X S
特别地，当|X|=n 时，X 上的对称群用n S 表示，并称为n 元对称群。

显然，X 的任何双射变换群都是X 上的对称群的一个子群， 即X 上的对称群是X 上最大的双射变换群。

定理2.1（Caylay ，1821-1895）任何群都同一个集合的变换群同构。

证明：设G 是一个群，同时定义集合G 的变换a σ如下：
G x ax x a ∈=,)(σ
我们先证明，a σ是G 的可逆变换。

显然，
x ax x a a a ==--)()(1
1σσσ x x a x a a a ==--)()(11
σσσ 这就是说，a a σσ1-与1-a a σσ都是单位变换，即
1
1-=-a a σσ 因此，a σ是可逆变换。

这样，我们就得到集合G 的一些可逆变换组成的集合
}|{G a G a l ∈=σ
对于l b a G ∈σσ,，有
)()()(1
111x x ab x x ab b a b a --===--σσσσσ 即
l ab b a G ∈=--1
1σσσ 由定理知，l G 是一变换群。

因为
a e a =)(σ
所以当b a ≠时，b a σσ≠。

这就说明，映射
a a σα
是G 到l G 的一个一一对应。

即f 是一同构映射。

证毕
推论2.1任何ｎ阶有限群都同ｎ元对称群n S 的一个子群同构。

2.2 群在集合上作用的定义
由Caylay 定理知，每个群G 都同G 上的一个双射变换群同构，即有一个群G 到对称群S(G)的同态映射。

设想，如果把后者的G 换成一般化的任一集合X ，即有一个群G 到对称群S(X)的同态映射，如此我们就得到群在集合上的作用的定义。

定义2.2 设G 是一个群，X 是任一非空集合，若给定一个映射
X X G f →⨯:适合条件：对X x G g g ∈∈∀,,21
（1） x x e f =),(
（2） )),(,(),(2121x g f g f x g g f =
那么我们就说，f 决定了群G 在集合X 上的一个作用。

在不需要指明映射f 的情况下，我们常常记)(),(x g x g f =。

在举例之前，我们先来考察“群G 在集合X 上的作用”同“群G 到S(X)的同态映射”的关系。

设群G 作用在集合X 上，那么G 的每个元素g 都对应集合X 的一个到自身的映射)(:x g x g ασ。

有定义中的条件，我们有
x x e x g g x g g ===--)())(())((11
这就说明，G 中每个元素g 对应的映射g σ都是集合X 到自身的一一对应，即
)(X S g ∈σ，
且11
-=-g g σσ。

显然，g g σα是群G 到S(x)的一个同态映射。

反过来，如果给了一个同态映射ψ ),(:X S G →ψ
并且定义
))(()(x g x g ψ=，对X x G g ∈∈,，
那么就决定了群G 在集合X 上的作用。

由此表明，寻求群G 在集合X 上的一个作用，同寻求群G 到对称群S(x)的一个同态映射本质上是一回事。

定义2.3 设Ｇ是一个群，X ，'X 是两个非空集合，Ｇ作用在Ｘ上，同时Ｇ也作用在'X 上。

如果有一个一一对应':X X →ϕ使
)),(())((x g x g ϕϕ=
那么这两个作用就成为等价的。

定义2.4 假设群G 作用在一非空集合X 上，并且在集合X 上定义一等价关系如下：如果对于元素X y x ∈,，存在群G 中的一个元素g 满足)(x g y =，那么我们就称x 等价于y 。

按照上面的等价关系可以对集合X 进行分类。

我们称每一个等价类为一个轨道。

根据以上定义，集合X 上的任意一个元素所在的轨道为X 的一个子集：
}|)({G g x g O x ∈=
对于集合中的任意两个元素X y x ∈,，y x O O ,或者是两个完全相同的集合，或者交集是空集。

显然，集合X 是全部不同的轨道的并，即x x
O X ⋃=，其中x 取遍不同轨道的代表。

定义2.5 如果对于所有的G ∈g 都有x x g =)(，这样的元素就称为G 的不动元素。

此时，轨道x O 只包含单个的元素x ，我们称这样的轨道为单轨道。

设G 作用在集合X 上，对于集合X 中任意一个元素x ，易知集合})(|{x x g G g =∈是G 的一个子群，我们用x H 表示这个子群，它称为元素x 的稳定子群（或迷向子群）。

2.3群作用的基本定理
定理2.2设群Ｇ作用在集合Ｘ上，X x ∈，x O 是包含x 的轨道，x G 是ｘ的迷向子群，那么同一轨道中的任意元素对应的迷向子群互为共轭子群。

推论2.2 如果群Ｇ是有限阶群，且群作用在集合Ｘ上。

则对于群作用下的每一个轨道都只含有有限多个元素，并且每个轨道所含元素个数为群Ｇ的阶的因子。

推论2.3 如果群Ｇ作用在集合Ｘ上，那么对于任意X x ∈，x O 中所含元素个数等于指标]:[x G G ．
推论2.4 设群Ｇ是有限群，Ｋ是群Ｇ的子群，那么有如下结论成立： （１）任取群Ｇ中的一个元素ｘ，它所在的共轭等价类中的元素个数为
)](C [G x G ：，并且整除Ｇ的阶；
（２）如果表示群Ｇ中互异的共轭等价类，那么∑==n i i G x C G 1)](:[|G |； 群Ｇ中与Ｋ共轭的子群的个数为)](:[K N G G ，并且整除Ｇ的阶。