第五章 平面连杆机构的运动分析和设计2

第 五 章 平面连杆机构的运动分析和设计（2）
5.6 平面连杆机构的运动设计
设计要求通常用在输
出构件（连杆或连架杆） 上的点或直线的一系列有 序的位置来描述。这些点 或直线位置叫做精确点或 精确位置。 精确点或精确位置的含义是：必须保证 设计出来的机构能够到达这些点或位置，而 在精确点或精确位置之间的机构的运动情况 却不能保证。
1
Bi B2
C2 B3
C3
i C1
将式（9）代入（8）得： O XBi – XA cos1i -sin 1i = YBi – YA sin1i +con1i
A
XB1 - XA
D
x
YB1 - YA
平面矢量 旋转矩阵
(10)
不含 杆长
cos1i -sin 1i 令： RΘ1i = sin1i +cos1i
1
Bi B2
1
C2
B3
C3
i
O
A
i C1
x
O x 由式（4）、(5) XBi =XA + LAB (cos1i cos 1-sin 1i sin 1 ) YBi =YA + LAB (sin1i cos 1+cos1i sin 1 )
A
D
(6)
cos1i -sin 1i 得： XBi XA = + YBi YA sin1i +cos1i
C3
分析一
A
O (2) x
D
XB1 = XA + LAB cos 1 YB1 = YA + LAB sin 1
(5) B1、 B２、 B３之间的关系？
XBi = XA + LAB cos i YBi = YA + LAB sin i 假设：1i =i - 1 XBi = XA + LAB cos i
Bi
1. 刚体运动的位移矩阵方程
假设： B1为：XB1、 YB1 Bi为：XBi 、 YBi P1为：XP1、 YP1 Pi为：XPi 、 YPi
y P1 O
B1
1
Pi
i
x
1i =i - 1
可得： PiBi = XBi – XPi YBi – YPi ； XB1 – XP1 P1B1 = YB1 – YP1
由式（10）得： XB1 – XA XBi – XA = RΘ1i YB1 – YA YBi – YA
(11)

讨论: 由式（10）引起的思考
XB1 - XA YB1 - YA y B1
1
XBi – XA cos1i -sin 1i = YBi – YA sin1i +cos1i
(10) C2 C3
（5′）
XB1 – XP1
YB1 – YP1
(6′)
得：
PiBi = RΘ1i P1B1
(7′) （6-31′）
由式（6′）可得：
XBi XPi cos1i -sin 1i = + YBi YPi sin1i +cos1i XB1 – XP1 YB1 – YP1 XP1
cos1i -sin 1i = – sin +cos YPi 1i 1i
y B1 (3)
1
Bi
i
x (4)
A
O
= XA + LAB cos (1i + 1 ) = XA + LAB (cos1i cos 1-sin 1i sin 1 )
同理：
YBi =YA + LAB (sin1i cos 1+cos1i sin 1 )
(5)
y B1 yB1 Bi
机构设计中应检验的运动学条件
1. 2. 3.
曲柄存在条件； 可靠到位条件； 顺序到位条件。
1.
曲柄存在条件
在连杆机构中，如果机架和连架杆两者之间的 运动副为转动副，而且相对机架可以转整周 （360°），则称该连架杆为曲柄，否则，称 为摇杆。 平面四杆机构存在曲柄的条件 Lmin + Lmax ≤ P ＋Q 最短杆为机架或连架杆。
布尔梅斯特
布尔梅斯特（1840---1927）是一位数学家，主要研究射影几 何学。1876年有人提出了实现直线轨迹的机构设计问题和设 计方法，引起了布尔梅斯特的研究兴趣，使得他开始考虑在 一个给定的四杆机构连杆平面上是否存在轨迹为直线的点， 同时，他还开始研究更为一般的问题：任意给出的一系列平 面运动刚体的离散齐次位置是否在一个圆上。对于刚体的四 个位置问题，他提出并证明了圆点曲线和圆心点曲线的主要 特性，指出：五个刚体位置的齐次点在一个圆上。他立即将 这个理论应用于机构的设计问题，提出了确定机构杆长的方 法，并获得了成功。1888年，布尔梅斯特将研究成果总结， 出版了一本教科书。此教科书成为机构学非常重要的著作之 一，被许多学者研究和引用。
Q
P b
2
C
c
3
B
C
B
1
1
a
D A 4 P、Q、B、C 为同一个构件上的点，无相对运动。
d
Q1
P1
B1
C1
求解过程：
假设：铰链B、C 图解法求解过程： Q1 D
P1
B1
C1
A
求解结果：四杆机构：A B1C1 D
补充知识：Burmester理论
布尔梅斯特
生平简介
Burmester(1840.5.5～1927.4.20),德国人，几 何和运动学家。花匠之子。14岁进入机械厂。 因其聪明，被Polytechnical Preparatory School 录取，后以几何方面的博士论文获得博 士学位，在机构综合和速度分析上有重要贡献。
间的位置关系来进行分析。
3.顺序到位条件
当设计要求实现的精确相对位置关系或轨迹精确点的数 目多于3个的时候都要注意这个条件的检验。
5.6.2平面连杆机构运动设计的位移矩阵法

位移矩阵法
是解析法的一种； 基本思想：根据给定机构运动设计要求，
建立机构设计的数学模型，即设计方程， 再利用计算机进行求解；
是指对机构的运动有影响的尺寸
5.6.1
连杆机构运动设计的图解法

例5-5
设计一个曲柄摇杆机构ABCD，要求 机构能够实现给定的行程速比系数K， 并且已知摇杆的长度及其摆角。
机构类型：铰链四杆机构
曲柄摇杆机构：最短杆为连架杆
C
分析过程：
b
B
1
2 3
c
1 a
d A 4 D
机构中各个构件的运动尺寸设计
(2) 如何求杆长
杆长：由铰链点确定 先求铰链点，后求杆长 C
(3) 建立设计方程
铰链点为未知数
b
2 3
c
d
B
1
1
a
A
4
D
(4)如何建立设计方程
杆长不变！
(xBi-xA)2+(yBi-yA)2=(xB1-xA)2+(yB1-yA)2 (xCi-xD)2+(yCi-yD)2=(xC1-xD)2+(yC1-yD)2
链点位置。
怎样求杆长？
求铰链点，由铰链点求杆长
怎样求铰链点？
固定铰链点：无位置变化 其他铰链点：运动轨迹为圆
b B
1 2 3
C c
1 a
d A 4
D
讨论：固定铰链与活动铰链的关系
C2 B1 B2 B3 C1 C3
A
D
连杆上P、Q与铰链点A、B、C、D之间的关系
已知：连杆的三个精确位置P1Q1、P2Q2、P3Q3。
XPi
YP1
XB1 YB1
cos1i -sin 1i + sin1i +cos1i
或： XBi – XA cos1i -sin 1i = YBi – YA sin1i +con1i
LAB cos 1
LAB sin 1
LAB cos 1 LAB sin 1
(7)
(8)
y B1
由式（2）得： LAB cos 1 = XB1 - XA LAB cos 1 = YB1 - YA （9）
已知：摇杆的长度
CD、摆角φ及行程速 比系数K
问题：设计曲柄摇
杆机构，求杆长、固 定铰链点位置。其中， 最短杆为连架杆
动画链接
作图过程
设计步骤 过程回放 结果校验

思考一下
所示），设已知其滑块的行程速比系 数K=1.5，滑块的冲程H=40mm， 偏距e=15mm
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试设计一偏置曲柄滑块机构（如图
2.
可靠到位条件
2 C1 B
C
检验机构能否到达设计要求的位置。 检验机构可靠到位的方 法分作图法、实验法和 解析法。
1
C2 3
B2 A
4
D
B1
C'
作图法就是画出机构实现设计要求时的机构位置图，
直接在图上进行观察；
实验法是对利用硬纸板等材料制成的机构的运动
情况进行观察；
解析法利用实现设计要求时机构上一些特殊点之
平面连杆机构设计内容：
机构的类型选择。 机构中各个构件的运动尺寸设计
1、机构的类型选择
多自由度机构
多杆机构(六杆或八杆) 单自由度机构 四杆机构
铰链四杆机构 带移动副的机构

2、机构中各个构件的运动尺寸设计
机构的运动尺寸：
运动副之间的距离（如杆长） 固定铰链点的位置 滑块导路的方向 多自由度机构的运动设计内容： 机构的运动尺寸 原动件的运动控制 单自由度机构的运动设计内容： 函数发生 ：连架杆之间实现一些给定的运动关系 刚体导引 ：连杆实现一些给定的刚体位置 轨迹生成 ：连杆实现一些给定的刚体上点的轨迹
位置1之间的关系； XBi – XA cos1i -sin 1i = YBi – YA sin1i +cos1i
C2 XB1 - XA YB1 - YA (10)
怎样求连杆位置之间的的关系?
y B1
1
Bi B2
C3
B3
B1
i C1
Bi B2 B3
C2
C3
O
A
D
x
连杆位置关系
分析二：讨论一般性
x
将 1i =i - 1 代入上式（2’）： XBi = XPi + LPB cos (1i + 1 ) YBi = YPi + LPB sin (1i + 1 ) （3′）
由式（3′）得： XBi XPi cos1i -sin 1i = + YBi YPi sin1i +cos1i 由式（1′）得： LPB cos 1 = XB1 – XP1 LPB sin 1 = YB1 – YP1 将式（5′）代入（3′）得： XBi – XPi cos1i -sin 1i = YBi – YPi sin1i +cos1i LPB cos 1 LPB sin 1 (4′)
Burmester理论
当给定刚体三个位置，刚体平面上任意一点
都为圆点
当给定刚体四个位置时，圆点和圆心点为三次
曲线，称为Burmester曲线
当给定刚体五个位置时，设计问题的解是确定
的：圆点可能有4个、或者2个，或者没有解！
结论：
铰链四杆机构最多可实现五个连杆精确位置，即： 铰链四杆机构实现连杆精确位置的最大数目为 5
设计步骤

例5-6 设计一个铰链四杆机构ABCD，实 现连杆的三个精确位置P1Q1、P2Q2、P3Q3。
分析过程
b
2
C c
3
机构的类型：
铰链四杆机构
B
1
1
a
d
A
4
D
机构中各个构件的运动尺寸设计
已知：连杆的三个精确位置P1Q1、P2Q2、P3Q3。 问题：设计铰链四杆机构，求杆长、固定铰
B1 （i=2,3,...,n)
C2
(1)

讨论:
B2 B3 C1
C3
B1、 B２、B３哪个为未知数？ B1、 B２、 B３之间的关系？
A
根据上式一般取：A、D、B1、C1为未知数。
D
一般取第一个位置为未知数,即B1、C1
(5) B1、 B２、 B３之间的关系？
位移矩阵法：求B1、B２、B３之间的关系 求B1与B的其他位置的关系 令： Bi y B1 B1为：XB1、 YB1 B2 Bi为：XBi 、 YBi B3 1 A为：XA 、 YA i C1 C2
分析二：讨论一般性 已知P点的位置，求解B点； 建立B1与Bi之间的关系。 XB1 = XP1 + LPB cos 1 YB1 = YP1 + LPB sin 1 XBi = XPi + LPB cos i y
Bi B1
P1 （2′） O
1
（1′）
Pi
i
YBi = YPi + LPB sin i
式（10）建立了杆件AB
位置 i与位置1之间的关系； 式（10）也称为矢量旋 转方程。
Bi B2
B3
i C1
由矢量：
ABi =
可得：
XBi – XA YBi – YA
O
； AB1 = (12)
A
XB1 – XA YB1 – YA
（6-31′）
D
x
ABi = RΘ1i AB1

小 节:
矢量旋转方程式(10)给出了连架杆位置 i与
设计关键：建立设计方程，求解运动参
数。
讨论：如何建立设计方程？
讨论：如何建立设计方程？
确定未知数、建立未知数之间的关系 (1) 平面连杆机构运动设计的内容包括 机构的类型选择； 机构中各个构件的运动尺寸设计。
本节：机构中各个构件的运动尺寸设计 运动尺寸设计：求杆长、固定铰链点。