第二章 分解因式(单元归纳)
初二北师大版数学第二章分解因式
初二北师大版数学期末复习第二章：分解因式知识要点：1. 思想方法提炼（1）直接用公式。
如：x 2－4＝（x ＋2）（x －2）a ab b a b 222442++=+()（2）提公因式后用公式。
如：ab 2－a ＝a （b 2－1）＝a （b+1）（b －1）（3）整体用公式。
如： ()()[()()][()()]()()2222223322a b a b a b a b a b a b a b a b +--=++-⋅+--=-+（4）连续用公式。
如：()a b c a b 2222224+--=+-++--()()a b c ab a b c ab 22222222 =+---[()][()]a b c a b c 2222=+++--+--()()()()a b c a b c a b c a b c（5）化简后用公式。
如：（a ＋b ）2－4ab＝a 2＋b 2＋2ab －4ab＝（a －b ）2（6）变换成公式的模型用公式。
如：x xy y x y x y x y x y 22222221211++--+=+-++=+-()()()2. 注意事项小结（1）分解因式应首先考虑能否提取公因式，若能则要一次提尽。
然后再考虑运用公式法（2）要熟悉三个公式的形式特点。
灵活运用对多项式正确的因式分解。
（3）对结果要检验（1）看是否丢项（2）看能否再次提公因式或用公式法进行分解，分解到不能分解为止。
3. 考点拓展研究a. 分组分解法在分解因式时，有时为了创造应用公式的条件，需要将所给多项式先进行分组结合，将之整理成便于使用公式的形式，进行因式分解。
【典型例题】例1. 分解因式：x x y x y x x y ()()()+--+2 解：=+--+x x y xy x y ()[()()] =+---x x y x y x y ()()=+-x x y y ()()2=-+2xy x y ()例2. x y 4416-解：=-()()x y 22224=+-()()x y x y 222244=++-()()()x y x y x y 22422 例3. x y xy 33-解：=-=+-xy x y xy x y x y ()()()22 例4. ()x y x --3422解：=-+--()()x y x x y x 3232 =---=-⋅-+=--+()()()[()]()()3333333x y y x x y x y x y x y例5. 13231322x xy y ++ 解：=++=+13213222()()x xy y x y 例6. 252034322m m m n m n --+-()()解：=-⨯⨯-+-()()[()]525232322m m m n m n=--[5()]m m n 232 =-+[5]m m n 262=+()362m n=+[()]322m n =+922()m n例7. ()()x x 2221619---+解：=--()x 2213=-()x 224=+-()()x x 2222例8. 分解因式164129222a b bc c -+-精析：后三项提负号后是完全平方式。
因式分解知识点归纳总结
因式分解知识点归纳总结因式分解是代数中重要的基础知识之一，它可以将代数表达式表达成一些因子的乘积形式。
因式分解的主要目的是简化代数表达式，使其更易于理解和计算。
在因式分解中，我们可以应用不同的方法和技巧，如提公因子、分配律、配方法、综合法等。
下面是对因式分解知识点的归纳总结。
1.提公因子法：提公因子法是因式分解中最常用的方法，它适用于多项式中出现一个或多个公因子的情况。
该方法的基本思想是将公因子提出，并将原多项式转换成公因子和余项的乘积形式。
例如，对于多项式abc+ade+afg，可以将公因子a提出，然后得到a(bc+de+fg)。
2.分配律：分配律是因式分解中非常重要的一个性质，它可以使我们在计算中更加灵活和高效。
分配律的基本形式为a(b+c) = ab+ac，它允许我们将一个因子与括号中的每一项相乘，然后将乘积相加。
例如，对于多项式3x(2x+4)可以应用分配律，得到6x^2+12x。
3.配方法：配方法是因式分解中常见且常用的一种技巧，它适用于二次多项式的因式分解。
配方法的基本思想是通过选取合适的乘法因子，将二次多项式转化为两个一次多项式的乘积。
例如，对于二次多项式x^2+5x+6，我们可以将其分解为(x+2)(x+3)。
4.完全平方差公式：完全平方差公式是因式分解中常用的一种方法，它适用于差平方的情况。
完全平方差公式的基本形式为a^2-b^2=(a-b)(a+b)，它可以将一个差平方因式分解成两个因子的乘积。
例如，对于多项式x^2-4，我们可以应用完全平方差公式，得到(x-2)(x+2)。
5.公式法：公式法是因式分解中一种常见且高级的技巧，它适用于各类常见的代数表达式。
公式法的基本思想是应用一些已知的公式和恒等式，将复杂的表达式转化为简单的因式乘积。
例如，对于二次多项式x^2-5x+6，我们可以应用二次根式公式，得到(x-2)(x-3)。
6.综合法：综合法是因式分解中一种灵活且常用的方法，它适用于各类复杂的代数表达式。
分解因式知识点归纳总结
分解因式知识点归纳总结一、分解因式的基本概念1.什么是因式？在代数中，因式是指一个多项式中可以被整除的表达式。
例如，在多项式2x^2+3x-5中，2是2x^2的因式，3是3x的因式，-5是常数项的因式。
2.分解因式的定义分解因式是指将一个多项式拆分为更简单的因式的过程。
例如，将多项式2x^2+3x-5分解为(2x-1)(x+5)就是一个分解因式的例子。
3.分解因式的目的分解因式的目的是简化代数表达式，使得代数计算更加方便和高效。
另外，分解因式还可以帮助我们解决方程和不等式，以及解决实际问题。
二、分解因式的方法1.提取公因式提取公因式是分解因式中最基本的方法之一。
当一个多项式中的每一项都有一个公因式时，我们可以通过提取这个公因式来进行因式分解。
例如，对于多项式2x^2+4x，我们可以提取公因式2x得到2x(x+2)。
2.分组法分组法是一种通过重新组合多项式中的项来进行因式分解的方法。
它通常适用于四项或更多项的多项式。
例如，对于多项式2x^2+3xy+4x+6y，我们可以通过分组并提取公因式来进行因式分解。
3.因式分解公式在代数学中，存在一些通用的因式分解公式，例如二次方程的因式分解公式、完全平方公式等。
这些公式可以帮助我们直接获得多项式的因式分解结果。
4.特殊因式有些多项式的因式分解并不适用于上述的方法，而需要使用一些特殊的因式分解规则。
例如，诸如a^2-b^2=(a+b)(a-b)、a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2)等特殊因式分解公式。
5.复杂多项式的因式分解对于较为复杂的多项式，我们可能需要结合以上的方法，以及一些代数运算的技巧来进行因式分解。
这需要我们具备较为扎实的代数知识和解题技巧。
三、因式分解在代数学中的应用1.解方程和不等式因式分解可以帮助我们解决各种类型的方程和不等式。
例如，通过因式分解，我们可以求解一元二次方程的根、解决分式方程、解决含有绝对值的不等式等。
2.简化计算通过因式分解，我们可以将复杂的代数表达式简化为更简单的形式，从而使得代数计算更加容易和高效。
分解因式知识点总结
分解因式知识点总结一、基本概念1. 什么是因式代数表达式中，如果一个多项式能够被另一个多项式整除，那么这个被整除的多项式就是被称为因式。
比如，多项式x^2-4就可以被(x-2)(x+2)整除，所以(x-2)(x+2)就是x^2-4的因式。
2. 什么是分解因式分解因式就是将一个多项式拆解为更简单的因式的乘积的过程。
比如，将x^2-4分解为(x-2)(x+2)的过程就是分解因式。
二、分解因式的方法分解因式的方法有几种常见的基本方法，包括提公因式法、配方法、分组法和特殊因式公式等。
下面分别介绍这几种方法。
1. 提公因式法提公因式法是指通过提取多项式中的公因式，然后进行拆分。
比如，对于多项式x^2+4x+4，首先找出公因式x，然后进行拆分得到x(x+4)，再将x+4进一步分解为(x+2)(x+2)，最终得到完整的分解因式为x(x+2)(x+2)。
2. 配方法配方法是通过将多项式中的部分进行配对，然后进行拆分。
比如，对于多项式x^2+6x+9，可以通过配对得到(x+3)(x+3)，从而得到完整的分解因式为(x+3)(x+3)。
3. 分组法分组法是将多项式中的项进行分组，然后进行进一步拆分因式的方法。
通常用于四项以上的多项式分解。
比如，对于多项式x^3+3x^2+2x+6，可以先进行分组(x^3+3x^2)+(2x+6)，然后针对每组进行提公因式法或配方法进行进一步拆分，最终得到完整的分解因式。
4. 特殊因式公式在代数中还存在一些特殊的因式公式，比如(a+b)^2=a^2+2ab+b^2，(a-b)^2=a^2-2ab+b^2等，这些公式是一些特殊情况下的因式拆分公式，可以用来快速分解某些特定的多项式。
三、分解因式的应用分解因式是代数中一个非常重要的概念，它在多项式求值、方程求解、多项式因式分解和多项式简化等方面都有着广泛的应用。
1. 多项式求值在代数中，对于给定的多项式，求出其在某一特定值下的取值是一个非常重要的问题。
第二章分解因式知识点总结及例题
学习必备欢迎下载第二章分解因式一 . 分解因式1.把一个多项式化成几个整式的积的形式 ,这种变形叫做把这个多项式分解因式 .2.因式分解与整式乘法是互逆关系。
因式分解与整式乘法的区别和联系:(1)整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式 ;(2)因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘.二. 提公共因式法1.如果一个多项式的各项含有公因式 ,那么就可以把这个公因式提出来 ,从而将多项式化成两个因式乘积的形式 .这种分解因式的方法叫做提公因式法 .如 : ab ac a(b c)2.概念内涵 :(1)因式分解的最后结果应当是“积” ;(2)公因式可能是单项式 ,也可能是多项式 ;(3)提公因式法的理论依据是乘法对加法的分配律 ,即 :ma mb mc m(a b c)3.易错点点评 :(1)注意项的符号与幂指数是否搞错 ;(2)公因式是否提“干净” ;(3)多项式中某一项恰为公因式,提出后 ,括号中这一项为 +1,不漏掉 .三 . 运用公式法1.如果把乘法公式反过来 ,就可以用来把某些多项式分解因式 .这种分解因式的方法叫做运用公式法 .2.主要公式 :(1)平方差公式 : a2 b 2(a b)( a b)(2)完全平方公式 : a22ab b2(a b) 2 a 22ab b2( a b) 2补充：欧拉公式：a333 b c3abc( a b c)(a 222 b c ab bc ca)1(a b c)[(a b) 2(b c) 2(c a) 2 ]2特别地：（ 1）当abc0 时，有 a 3b3 c 33abc（ 2）当c0 时，欧拉公式变为两数立方和公式。
3. 因式分解要分解到底 .如x4y 4(x 2y2 )( x 2y2 ) 就没有分解到底.4.运用公式法 :(1)平方差公式 : ①应是二项式或视作二项式的多项式 ; ②二项式的每项 ( 不含符号 ) 都是一个单项式 ( 或多项式 ) 的平方 ; ③二项是异号 .(2)完全平方公式 :①应是三项式 ; ②其中两项同号 , 且各为一整式的平方 ;③还有一项可正负 , 且它是前两项幂的底数乘积的 2 倍.5.因式分解的思路与解题步骤 :(1)先看各项有没有公因式,若有 ,则先提取公因式 ;(2)再看能否使用公式法 ;(3)用分组分解法 ,即通过分组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;(4)因式分解的最后结果必须是几个整式的乘积,否则不是因式分解 ;(5)因式分解的结果必须进行到每个因式在有理数范围内不能再分解为止.四. 分组分解法 :1.分组分解法 :利用分组来分解因式的方法叫做分组分解法 .如 : am an bm bn a(m n) b(m n) (a b)(m n)2.概念内涵 :分组分解法的关键是如何分组 ,要尝试通过分组后是否有公因式可提 ,并且可继续分解 ,分组后是否可利用公式法继续分解因式 .3.注意 : 分组时要注意符号的变化 .五 .十字相乘法 :1.对于二次三项式ax2bx c ,将a和c分别分解成两个因数的乘积, a a1 a2,a1c1c c1 c2,且满足 b a1c2a2 c1,往往写成a2 c 2的形式 ,将二次三项式进行分解 .如: ax2bx c(a1 x c1 )( a2 x c2 )2. 二次三项式x2px q 的分解:p a b q ab 3.规律内涵 :(1)理解 :把1a x2px q ( x a)( x b)1bx2px q 分解因式时,如果常数项q是正数 ,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p 的符号相同 .(2)如果常数项 q 是负数 ,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数 p 的符号相同 ,对于分解的两个因数 ,还要看它们的和是不是等于一次项系数 p.4.易错点点评 :(1)十字相乘法在对系数分解时易出错 ;(2)分解的结果与原式不等 , 这时通常采用多项式乘法还原后检验分解的是否正确.提公因式法1.把下列各式因式分解（ 1）a 2 x m 2abx m 1acx m ax m 3（ 2）a(a b)3a2(b a)2ab(b a)222.利用提公因式法简化计算过程例：计算987987987987 123268456521 13681368136813683.在多项式恒等变形中的应用2x y3例：不解方程组，求代数式 ( 2x y)(2x 3yx) 3 ( 2x y) 的值。
(完整版)因式分解知识点归纳
n m n a a +=同底数幂相乘，底数不变，指数相加。
注意底数可以是多项式或单项式。
35())a b b += 、幂的乘方法则：mnm aa (（n m ,都是正整数）幂的乘方，底数不变，指数相乘。
如：幂的乘方法则可以逆用：即考点四、十字相乘法（1）二次项系数为1的二次三项式2x px q ++中，如果能把常数项q 分解成两个因式a b 、的积，并且a b +等于一次项系数p 的值，那么它就可以把二次三项式2x px q ++分解成()()()b x a x ab x b a x q px x ++=+++=++22例题讲解1、分解因式：652++x x分析：将6分成两个数相乘，且这两个数的和要等于5。
由于6=2×3=(-2)×(-3)=1×6=(-1)×(-6)，从中可以发现只有2×3的分解适合，即2+3=51 2 解：652++x x =32)32(2⨯+++x x 1 3 =)3)(2(++x x 1×2+1×3=5 用此方法进行分解的关键：将常数项分解成两个因数的积，且这两个因数的代数和要等于一次项的系数。
例题讲解2、分解因式：672+-x x解：原式=)6)(1()]6()1[(2--+-+-+x x 1 -1=)6)(1(--x x 1 -6（-1）+（-6）= -7练习分解因式(1)24142++x x (2)36152+-a a (3)542-+x x(4)22-+x x (5)1522--y y (6)24102--x x2、二次项系数不为1的二次三项式——c bx ax ++2 条件：（1）21a a a = 1a 1c（2）21c c c = 2a 2c （3）1221c a c a b += 1221c a c a b +=分解结果：c bx ax ++2=))((2211c x a c x a ++例题讲解1、分解因式：101132+-x x分析： 1 -2 3 -5 （-6）+（-5）= -11解：101132+-x x =)53)(2(--x x分解因式：（1）6752-+x x （2）2732+-x x。
第二章分解因式知识点整理：八年级下册数学
第二章分解因式知识点整理：八年级下册数
学
一、公式：1、 ma+mb+mc=m(a+b+c)2、
a2-b2=(a+b)(a-b)3、a2±2ab+b2=(a±b)2 二、把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
1、把几个整式的积化成一个多项式的形式，是乘法运算.
2、把一个多项式化成几个整式的积的形式，是因式分解.
3、ma+mb+mc=m(a+b+c)
4、因式分解与整式乘法是相反方向的变形。
三、把多项式的各项都含有的相同因式，叫做这个多项式的各项的公因式.
提公因式法分解因式就是把一个多项式化成单项式与多项式相乘的形式. 找公因式的一般步骤：(1)若各项系数是整系数，取系数的最大公约数;(2)取相同的字母，字母的指数取较低的;(3)取相同的多项式，多项式的指数取较低的.(4)所有这些因式的乘积即为公因式.
四、分解因式的一般步骤为:
(1)若有-先提取-，若多项式各项有公因式,则再提取公因式.
(2)若多项式各项没有公因式,则根据多项式特点,选用平方差公式或完全平方公式.
(3)每一个多项式都要分解到不能再分解为止.
五、形如a2+2ab+b2或a2-2ab+b2的式子称为完全平方式. 分解因式的方法：1、提公因式法。
2、运用公式法。
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八年级下册第二章 分解因式
第一章分解因式【知识体系】重点是用提公因式法和公式法分解因式.难点是分组分解法和形如x2+(p+q)x+pq的多项式的因式分解. 一、因式分解的定义把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做把这个多项式分解因式.【说明】(1)因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆的运算.例如：(2)因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验.*二、因式分解常用解题方法有：1、提公因式法多项式m a+mb+mc中的各项都有一个公共的因式m，我们把因式m叫做这个多项式的公因式.m a+mb+mc=m(a+b+c)就是把m a+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式(a+b+c)是m a+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法.例如：x2-x=x(x-1)，8a2b-4a b+2a=2a(4a b-2b+1).探究交流下列变形是否是因式分解？为什么，(1)3x2y-xy+y=y(3x2-x)；(2)x2-2x+3=(x-1)2+2；(3)x2y2+2xy-1=(xy+1)(xy-1)；(4)x n(x2-x+1)=x n+2-x n+1+x n.点拨 (1)不是因式分解，提公因式错误，可以用整式乘法检验其真伪.(2)不是因式分解，不满足因式分解的含义(3)不是因式分解，因为因式分解是恒等变形而本题不恒等.(4)不是因式分解，是整式乘法.2、公式法(1)平方差公式：a2-b2=(a+b)(a-b).即两个数的平方差，等于这两个数的和与这个数的差的积.例如：4x2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3).(2)完全平方公式：a2±2a b+b2=(a±b)2.其中，a2±2a b+b2叫做完全平方式.即两个数的平方和加上(或减去)这两个数的积的2倍，等于这两个数的和(或差)的平方.例如：4x2-12xy+9y2=(2x)2-2·2x·3y+(3y)2=(2x-3y)2.探究交流下列变形是否正确？为什么？(1)x2-3y2=(x+3y)(x-3y)；(2)4x2-6xy+9y2=(2x-3y)2；(3)x2-2x-1=(x-1)2.点拨 (1)不正确，目前在有理数范围内不能再分解.(2)不正确，4x2-6xy+9y2不是完全平方式，不能进行分解.(3)不正确，x2-2x-1不是完全平方式，不能用完全平方公式进行分解，而且在有理数范围内也不能分解.3、分组分解法(1)形如：a m+a n+bm+bn=(a m+a n)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b)(2)形如：x2-y2+2x+1=(x2+2x+1)-y2=(x+1)2-y2=(x+y+1)(x-y+1).把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.知识规律小结 (1)分组分解法一般分组方式不惟一.例如：将a m+a n+bm+bn因式分解，方法有两种：方法1：a m+a n+bm+bn=(a m+a n)+(bm+bn)=a(m+n)+b(m+n)=(m+n)(a+b).方法2：a m+a n+bm+bn=(a m+bm)+(a n+bn)=m(a+b)+n(a+b)=(m+n)(a+b).(2)分组除具有尝试性外，还要具有目的性，或者分组后能出现公因式，或者分组后能运用公式.例如：a m+a n+bm+bn分组后有公因式；x2-y2+2x+1分组后能运用公式.分组分解法是因式分解的基本方法，体现了化整体为局部，又统揽全局的思想，如何恰当分组是解题的关键，常见的分组方法有：(1)按字母分组；(2)按次数分组；(3)按系数分组.例如：把下列各式因式分解.(1) a m+bm+a n+bn；(2)x2-y2+x+y；(3)2a x-5by+2a y-5bx.三、关于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).事实上：x2+(p+q)x+pq=x2+px+qx+pq=(x2+px)+(qx+pq)=x(x+p)+q(x+p)=(x+p)(x+q).∴x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q).利用这个公式，可以把二次三项式因式分解，当p=q时，这个式子化成x2+2px+p2或x2+2qx+q2，是完全平方式，可以运用公式分解因式.例如：把x2+3x+2分解因式.(分析)因为二次三项式x2+3x+2的二次项系数是1，常数项2=1×2，一次项系数3=1+2，这是一个x2+(p+q)x+pq型式子.解：x2+3x+2=(x+1)(x+2)【题型体系】(1)掌握用提公因式法、公式法、分组分解法分解因式；(2)会分解关于x2+(p+q)x+pq型的二次三项式.例1用提公因式法将下列各式因式分解.(1)a x-a y； (2)6xyz-3xz2； (3)-x3z+x4y；(4)36a by-12a bx+6a b； (5)3x(a-b)+2y(b-a)；(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m).(分析) (1)～(4)题直接提取公因式分解即可，(5)题和(6)题首先要适当的变形，其中(5)题把b-a化成-(a-b)的，(6)题把(x-m)(y-m)化成(m-x)(m-y)，然后再提取公因式.解：(1)a x-a y=a(x-y)(2)6xyz-3xz2=3xz(2y-z).(3)-x3z+x4y=x3(-z+xy).(4)36a by-12a bx+6a b=6a b(6y-2x+1).(5)3x(a-b)+2y(b-a)=3x(a-b)-2y(a-b)=(a-b)(3x-2y).(6)x(m-x)(m-y)-m(x-m)(y-m)=x(m-x)(m-y)-m(m-x)(m-y)=(m-x)(m-y)(x-m)=-(m-x)2(m-y).小结运用提公团式法分解因式时，要注意下列问题：(1)因式分解的结果每个括号内如有同类项要合并，而且每个括号不能再分解.如：(7m-8n)(x+y)-(3m-2n)(x+y)=(x+y)[(7m-8n)-(3m-2n)]=(x+y)(4m-6n).=2(x+y)(2m-3n).(2)如果出现像(5)(6)小题需统一时，首先统一，尽可能使统一的个数少，减少统一计算出现误差的机率，这时注意到(a-b)n=(b-a)n(n为偶数).例如：分解因式a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2.本题既可以把(x-y)统一成(y-x)，也可以把(y-x)统一成(x-y),但比较而言把(x-y)化成(y-x)比较简便，因为(x-y)2=(y-x)2.a(x-y)2+b(y-x)3+c(y-x)2=a(y-x)2+b(y-x)3+c(y-x)2=(y-x)2[a+b(y-x)+c]=(y-x)2(a+by-bx+c).(3)因式分解最后如果有同底数幂，要写成积的形式.例如：(7a-8b)(a-2b)+(a-8b)(a-2b)=(a-2b)[(7a-8b)+(a-8b)]=(a-2b)(8a-16b)=8(a-2b)(a-2b)=8(a-2b)2.课堂练习把下列各式分解因式.(1)a m+a n；(2)(xy+a y-by)；(3)(2a+b)(2a-3b)+(2a+5b)(2a+b)；(4)3x(a-b)-2y(b-a)；(5)4p(1-q)3+2(q-1)2；(6)a b2(x-y)m+a2b(x-y)m+1.解(1)原式=a(m+n) (2)原式=y(x+a-b)；(3)原式=2(2a+b)2；(4)原式=(a-b)(3x+2y)；(5)原式=(1-q)2(4p-4pq+2)；(6)原式=a b(x-y)m(b+a x-a y).例2 把下列各式分解因式.(1)m2+2m+1；(2)9x2-12x+4；(3)1-10x+25x2；(4)(m+n)2-6(m+n)+9.(分析)本题旨在考查用完全平方公式分解因式.解：(1)m2+2m+1=(m+1)2.(2)9x2-12x+4=(3x-2)2.(3)1-10x+25x2=(1-5x)2.(4)(m+n)2-6(m+n)+9=(m+n-3)2.把下列各式分解因式.(1)(x2+4)2-2(x2+4)+1；(2)(x+y)2-4(x+y-1).解 (1)原式=(x2+3)2；(2)原式=(x+y-2)2.例3 把下列各式分解因式.(1)x2+7x+10；(2)x2-2x-8；(3)y2-7y+10；(4)x2+7x-18.(分析) 二次三项式x2+7x+10的二次项系数为1，常数项10=2×5，一次项系数7=2+5，所以这是一个x2+(p+q)x+pq型的式子，可以用x2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)进行因式分解.解：(1)x2+7x+10=(x+2)(x+5).(2)x2-2x-8=(x-4)(x+2).(3)y2-7y+10=(y-2)(y-5).(4)x2+7x-18=(x+9)(x-2).小结对于x2+(p+q)x+pq型二次三项式的因式分解，①pq＞0，则p,q同号，若p+q＞0，则p＞0，q ＞0；若q+p＜0，则p＜0，q＜0；②若pq＜0，则p,q异号，若p+q＞0，则绝对值大的为正数，若p+q＜0,则绝对值大的为负数.把下列各式分解因式.(1)m2-7m+12；(2)x2y2-3xy-10；(3)(m-n)2-(m-n)-12；(4)x2-xy-2y2.解 (1)原式=(m-3)(m-4)；(2)原式=(xy-5)(xy+2)；(3)原式=(m-n-4)(m-n+3)；(4)原式=(x-2y)(x+y).综合应用题本节知识的综合应用主要包括：(1)用分组分解法分解因式；(2)与方程组的综合应用；(3)与几何知识的综合应用；(4)几种因式分解方法的综合应用.例4 分解因式.(1)x3-2x2+x；(2)(a+b)2-4a2；(3)x4-81x2y2；(4)x2(x-y)+y2(y-x)； (5)(a+b+c)2-(a-b-c)2.(分析)本题旨在考查综合运用提公因式法和公式法分解因式.解：(1)x3-2x2+x=x(x2-2x+1)=x(x-1)2.(2)(a+b)2-4a2=(a+b+2a)(a+b-2a)=(3a+b)(b-a).(3)x4-81x2y2=x2(x2-81y2)=x2(x+9y)(x-9y).(4)x2(x-y)+y2(y-x)=x2(x-y)-y2(x-y)=(x-y)(x2-y2)=(x-y)(x+y)(x-y)=(x+y)(x-y)2.(5)( a+b+c)2-(a-b-c)2=[(a+b+c)(a-b-c)][(a+b+c)-(a-b-c)]=2a·(2b+2c)=4a(b+c).例5 利用分组分解法把下列各式分解因式.(1)a2-b2+a-b；(2)a2+b2-2ab-1；(3)(a x+by)2+(a y-bx)2；(4)a2-2a b+b2-c2-2c-1.(分析) 分组分解法一般是针对四项或四项以上多项式的因式分解，分组有两个目的，一是分组后能出现公因式，二是分组后能应用公式，其中(1)题分组后存在公因式，(3)题需去括号后重新分组，(2)和(4)题分组后能运用公式.解：(1)a2-b2+a-b=(a2-b2)+(a-b)=(a+b)(a-b)+(a-b)=(a-b)(a+b+1).(2)a 2+b 2-2ab-1=(a 2-2ab+b 2)-1 =(a -b)2-1=(a -b+1)(a -b-1). (3)(a x+by)2+(a y-bx)2=a 2x 2+2a bxy+b 2y 2+a 2y 2-2a bxy+b 2x 2=a 2x 2+b 2y 2+a 2y 2+b 2x 2=(a 2x 2+a 2y 2)+(b 2y 2+b 2x 2) =a 2(x 2+y 2)+b 2(x 2+y 2) =(a 2+b 2)(x 2+y 2). (4)a 2-2a b+b 2-c 2-2c-1 =(a 2-2a b+b 2)-(c 2+2c+1) =(a -b)2-(c+1)2=[(a -b)+(c+1)][(a -b)-(c+1)] =(a -b+c+1)(a -b-c-1).小结 解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公因式后，通常分下列几种情况考虑：(1)如果是四项或四项以上，考虑用分组分解法；(2)如果是二次三项式或完全平方式，则考虑用x 2+(p+q)x+pq 型式子或完全平方公式分解因式； (3)如果是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式. 最后，直到每一个因式都不能再分解为止.例6 解方程组⎩⎨⎧=-=-②①.12,5422y x y x(分析)本题是一个二元二次方程组，就目前的知识水平来说，用代入消元法或加减消元法来解是困难的.但是我们发现这个方程组有一个特点是方程x 2-4y 2=5可以通过因式分解为(x+2y)(x-2y)=5，再把x-2y=1代入方程(x+2y)(x-2y)=5中，即可得到x+2y=5由此原方程组就可以化成一个二元一次方程组而解出.解：由①得(x+2y)(x-2y)=5，③ 把②代入③中得x+2y=5，④ ∴原方程组化为⎩⎨⎧=-=+②④,12,52y x y x ②+④得2x=6，∴x=3.②-④得4y=4，∴y=1. ∴原方程组的解为⎩⎨⎧==.1,3y x解方程组⎩⎨⎧-=-=+.359,7322y x y x 解 ⎩⎨⎧==.2,1y x例7 若a ，b ，c 是三角形的三边，且满足关系式a 2+b 2+c-a b-a c-bc=0，试判断这个三角形的形状. 解：∵a 2+b 2+c 2-a b-a c-bc=0， ∴2a 2+2b 2+2c 2-2a b-2a c-2bc=0.即(a 2-2a b+b 2)+(b 2-2bc+c 2)+(c 2-2a c+a 2)=0， (a -b)2+(b-c)2+(c-a )2=0. 由平方的非负性可知，∴a =b=c.∴这个三角形是等边三角形. 例8 利用因式分解计算下列各题. (1)234×265-234×65； (2)992+198+1.(分析)主要应用提公因式法和公式法分解因式来计算. 解：(1)234×265-234×65=234×(265-65) =234×200=46800. (2)992+198+1=992+2×99×1+1 =(99+1)2=1002=10000.利用因式分解计算下列各题.(1)7.6×199.9+4.3×199.9-1.9×199.9； (2)20022-4006×2002+20032； (3)5652×11-4352×11； (4)(543)2-(241)2.解 (1)原式=1999； (2)原式=1；(3)原式=143000O ； (4)原式=28. 例9 若9x 2+kxy+36y 2是完全平方式，则k= .(分析) 完全平方式是形如：a 2±2a b+b 2即两数的平方和与这两个数乘积的2倍的和(或差). ∵9x 2+kxy+36y 2=(3x)2+kxy+(6y)2， ∴±kxy=2·3x ·6y=36xy. ∴k=±36.若x 2+(k+3)x+9是完全平方式，则k= . 解 k=3或k=-9. 探索与创新题例10 计算200420032004200365654343212122222222+-+++-++-++- . (分析) 本题旨在考查因式分解的灵活运用,即ba b a b a b a b a +-+=+-))((22=a -b(a +b ≠0). 解:原式=65)65)(65(43)43)(43(21)21)(21(+-+++-+++-++…+20042003)20042003)(20042003(+-+=(1-2)+(3-4)+(5-6)+…+(2003-2004) =(-1)×(2004÷2) =-1002.例11 若x 2+kx+20能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数值有( ) A.2个B.3个C.4个D.6个(分析) 若把x 2+kx+20在整数范围内因式分解，由式子x 2+(p+q)x+qq 考虑把20分解因数，20可分解为：20×1，(-20)×(-1)，10×2，(-10)×(-2)，5×4，(-5)×(-4)，所以k 可能取的值有：20+1，(-20)+(-1),10+2，(-10)+(-2),5+4，(-5)+(-4),故k 可能取的值有6个，所以正确答案为D 项.例12 分解因式(x 4+x 2-4)(x 4+x 2+3)+10.(分析)把x 4+x 2作为一个整体，用一个新字母代替，从而简化式子的结构. 解：令x 4+x 2=m ，则原式可化为 (m-4)(m+3)+10 =m 2-m-12+10 =m 2-m-2 =(m-2)(m+1)=(x4+x2-2)(x4+x2+1)=(x2+2)(x2-1)(x4+x2+1)=(x2+2)(x+1)(x-1)(x4+x2+1).求证：四个连续自然数的积再加上1，一定是一个完全平方数.解设这四个连续自然数依次为n，n+1，n+2，n+3，则n(n+1)(n+2)(n+3)+1=(n2+3n)(n2+3n+2)+1=(n2+3n)2+2(n2+3n)+1=(n2+3n+1)2∴n(n+1)(n+2)(n+3)+1一定是一个完全平方数.例13 若x2+7xy+my2-5x+43y-24可以分解成x,y的两个一次因式的积，试确定m的值.(分析)用待定系数法，令x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d),再对比系数求得m.解:设x2+7xy+my2-5x+43y-24=(x+a y+b)(x+cy+d)=x2+(a+c)xy+a cy2+(b+d)x+(a d+bc)y+bd.对比多项式的系数得由③，⑤两式可得b=-8，d=3，或b=3，d=-8.(1)当b=-8，d=3时，得a=9，c=-2，⑥(2)当b=3，d=-8时，得a=-2，c=9.⑦∴m=-18.已知多项式2x3-x2+m有一个因式(2x+1),求m的值.解由已知条件可以设2x3-x2+m=(2x+1)(x2+a x+b),则2x3-x2+m=2x3+(2a+1)x2+(a+2b)x+b.对比多项式系数可得中考命题总结与展望本章内容在中考中多以填空、选择题的形式出现，直接以分解因式单独命题的并不多，但它与方程组、二元一次方程、二次函数及分式的运算的结合都是屡见不鲜的，应在学习中引起充分的重视.中考试题预测例1 (1)分解因式：a2-25= ；(2)分解因式：xy2-x2y= ；(3)分解因式：x2-1= ；(4)分解因式：3x2-3= ；(5)分解因式：x2+2xy+y2-4= ；(6)分解因式：x3y2-4x= ；(7)分解因式：2x2-2= ；(8)分解因式：a3+2a2+a= ；(9)分解因式：x3y-4xy+4y= ；(10)分解因式：a2-2a b+b2-c2= .(分析) (1)直接运用平方差公式分解即可.(2)直接运用提取公因式法分解即可.(4)3x2-3=3(x2-1)=3(x+1)(x-1).(5)解决本题采用分组分解法，x2+2xy+y2-4=(x2+2xy+y2)-4=(x+y)2-4=(x+y+2)(x+y-2).(6)先提取公因式，再运用公式法分解因式.x3y2-4x=x(x2y2-4)=x(xy+2)(xy-2).答案：(1)(a+5)(a -5) (2)xy(y-x) (3)(x+1)(x-1) (4)3(x+1)(x-1) (5)(x+y+2)(x+y-2)(6)x(xy+2)(xy-2) (7)2(x+1)(x-1) (8)a(a+1)2 (9)y(x-2)2 (10)(a-b+c)(a-b-c)例2 下列多项式中，能用提公因式法分解因式的是( )A.x2-yB.x2+2yC.x2+y2D.x2-xy+y2答案:B例3 将多项式a2-a b+a c-bc分解因式，分组的方法共有种.(分析) 一种是：a2-a b+a c-bc=(a2-a b)+(a c-bc)；另一种是：a2-a b-a c-bc=(a2+a c)-(a b+bc)，∴分组方法共有2种.例4 x2-y2-x-y分解因式的结果是 .答案：(x+y)(x-y-1)例5 将下列式子因式分解：x-x2-y+y2= .答案：(x-y)(1-x-y)例6 解方程组⎩⎨⎧=+=--②①.2,0222y x y xy x(分析)运用因式分解把二元二次方程组转化成二元一次方程组. 解：由①得(x-2y)(x+y)=0，③ 把②代入③中，得x-2y=0，④原方程组化为⎩⎨⎧=-=+④②,02,2y x y x②-④得3y=2，∴y=32. 把y=32代入④中，得x=34. ∴原方程组的解为⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.32,34y x例7 为使x 2-7x+b 在整数范围内可以分解因式，则b 可能取的值为 .(任写一个) (分析) 这是一个开放性试题，答案不惟一，依据的是式子x 2+(p+q)x+pq. 答案：-8例8 把多项式1-x 2+2xy-y 2分解因式的结果是( ) A.(1-x-y)(1+x-y) B.(1+x-y)(1-x+y) C.(1-x-y)(1-x+y)D.(1+x-y)(1+x+y)(分析)解决本题采用分组分解法. 1-x 2+2xy-y 2=1-(x 2-2xy+y 2) =1-(x-y)2=(1+x-y)(1-x+y). 故此，正确答案为B 项. 总结1.本节主要学习了：用提公因式法分解因式；用公式法分解因式；用分组分解法分解因式；形如x 2+(p+q)x+pq 的二次三项式的因式分解.2.会运用因式分解解决计算问题.课后练习1.若x 2+2(m-3)x+16是完全平方式，则m 的值等于( ) A.3B.-5C.7.D.7或-12.若(2x)n -81=(4x 2+9)(2x+3)(2x-3)，则n 的值是( ) A.2B.4C.6D.83.把(a +b)-4(a 2-b 2)+4(a -b)2分解因式的结果是( ) A.(3a -b)2B.(3b+a )2C.(3b-a )2D.(3a +b)24.把(5x-2y)2+(2x+5y)2分解因式为( ) A.2(5x-2y)2B.-2(5x-2y)2C.29(x 2+y 2)D.以上都不对5.若多项式x 2+pxy+qy 2=(x-3y)(x+3y)，则p,q 的值依次为( ) A.-12,-9B.-6,9C.-9,-9D.0,-96.分解因式：4x 2-9y 2= . 7.利用因式分解计算：2224825210000= .8.若x=3.2，y=6.8，则x 2+2xy+y 2= .9.把多项式4-4(a -b)+(a -b)2分解因式的结果是 . 10.计算：12-22+32-42+52-62+72-82+92-102= . 11.分解因式. (1)(x+y)2-9y 2； (2)a 2-b 2+a +b ；(3)10b(x-y)2-5a (y-x)2； (4)(a b+b)2-(a +1)2； (5)(a 2-x 2)2-4a x(x-a )2； (6)(x+y+z)2-(x-y+z)2.12.已知x-y=1,xy=2，求x 3y-2x 2y 2+xy 3的值. 13.已知x-y=2，x 2-y 2=6，求x 与y 的值. 14.利用因式分解计算19992+1999-20002. 15.解方程(65x+63)2-(65x-63)2=260.16.已知a ,b,c 是△ABC 的三边，且满足关系式a 2+c 2=2a b+2bc-2b 2，试说明△ABC 是等边三角形. 17.当a ，b 为何值时，多项式a 2+b 2-4a+6b+18有最小值？并求出这个最小值.参考答案1.D2.B3.C4.C5.D6.(2x+3y)(2x-3y)7.58.1009.(2-a +b)210.-55[提示：运用平方差公式分解因式.原式=(1+2)(1-2)+(3+4)(3-4)+(5+6)(5-6)+(7+8)(7-8)+(9+10)(9-10)=-(1+2)-(3+4)-(5+6)-(7+8)-(9+10)=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10) =2)110(10+⨯=-55.]11.(1)原式=(x+4y)(x-2y)； (2)原式=(a +b)(a -b+1)； (3)原式=5(x-y)2(2b-a )； (4)原式=(a +1)2(b+1)(b-1)； (5)原式=(a -x)2； (6)原式=4y(x+z).12.提示：x 3y-2x 2y 2+xy 3=xy(x 2-2xy+y 2)=xy(x-y)2. 当x-y=1，xy=2时，原式=2×12=2. 13.解：∵x 2-y 2=6,∴(x+y)(x-y)=6. 又∵x-y=2，① ∴x+y=3.②.由①②组成方程组⎩⎨⎧=+=-,3,2y x y x解得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==.21,25y x14.解：19992+1999-20002=19992-20002+1999=(1999+2000)(1999-2000)+1999 =-(1999+2000)+1999 =-1999-2000+1999 =-2000.15.解：(65x+63)2-(65x-63)2=260，(65x+63+65x-63)(65x+63-65x+63)=260， 130x ×126=260， 126x=2. ∴x=631.(运用平方差公式) 16.解：∵a 2+c 2=2a b+2bc-2b 2， ∴a 2+c 2+2b 2-2ab-2bc=0. ∴(a 2+b 2-2ab)+(c 2+b 2-2bc)=0. ∴(a -b)2+(b-c)2=0. 由平方的非负性可知，⎩⎨⎧=-=-,0,0c b b a ∴⎩⎨⎧==.,c b b a ∴a =b=c.∴△ABC 是等边三角形. 17.提示：∵a 2+b 2-4a +6b+18 =(a 2-4a +4)+(b 2+6b+9)+5 =(a -2)2+(b+3)2+5， 又∵(a -2)2≥0，(b+3)2≥0，∴当a =2,b=-3时, a 2+b 2-4a +6b+18有最小值5.。
北师大版八年级下册第二章因式分解复习讲义(一)-提公因式法
2013年八年级下第二章、因式分解复习讲义2.1、分解因式第一部分、知识要点1、概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式。
（和差化积）易错点注意：（1）被分解的代数式（等式的左边）是多项式； （2）分解后的因式（等式的右边）是整式； （3）结果是积的形式；（4）结果的因式必须分解彻底。
第二部分、典例分析例1：计算下列各式：(1)()a b (a b)+－ = ___ _ ___；(2)()2a b + = ___ _ ___；(3)()8y y 1+ = ___ _ ___； (4)()a x y 1++ = ___ _ ___。
根据上述算式填空：(5)ax ay a ++ =( )( ) (6)22a b － =( )( )(7)22a 2ab b ++ =( )( ) (8)28y 8y + =( )( )小结：(1)～(4) 是初一所学的整式的乘法运算，而(5)～(8)的过程就叫分解因式，故分解因式与整式的乘法运算互为逆运算关系。
变式训练1-1：下列由左到右的变形，哪一个是分解因式（ ）A 、22))((b a b a b a -=-+ B 、)1(4))((4422-+-+=-+-y y x y x y y xC 、22)1(1)(2)(-+=++-+b a b a b a D 、)45(452xx x x x ++=++分析：等式的左边必须是一个多项式（是用加减号连接的式子）；右边的结果应当是几个整式的、积的形式 [ 即不能出现分式（分母含字母的式子）和加减号 ]，而且结果的每个因式都不能再被分解为止。
A 、是积化和差，右边是减式；B 、右边是和式；D 、右边含有分式4x，故选C 。
变式训练1-2：下列由左到右的变形，属分解因式的是（ ）A 、3355y x xy ⨯⨯= B 、()()4221644x x x -=+-C 、)54(5422b a ab ab ab b a -=+- D 、)54)(12(8185472++=++x x x x 分析：A 、左边是单项式，不是多项式；B 、分解不彻底，右边结果的分式()24x -还能再被分解为()()22x x +-，正确的结果是()()()4216422x x x x -=++-，C 、结果应当是)154(+-b a ab ，故选D 。
2012八下第二章分解因式辅导复习
第二章 分解因式复习知识点1：分解因式的定义 . 知识点2：整除问题 1.2421-可以被在60 和 70 之间的两个数整除 2.对于任何整数n ，多项式22(3)n n +-都能被 整除.知识点3：找公因式1.的公因式是多项式 963ab - aby abx -+_ _ ___. 2.多项式3223281624a b c a b ab c -+-分解因式时，提取的公因式是_____ _ .知识点4：用提公因式法分解因式1.把多项式m 2(a -2)+m (2-a )分解因式等于2.多项式)3()3(3y x y x ---的分解因式结果3.=-+-)()(x y n y x m .知识点5：判断一个多项式是否可用平方差公式进行因式分解1.多项式中不能用平方差公式分解的是（ ）(A)-a 2+b 2 (B)-x 2-y 2 (C)49x 2y 2-z 2 (D)16m 4-25n 2p 22.各式中，能用平方差分解因式的是（ ）A ． 22y x +B ．22y x --C ．22xy x -D ．21y -知识点6：直接用平方差公式分解因式1.因式14-x 得= 2.22)(n n m -+= .知识点7：用提公因式法和平方差公式分解因式1.分解因式：(1)m 3—4m= ．(2)=-a a 3 ． 知识点8：完全平方式1.若多项式162++kx x 是完全平方式，则k 的值为 .2.若k x x +-692是关于x 的完全平方式，则k= .知识点9：判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解1.下列多项式能分解因式的是（ ）A ．y x -2 B ．22y x + C ．y y x ++22 D ．962+-x x知识点10：直接用完全平方公式分解因式1.把下列各式分解因式： (1)2816x x ++； (2)224129x xy y -+-； (3)224x xy y ++； (4)224493m mn n ++知识点11：用提公因式法和完全平方公式分解因式1.(1)-4x 3+16x 2-16x ；2.21ax 2y 2+2axy+2a知识点12：综合运用各种方法分解因式把下列各式因式分解(1)()32)3(-+-x b x a (2)42246126ay y ax ax +-(3)()()29124y x y x -+-- (4)222224)(y x y x -+知识点13：利用分解因式进行计算(1)250.249.80.2⨯+； (2)21 3.1462 3.1417 3.14⨯+⨯+⨯； (3)22762525124⨯-⨯；(4)21012021-+； (5)2287872613+⨯+； (6)()()10010122-+-(7)求值：2222⎪⎭⎫ ⎝⎛--⎪⎭⎫ ⎝⎛+b a b a 其中2,81=-=b a(8)如图，在半径为R 的圆形钢板上，冲去半径为r 的四个小圆，利用分解因式计算当R=7．8cm ，r=1．1cm 时剩余部分的面积（π取3．14，结果保留2个有效数字）(9)观察上图，根据图形面积的关系，不需要连其他的线，便可以得到一个用来分解因式的公式，这个公式是 .(10)若多项式b ax x ++2因式分解为(x+1)(x-2)，则a = ，b = .知识点17：用十字相乘法分解因式1.用十字相乘法分解因式(1) x 2+5x +6 (2) x 2-5x +6 (3) x 2-5x -6 (4) x 2+5x -62. (1) x 2+7x +12 (2) x 2-8x +12 (3) x 2-x -12 (4) x 2+4x -12知识点18：综合练习1.若.01222＝，，则b a b b a ==+-+- 2.如果2a+3b=1,那么3-4a-6b= 。
八年级下+第二章分解因式+复习PPT课件
理解 ·定义
分解因式定义:
把一个多项式化成几个整式积的形 式,这种变形叫做把这个多项式分解因 式.
想一想: 分解因式与整式乘法有何关系?
分解因式与整式乘法是互逆过程
请指出下列各式中从左到右的 变形哪个是分解因式.
、
(1)x2－2=(x+1)(x－1)－1 (2)(x－3)(x+2)=x2－x+6 (3)3m2n－6mn=3mn(m－2) (4)ma+mb+mc=m(a+b)+mc (5)a2－4ab+4b2=(a－2b)2
答案：（3） （5）
回顾与思考：
我们学习了哪些因式分 解的方法？
1、提取公因式法
2、运用公式法
平方差公式 完全平方公式
回顾、思考与练习：
1、提取公因式的时候我们应该 注意什么问题？
提取多项式中各项相 同整式的最低次幂
提公因式法,例1 :
8a3b2 12ab3c ab
ab 8a2b ab 12b2 ab
ab(8a2b 12b2c 1)
提公因式法,例2 :
6(m n)3 12(n m)2
6(m n)3 12 (m n)
6(m n)3 12(m n)2
6(m n)2 (m n 2)
2、分解因式的时候可 用的公式有哪些呢？
a2－b2 = (a+b) (a-b)
a 2 2ab b2 a b2
写在最后
成功的基础在于好的学习习惯
The foundation of success lies in good habits
20
谢谢大家
荣幸这一路，与你同行
It'S An Honor To Walk With You All The Way
初中数学八年级下册《分解因式》PPT课件3
ｍａ＋ｍｂ＋ｍｃ＝ｍ(ａ＋ｂ＋ｃ)，
(ｘ－3)(ｘ＋3)＝ｘｘ22－＋9 (ｍ＋ｎ)ｘ＋ｍｎ＝(ｘ＋ｍ)(ｘ＋ｎ)，
Ｃ. =(9m2)
2－2·9mａ2·4n22-+ｂ(4n2)22＝(ａ＋ｂ)(ａ-ｂ)，
ａ ＋2ａｂ＋ｂ ＝(ａ＋ｂ) ， (答5)：(a+各b)式2的－等16号(2a+左b)边+6都4；是整式乘积形式，而2 各式的等号右边都是多2 项式.
分(1)解(x+因y式－与5)为整2；式多乘法项的式关系的形式，特征是向着积化和差的形式发展；
多项式与多而项式多相乘项，式得 的分解因式是把一个多项式化为几个整式
乘积的形式，特征是向着和差化积的形式发展.
课堂练习
• 1.选择题. • (1)下列等式中，从左到右的变形为分解因式的是
(D).
• 2ｂ＝3ａ·4ａｂ • Ｂ.(ｘ＋2)(ｘ－2)＝ｘ2－4 • 2－8ｘ－1＝4ｘ(ｘ－2)-1 • Ｄ.12ａｘ－12ａｙ＝12ａ(ｘ－ｙ).
八年级数学（下册）第二章 分解因 式
1 分解因式
多项式分解因式的概念
请同学观察下面两个等式： a3＋b3=(a＋b)(a2-ab＋b2)， 3ｍ2-3ｎ2＝3(ｍ＋ｎ)(ｍ-ｎ).
• 可以看出，这两个等式的左边都是多项式，右 边都是整式乘积的形式，并且右边的每一个因 式都能整除左边的式项式.
•我们把上面这种从左式到右式的恒等变形叫 做多项式的分解因式.
当一个多项式的两个平方项都含有负号时，先提出负号，使括号内的多项式的平方项变为正号；
(3)把一•个多由项式此化为可几得个整出式的：积多的形项式，式叫的做把分这个解多因项式式分解与因整式. 式乘法是方向 平八方年差 级公数式学相：（下(ａ反册＋）的ｂ第)(恒ａ二－章等ｂ分)式解＝因ａ.整式2－式ｂ2.的乘法运算是把几个整式的积变
八年级数学下册分解因式知识点归纳北师大版
八年级数学下册《分解因式》知识点归纳北师大版第二章分解因式一、分解因式1把一个多项式化成几个整式的积的形式,这种变形叫做把那个多项式分解因式2因式分解与整式乘法是互逆关系因式分解与整式乘法的区别和联系:整式乘法是把几个整式相乘,化为一个多项式;因式分解是把一个多项式化为几个因式相乘二、提公共因式法一、若是一个多项式的各项含有公因式,那么就能够够把那个公因式提出来,从而将多项式化成两个因式乘积的形式这种分解因式的方式叫做提公因式法如:二、概念内涵:因式分解的最后结果应当是"积";公因式可能是单项式,也可能是多项式;提公因式法的理论依据是乘法对加法的分派律,即:3、易错点点评:注意项的符号与幂指数是不是弄错;公因式是不是提"干净";多项式中某一项恰为公因式,提出后,括号中这一项为+1,不漏掉三、运用公式法1若是把乘法公式反过来,就能够够用来把某些多项式分解因式这种分解因式的方式叫做运用公式法2要紧公式:平方差公式:完全平方公式:3易错点点评:因式分解要分解到底如就没有分解到底4、运用公式法:平方差公式:①应是二项式或视作二项式的多项式;②二项式的每项都是一个单项式的平方;③二项是异号完全平方公式:①应是三项式;②其中两项同号,且各为一整式的平方;③还有一项可正负,且它是前两项幂的底数乘积的2倍、因式分解的思路与解题步骤:先看各项有无公因式,假设有,那么先提取公因式;再看可否利用公式法;用分组分解法,即通过度组后提取各组公因式或运用公式法来达到分解的目的;因式分解的最后结果必需是几个整式的乘积,不然不是因式分解;因式分解的结果必需进行到每一个因式在有理数范围内不能再分解为止四、分组分解法:一、分组分解法:利用分组来分解因式的方式叫做分组分解法如:二、概念内涵:分组分解法的关键是如何分组,要尝试通过度组后是不是有公因式可提,而且可继续分解,分组后是不是可利用公式法继续分解因式3、注意:分组时要注意符号的转变五、十字相乘法:一、关于二次三项式,将a和别离分解成两个因数的乘积,,,且知足,往往写成的形式,将二次三项式进行分解如:二、二次三项式的分解:3、规律内涵:明白得:把分解因式时,若是常数项q是正数,那么把它分解成两个同号因数,它们的符号与一次项系数p的符号相同若是常数项q是负数,那么把它分解成两个异号因数,其中绝对值较大的因数与一次项系数p的符号相同,关于分解的两个因数,还要看它们的和是不是等于一次项系数p4、易错点点评:十字相乘法在对系数分解时易犯错;分解的结果与原式不等,这时通常采纳多项式乘法还原后查验分解的是不是正确。
分解因式单元知识总结
分解因式单元知识总结【基本目标要求】一、经历探索分解因式方法的过程，了解分解因式的意义，以及它与整式乘法之间的整体联系．二、掌握提公因式法、平方差公式和完全平方公式分解因式(指数是正整数)，发展学生逆向思维的能力。
三、感受分解因式在解决有关问题中的作用．【基础知识导引】一、因式分解的有关概念1．因式几个整式相乘，每个整式叫做它们的积的因式．例如32)1)(3(2--=+-a a a a ，a-3和a+1都是322--a a 的因式．2．公因式多项式各项都含有的相同因式，叫做这个多项式各项的公因式．3．因式分解把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式．二、多项式分解的几种常用方法1．提公因式法一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提到括号外面，将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法．2．公式法如果把乘法公式反过来，就可用来把某些多项式分解因式．要求熟练运用于因式分解的方法是：(1)平方差公式))((22b a b a b a -+=-；(2)完全平方公式222)(2b a b ab a ±=+±．有时也用到公式：(3)2222)(222c b a ca bc ab c b a ++=+++++．【重点难点点拨】本章重点仅限因式分解的两种方法，即提公因式法、公式法中的平方差公式法和完全平方公式法．本章的难点是公式法中的字母代表代数式时的应用．要掌握上述重、难点，必须注意以下问题．一、因式分解的注意事项1．因式分解与整式乘法互为逆运算．2．在提公因式时，若各项系数都是整数，所提的公因式是各项系数的最大公约数与各项都含有的字母的最低次幂的积．3．如果多项式的第一项系数是负数，一般要提出“-”号，使括号内的第一项系数是正数，在提出“-”号时，多项式的各项都要变号．4．有时将因式经过符号变换或将字母重新排列后可化为公因式，例如：- a- b + c=-(a + b-c )；又如：当n 为正整数时，n n a b b a 22)()(-=-；1212)()(----=-n n a b b a ，都是在因式分解过程中常用到的因式变换．5．能运用平方差公式))((22b a b a b a -+=-分解的多项式，必须是二项式或视作二项式的多项式，且这两项的符号相反，a 、b 可表示数，亦可表示字母或代数式，每项都能写成数(或式)的完全平方的形式．6．能运用完全平方公式。
二单元,分解因式
二单元，分解因式基础知识：1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式分解因式 即ma +mb +mcm （a +b +c ）（因式分解与整式乘法是相反方向的变形）注：① 是对多项式的一种变形。
②结果仍是整式。
③结果必是积的形式。
2. 提公因式法：*多项式m a +mb+mc 中的各项都有一个公共的因式m ，我们把因式m 叫做这个多项式的公因式.*如果一个多项式的各项含有公因式，就可以把这个公因式提出来，从而将多项式化为两个因式乘积的形式，这叫提公因式法。
例如：x 2-x=x(x-1)，8a 2b-4a b+2a =2a (4a b-2b+1). 3. 公式法：(1)平方差公式：a 2-b 2=(a +b)(a -b) 例如: 4x 2-9=(2x)2-32=(2x+3)(2x-3) (2)完全平方公式：a 2±2a b+b 2=(a ±b)2. 例如: 4x 2-12xy+9y 2=(2x)2-2·2x ·3y+(3y)2=(2x-3y)2(3)十字相成乘法：x 2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q) 例如: x 2+3x+2=(x+1)(x+2) 注：立方公式：a ³-b ³=(a-b)(a ²+ab+b ²) a ³+ b ³=(a+b)( a ²-ab+ b ²)（a+b ）³= a ³+3 a ²b+3a b ²+ b ³ （a-b ）³= a ³-3 a ²b+3a b ²- b ³ 4.分组分解法(1)形如：a m+a n+bm+bn=(a m+a n)+(bm+bn)=a (m+n)+b(m+n) =(m+n)(a +b)(2)形如：x 2-y 2+2x+1=(x 2+2x+1)-y 2=(x+1)2-y 2=(x+y+1)(x-y+1).把多项式进行适当的分组，分组后能够有公因式或运用公式，这样的因式分解方法叫做分组分解法.5. 多项式的因式分解的具体步骤是什么解因式分解题时，首先考虑是否有公因式，如果有，先提公因式；如果没有公因式或提取公因式后，通常分下列几种情况考虑：(1)如果是四项或四项以上，考虑用分组分解法；(2)如果是二次三项式或完全平方式，则考虑用x 2+(p+q)x+pq 型式子或完全平方公式分解因式；(3)如果是两项，则考虑能否用平方差公式分解因式. 最后，直到每一个因式都不能再分解为止练习巩固：一、填空题：（每小题3分，共30分） 1．把下列各式的公因式写在横线上：①y x x 22255-= 5x 2 (1-5y) ； ②4264x x --= -2x 2 ()232x +；2．填上适当的式子，使以下等式成立： （1）)(222⋅=-+xy xy y x xy (y+x-1) （2）)(42⋅=++a a a a ；(1+a+a 3)3．在括号前面填上“＋”或“－”号，使等式成立： （1）22)()(y x x y -=-； + （2）)2)(1()2)(1(--=--x x x x ； +4．直接写出因式分解的结果： （1）=-222y y x ；Y 2(x+1)(x-1) （2）=+-3632a a ；3（a-1）25．_______________22=+-b a ；(b+a)(b-a)6．若()22416-=+-x mx x ，那么_____=m ；87．____________442=+-a ax ax ；a(x-2)2 8．简便计算：=2271.229.7－；45.89．_______________8822=+-a ax ax ；2a(x-2)2 10．________________________43=-x x ；x(x-2)(x+2) 二、选择题：（每小题3分，共30分）11．下列各式从左到右的变形中，是因式分解的为 （ b ）（A ）bx ax b a x -=-)( （B ）222)1)(1(1y x x y x ++-=+- （B ）)1)(1(12-+=-x x x（D ）c b a x c bx ax ++=++)(12．把多项式()()a p a p -+-112分解因式的结果是（ c ）（A ）()()p p a +-21 （B ）()()p p a --21 （C ）()()11--p a p （D ）()()11+-p a p13．下列各式是完全平方式的是（ a ） （A ） 412+-x x （B ） 21x + （C ） 1++xy x （D ） 122-+x x 14．把多项式)2()2(2a m a m -+-分解因式等于（ c ）（A ）))(2(2m m a +-（B ）))(2(2m m a --（C ）)1)(2(--m a m （D ）)1)(2(+-m a m 15．()()y x y x +--22是下列哪个多项式分解的结果（ d ）（A ） 224y x - （B ） 224y x + （C ） 224y x -- （D ） 224y x +-16．下列各式可以用完全平方公式分解因式的是 （ c ）（A ）2242b ab a +-（B ） 4142+-m m （C ） 269y y +- （D ） 222y xy x -- 17．分解因式14-x 得（ c ）（A ）)1)(1(22-+x x （B ）22)1()1(-+x x （C ）)1)(1)(1(2++-x x x （D ）3)1)(1(+-x x18．若2249y kxy x +-是一个完全平方式，则k的值为（ d ）（A ） 6 （B ） ±6 （C ） 12 （D ） ±12 19．若)5)(3(+-x x 是qpx x ++2的因式，则p 为（ d ）（A ） －15 （B ） －2 （C ） 8 （D ） 2 20．如图3，在边长为a 的正方形中剪去一个边长为b 的小正方形（a ＞b ），把剩下的部分拼成一个梯形，分别（图3）计算这两个图形阴影部分的面积，验证了公式（ a ）（A ）))((22b a b a b a -+=- （B ）2222)(b ab a b a ++=+ （C ）2222)(b ab a b a +-=- （D ）)(2b a a ab a -=-_a_a_a三．解答题（每小题4分，共40分） 21．ax a 1520--22．)62()3(2---a a-5a(4+3x) (a-3)(a-5)23．2281.06251y x - 24．22)(9)(4b a b a --+(5a-b)(5b-a)(2x-45y)(2x+45y)/5025．2244aby abxy abx ++ 26．42242510n n m m ++Ab(2x+y)2 (m 2+5n 2)227．（5分）对于任意整数，22)11(n n -+能被11整除吗？为什么？11(2n+11),所以能被11整除。
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咸阳道北铁中(八)年级(数学)学科导学案：
课题第二章 分解因式（单元归纳） 主备：刘晓东 备课组长审核: 高宏伟 教务处审核：李 诚
学习重、难点：
用提公因式法和公式法分解因式.
学习过程：
一、自主复习：
【回顾】
1．分解因式的定义：把一个多项式化成 ，这种变形叫做把这个多项式分解因式.
2．分解因式与整式乘法是 变形.
3分解因式的主要方法是 ， ，
.
4．（1）平方差公式：a 2-b 2=
（2）完全平方公式a 2±2a b+b 2=
二、例题精讲
（一）利用提公因式法分解因式
例1 用提公因式法将下列各式因式分解.
（1）34x z x y -+； （2）3x （a -b ）+2y （b-a ）；
（3）（2a +b ）（2a -3b ）+（2a +5b ）（2a +b ）； （4）()()324121p q q -+-.
（二）利用公式法分解因式
例2 把下列各式分解因式.
（1）（a +b ）2-4a 2； （2）1-10x+25x 2； （3）（m+n ）2-6（m+n ）+9.
（4）（x 2+4）2-2（x 2+4）+1； （5）（x+y ）2-4（x+y-1）.
（三）利用分组分解法分解因式
例3 把下列各式分解因式.
（1）bc ac ab a -+-2
（2）bx by ay ax -+-5102 （3）22144a ab b ---
（4） a 2－b 2－a ＋b
（四）利用十字相乘法分解因式
例4 把下列各式分解因式.
（1）22421x xy y --； （2） 2295x x +-
教师同课复议
学生笔记
（3）()()267a b a b +-+-； （4）()()22524x x -+-+
（五）综合运用
例5 ： 用适当的方法把下列各式分解因式.
（1）x 3-2x 2+x ； （2）x 2（x-y ）+y 2（y-x ）；
（3）（x 2－2x ）2－4（x 2－2x ）－5 （4） a 2＋2ab ＋b 2－ac －bc
例6（1）试用简便方法计算：1982-396202⨯+2022
（2）若（1012+25）2－（1012－25）2=10n ，求n ．
（3）若9m 2－12mn+8n 2－4np+2p 2－4p+4=0，求m+n+p 的值．
（4）若x 2+kx+20能在整数范围内因式分解，则k 可取的整数值有多少个
（六）课后作业：
1．下列因式分解正确的是（ ）
A ．x 2+y 2=（x+y ）（x －y ）
B ．x 2－y 2=（x+y ）（x －y ）
C ．x 2+y 2=（x+y ）2
D ．x 2－y 2=（x －y ）2
2．下列各式不是完全平方式的是（ ）
A ．x 2+4x+1
B ．x 2－2xy+y 2
C ．x 2y 2+2xy+1
D ．m 2－mn+1
4n 2
3．下列多项式能用完全平方公式分解因式的是（ ）
A ．m 2－mn+n 2
B ．（a+b ）2－4ab
C ．x 2－2x+1
4 D ．x 2+2x －1
4．某同学粗心大意，分解因式时，把等式x 4－■=（x 2+4）（x+2）（x －▲）•中的两个数字弄污了，则式子中的■，▲对应的一组数字可以是（
）
A ．8，1
B ．16，2
C ．24，3
D ．64，8
5．若k-12xy+9x 2是一个完全平方式，那么k 应为（ ）
A.2
B.4
C.2y 2
D.4y 2
6.若x 2+2（m-3）x+16, 是一个完全平方式，那么m 应为（ ）
A.-5
B.3
C.7
D.7或-1
7.若n 为正整数，（n+11）2-n 2 的值总可以被k 整除，则k 等于（ ）
A.11
B.22
C.11或22
D.11的倍数.
8．多项式4x 2+1加上一个单项式后，使它成为一个整式的平方，则加上的单项式可以是_______．（填上一个你认为正确的即可） 9. 用适当的方法把下列各式分解因式.
（1）（x 2－3）2＋（x 2－3）－2 （2）a 4－2a 2b 2－8b 4
（3）.x 4－6x 3＋9x 2－16 （4） 1-x 2+2xy-y 2分解因式
（5）()22241x x -+
（6） （x 4+x 2-4）（x 4+x 2+3）+10.。