镜像法与电轴法(静电场)解析
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置于电轴上的等效线电荷，来代替圆柱 导体面上分布电荷，从而求得电场的方法， 称为电轴法。
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
解：采用电轴法
建立坐标系，确定电轴位置
b h2 a2
圆柱导线间电场和电位
E
P
2π 0
(1
1
e1
1
2
e2
)
p
2π 0
ln
2 1
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
cos
q
4 r2
sin
q'
4 r2
sin
q ''
4 r2
sin
q' q'
1 2 1 2
' 2 2 1 2
q q
1中的电场是由q与q’共同产生，其有效区在上
半空间，q’是等效替代极化电荷的影响。
2中的电场是q”由决定，其有效区在下半空间，
q”是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。
q'' q q' q 1 2 q 22 q 2 1 2 1
(ln b
ln
1 )
2
b 2
d 2 0
2π 0
(ln
b
ln
2 )
P
1 2
2π 0
ln
2 1
2π 0
ln
(x b)2 y2 (x b)2 y2
若 p
2 0
ln( 2 1
)
2 0
ln(K )
常数
则
( (
x x
b) b)
2 2
y2 y2
K2
等位线方程为：
(x K 2 1b)2 y2 ( 2bK )2
K 2 1
K 2 1
圆心坐标(h,0) h K 2 1 b K 2 1
圆半径 a
2bK K2 1
a、h、b三者之间的关系满足
a2 b2 ( 2bK )2 b2 ( K 2 1b)2 h2
K2 1
K2 1
＝0
负电位区域
正电位区域
等位线与电力线分布图
电轴法基本思路
若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳， 是否会影响电场分布？感应电荷是否均匀分布？若 在金属圆柱管内填充金属，重答上问。
求空气中点电荷q在地面引起的感应电荷分布情况
解: 设点电荷q离地面高度为h，则
E E E （方向指向地面）
E
2
q 4π 0 r 2
cos ey
qh 2π0 (h2
x2 )3/2
ey
p
D
0Ey
qh 2π(h2 x2 )3/2
整个地面上感应电荷的总量为
地面引起的感应电荷的分布
Leabharlann Baidu pdS S
两根输电线表面的电位为：
当h>>a，b
1
≈h时：
2
2 0
ln
b (h a) b (h a)
1
2 0
ln
2h a
2 01
ln 2h
,p
1
ln 2h
ln
2 1
a
a
已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带 电长直圆柱导体,试决定电轴位置。
b2 b2
h12 h22
a12 a22
d h1 h2
镜像法与电轴法
镜像法基本思路
首先把原来具有边界的场域空间 看成是一个无限大的均匀空间，然后 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界 面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、 大小与位置使场的解答满足唯一性定 理。虚设电荷一般位于镜像位置，故 称镜像法。
接地导体平面上电荷的场边值问题
2 0 点电荷之外区域
0
r
0
球外空间（除q点外）
0
导球面 0
设置-q’放置在球内（无效区），使 其等效球壳上的感应电荷，对照两 种情况下的边值问题，关键问题是 确定等效电荷的量值大小和位置。
p 0
点电荷对接地球的镜像
p
q
4π 0r1
q'
4π 0r2
0
r1 d 2 R2 2Rd cos r2 b2 R2 2Rb cos
[q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 )] 2R(q'2 d q2b) cos 0
q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 ) 0 q'2 d q2b 0
b
R2
d
q'
bq Rq dd
计算不接地金属球附近放置点电荷时的电场分布
2 0 r 0
除 q 点外 球外空间
qh
2πxdx
0 2π(h2 x2 )3/2
qh
(h
2
1 x2 )1/ 2
0
q
设有一点电荷q置于相互直角的两个接地的半无限大 导电平板附近，试求解这一电场。
夹角为α=π/3的两相联无限大导电平面的镜象
导体球面镜像：设在点电荷附近有一接地导体球， 求导体球外空间的电位及电场分布。
2
求图示1与2
区域的电场强 度，确定镜像 电荷的个数、 大小与位置。
例3-1 离河面高度为h处，有一输电线经过，导 线单位长度的电荷量为τ，且导线半径远小于h。 设河水的介电常数为80ε0，求水中的电场强度。
解：由于导线半径远小于h，所以可将导线表面电荷视
为集中到几何轴线上的线电荷，镜像电荷为：
22 160 1 2 81
E
2 2 r
er
2 2 r
(x r
ex
y
h r
ey )
160 162 800
(x r2
ex
yh r2
ey )
x
yh
810 ( x2 ( y h)2 ex x2 ( y h)2 ey )
电轴法工程背景
两根等量异号线电荷的电场
以原点o为参考点，则
1
b 1
d 2 0
2π 0
h1
d2
a12 2d
a22
h2
d2
a22 2d
a12
b
(d
2
a12 2d
a22
)2
a12
试确定图示偏心电缆的电轴位置
hh1222
a12 a22
b2 b2
h2 h1 d
球面s 常数 0
p
r2
r
+q'
r1
q
R
o b-q'
d
点电荷对不接地金属球的镜像
感应电荷分布及球对称性， 在球内有两个等效电荷。 正负镜像电荷绝对值相等； 正镜像电荷只能位于球心。
p
r2
r
+q'
r1
q
R o b-q'
d
任一点电位及电场强度为：
1 (q q q) 4π 0 r r1 r2
平面导体和无穷远
接地导体平面上电荷的场
上半区域场边值问题
点电荷的镜像
2 0
点电荷之外区域
q
4 0 r
q
4 0 r
0
导体平面 和无穷远
注意： 1、有效区域：用镜像求得的解答只对上半空 间才是正确的，因为它符合唯一性定理的要求。 2、镜像法特点：将计算场域不均匀空间转化 为均匀空间，降低了问题求解难度。
q (1 R R )
4π0 r dr1 dr2
q1 R
R
E 4π0 ( r 2 er dr12 er1 dr22 er2 )
点电荷位于不接地 导体球附近的场图
介质分界面的镜像
21 0 22 0
E1t E2t D1n D2n
q
41r 2
cos
q'
41r 2
cos
q ''
4 2r 2
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
解：采用电轴法
建立坐标系，确定电轴位置
b h2 a2
圆柱导线间电场和电位
E
P
2π 0
(1
1
e1
1
2
e2
)
p
2π 0
ln
2 1
两根平行的带等值异号电荷的等半径输电线的电场
cos
q
4 r2
sin
q'
4 r2
sin
q ''
4 r2
sin
q' q'
1 2 1 2
' 2 2 1 2
q q
1中的电场是由q与q’共同产生，其有效区在上
半空间，q’是等效替代极化电荷的影响。
2中的电场是q”由决定，其有效区在下半空间，
q”是等效替代自由电荷与极化电荷的作用。
q'' q q' q 1 2 q 22 q 2 1 2 1
(ln b
ln
1 )
2
b 2
d 2 0
2π 0
(ln
b
ln
2 )
P
1 2
2π 0
ln
2 1
2π 0
ln
(x b)2 y2 (x b)2 y2
若 p
2 0
ln( 2 1
)
2 0
ln(K )
常数
则
( (
x x
b) b)
2 2
y2 y2
K2
等位线方程为：
(x K 2 1b)2 y2 ( 2bK )2
K 2 1
K 2 1
圆心坐标(h,0) h K 2 1 b K 2 1
圆半径 a
2bK K2 1
a、h、b三者之间的关系满足
a2 b2 ( 2bK )2 b2 ( K 2 1b)2 h2
K2 1
K2 1
＝0
负电位区域
正电位区域
等位线与电力线分布图
电轴法基本思路
若在任一等位面上放一无厚度的金属圆柱壳， 是否会影响电场分布？感应电荷是否均匀分布？若 在金属圆柱管内填充金属，重答上问。
求空气中点电荷q在地面引起的感应电荷分布情况
解: 设点电荷q离地面高度为h，则
E E E （方向指向地面）
E
2
q 4π 0 r 2
cos ey
qh 2π0 (h2
x2 )3/2
ey
p
D
0Ey
qh 2π(h2 x2 )3/2
整个地面上感应电荷的总量为
地面引起的感应电荷的分布
Leabharlann Baidu pdS S
两根输电线表面的电位为：
当h>>a，b
1
≈h时：
2
2 0
ln
b (h a) b (h a)
1
2 0
ln
2h a
2 01
ln 2h
,p
1
ln 2h
ln
2 1
a
a
已知两根不同半径,相互平行,轴线距离为d 的带 电长直圆柱导体,试决定电轴位置。
b2 b2
h12 h22
a12 a22
d h1 h2
镜像法与电轴法
镜像法基本思路
首先把原来具有边界的场域空间 看成是一个无限大的均匀空间，然后 用虚设的电荷分布等效替代媒质分界 面上复杂电荷分布,虚设电荷的个数、 大小与位置使场的解答满足唯一性定 理。虚设电荷一般位于镜像位置，故 称镜像法。
接地导体平面上电荷的场边值问题
2 0 点电荷之外区域
0
r
0
球外空间（除q点外）
0
导球面 0
设置-q’放置在球内（无效区），使 其等效球壳上的感应电荷，对照两 种情况下的边值问题，关键问题是 确定等效电荷的量值大小和位置。
p 0
点电荷对接地球的镜像
p
q
4π 0r1
q'
4π 0r2
0
r1 d 2 R2 2Rd cos r2 b2 R2 2Rb cos
[q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 )] 2R(q'2 d q2b) cos 0
q2 (b2 R2 ) q'2 (d 2 R2 ) 0 q'2 d q2b 0
b
R2
d
q'
bq Rq dd
计算不接地金属球附近放置点电荷时的电场分布
2 0 r 0
除 q 点外 球外空间
qh
2πxdx
0 2π(h2 x2 )3/2
qh
(h
2
1 x2 )1/ 2
0
q
设有一点电荷q置于相互直角的两个接地的半无限大 导电平板附近，试求解这一电场。
夹角为α=π/3的两相联无限大导电平面的镜象
导体球面镜像：设在点电荷附近有一接地导体球， 求导体球外空间的电位及电场分布。
2
求图示1与2
区域的电场强 度，确定镜像 电荷的个数、 大小与位置。
例3-1 离河面高度为h处，有一输电线经过，导 线单位长度的电荷量为τ，且导线半径远小于h。 设河水的介电常数为80ε0，求水中的电场强度。
解：由于导线半径远小于h，所以可将导线表面电荷视
为集中到几何轴线上的线电荷，镜像电荷为：
22 160 1 2 81
E
2 2 r
er
2 2 r
(x r
ex
y
h r
ey )
160 162 800
(x r2
ex
yh r2
ey )
x
yh
810 ( x2 ( y h)2 ex x2 ( y h)2 ey )
电轴法工程背景
两根等量异号线电荷的电场
以原点o为参考点，则
1
b 1
d 2 0
2π 0
h1
d2
a12 2d
a22
h2
d2
a22 2d
a12
b
(d
2
a12 2d
a22
)2
a12
试确定图示偏心电缆的电轴位置
hh1222
a12 a22
b2 b2
h2 h1 d
球面s 常数 0
p
r2
r
+q'
r1
q
R
o b-q'
d
点电荷对不接地金属球的镜像
感应电荷分布及球对称性， 在球内有两个等效电荷。 正负镜像电荷绝对值相等； 正镜像电荷只能位于球心。
p
r2
r
+q'
r1
q
R o b-q'
d
任一点电位及电场强度为：
1 (q q q) 4π 0 r r1 r2
平面导体和无穷远
接地导体平面上电荷的场
上半区域场边值问题
点电荷的镜像
2 0
点电荷之外区域
q
4 0 r
q
4 0 r
0
导体平面 和无穷远
注意： 1、有效区域：用镜像求得的解答只对上半空 间才是正确的，因为它符合唯一性定理的要求。 2、镜像法特点：将计算场域不均匀空间转化 为均匀空间，降低了问题求解难度。
q (1 R R )
4π0 r dr1 dr2
q1 R
R
E 4π0 ( r 2 er dr12 er1 dr22 er2 )
点电荷位于不接地 导体球附近的场图
介质分界面的镜像
21 0 22 0
E1t E2t D1n D2n
q
41r 2
cos
q'
41r 2
cos
q ''
4 2r 2