4.1 指数的概念及运算
4.1指数(第2课时)(课件PPT)
51.41
51.42
51.414 51.415
51.5
探究新知
一般地，无理数指数幂 （a＞0，α为无理数）是一个确定的实数．
进一步拓展到实数：任何正数的实数指数幂是一个确定的实数．
注意：在指数幂 中，通常要限定a＞0这个条件.
这是为了保证后续的指数函数y= 对于任意实数x都有意义．因为只有正数
−
1
2
= 3，求下列各式的值.
3
3
−
2 − 2
1
1
−2
2
−
（1） + −1 ；（2）2 + −2 ；（3）
.
答案：7；47；8.
1
2
解析：（1）将 +
−
1
2
= 3两边平方可得1 + −1 + 2 = 9，所以 + −1 = 7.
（2）将 + −1 = 7两边平方可得2 + −2 + 2 = 49，所以2 + −2 = 47.
的值从区间的左右两个方向，即从左侧不断增大的方向（单调递增），以
及从右侧不断减小的方向（单调递减），逐渐向中间逼近，在“单调有界
数列必有极限”的基本事实支持下，想象并判定 2，5 2 不仅在数轴上确实
存在，而且唯一.
探究新知
如何在数轴上找到与5 2 对应的点？
这个过程可以用下图表示：
5
2
51.4142 51.4143
第八章
指数函数与对数函数
4.1.2无理数指数幂及其运算性质
学习目标
1. 理解无理数指数幂的含义，掌握其运算性质；
2. 掌握无理数指数幂的运算性质，并能对代数式进行化简或
新教材4.1指数 4.1.1n次方根与分数指数幂 教案
第四章 指数函数与对数函数4.1 指数【素养目标】1．弄清nn 次方根的运算．(数学抽象)2．能够利用m na=(数学运算)3．通过对根指数n 的讨论学会运用分类讨论的思想方法．(逻辑推理) 【学法解读】本节的重点是根式与分数指数幂的概念及性质和分数指数幂的运算法则，以及法则的推广，这同时也是简化计算的一个方面．在学习中应采用类比的方法经历从整数指数幂到有理数指数幂、再到实数指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质．4.1.1 n 次方根与分数指数幂必备知识·探新知基础知识提示：不一定．当n 为偶数时，正数a 的n 次方根有两个，且互为相反数，当n 为奇数时，正数a 的n 次方根只有一个且仍为正数．知识点二 根式(1)定义：式子叫做根式，这里n 叫做___根指数__，a 叫做___被开方数__. (2)性质：(n ＞1，且n ∈N *) ∈(na )n ＝a .∈na n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，n 为奇数，|a |，n 为偶数.思考2：(n a )n 与na n 中的字母a 的取值范围是否一样？提示：取值范围不同．式子(na )n 中隐含a 是有意义的，若n 为偶数，则a ≥0，若n 为奇数，a ∈R ；式子na n 中，a ∈R .思考3：为什么分数指数幂的底数规定a>0?提示：(1)当a <0时，若n 为偶数，m 为奇数，则m na ，m na -无意义；(2)当a ＝0时，a 0无意义．知识点四 有理数指数幂的运算性质(a>0，b>0，r ，s∈Q) (1)r s r s a a a +=. (2)()r srsa a =. (3)()rr rab a b =.思考4：同底数幂相除a r÷a s，同次的指数相除a rbr 分别等于什么？提示：(1)a r ÷a s ＝a r －s ； (2)a r b r ＝(a b )r .基础自测1.3－8等于( B ) A ．2 B ．－2 C ．±2 D ．－8[解析]3－8＝3(－2)3＝－2.2．下列各式正确的是( A )A．3a = B．47=-C．5||a =Da =[解析] (3a )3＝a ，(47)4＝7，(5a )5＝a ，6a 6＝|a |＝⎩⎪⎨⎪⎧a (a ≥0)－a (a <0)，故选A ．3．324-可化为( C )A ．8B ．432 C ．18D ．342[解析] 3233322211114284(2)-====. 4．若a >0，n ，m 为实数，则下列各式中正确的是( D ) A ．m m nna a a ÷= B ．n m m n a a a ⋅⋅= C ．( )n mm na a+=D ．01n n a a -÷=[解析] 由指数幂的运算法则知1÷a n ＝a 0÷a n ＝a 0－n正确，故选D ．5．若66－x 有意义，则实数x 的取值范围为_____(－∞，6]___. [解析] 要使式子66－x 有意义，应满足6－x ≥0， ∴x ≤6.关键能力·攻重难题型探究题型一n次方根的概念例1(1)16的平方根为___±4___，－27的5次方根为___5－27__；(2)已知x7＝6，则x＝__76__；(3)若4x－2有意义，则实数x的取值范围是_____[2，＋∞)___.[分析]解答此类问题应明确n次方根中根指数对被开方数的要求及n次方根的个数要求．[解析](1)∈(±4)2＝16，∈16的平方根为±4.－27的5次方根为5－27.(2)∈x7＝6，∈x＝7 6.(3)要使4x－2有意义，则需x－2≥0, 即x≥2.因此实数x的取值范围是[2，＋∞)．[归纳提升](1)任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个且互为相反数；(2)(na)n是实数a的n次方根的n次幂，其中实数a的取值由n的奇偶性决定．【对点练习】∈ 计算下列各值：(1)27的立方根是__3___；(2)256的4次算术方根是__4___；(3)32的5次方根是__2___.[解析](1)∈33＝27，∈27的立方根是3.(2)∈(±4)4＝256，∈256的4次算术方根为4.(3)∈25＝32，∈32的5次方根为2.题型二利用根式的性质化简或求值例2化简：(1)3＋22＋3－22；(2)5＋26－6－42＋7－43；(3)32＋5＋32－ 5.[分析](1)(2)对被开方数进行配方处理，可化为完全平方式．(3)换元后两边立方，再转化为解关于x的方程求解．[解析](1)原式＝(2)2＋22＋1＋(2)2－22＋1＝(2＋1)2＋(2－1)2＝2＋1＋2－1＝2 2.(2)原式＝(3＋2)2－(2－2)2＋(2－3)2＝3＋2－(2－2)＋2－3＝2 2.(3)令x＝32＋5＋32－5，两边立方，得x3＝2＋5＋2－5＋3·32＋5·32－5·(32＋5＋32－5)，即x 3＝4－3x ，所以x 3＋3x －4＝0，所以(x －1)(x 2＋x ＋4)＝0，x 2＋x ＋4＝(x ＋12)2＋154>0，所以x －1＝0，x ＝1，所以32＋5＋32－5＝1.[归纳提升] 形如A ±B 的双重根式，当A 2－B 是一个平方数时，能通过配方法去掉双重根号，这也是双重根号能否开方的判断技巧，而分母有理化时，常常用到的是平方差公式．【对点练习】❷ 计算下列各式： (1)5(－a )5＝_______； (2)6(3－π)6＝________； (3)614－3338－30.125＝______. [解析] (1)5(－a )5＝－a . (2)6(3－π)6＝6(π－3)6＝π－3. (3)614－3338－30.125＝(52)2－3(32)3－3(12)3＝52－32－12＝12.题型三 根式与分数指数幂的互化例3 用分数指数幂表示下列各式：(1)a 3·3a 2； (2)b 3a·a 2b 6(a >0，b >0)； (3)a －4b 23ab 2(a >0，b >0)．[分析] (1)关键是理解分数指数幂的意义，先将根式化为分数指数幂的形式．(2)运用分数指数幂的运算性质进行化简．[解析](1)a 3·3a 2＝a 3·a23 ＝a 3＋23 ＝a 113 .(2)∵a >0，b >0， ∴b 3a ·a 2b 6＝(a－1b 3)12 ·(a 2b －6)12＝(a －12 b 32 )·(ab －3)＝a 12b －32 ＝(a 12 b －32 )12 ＝a 14 b －34 . (3)∵a >0，b >0，∴a－4b 23ab 2＝a－4b 2a13 b 23 ＝a －113 ·b 83 ＝(a －113 b 83 )12 ＝a －116b 43 .[归纳提升] 进行分数指数幂与根式的互化时，主要依据公式a m n ＝na m (a >0，m 、n ∈N ＋)，同时应注意以下几点：(1)在分数指数幂中，若幂指数为负数，可先将其化为正数，再利用公式化为根式． (2)若表达式中根式较多，含有多重根号时，要理清被开方数，由里向外逐次用分数指数幂表示，最后再运用相关的运算性质化简．【对点练习】❸ (1)5－211 化为根式形式为____；(2)4b －23 (b >0)化为分数指数幂的形式为____16b -____；(3)13x (5x 2)2(x ≠0)化为分数指数幂的形式为____53x-____.[解析] (1)原式＝15211 ＝11152＝11125. (2)原式＝(b －23 )14 ＝b －23 ×14 ＝b －16 .(3)原式＝13x ·(x 25 )2＝13x ·x 45 ＝13x 95＝1(x 95 )13 ＝1x 35＝x －35 .题型四 利用分数指数幂的运算性质化简求值例4 (1)计算：(235)0＋2－2·(214)－12 －(0.01)0.5＝______；(2)化简：3a 72 a －3÷3a－83a 15÷3a－3a －1.[分析] 将根式化为分数指数幂的形式，利用分数指数幂的运算性质计算．[解析] (1)原式＝1＋14×(49)12 －(1100)12 ＝1＋16－110＝1615.(2)原式＝3a 72 a －32 ÷a －83 a 153 ÷3a －32 a －12＝3a 2÷a 73 ÷3a －2＝a 23 ÷(a 73 )12 ÷(a －2)13 ＝a 23 ÷a 76 ÷a －23＝a 23 －76 ÷a －23 ＝a －12 ＋23 ＝a 16 .[归纳提升] 1.幂的运算的常规方法(1)化负指数幂为正指数幂或化分母为负指数； (2)化根式为分数指数幂； (3)化小数为分数．2．分数指数幂及根式化简结果的具体要求 利用分数指数幂进行根式计算时，结果可化为根式形式或保留分数指数幂的形式，不强求统一用什么形式，但结果不能既有根式又有分数指数幂，也不能同时含有分母和负指数．【对点练习】❹ 化简：a 43 －8a 13 b4b 23 ＋23ab ＋a 23÷(1－23b a )×3a .[解析] 原式＝a 13 (a －8b )4b 23 ＋2a 13 b 13 ＋a 23 ÷a 13 －2·b 13 a 13·a 13＝a 13 (a 13 －2b 13 )(a 23 ＋2a 13 b 13 ＋4b 23 )4b 23 ＋2a 13 b 13 ＋a 23 ·a 13a 13 －2b 13 ·a 13＝a 13 ·a 13 ·a 13 ＝a .课堂检测·固双基1．化简[(－3)2]－12的结果是( C )A ．－33B ．3C ．33D ．－3[解析] [(－3)2]－12＝3－12＝1312＝13＝33.2．已知m <23，则化简4(3m －2)2的结果为( C )A ．3m －2B ．－3m －2C ．2－3mD ．－2－3m[解析] ∵m <23，∴3m －2<0，排除A ，B ，又(3m－2)2>0，所以4(3m－2)2为正，所以选C．3．若2＜a＜3，化简(2－a)2＋4(3－a)4的结果是(C)A．5－2a B．2a－5C．1D．－1[解析]由于2＜a＜3，所以2－a＜0,3－a＞0，所以原式＝a－2＋3－a＝1，故选C．4．以下说法正确的是(C)A．正数的n次方根是正数B．负数的n次方根是负数C．0的n次方根是0(其中n>1且n∈N*)D．负数没有n次方根[解析]对于A，正数的偶次方根中有负数，∴A错误；对于B，负数的奇次方根是负数，偶次方根不存在，∴B错误；对于C，当n>1且n∈N*时，0的n次方根是0，∴C正确；对于D，n为奇数时，负数的奇次方根是负数，∴D错误．5．(2019·江苏、苏州市高一期中测试)求值：4(－43)4＝__43__.[解析]4(－43)4＝4(43)4＝43.素养作业·提技能A组·素养自测一、选择题1．－416的结果是(B)A．2B．－2C．±2D．以上都不对[解析]－416＝－424＝－2.故选B．2．下列各式正确的是(C)A．6(－3)2＝3(－3)B．4a4＝aC．622＝32D．a0＝1[解析]6(－3)2＝632＝33，4a4＝|a|，a0＝1条件为a≠0，故A，B，D错．3．若2 019<m <2 020，则(3m －2 019)3＋4(m －2 020)4等于( A ) A ．1 B ．4 031－2m C ．4 031D ．2m －4 031[解析] 因为2 019<m <2 020，所以m －2 020<0. 故原式＝m －2 019＋|m －2 020| ＝m －2 019＋2 020－m ＝1. 故选A ．4．若6x －2·43－x 有意义，则x 的取值范围是( C ) A ．x ≥2 B ．x ≤3 C ．2≤x ≤3D ．x ∈R[解析] 由题意，知x －2≥0，且3－x ≥0，所以2≤x ≤3. 二、填空题5．64的6次方根是__±2__，计算64－23的值是__116__.[解析] ∵(±2)6＝64，∴64的6次方根是±2；64－23＝13642＝13(43)2＝13(42)3＝142＝116.6．已知a ∈R ，n ∈N *，给出四个式子：①6(－2)2n ；②5a 2；③6(－3)2n ＋1；④9－a 4，其中没有意义的是__③__.(只填式子的序号即可)[解析] ③中被开方数为负数，且开偶次方，无意义，其余都有意义． 三、解答题7．写出使下列各式成立的实数x 的取值范围：(1)3⎝⎛⎭⎫1x －33＝1x －3；(2)(x －5)(x 2－25)＝(5－x )x ＋5.[解析] (1)由于根指数是3，故x 只需使1x －3有意义即可，此时x －3≠0，即x ≠3.故实数x 的取值范围是x ≠3.(2)∵(x －5)(x 2－25)＝(x －5)2(x ＋5)＝(5－x )·x ＋5，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋5≥0，x －5≤0，∴－5≤x ≤5. ∴实数x 的取值范围是－5≤x ≤5.B 组·素养提升一、选择题1．化简(－x )2－1x的结果是( B ) A ．x B ．－x －x C ．x x D ．x －x[解析] 由 －1x知x <0，又当x <0时，x 2＝|x |＝－x ，因此(－x )2－1x ＝x 2·－x |x |＝－x －x .2．(多选题)下列根式、分数指数幂的互化中，正确的是( CD ) A ．x 2＝x B ．6y2＝y 13C ．(x y )－52 ＝(yx)5(x 、y ≠0) D ．x－12＝1x[解析]x 2＝|x |，6y 2＝|y |13，(x y )－52 ＝(y x )52 ＝(yx)5(x 、y ≠0)， x－12＝1x 12＝1x ，故CD 正确．二、填空题3．若10α＝2,100β＝3，则1 0002α－13β等于3[解析] ∵10α＝2,100β＝102β＝3， ∴10β＝ 3.∴1 0002α－13β＝106α－β＝106α10β＝643＝6433.4．2723＋16－12－(12)－2－(827)－23 ＝__3__. [解析] 原式＝(33)23＋(42)－12－22－[(23)3]－23 ＝32＋4－1－4－94＝3. 三、解答题5．若x >0，y >0，且x (x ＋y )＝3y (x ＋5y )，求2x ＋2xy ＋3yx －xy ＋y的值．[解析] 由x >0，y >0且x (x ＋y )＝3y (x ＋5y )得x ＋xy ＝3xy ＋15y ，即x －2xy －15y ＝0，整理有(x －5y )(x ＋3y )＝0，因为x >0，y >0，所以x ＝5y ，即x ＝25y ，11 所以2x ＋2xy ＋3y x －xy ＋y＝50y ＋10y ＋3y 25y －5y ＋y ＝63y 21y ＝3.。
苏教版高中数学必修第一册4.1指数【授课课件】
4.1 指数
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
1．3 8是根式吗？根式一定是无理式吗？ [提示] 3 8是根式，根式不一定是无理式．
4.1 指数
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
4.1 指数
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
2．n an＝a 对任意实数 a 都成立吗？ [提示] 不都成立．当 n 为不小于 3 的正奇数时，a 为任意实数， 等式n an＝a 恒成立．当 n 为正偶数时，n an＝|a|．
4.1 指数
3 3
[原式＝[( 3)2] －21＝( 3)－1＝ 33．]
4.1 指数
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
02
关键能力·合作探究释疑难
类型1 类型2 类型3 类型4
4.1 指数
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
[跟进训练] 3．(1)化简： (a23·b－13·c12)÷(a－13·b－13·c－12)＝________． ac 原式＝a23－－13·b－31－－13·c12－－12＝ab0c＝ac．
4.1 指数
1
2
3
4
必备知识·情境导学探新知 关键能力·合作探究释疑难 学习效果·课堂评估夯基础 课时分层作业
人教版高中数学必修第一册 4.1指数【课件】
指数
1.掌握有理数指数幂 (a>0,且a≠1,m,n为整数,
课标定位
素养阐释
且n>0)的概念,理解有理数指数幂的运算性质.
2.掌握根式的概念,能进行分数指数幂与根式的
互化.
3.了解指数幂的拓展过程,掌握指数幂的运算性
质.
4.感受数学抽象与逻辑推理的过程,提升数学运
算素养.
自主预习·新知导学
式.
【变式训练 1】 (1) (-) =
;
(2)使等式 (-)( -)=(3-a) + 成立的实数 a 的取值范
围是
.
解析:(1) (-) =-2;
(2)因为
(-)( -)
=
(-) ( + )=|a-3|· + =(3-a) + ,
- ≤ ,
(-) =3.
4.根式的性质
根据 n 次方根的意义,可得( )n=a.
(1)当 n 为奇数时, = a ;
,
≥
,
(2)当 n 为偶数时, =|a|=
-, < .
5.下列说法正确的有
① -=3;
③ =±3;
.(只填序号)
②64 的 6 次方根是±2;
以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改
正?你如何防范?
提示:错解中使用根式的性质不当导致错误,应注意根式性质
成立的条件.
正解: ( + ) +
(- )=1+ +|1- |=1+ + -1=2 .
指数知识点归纳总结
指数知识点归纳总结一、基本概念1.1 指数的定义指数是数学中的一种运算符号，表示几个相同的数相乘的乘方运算，其中一个数是底数，另一个数是指数。
一般写作a^n，其中a为底数，n为指数。
1.2 指数的性质（1）相同底数的指数相加等于它们的乘积，即a^m * a^n = a^(m+n)；（2）相同底数的指数相减等于它们的商，即a^m / a^n = a^(m-n)；（3）指数的乘方等于底数的乘方再次乘方，即(a^m)^n = a^(m*n)；（4）指数的除法等于底数的除法再对指数取商，即(a/b)^n = a^n / b^n；（5）底数为0且指数为正数时，结果为0；（6）底数为0且指数为负数时，结果为无穷大。
1.3 指数函数指数函数是以底数为常数的指数运算构成的函数，一般写作f(x) = a^x。
指数函数的图像呈现出指数增长或指数衰减的特征。
二、指数运算2.1 正整数指数运算若指数为正整数，则乘方运算表示为多个底数相乘，如a^3 = a * a * a。
2.2 零指数运算任何非零数的零次幂等于1，即a^0 = 1。
2.3 负整数指数运算若指数为负整数，则乘方运算表示为底数的倒数相乘，如a^(-n) = 1 / (a^n)。
2.4 分数指数运算若指数为分数，则乘方运算可以表示为开方，即a^(1/n) = n√a。
三、指数的化简3.1 合并同底数的指数当指数相同的底数相乘或相除时，可以合并为同底数的结果，如a^m * a^m = a^(m+n)。
3.2 底数相同指数相加当底数相同的指数相加时，可以合并为同底数的结果，如a^m * a^n = a^(m+n)。
3.3 底数为分数的指数当底数为分数的指数运算时，可以先化为开方形式，再进行运算。
四、常见指数函数4.1 自然指数函数自然指数函数是以常数e为底数的指数函数，其中e≈2.71828，一般写作f(x) = e^x。
4.2 对数函数对数函数是指数函数的反函数，一般写作y = loga(x)，其中a为底数，x为真数，y为指数。
高中数学必修一(人教版)《4.1 指数》课件
4.掌握指数的运算性质，会利用整体代换 简或求值，培养数学运算素养.
的思想求值.
知识点一 根式的概念及其性质
(一)教材梳理填空
1．n次方根的概念： 一般地，如果 xn＝a，那么_x__叫做 a 的 n次方根 ，其中 n
定义 ＞1，且 n∈N *
a＞0 n 是奇数
[方法技巧] 根式化简应遵循的三个原则
(1)被开方数中不能含有能开得尽方的因数或因式． (2)被开方数是带分数的要化成假分数． (3)被开方数中不能含有分母；使用 ab＝ a· b(a≥0，b≥0)化简时，被开 方数如果不是乘积形式必须先化成乘积的形式．
【对点练清】
4
4
5
4
1．在① －42n，② －42n＋1，③ a4，④ a5(n∈N ，a∈R )中，一定有意义
3．实数指数幂的运算性质： (1)aras＝ar＋s(a＞0，r，s∈R)． (2)(ar)s＝ ars (a＞0，r，s∈R)． (3)(ab)r＝ arbr (a＞0，b＞0，r∈R)．
(二)基本知能小试
1．判断正误：
(1)(－a4b2)·(－ab2)3＝a7b8.
()
(2)(－a2b3)3÷(－ab2)3＝a3b3.
指数幂
数幂
规定：a
m n
＝
＝____(a＞0，m，n∈N *，n＞1)
性质
0 的正分数指数幂等于 0 ,0 的负分数指数幂 没有意义
n
[微思考]
在分数指数幂与根式的互化公式
a
m n
＝
am中，为什么必须规
定 a>0?
n
m
提示：①若 a＝0,0 的正分数指数幂恒等于 0，即 am＝a n ＝0，无研究
4.1.1有理数指数幂(课件)-高一数学(湘教版2019必修第一册)
算法则进行运算，而引入分数指数的概念就可以大大简化根式运算.
当 > 0，, ∈ 且 ≥ 2时，规定 = ，
这样就有
24
4
2
= 2 = 4， 6
1
33
=3
3
−6
=3
1
2
−
=
1
3
=
1
=
−
.
3
，方便多了.
1
−2
= 5，求下列各式的值：
(1) + −1 ；(2)2 + −2 ；(2)
1
2
解：将 +
1
−2
3
3
−
2 − 2
1
1
−
2 − 2
.
= 5两边同时平方，得： + −1 + 2 = 5.
(1) + −1 = 5 − 2 = 3；
(2)将 + −1 两边同时平方，得：2 + −2 + 2 = 9.∴2 + −2 = 7.
∙ = + ，( ) = ，() = .
下面，我们把整数指数幂推广到有理数指数幂.
新知探索——根式
若一个(实)数的次方( ∈ ， ≥ 2)等于，即 = ，则称是的次
方根.
当是奇数时，数的次方根记作 .
当 > 0时， > 0；当 = 0时， = 0；当 < 0时， < 0.
1
−2
1 −3
125 −2
；(3)( ) ；(4)( ) 3 .
4.1指数课件-高一数学人教A版必修一
2
(1)8 3 ，
(2)
(
16
－3
)4
81
2
83
2
(23 )3
3 2
23
22
4
(
16
)
3 4
(
2
4(
)
3 4
)
( 2)3
27
81
3
3
8
例3、用分数指数幂的情势表示下列各式：
(1)a 2 3 a 2 ; (2) a 3 a .
练习：a a a
2
a2 a3
2 2
a 3
8
a3
11
(a a 3 )2
an
4
例如，53
1
1
2
，a 3
1
1
4
53
3 54
2
a3
3 a2
3、0的正分数指数幂等于0，
0的负分数指数幂没有意义.
说明： (1)分数指数幂的意义只是一种规定，前面所举的例子只表示这种规 定的合理性； (2)规定了分数指数幂的意义以后，指数的概念就从整数指数推广到 了有理数指数； (3)关于整数指数幂的运算性质，对于有理指数幂也同样适用，即对 任意有理数r，s，均有下面的性质：
a
2 1
a
2 1
.
a 2a 2
(1) 7
(2) 47
(3) 8
若a
0且a
1
1
7，求a 2
1
1
a 2及a 2
1
a 2的值.
a
解 ：∵ a 0且a 1 7， a
1
所 以(a 2
a
1 2
)2
a
指数的运算与指数函数
指数的运算与指数函数4.1指数的运算【知识梳理】1. 整数指数幂1）定义：我们把n a 叫做a 的n 次幂，a 叫做幂的底数，n 叫做幂的指数。
在上述定义中，n 为整数时，这样的幂叫做整数指数幂。
2）整数指数幂的运算法则：（1）n m a a = （2）=n m a )(（3）=n maa （4）=m ab )(3)此外，我们作如下规定：零次幂：)0(10≠=a a ； 负整数指数幂：),0(1+-∈≠=N n a a a nn； 2. 根式：1）n 次方根：一般地，如果a x n =，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N *。
注：①当n 是偶数时，正数的n 次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a -，n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n 是奇数时，正数的n 次方根是一个正数；负数的n 次方根是一个负数，都表示为na ；③0的任何次方根都是0，记作00=n。
2）正数a 的正n 次方根叫做a 的n 次算数根。
当na 有意义时，n a 叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数．注：当n 是奇数时，a a nn =；当n 是偶数时，⎩⎨⎧<≥-==)0()0(||a a a a a a nn ；3. 有理指数幂1）我们进行如下规定： n na a=1 （0>a ）那么，我们就将整数指数幂推广到分数指数幂。
此外，下面定义也成立： )1,,,0(*>∈>=n N n m a a a n m nm)1,,,0(11*>∈>==-n N n m a a aanmnm nm注：0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义。
2）规定了分数指数幂的意义后，指数的概念就从整数指数幂推广到了有理数指数幂。
3)有理指数幂的运算性质：（1）r a ·sr r aa +=),,0(Q s r a ∈>； （2）rs s r a a =)(),,0(Q s r a ∈>；（3）s r r a a ab =)(),0,0(Q r b a ∈>> 题型一 根式与幂的化简与求值 【例1】.求下列各式的值：（1）223223-++ （2）347246625-+--+【例2】.计算下列各式的值： （1）()[]75.0343031162)87(064.0---+-+-- （2）()()()012132232510002.0833-+--+⎪⎭⎫⎝⎛----【例3】.化简下列各式：（1）()0,0332>>b a b a ab ba （2）212121211111a a a a a ++------【过关练习】1.求值：（1）335252-++ （2）3332332313421248a a b a ab b ba a ⋅⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛-÷++-2.化简：（1）111113131313132---+++++-x xx x x x x x（2）()()14214214433332)1()1(1))((----------++-++-++-+a a a a a a a a a a a a a a a a3.下列关系式中，根式与分数指数幂的互化正确的是_____.())0()4)(0()1()3();0()2();0()1(434334316221>=>=<=>-=--a a a a x xxy y y x x x题型二 含附加条件的求值问题 【例1】（1）若3193=⋅ba，则下列等式正确的是（ ） A. 1-=+b a B. 1=+b a C. 12-=+b a D.12=+b a（2）若,123-=++x x x 则2827211227281x x x x x x x x ++⋅⋅⋅++++++⋅⋅⋅++----的值是_____.【例2】（1）已知,32,21==y x 求yx y x y x y x +---+的值； （2）已知b a ,是方程0462=+-x x 的两个根，且0>>b a ，求ba ba +-的值.【过关练习】 1.已知.88(22的值常数），求x x xxa --+=+2.已知32121=+-a a ，求21212323----aa a a 的值.3. 已知122+=xa ，求xx xx aa a a --++33的值题型三 解含幂的方程与等式的证明 【例1】解下列方程 （1）x x )41(212=+ （2）03241=-++x x【例2】已知433cz by ax ==，且1111=++zy x ，求证31313131222)(c b a cz by ax ++=++【过关练习】 1. 解下列方程（1）2291381+⎪⎭⎫⎝⎛=⨯x x （2）0123222=-⨯++x x2.设c b a ,,都是正数，且cb a 643==，求证ba c 122+=.4.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数函数 函数 )1,0(≠>=a a a y x叫做指数函数. 2. 指数函数的性质（1）定义域 :实数集合R ； （2）值域 ：0>y ;（3） 奇偶性：指数函数是非奇非偶函数（4）单调性：1>a 时，函数 )1,0(≠>=a a a y x在),(+∞-∞上为增函数；10<<a 时，函数)1,0(≠>=a a a y x 在),(+∞-∞上为减函数；（5）函数值：0=x 时，1=y ,图象恒过点（0，1）；（6）当0,1>>x a 时1>y ；0,1<>x a 时，10<<y .当10<<a ,0>x 时，10<<y ;0,10<<<x a 时，1>y .题型一 指数函数的概念例1 .已知指数函数)3)(2(--+=a a a y x的图像经过点（2,4），求a 的值.【过关练习】.若指数函数)(x f 的图像经过点（2,9），求)(x f 的解析式及)1(-f 的值.题型二 指数型复合函数的定义域和值域 【例1】.求下列函数的定义域和值域 （1） xy 31-= （2）412-=x y（3）xy -=)32( （4）32221--⎪⎭⎫ ⎝⎛=x x y【例2】.求函数[]2,2,221341-∈+⎪⎭⎫⎝⎛⨯-⎪⎭⎫ ⎝⎛=x y xx 的值域.【例3】.如果函数[]1,1-)1,0(122在且≠>-+=a a a a y x x上有最大值14，试求a 的值.【过关练习】1.求函数xy ⎪⎭⎫⎝⎛-=211的定义域和值域.2.已知集合⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==+R x y y A x,)21(12,则满足B B A =⋂的集合B 可以是（ ）A. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧21,0 B. ⎭⎬⎫⎩⎨⎧<<210x x C.{}11≤≤-x x D.{}0>x x 3.函数22212+-=+x xy 的定义域为M ，值域[]2,1P ，则下列结论一定正确的个数是（ ）。
人教版高中数学必修第一册4.1指数 课时2无理数指数幂及其运算性质【课件】
指数
课时2 无理数指数幂及其运算性质
教学目标
• 1. 了解无理数指数幂的概念和意义,体会无限逼近、由特
殊到一般等数学探究方法.
• 2. 在经历无理数指数幂的概念形成过程中,感受类比、归
纳和联想等数学学习方法.
• 3. 了解实数指数幂的变化特点和规律,初步感受“爆炸式”
增长或减少的变化趋势.
学习目标
察其变化趋势．
【问题5】x取负实数，使得其绝对值逐渐增大并趋向于无穷大时，
试计算3x的值，观察其变化趋势．
【问题6】x取正实数，使得其值逐渐增大并趋向于无穷大时，
试计算
的值，观察其变化趋势．
【问题7】通过上述探究，你发现实数指数幂有怎样的变化规律？
典例精析
【例1】（教材改编题）求值与化简：
（1）
【例3】
思路点拨：要善于利用实数指数幂的运算性质，借助整体代换进行化简计算．
【解】
【变式训练3】
2
5
【备选例题】
思路点拨
【解】
课堂反思
1.通过本节课的学习，你学到了哪些知识？
2.你认为本节课的重点和难点是什么？
随堂演练
A
A
ABD
2
同学们再见！
Goodbye Students！
【活动2】探究无理数指数幂的运算性质
【问题3】我们已经学习过有理数指数幂的运算性质：
am·an＝am＋n(m，n∈Q)；(am)n＝amn(m，n∈Q)；
(ab)n＝an·bn(n∈Q).
那么对于无理数指数幂，这些运算性质是否同样适用？
【活动3】探究实数指数幂的变化规律
【问题4】x取正实数，使得其值逐渐增大时，试计算3x的值，观
人教版高中数学新教材必修第一册课件：4.1指数与指数幂的运算1
典型例题
a, (当n为奇数)
n
an
| a |
a, a a,
a
0, (当n为偶数) 0.
例1 求下列各式的值
1. 3 (8)3 ;
2. (10)2 ;
3. 4 (3 )4 ;
4. (a b)2 (a b).
解：
1. 3 (8)3 8;
2. (10)2 | 10 |10;
3. 4 (3 )4 | 3 | 3;
a3 a2
3 1
a2
7
a2;
a2 3
a2
2
a2 a3
2 2
a 3
8
a3;
11
41
2
a 3 a (a a3 )2 (a3 )2 a3.
方法总结
1.根指数化为分数指数的分母，被 开方数(式)的指数化为分数指数的 分子． 2.在具体计算时，通常会把根式转 化成分数指数幂的情势，然后利用 有理数指数幂的运算性质解题．
1
cc55
5
c 4
(c
0).
我们规定正数的正分数指数幂的意义是 :
m
a n n am (a 0, m, n N*,且n 1).
正数的负分数指数幂的意义是 :
m
a n
1
m
a 0, m, n N*,且n 1
an
学习新知
整数指数幂的运算性质对于有理指 数幂也同样适用,即对于任意有理数r， s，均有下面的运算性质：
an bn
(b
0).
学习新知 根式
一般地，如果xn=a，那么x叫做a的n次方根，其
中n＞1，且n∈N*.
xn a
x n a ; (当n是奇数)
4.1指数(第1课时n次方根与分数指数幂)课件(人教版)
（2）有理数指数幂的运算性质中幂指数运算法则遵循：乘相加，除相减，幂相乘.
新知运用
例4 （1）用分数指数幂的形式表示 .
（2）计算 .
方法指导 （1）把根式转化为分数指数幂，可以从外向里（也可以从里向外）化为分数指数幂.（2）利用指数幂的运算性质计算.
[解析] （1） .（2）原式 .
2.根式的性质
（1） （ 为奇数时， ； 为偶数时， ，且 ）.
（2）
新知运用
一、n次方根的概念
例1 （1）若81的平方根为 ， 的立方根为 ，则 __________.
（2）若 有意义，求 的取值范围.
7或
[解析] （1） 的平方根为 或 ， 的立方根为 ， 或 ， ， 或 .（2） 有意义， ， ，即 的取值范围是 .
方法总结 指数幂运算的常用技巧：（1）有括号先算括号里的，无括号先进行指数运算.（2）负指数幂化为正指数幂的倒数.（3）底数是小数，先要化成分数；底数是带分数，要先化成假分数，然后要尽可能用幂的形式表示，便于用指数幂的运算性质. 提醒：化简的结果不能同时含有根式和分数指数，也不能既含有分母又含有负指数.
3.0的正分数指数幂等于____， 的负分数指数幂___________.
新知运用
例3 （1）下列根式与分数指数幂的互化正确的是( ).A. B. C. D. （2）将下列根式化成分数指数幂的形式.（其中 ， ）① ；② ；③ .
C
[解析] （1） ； ； ； .故选C.（2）①原式 .②原式 .③原式 .
第四章 指数函数与对数函数
4.1 指数
课时1 次方根与分数指数幂
学习目标
1.理解 次方根、 次根式的概念.（数学抽象）
2.能正确运用根式的运算性质化简、求值.（数学运算）
4.1 指数函数-(必修第一册) (教师版)
指数函数1 指数运算(1) n 次方根与分数指数幂一般地，如果x n =a ，那么x 叫做a 的n 次方根，其中n >1，且n ∈N ∗. 式子√a n叫做根式，这里n 叫做根指数，a 叫做被开方数. 负数没有偶次方根；0的任何次方根都是0.注意：(1) (√a n)n =a (2)当n 是奇数时，√a n n =a ，当n 是偶数时，√a n n =|a |={a,a ≥0−a,a <0.(2) 正数的正分数指数幂的意义① 正数的正分数指数幂的意义，规定：a m n=√a m n(a >0,m,n ∈N ∗,且n >1) 巧记“子内母外”(根号内的m 作分子，根号外的n 作为分母) Eg √x =x12，√x 53=x 53.② 正数的正分数指数幂的意义：a −mn =1a m n=√a mn>0,m,n ∈N ∗,且n >1)③ 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义. (3) 实数指数幂的运算性质① a s ∙a r =a r+s (a >0,r,s ∈R) ② (a s )r =a rs (a >0,r,s ∈R) ③ (ab)r =a r b r (a >0,r ∈R) 2 指数函数概念一般地，函数y =a x (a >0且a ≠1)叫做指数函数，其中x 是自变量，函数的定义域为R . 3 图像与性质【题型一】指数幂的化简与求值【典题1】 求值(279)12−(2√3−π)0－(21027)−13+0.125−23+√3∙√(34)3.【解析】原式=(259)12−1−(6427)−13+(18)−23+312∙(34)32=53−1−(2764)13+(2−3)−23+32∙(14)32=23−34+4+98=12124.【点拨】一般可以带分数化假分数、小数化分数、根式化幂、整数化幂.【典题2】已知x 12−x −12=√5，则x 2+1x 2的值为______.【解析】由x 12−x−12=√5，两边平方得x −2+x −1=5，则x +1x =7，所以(x +1x )2=49⇒x 2+1x 2+2=49⇒x 2+1x 2=47. 【点拨】注意x 12−x −12，x +1x ，x 2+1x 2之间平方的关系. 【典题3】化简√11+6√2√11−6√2=________.【解析】√11+6√2+√11−6√2=√(3+√2)2+√(3−√2)2=3+√2+3−√2=6.【点拨】化简形如√a+b√m的式子，利用完全平方数处理.巩固练习1(★) 化简√a√a3a76(a>0)=.【答案】a−2 3【解析】原式=a 12÷a76=a12−76=a−23．2(★★)如果45x=3，45y=5，那么2x+y=．【答案】 1【解析】由45x=3，得(45x)2=9,45y=5，则452x×45y=9×5=45=1．∴452x+y=45．∴2x+y=1故答案为1．3(★★)已知a+1a=7，则a12+a−12=．【答案】3【解析】由a+1a=7，可得a>0，a12+a−12>0，∴a 12+a−12=√(a12+a−12)2=√7+2=3．故选：A．4(★★) (214)12−(−2)0−(278)−23+(32)−2=．【答案】1 2【解析】(214)12−(−2)0−(278)−23+(32)−2=[(32)2]12−1−[(32)3]−23+(23)2=32−1−49+49=12．5(★★)求值√7+4√3+√7−4√3=．【答案】4【解析】√7+4√3√7−4√3=√(2+√3)2+√(2−√3)2=2+√3+2−√3=4. 6(★★★) 已知实数x,y 满足3x +3y =9x +9y ，则27x +27y 3x +3y的取值范围是 .【答案】(1,98] 【解析】设3x+3y=t ≥2√3x+y ，∴3x+y≤t 24， 又3x +3y =9x +9y =(3x +3y )2－2×3x+y ， ∴3x+y=t 2−t2>0，∴t >1；∴t 2−t 2≤t 24即t 2－2t ≤0，解得0≤t ≤2；∴1<t ≤2； 由已知，27x +27y 3x +3y=(3x +3y )(9x −3x+y +9y )3x +3y=9x −3x+y +9y =3x +3y －3x+y=t −t 2−t 2=−12t 2+32t =−12(t −32)2+98，∴t =32时，27x +27y 3x +3y 的最大值为98；t =1时27x +27y 3x +3y 的最小值为1；所以27x +27y 3x +3y的取值范围是(1,98]．故答案为：(1,98]．7(★★★) 已知2a =3b =6，则a,b 不可能满足的关系是( ) A ．a +b =abB ．a +b >4C ．(a −1)2+(b −1)2<2D ．a 2+b 2>8【答案】C【解析】∵2a =3b =6，∴(2a )b =6b ,(3b )a=6a ， ∴2ab =6b ，3ba =6a ， ∴2ab •3ba =6b •6a ， ∴6ab =6a+b ，∴ab =a +b ，则有ab =a +b ≥2√ab ， ∵a ≠b ，∴ab >2√ab ， ∴a +b =ab >4，∴(a －1)2+(b －1)2=a 2+b 2－2(a +b)+2>2ab －2(a +b)+2>2， ∵a 2+b 2>2ab >8，故C 错误 故选：C ．【题型二】指数函数的图象及应用【典题1】函数y =2|1−x |的图象大致是( )A ．B ．C ．D ．【解析】方法1 函数y =2|1−x |={2x−1,x >121−x ,x ≤1， (利用|x |={x,x ≥0−x,x <0去掉绝对值把函数变成分段函数)∴当x >1时，y =2x−1是增函数，当x ≤1时，y =21−x 的减函数， 且x =1时，y =1，即图象过(1,1)点； ∴符合条件的图象是A ． 故选：A ．方法2 利用函数的图象变换去掉y 轴左侧图象作关于y 轴右侧对称⇒右移1个单位⇒故选：A ．【典题2】设函数f(x)=|2x −1|，c <b <a ，且f(c)>f(a)>f(b)，判断2a +2c 与2的大小关系. 【解析】 f(x)=|2x −1|的图象可看成f (x )=2x 向下平移一个单位，再把x 轴下方的图象做翻转得到，其图象如下图所示，由图可知，要使c <b <a 且f(c)>f(a)>f(b)成立， 则有c <0且a >0， 故必有2c <1且2a >1，又f (c )−f(a)>0，即为1−2c −(2a −1)>0， ∴2a +2c <2．【点拨】涉及指数函数型的函数y=f(x)，往往需要得到其图象，方法有：①利用要相应指数函数的图象通过平移、对称、翻转变换得其图象；②利用去掉绝对值得到分段函数得其图象.巩固练习)x的交点个数有()1(★) 二次函数y=−x2−4x(x>−2)与指数函数y=(12A．3个B．2个C．1个D．0个【答案】C【解析】因为二次函数y=－x2－4x=－(x+2)2+4(x>－2)，)x=2，且x=－1时，y=－x2－4x=3，y=(12)x的图象：则在坐标系中画出y=－x2－4x(x>－2)与y=(12由图可得，两个函数图象的交点个数是1个，故选C．2(★★)若函数y=a|x|+m−1(0<a<1)的图象和x轴有交点，则实数m的取值范围是() A．[1,+∞)B．(0,1)C．(－∞,1)D．[0,1)【答案】D【解析】0<a<1时，0<a|x|<1，∴m－1<a|x|+m－1<m；由函数y的图象和x轴有交点，∴m(m－1)≤0，0≤m≤1，综上，实数m的取值范围是[0,1)．故选：D．3(★★) 如图所示，函数y=|2x−2|的图象是()A．B．C．D．【答案】 B【解析】∵y =|2x －2|={2x −2,x ≥12−2x ,x <1，∴x =1时，y =0,x ≠1时，y >0．故选B ．4(★★) 已知实数a,b 满足等式2a =3b ，下列五个关系式：①0<b <a ；②a <b <0； ③0<a <b ；④b <a <0；⑤a =b ．其中可能成立的关系式有( ) A ．①②③ B ．①②⑤ C ．①③⑤D ．③④⑤【答案】 B【解析】令f(x)=2x 和g(x)=3x ，2a =3b 即f(a)=g(b)，如图所示 由图象可知①②⑤正确，故选B ．5(★★★) 若2x −5−x ≤2−y −5y ，则有( ) A ．x +y ≥0 B ．x +y ≤0 C ．x −y ≤0 D ．x −y ≥0【答案】B【解析】构造函数f(x)=2x －5−x ，易得函数f(x)单调递增， 由2x －5−x ≤2−y －5y ，可得f(x)≤f(－y) ∴x ≤－y ⇒x +y ≤0， 故选：B ．【题型三】指数函数的性质及应用 角度1 比较指数式的大小 【典题1】 设y 1=40.9,y 2=80.48,y 3=(12)−1.5，则( ) A ．y 3>y 1>y 2B ．y 2>y 1>y 3C ．y 1>y 2>y 3D ．y 1>y 3>y 2【解析】利用幂的运算性质可得，y 1=40.9=21.8，y 2=80.48=21.44，y 3=(12)﹣1.5=21.5，再由y =2x 是增函数，知y 1>y 3>y 2． 故选：D ．【典题2】已知a =0.72.1，b =0.72.5．c =2.10.7，则这三个数的大小关系为( )A．b<a<c B．a<b<c C．c<a<b D．c<b<a【解析】根据指数函数的性质可得：函数y=0.7x是减函数，∵2.1<2.5，∴0.72.1>0.72.5，即a>b．又∵c=2.10.7>2.10=1，a=0.72.1<0.70=1，∴c<a，∴b<a<c，故选：A．【点拨】比较指数式的大小，主要是利用指数函数的单调性，具体方法有①把指数幂化为同底，再利用指数函数的单调性比较大小；②若不能化为同底，可对指数幂进行估值，一般可以与0，1比较大小；③利用第三个数作为两个数字大小比较的过渡.角度2 求解指数型不等式和方程【典题1】方程4x+1−3×2x+2－16=0的解是．【解析】4x+1−3×2x+2−16=0，即为4×(2x)2−12×2x−16=0令t=2x>0则有4t2−12t−16=0，解得t=4,t=−1(舍)所以2x=4，x=2故答案为x=2．【点拨】利用换元法，要注意幂的底数之间的关系，同时换元后t=2x>0是容易忽略的.【典题2】解不等式：a2x+1<a x+2+a x−2(a>0)【解析】∵a x+2+a x−2=(a2+1a2)a x,令t=a x原不等式变形得t2−(a2+1a2)t+1<0，即(t−a2)(t−1a2)<0，(注意因式分解)(1)当a2<1a2，即0<a<1时，则a2<t<1a2，即a2<a x<1a2，∴−2<x<2(2)当a2>1a2，即a>1时，则1a2<t<a2，即a−2<a x<a2，∴−2<x<2(3)当a 2=1a 2，即a =1时，无解．综上，当a ≠1时，−2<x <2；当a =1时无解． 【点拨】① 求解指数型不等式，特别要注意底数大于1还是小于1再利用对应指数函数的单调性求解；本题还要注意a =1；② 本题利用了换元法，题目不等式为含涉及含参的一元二次不等式的求解，对a 2，1a 2的大小比较是关键.角度3 指数型函数综合问题【典题1】已知定义在R 上的函数y =f(x)满足：①对于任意的x ∈R ，都有f(x +1)=1f(x)；②函数y =f(x)是偶函数；③当x ∈(0,1]时，f (x )=x +e x ，则f(−32)，f(214)，f(223)从小到大的排列是 . 【解析】由题意f(x +1)=1f (x )=f(x −1)，故函数y =f(x)为周期为2的函数； f(−32)=f(12)；f(223)=f(8−23)=f(−23)=f(23)；f(214)=f(6−34)=f(34)； (把自变量数值向(0,1]靠拢)∵当x ∈(0,1]时，f (x )=x +e x 是增函数， 故f(12)<f(23)<f(34)，即f(−32)<f(223)<f(214)．【典题2】若e a +πb ≥e −b +π−a ，则有( ) A ．a +b ≤0B ．a −b ≥0C ．a −b ≤0D ．a +b ≥0【解析】解法一：取特殊值排除法取a =0，b =1得1+π≥1e +1，满足题意，排除A,B ； 取a =1，b =0得e +1≥1+1π，满足题意，排除C ；故选：D ．法二：构造函数利用单调性令f(x)=e x −π−x ，则f(x)是增函数，∵e a +πb ≥e −b +π−a ⇒e a −π−a ≥e −b −πb ， ∴f(a)≥f(−b)，即a +b ≥0．故选：D．【点拨】①做选择题，利用“取特殊值排除法”是较快的一种方法，一般取数都是利于计算的；②遇到类似这样的题目，不等式e a+πb≥e−b+π−a的两边形式较为“一致”，一般都采取构造函数的方法处理，把不等式e a+πb≥e−b+π−a变形成e a−π−a≥e−b−πb，就较容易联想到构造函数f(x)=e x−π−x；③判断函数的单调性，可以采取“性质法”：增+增=增，减+减=减.【典题3】已知函数f(x)=a x，g(x)=a2x+m，其中m>0，a>0且a≠1．当x∈[−1,1]时，y=f(x)的最大值与最小值之和为52．(1)求a的值；(2)若a>1，记函数ℎ(x)=g(x)−2mf(x)，求当x∈[0,1]时，ℎ(x)的最小值H(m)．【解析】(1)∵f(x)在[－1,1]上为单调函数，f(x)的最大值与最小值之和为a+a−1=52，∴a=2或12．(2)∵a>1∴a=2则ℎ(x)=22x+m−2m×2x，令t=2x，∵x∈[0,1]时，∴t∈[1,2]，ℎ(x)=t2−2mt+m，对称轴为t=m(二次函数动轴定区间最值问题)当0<m<1时，H(m)=ℎ(1)=−m+1；当1≤m≤2时，H(m)=ℎ(m)=−m2+m；当m>2时，H(m)=ℎ(2)=−3m+4．综上所述，H(m)={−m+1,(0<m<1)−m2+m,(1≤m≤2)−3m+4,(m>2)．【点拨】本题第二问最后把问题转化为“二次函数在闭区间上的最值问题”中的“动轴定区间”，对对称轴t= m在区间[1,2]“左、中、右”进行分类讨论.【典题4】已知函数f(x)=9x−3x+1+c(其中c是常数)．(1)若当x ∈[0,1]时，恒有f(x)<0成立，求实数c 的取值范围；(2)若存在x 0∈[0,1]，使f(x 0)<0成立，求实数c 的取值范围；(3)若方程f(x)=c ∙3x 在[0,1]上有唯一实数解，求实数c 的取值范围.思路痕迹(1) 恒成立问题可转化为求函数y =f(x)的最大值，见到9x ，3x+1可以考虑换元法，则函数可变成二次函数的最值问题：(2) 该问是存在性问题，可转化为求函数y =f(x)的最小值.(3) 该问转化为方程t 2－(3+c)t +c =0在[1,3]上有唯一实数解，属于二次方程根的分布问题.【解析】(1)f (x )=9x −3x+1+c =(3x )2−3×3x +c ，令3x =t ，当x ∈[0,1]时，t ∈[1,3]， (利用换元法要注意新变量的求值范围)问题转化为当t ∈[1,3]时，g (t )=t 2−3t +c <0恒成立，于是只需g(t)在[1,3]上的最大值g(3)<0，即9−9+c <0，解得c <0．∴实数c 的取值范围是(−∞,0)；(2)若存在x 0∈[0,1]，使f(x 0)<0，则存在t ∈[1,3]，使g (t )=t 2−3t +c <0．于是只需g(t)在[1,3]上的最小值g (32)=(32)2−3∙32+c <0，解得c <94； ∴实数c 的取值范围是(−∞，94)；(3)若方程f(x)=c ∙3x 在[0,1]上有唯一实数解，则方程t 2−(3+c)t +c =0在[1,3]上有唯一实数解，(一元二次方程根的分布问题)因△=(3+c )2−4c =c 2+2c +9=(c +1)2+8>0，故t 2−(3+c)t +c =0在[1,3]上不可能有两个相等的实数解，令ℎ(t )=t 2−(3+c)t +c ．则ℎ(1)ℎ(3)≤0，所以−2∙(−2c )≤0，解得c ≤0．∴实数c 的取值范围是(−∞,0]．【点拨】 利用换元法把问题转化为二次函数问题；恒成立、能成立问题最终转化为最值问题，注意函数单调性.【典题5】 已知定义在(−1,1)上的奇函数f(x)．在x ∈(−1,0)时，f (x )=2x +2−x ．(1)试求f(x)的表达式；(2)若对于x ∈(0,1)上的每一个值，不等式t ·2x ·f (x )<4x −1恒成立，求实数t 的取值范围．【解析】(1)∵f(x)是定义在(−1,1)上的奇函数，∴f (0)=0，设x ∈(0,1)，则−x ∈(−1,0)，则f (x )=−f (−x )=−(2x +2−x )，故f (x )={2x +2−x 0−2x −2−x x ∈(−1,0)x =0x ∈(0,1)(2)由题意，t ·2x ·f (x )<4x −1可化为t ·2x ·(−2x −2−x )<4x −1化简可得t >−4x +14x +1，(此处恒成立问题用到“分离参数法”转化为最值问题)令g (x )=−4x +14x +1=−1+24x +1， (分离常数法) 易得g (x )在(0,1)上递减，∴g (x )<g (0)=−1+240+1=0，故t ≥0．(t 可取到0)【点拨】① 恒成立问题可转化为最值问题，其中手段常见分离参数法、直接构造函数法、数形结合法、变换主元法等；② 判断形如y =a∙f (x )+b m∙f (x )+n 函数的单调性，可用分离常数法；比如y =−x+12x+1，y =2x 2−3x 2+1，y =2x−1+12x +1等.巩固练习1(★) 设a =0.60.4,b =0.40.6,c =0.40.4，则a,b,c 的大小关系为( )A ．a <b <cB ．b <c <aC ．c <a <bD ．c <b <a 【答案】 B【解析】∵a =0.60.4，c =0.40.4，由幂函数y =x 0.4的性质可得a >c ，b =0.40.6，c =0.40.4，由指数函数y =0.4x 的性质可得b <c ，∴b <c <a ．故选：B ．2(★★) 已知实数a ，b 满足12>(12)a >(√22)b >14，则( )A ．b <2√b −aB ．b >2√b −aC ．a <√b −aD ．a >√b −a【答案】B 【解析】由12>(12)a ，得a >1，由(12)a >(√22)b ，得(√22)2a >(√22)b ，得2a <b ， 由(√22)b >14，得(√22)b >(√22)4，得b <4．由2a <b ，得b >2a >2，a <b 2<2，∴1<a <2，2<b <4．取a=32,b =72，得√b −a =√72−32=√2，有a >√b −a ，排除C ；b >2√b −a ，排除A ；取a =1110,b =3910得，√b −a =√3910−1110=√145，有a <√b −a ，排除D ．故选：B ．3(★★) 设a >0,b >0，下列命题中正确的是( )A ．若2a +2a =2b +3b ，则a >bB ．若2a +2a =2b +3b ，则a <bC ．若2a −2a =2b −3b ，则a >bD ．若2a −2a =2b −3b ，则a <b 【答案】 A【解析】∵a ≤b 时，2a +2a ≤2b +2b <2b +3b ，∴若2a +2a =2b +3b ，则a >b ，故A 正确，B 错误；对于2a ﹣2a =2b ﹣3b ，若a ≥b 成立，则必有2a ≥2b ，故必有2a ≥3b ，即有a ≥32b ，而不是a >b 排除C ，也不是a <b ，排除D ．故选：A ．4(★★) 方程4x+1−3×2x+2−16=0的解是 .【答案】 x =2【解析】4x+1－3•2x+2－16=0即为4•(2x )2－12•2x －16=0令2x =t 则有4t 2－12t －16=0，解得t =4,t =－1(舍)所以2x =4,x =2故答案为x =2．5(★★) 若方程(14)x +(12)x −1+a =0有正数解，则实数a 的取值范围是 .【答案】(−3,0)【解析】设t =(12)x ，则有：a =－[(12)2x +2(12)x ]=－t 2－2t =－(t +1)2+1． 原方程有正数解x >0，则0<t =(12)x <(12)0=1， 即关于t 的方程t 2+2t +a =0在(0,1)上有实根．又因为a =－(t +1)2+1．所以当0<t <1时有1<t +1<2，即1<(t +1)2<4，即－4<－(t +1)2<－1，即－3<－(t +1)2+1<0，即得：－3<a <0，故选：B ．6(★★★) 已知函数f(x)=a x (a >0,a ≠1)在[−2,1]上的值域为[m,4]，且函数g(x)=3m−1x 在(0,+∞)上是减函数，则m +a = ．【答案】 1【解析】当a >1时，函数f(x)=a x 在[－2,1]上的值域为[m,4]，∴a =4，m =116， 函数g (x )=3m−1x =−1316x 在(0,+∞)上是增函数，不满足题意；当0<a <1时，函数f(x)=a x 在[－2,1]上的值域为[m,4]，∴a －2=4，a =12，此时m =12，函数g(x)=3m−1x =12x 在(0,+∞)上是减函数，满足题意； 综上知m +a =1．故答案为：1．7(★★★) 设不等式4x −m(4x +2x +1)≥0对于任意的x ∈[0,1]恒成立，则实数m 的取值范围是 ．【答案】(−∞,13]【解析】由4x －m(4x +2x +1)≥0，得m(4x +2x +1)≤4x ，即m ≤4x 4x +2x +1=11+12x +14x ， ∵x ∈[0,1]，∴12x ∈[12,1]，则(12x )2+12x +1=(12x +12)2+34∈[74,3]，∴11+12x +14x ∈[13,47]，则m ≤13．8(★★★)已知f(x)=a−23x+1(a∈R)：(1)证明f(x)是R上的增函数；(2)是否存在实数a使函数f(x)为奇函数？若存在，请求出a的值，若不存在，说明理由．【答案】(1)略，提示：定义法(2) a=1【解析】(1)证明：对任意x∈R都有3x+1≠0,∴f(x)的定义域是R，设x1，x2∈R且x1<x2，则f(x1)−f(x2)=23x2+1−23x1+1=2(3x1−3x2)(3x1+1)(3x2+1)∵y=3x在R上是增函数，且x1<x2∴3x1<3x2且(3x1+1)(3x2 +1)>0⇒f(x1)－f(x2)<0⇒f(x1)<f(x2)∴f(x)是R上的增函数．(2)解：若存在实数a使函数f(x)为R上的奇函数，则f(0)=0⇒a=1下面证明a=1时f(x)=1−23x+1是奇函数∵f(−x)=1−23−x+1=1−2⋅3x1+3x=1−2(3x+1)−21+3x=−1+21+3x=−f(x)∴f(x)为R上的奇函数∴存在实数a=1，使函数f(x)为R上的奇函数．9(★★★)设函数f(x)=a x−a−x(a>0且a≠1)．(1)判断函数f(x)的奇偶性；(2)若f(1)<0，试判断函数f(x)的单调性．并求使不等式f(x2+tx)+f(4−x)<0对一切x∈R恒成立的t 的取值范围；(3)若f(1)=32，g(x)=a2x+a−2x−2mf(x)且g(x)在[1,+∞)上的最小值为−2，求m的值．【答案】(1)奇函数(2)−3<t<5(3) m=2【解析】(1)f(x)的定义域为R，关于原点对称，且f(－x)=a−x－a x=－f(x)，∴f(x)为奇函数．(2)f(x)=a x－a－x (a>0且a≠1)．∵f(1)<0，∴a－1a<0，又a>0，且a≠1，∴0<a<1，故f(x)在R上单调递减，不等式化为f(x2+tx)<f(x－4)，∴x2+tx>x－4，即x2+(t－1)x+4>0恒成立，∴△=(t－1)2－16<0，解得－3<t<5；(3)∵f(1)=32，∴a －1a =32，即2a 2－3a －2=0， 解得a =2或a =－12(舍去)，∴g(x)=a 2x +a −2x －2mf(x)=(2x －2−x )2－2m(2x －2−x )+2， 令t =f(x)=2x －2−x ，由(1)可知f(x)=2x －2−x 为增函数，∵x ≥1，∴t ≥f(1)=32， 令ℎ(t )=t 2−2mt +2=(t −m )2+2−m 2 (t ≥32)，若m ≥32，当t =m 时，ℎ(t )min =2−m 2=−2，∴m =2； 若m <32时，当t =32时，ℎ(t )min =－2，解得m =2512>32，无解；综上，m =210 (★★★) 已知函数f (x )=a ∙4x −2x+1+a +3.(1)若a =0，解方程f (2x )=−5；(2)若a =1，求f(x)的单调区间；(3)若存在实数x 0∈[−1,1]，使f (x 0)=4，求实数a 的取值范围.【答案】 (1) x =1 (2) 单调增区间是[0,+∞)，单调减区间是(−∞,0](3){a|1≤a ≤1+√52}【解析】⑴若0a =, 由()25f x =-，即21235x +-+=-，解得x =1 ⑵若1a =,则()1424x x f x +=-+，设12,x x R ∈，且12x x <，()()21f x f x -=221424x x +-+()111424x x +--+ ()()212144222x x x x =---()()212122222x x x x =-+-21220x x ->当[)12,0,x x ∈+∞时,有212220x x +->，()()2121222220x x x x ∴-+->， ()()21f x f x ∴>,()f x ∴在[)0,+∞上是增函数; 当(]12,,0x x ∈-∞时,有212220x x +-<，()()2121222220x x x x ∴-+-<，()()21f x f x ∴<,()f x ∴在(],0-∞上是减函数()f x ∴的单调增区间是[0,+∞)，单调减区间是(−∞,0] ⑶设2x t =,由[]01,1x ∈-,得1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,且()1242323x x f x a a a t t a +=⋅-++=⋅-++ ∴存在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦,使得2234a t t a ⋅-++=,即2210a t t a ⋅-+-= 令()221g t a t t a =⋅-+-,若0a ≠,则函数()g t 的对称轴是1t a = 由已知得:方程()0g t =在1,22t ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上有实数解, ()()12012g g ⎛⎫∴⋅≤ ⎪⎝⎭,或由不等式()1得:()582550,145a a a ⎛⎫-⋅-≤∴≤≤ ⎪⎝⎭ 由不等式组()2得: 012285851a a a a a a >⎧⎪⎪≤≤⎪∴≤≤≤≤⎪⎪≥⎪⎪≥⎪⎩所以,实数a 的取值范围是{a|1≤a ≤1+√52}。
4.1.1实数指数幂及其运算课件——高中数学人教B版必修第二册
小学数学点知识归纳数轴的概念与表示数轴是小学数学中一个非常重要的概念，它可以帮助我们更好地理解和表示数值之间的相对位置关系。
本文将对数轴的概念进行简要归纳，并介绍常见的表示方法。
一、数轴的概念数轴是由一条直线和标注在上面的数值组成的。
它可以用来表示整数、小数、分数等各种数值，帮助我们更直观地理解它们之间的大小关系。
二、数轴的表示1. 整数数轴整数数轴是最简单的数轴表示方法。
它将0作为起点，根据正负方向向两侧延伸，用整数对应的点来表示。
例如，在一个整数数轴上，数值-3、-2、-1、0、1、2、3将依次对应不同的点。
2. 小数数轴小数数轴是用于表示小数的数轴。
它可以看作是整数数轴的扩展，将0作为起点，根据正负方向向两侧延伸，但除了整数点外，还需要将小数点后的数值对应到相应位置上。
例如，0.5、1.2、-0.8等小数点后的数值可以用小数数轴表示。
3. 分数数轴分数数轴是用于表示分数的数轴。
和小数数轴类似，它也是在整数数轴基础上进行扩展。
除了整数点和小数点后的数值外，还需要将分数对应到相应位置上。
例如，1/2、3/4等分数可以用分数数轴表示。
三、数轴上的运算1. 数轴上的加法与减法在数轴上进行加法与减法运算时，可以利用数轴上数值的相对位置关系进行计算。
例如，在整数数轴上，若要求-2+3的结果，可以从-2出发，向右移动3个单位，最终到达1。
同样，在小数数轴和分数数轴上也可以进行加法与减法运算。
2. 数轴上的乘法与除法在数轴上进行乘法与除法运算时，可以利用数值的倍数关系进行计算。
例如，在整数数轴上，若要求2×(-3)的结果，可以从2出发，向左移动3个单位，最终到达-6。
同样，在小数数轴和分数数轴上也可以进行乘法与除法运算。
四、应用举例1. 比较数值大小数轴可以帮助我们直观地比较数值的大小。
例如，要比较-2和3的大小，可以在整数数轴上找到对应的点，从而发现3较大。
同样，对于小数和分数，也可以利用数轴进行大小比较。
指数的运算与指数函数讲义
指数的运算与指数函数讲义4.1指数的运算【知识梳理】1.整数指数幕1）定义：我们把a n叫做a的n次幕，a叫做幕的底数，n叫做幕的指数。
在上述定义中，n为整数时，这样的幕叫做整数指数幕。
2）整数指数幕的运算法则：/ 八m n / / m、n（1）a a = _________________________ （2）（a ）__________________ma / i x m（3）「_____________________________ （4）（ab） _____________________________ a3）此外，我们作如下规定：零次幕：a01（a 0）；1负整数指数幕：a n—（a 0,n N ）；a2.根式：1）n次方根：一般地，如果x n a,那么x叫做a的n次方根，其中n>1 ,且n € N*。
注：①当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数，分别表示为n a , n a ；负数的偶次方根在实数范围内不存在；②当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数；负数的n次方根是一个负数，都表示为n a ；③0的任何次方根都是0,记作n0 0。
2）正数a的正n次方根叫做a的n次算数根。
当n a有意义时，Va叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数.I --当n是奇数时，Va n a ；当n是偶数时，n a n|a| a (a 0).；3.有理指数幕 1）我们进行如下规定：1a n n a （ a 0）那么，我们就将整数指数幕推广到分数指数幕。
此外，下面定义也成立：N *,n 1）0,m, n N *, n 1）o ，o 的负分数指数幕没有意义。
2）规定了分数指数幕的意义后，指数的概念就从整数指数幕推广到了有理数指数幕。
【例2】•计算下列各式的值:23 3丄一 1_ _ o 30.002 210 , 5 2.. 3 . 28(1) a r -a r r a s(a 0, r,s Q)；(2)(a r )s rs a (a 0, r, s Q) （3） (ab)r a r s z a (a 0,b 0,r Q) 题型--根式与幕的 l 化简与求值 【例1】•求下列各i式的值:（1）3 2 23 2：23）有理指数幕的运算性质:(2) , 5 2.6 6 4 2 .7 4 3mnma (a 0,m,nm11a nm------(a n ma 7•..a注：o 的正分数指数幕等于 7(1)0.064 3 (7)042 3 3 160.75(2)【例3】•化简下列各式:0,b 0 (1)1 a 1 ~1a2 a【过关练习】1.求值：(1)(2)18a'b2.化简：(1)x 11 3 x(2)(a3a3 3)(a 3)_aa 4 1 a a 11x3xx3 1a2(1 4) a2(1 a4a^2 24b323 ab a'4) 21a a3.下列关系式中，根式与分数指数幕的互化正确的是_________(1) .X1 ___ 1 4x2(x 0);(2)6y2y3(y 0);(3)x§23\ a4(：)3(X 0)(4) . a a3a" (a 0)题型二 含附加条件的求值问题【例11 (1 )若3a 9b -，则下列等式正确的是()3 A. a b 1 B. a b 1C. a 2b1D.a 2b1(2) 若 x 3 x 2x 1,则 x 28 x 272x1x 1 x 1 x 2x 27 x 28的值是a . .； b4 ----- 0的两个根，且a b 0，求 的值.<a Jb【过关练习］1.已知2x 2 xa(常数)， 求8x 8 x 的值12.已知a 2 1a 2 3a 23，求一n a 23a1的值.a 23x 3x3.已知a 2x 21，求a x a x 的值a a(2)已知a,b 是方程x 26x1【例2 ]( 1)已知x - y 2 '题型三解含幕的方程与等式的证明【例1】解下列方程2x11【例2】已知ax3 by3 cz4，且一x 1，求证(ax2 by211112\3 3 3 ^3cz ) a b c【过关练习】1•解下列方程x 2 2 x1(1)81 3922x22xa b2.设a,b,c都是正数，且3 4 6c，求证- 24.2 指数函数及其性质【知识梳理】1. 指数 函数 函数 y a x (a 0,a 1)叫做指 数函数 .2. 指数 函数的 性质（ 1 ） 定义域 :实 数 集 合 R ；（ 2）值域 ： y 0 ;（ 3 ）奇偶性 ：指数函数是非奇非偶函数（ 4）单调性：a 1时， 函数 y a x （a 0,a 1）在 （, )上为增函数； 0 a 1时， 函数xya（a 0,a1)在( , )上为减函数；（ 5）函数值：x 0时 ， y 1, 图 象 恒 过 点 ( 0 ， 1 )；（ 6）当 a 1,x 0 时 y 1 ; a 1, x 0 时，0 y 1.当0 a 1, x 0 时 ，0y 1;0 a 1,x 0时， y 1.题型一 指数函数的概念例1 .已知指数函数 y a x (a 2)(a 3)的图像经过点( 2,4)，求 a 的值.【过关练习】•若指数函数f(x)的图像经过点(2,9)，求f(x)的解析式及f( 1)的值.题型二指数型复合函数的定义域和值域 【例1】•求下列函数的定义域和值域 1(1)y .. 1 3x（2） y 2口x 2 2x 3(3) y2x1 （汀（4）y32【例2】•求函数yx13 1x2, x 2,2的值域420,且a 1）在-1,1上有最大值14,试求a 的值.【过关练习】 1.求函数y 11X的定义域和值域V 23•函数y 22x2x 1 2的定义域为M ，值域P1,2，则下列结论一定正确的个数是（）。
4.1指数教案
4.1指数教案
教学目标
了解指数的概念和特性
掌握指数运算的基本法则
能够应用指数运算解决实际问题
培养学生的逻辑思维和推理能力
教学重点
指数的定义和性质
指数运算的基本法则
教学难点
运用指数运算解决实际问题
教学准备
教材：包含指数相关知识的教科书
PowerPoint幻灯片或白板、黑板等教学工具
讲义、习题集等辅助教学资料
实例或应用题目
教学过程
1.导入
通过提问或展示一些有趣的例子引起学生对指数的兴趣，例如“你知道什么是
指数吗？有没有见过指数的应用？”
2.知识讲解
介绍指数的定义：指数是表示一个数的乘方次数的数字。
解释指数的基本特性：指数运算可以简化复杂的乘法和除法计算，并且具有一些特殊的性质，如指数相同，底数相乘；指数相同，底数相除等。
讲解指数运算的基本法则：乘方法则、幂函数法则、负指数法则和零指数法则。
3.案例分析
给出一些实际应用的案例，例如计算物质衰变的速率、科学计数法的使用等，让学生通过运用指数运算来解决问题。
4.练习与巩固
教师布置一些练习题，让学生独立或小组合作完成，巩固所学的知识。
可以包括计算指数表达式、简化指数表达式、求解指数方程等。
5.总结与拓展
对本节课所学内容进行总结，并提出相关拓展问题，鼓励学生进一步思考和探索指数运算在其他领域中的应用。
教学评估
课堂参与度：学生是否积极参与讨论和回答问题
作业完成情况：学生对练习题的正确率和完成情况
实际应用能力：学生是否能够将所学知识应用到实际问题中进行解决。
4.1指数的基本运算
授课主题：指数运算教学目标1．理解根式的概念和性质，并能熟练进行相关计算．2．掌握n次方根的性质，理解分数指数幂的概念．3．掌握根式与分数指数幂的互化．4．掌握有理数指数幂的运算和根式与分数指数幂的运算．5．准确运用分数指数幂的运算性质进行计算．教学内容1．整数指数幂1）正整数指数幂的含义：(*)nn aa a a a a n N=∈个2）零指数幂：01(0)a a=≠3）负整数指数幂：-1(0,*)nna a n Na=≠∈2．分数指数幂1）如果存在实数x，使得x n＝a(a∈R，n>1，且n∈N*)，则x叫做a的n次方根．特别的，如果一个数的平方等于a，那么这个数叫做a的平方根；如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根．2）式子na叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数．3）(1)n∈N*时，(na)n＝a.(2)n为正奇数时，na n＝a；n为正偶数时，na n＝|a|.4）分数指数幂的定义：(1)规定正数的正分数指数幂的意义是：amn＝na m(a>0，m、n∈N*，且mn为既约分数)；(2)规定正数的负分数指数幂的意义是：a－mn＝1amn(a>0，m、n∈N*，且mn为既约分数)；(3)0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义．5）在进行幂和根式的化简时，一般先将根式化成幂的形式，化小数指数幂为分数指数幂，化负指数为正指数，并尽可能地统一成分数指数幂的形式，再利用幂的运算性质进行化简、求值和运算．3．有理数指数幂的运算(1)a r a s＝a r＋s (a>0，r、s∈Q)；(2)(a r)s＝a rs (a>0，r、s∈Q)；(3)(ab)r＝a r b r (a>0，b>0，r∈Q)．类型一、根式例1.求下列各式的值：（1）5242544(3);(2)(10);(3)(3);(4)()a bπ----.【答案】-3；10；3π-；0a bb a-⎧⎪⎨⎪-⎩ （a>b） （a=b） （a<b）【总结升华】（1）求偶次方根应注意，正数的偶次方根有两个，例如，4的平方根是2±，但不是42=±.（2）根式运算中，经常会遇到开方与乘方两种运算并存的情况，应注意两者运算顺序是否可换，何时可换. 【变式】计算下列各式的值：（1）33(2)-；（2）24(9)-；（3）66(4)π-；（4）88(2)a-.【答案】（1）-2；（2）3；（3）4π-；（4）2(2)2(2)a aa a-≥⎧⎨-<⎩.例2.计算：（1）526743642++---；（2）112121++-.【解析】（1）526743642++---=22(3)232(2)+⨯++222223(3)-⨯+-222222(2)-⨯+=222(32)(23)(22)++---=|32+|+|23-|-|22-|=32++23--（22-）=22（2）112121++-=2121(21)(21)(21)(21)-+++--+=2121-++=2244(18++18218∴由平方根的定义得：33-x3x2++x2x1(2)a>0， b>0，又∵ a b=b a，∴1119 ()()(9)ab ab b ba b a b a a=⇒=⇒=∴8182499933a a a=⇒=⇒=.1．下列说法中：①16的4次方根是2；②416的运算结果是±2；③当n为大于1的奇数时，na对任意a∈R都有意义；④当n为大于1的偶数时，na只有当a≥0时才有意义．其中正确的是()A．①③④B．②③④C．②③D．③④答案：D2．已知x5＝6，则x等于()A. 6B.56 C．－56 D．±56答案：B3．m是实数，则下列式子中可能没有意义的是()A.4m2 B.3m C.6m D.5－m答案：C4. 4(－2)4运算的结果是() A．2 B．－2C．±2 D．不确定答案：A5．若2<a<3，化简(2－a)2＋4(3－a)4的结果是()A．5－2a B．2a－5C．1 D．－1答案：C6．若a＋(a－2)0有意义，则a的取值范围是() A．a≥0 B．a＝2C．a≠2 D．a≥0且a≠2答案：D7．已知xy≠0且4x2y2＝－2xy，则有() A．xy＜0 B．xy＞0当n为偶数时，n(3－π)n＝π－3.(2)2n(x－y)2n＝|x－y|，当x≥y时，2n(x－y)2n＝x－y；当x<y时，2n(x－y)2n＝y－x.(3)5＋26＋7－43－6－42＝(3)2＋23·2＋(2)2＋22－2×23＋(3)2－22－2×22＋(2)2＝(3＋2)2＋(2－3)2－(2－2)2＝|3＋2|＋|2－3|－|2－2|＝3＋2＋2－3－(2－2)＝2 2.A组答案：C3．求值：答案：9；1.4B组1．化简[(－3)2]－12的值等于()A.3B．－3 C.33D．－33解析：[(－3)2]－12＝3－12＝33.答案：C 2.x －2x －1＝x －2x －1成立的条件是( ) A ．x ＜1 B ．x ≠1C.x －2x －1≥0 D ．x ≥2 解析：⎩⎪⎨⎪⎧ x －2≥0，x －1＞0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，x ＞1，∴x ≥2.答案：D3．(－2)100＋(－2)101等于( )A ．－1B ．2100C ．(－2)100D ．－2100解析：(－2)100＋(－2)101＝(－2)100＋(－2)(－2)100＝(－2)100[1＋(－2)]＝－(－2)100＝－2100. 答案：D4．若x 2＝9，则x ＝________；若x 3＝8，则x ＝_________.答案：±3 25．已知a 12＋a －12＝3，则a 2＋a －2＝________________________________.6．设b ＞0，用分数指数幂表示下列各式：(1)b 2·b ＝________； (2)3b 4b ＝________.答案：7．计算2－12＋(－4)02＋12－1－(1－5)0的结果是( )A ．1B ．2 2C. 2D ．2－12C 组1．求值：23×31.5×612＝________.2．化简下列各式：解析：.解析：。
高中数学人教A版必修第一册4.1指数(教学课件)
B 1.若 6 9a2 6a 1 3 13a ，则实数 a 的取值范围是( )
A. (, 3)
B.
,
1 3
C.
1 3
,
D.
1 3
,
解析： 6 9a2 6a 1 6 (1 3a)2 3 |1 3a | 3 1 3a ，
1
3a
0
， a
1 3
.故选
B.
C 2.下列各式正确的是( )
（2） a 3 a .
解：（1） a2 3
a2
2
a2a3
2 2
a 3
8
a3 ；
1
1
（2）
a3
a
1 2 aa3
4 a3
2
2
a3
.
例 4 计算下列各式（式中字母均是正数）：
2 1 1 1 1 5
（1） 2a3b2 6a2b3 3a6b6 ；
1 3 8 （2） m4n 8 ；
A. (5)2 5
C. 72 7
B. 4 a4 a D. 3 (π)3 π
解析：由于 (5)2 5 ， 4 a4 | a | ， 3 (π)3 π ， 故 A，B，D 项错误，故选 C.
B 3.若
a
b
1
m3
，
ab
1 6
2
m3
(m
0)
，则 a3
b3
(
)
A.0
m B. 2
C.
m 2
3m D. 2
)
A.
02
和
0
1 2
1
B. 22
和
4
1 4
C.
4
3 2
4.1 指数运算(精讲)(原卷版)--人教版高中数学精讲精练必修一
6
；
1
1
(2) 4x 2 3x 2
y 3
y
3 3
；
(3) a 3 a a ．
2．（2023 春·河北石家庄·高一校考阶段练习）计算下列各式的值.
(1)
1
0.064 3
3
16 4
1 9
0
4
81
(2)
25 9
1
8 3 27
Hale Waihona Puke (πe)011 2
4
(3)
3π
1 3
π
22
2
2 1 5
1
A． 6 y2 y3 （ y 0 ）
B．
3
x4
4
1 x
3
（
x
0
）
C．
1
x3
3
x
（
x
0）
3
D．
3
x2
2
x（
x
0
）
【例
1
3-2】（2023·高一课时练习）已知 a 2
1
a2
3 ，求下列各式的值：
(1) a a1 ；
a2 a2 2 (2) 3 3 ．
a2 a 2 3
【例 3-3】（2023 云南）计算下列各式：
(1)
1 2
0
22
2
1 4
1 2
0.010.5
；
(2)
2
7 9
0.5
0.12
2
10 27
2 3
3
π0
37 48
；
(3) a b 2 3 4a1b 12a4b2c a,b, c 0 .