三角函数图像变换课件

π , y 取最大值或最小值. ∴当 x=- 8 时 取最大值或最小值 π |sin2(- π )+acos2(- )|2=a2+1 8 解得 a=-1. 8
π 对称 法3 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 8 对称, π 时的函数值相同 ∴当自变量取 0, - 4 时的函数值相同. ∴sin0+acos0=sin2(- π )+acos2(- π ). 即 0+a=-1+0. π 对称 法4 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 对称, π + π = π 时, 函数值为 0. ∴当 x=- 8 4 8 ∴sin π +acos π =0.
五、典型例题
o
x
3.求函数 y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x 的最小正周期和最小值 求函数 的最小正周期和最小值, 上的单调增区间. 并写出该函数在 [0, π] 上的单调增区间 解: ∵ y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ 3 sin2x = 3 sin2x-cos2x 故该函数的最小正周期是 π, 最小值是 -2. =2sin(2x- π ) -6
一、三角函数图象的作法
作图步骤: 1.几何法 y=sinx 作图步骤 几何法 (1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线 等分单位圆作出特殊角的三角函数线; 等分单位圆作出特殊角的三角函数线 (2)平移三角函数线 平移三角函数线; 平移三角函数线 (3)用光滑的曲线连结各点. (3)用光滑的曲线连结各点. 用光滑的曲线连结各点 y 1 o1 Ao -1 y=sinx 3π 2 P M o y
5.单调性 y=sinx 在 [2kπ- π , 2kπ+ π ](k∈Z)上单调递增 在 单调性: 单调性 ( ∈ )上单调递增, 2 π , 2kπ+ 3π ](k∈Z)上单调递减2 y=cosx 在 [2kπ, 2kπ+π] [2kπ+ ( ∈ )上单调递减; 2 2 (k∈Z)上单调递减 在 [2kπ+π, 2kπ+2π](k∈Z)上单调递增 ∈ )上单调递减, ( ∈ )上单调递增.
4.已知函数 y= 1 cos2x+ 3 sinxcosx+1, x∈R. (1)求当 y 取得最 已知函数 ∈ 求当 2 2 的集合; 大值时自变量 x 的集合 (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R) 的 该函数的图象可由 ∈ 图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 1 cos2x+ 3 sinxcosx+1= 1 cos2x+ 3 sin2x+ 5 解: (1)y= 2 4 2 4 4 1 sin(2x+ π )+ 5 . =2 6 4
二、三角函数图象的性质
1.正弦函数 y=sinx(x∈R) 是奇函数 对称中心是 (kπ, 0)(k∈Z), 正弦函数 ∈ 是奇函数, ∈ 对称轴是直线 x=kπ+ π (k∈Z); 余弦函数 y=cosx(x∈R) 是偶函数 ∈ ∈ 是偶函数, 2 对称中心是 (kπ+ π , 0)(k∈Z), 对称轴是直线 x=kπ (k∈Z)(正, 余 ∈ ∈ ( 2 轴的直线, 弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线 对 轴的交点) 称中心为图象与 x 轴的交点). 2.正切函数 y=tanx(x∈R, x ≠ π +kπ, k∈Z) 是奇函数 对称中心 正切函数 ∈ ∈ 是奇函数, 2 是( kπ , 0)(k∈Z). ∈ 2 函数的对称中心有两类: 轴的交点, 注 正切函数的对称中心有两类 一类是图象与 x 轴的交点 另一类是渐近线与 x 轴的交点, 但无对称轴, 这是与正弦、余 轴的交点 但无对称轴 这是与正弦、 弦函数的不同之处. 弦函数的不同之处
6.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- π 对称 求 a 如果函数 - 8 对称, 的值. 的值 其中, 解: y=sin2x+acos2x= a2+1 sin(2x+ϕ), 其中 tanϕ=a.
π 对称 法1 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 8 对称, π , y 取最大值或最小值. ∴当 x=- 8 时 取最大值或最小值 π )+ϕ=kπ+ π , k∈Z. ∴ϕ=kπ+ 3π , k∈Z. ∈ ∴2(- 8 ∈ 4 2 3π )=-1. ∴a=tanϕ=tan(kπ+ )=4 π 法2 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 8 对称, - 对称
π 上是减函数. ∴f(x)=cosωx 在区间 [0, ω ] 上是减函数
∴要使 f(x)=cosωx 在区间 [0, π ] 上是单调函数 2 上是单调函数,
π ≤ π , 即 0<ω≤2. 必有 2 ω
4k+2 ∈ 3 ≤2(k∈Z).
∴0<
∴ω=2 或 2 . 解得 k=0 或 1. 3 π 2 综上所述, 综上所述 ϕ= 2 , ω=2 或 3 .来自三、正、余弦函数的性质
1.定义域 都是 R. 定义域: 定义域 值域: 2.值域 都是 [-1, 1]. 值域 对 y=sinx, 当 x=2kπ+ π (k∈Z) 时, y 取最大值 1; 当 x=2kπ+3π ∈ 2 2 (k∈Z) 时, y 取最小值 -1; 对 y=cosx, 当 x=2kπ(k∈Z) 时, y 取最大 ∈ ∈ 值 1, 当 x=2kπ+π(k∈Z) 时, y 取最小值 -1. ∈ 3.周期性 ①y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是 2π; ② f(x)= 周期性: 周期性 、 2π Asin(ωx+ϕ) 和 f(x)=Acos(ωx+ϕ)的最小正周期都是 T= |ω| . 的最小正周期都是
π , 得 y=sin(x+ π ) 的图象 ①将 y=sinx 的图象向左平移 6 6 的图象;
5.已知函数 f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0, 0≤ϕ≤π) 是 R 上的偶函数 已知函数 上的偶函数, π 对称, 上是单调函数, 其图象关于点 M( 3π , 0) 对称 且在区间 [0, 2 ] 上是单调函数 4 的值. 求 ϕ 和 ω 的值 上的偶函数, 解: ∵f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0, 0≤ϕ≤π) 是 R 上的偶函数 ∴sin(-ωx+ϕ)=sin(ωx+ϕ), 即 -cosϕsinωx=cosϕsinωx 对任 都成立. 意实数 x 都成立 ∵ω>0, ∴cosϕ=0. 又∵0≤ϕ≤π, ∴ϕ= π . ∴f(x)=cosωx. 2 对称, ∵f(x) 的图象关于点 M 对称 图象的一个对称中心. ∴点 M 为 f(x) 图象的一个对称中心 3ωπ π (k∈Z). ∴ω= 4k+2 (k∈Z). ∈ ∴ 4 =kπ+ 2 ∈ 3 ∵ω>0,
4.奇偶性与对称性 正弦函数 奇偶性与对称性: 正弦函数y=sinx(x∈R)是奇函数 对称中心 是奇函数, 奇偶性与对称性 ∈ 是奇函数 是 (kπ, 0)(k∈Z), 对称轴是直线 x=kπ+ π (k∈Z); 余弦函数 y=cosx ∈ ∈ 2 (x∈R)是偶函数 对称中心是 (kπ+ π , 0)(k∈Z), 对称轴是直线 x= 是偶函数, ∈ 是偶函数 ∈ 2 kπ (k∈Z) (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂 ∈ 轴的直线, 轴的交点) 直于 x 轴的直线 对称中心为图象与 x 轴的交点).
π
π ≤2x- π ≤2kπ+ π (k∈Z) 得: 由 2kπ- 2 - 6 2 ∈ π kπ- ≤x≤kπ+ π (k∈Z). ∈
6 3 令 k=0, 1 即得函数 y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x π ] [ 5π , π]. 在 [0, π] 上的单调增区间是 [0, 3 和 6
例1 利用单位圆中的三角函数线证明当 0<α< π 时, 不等式 2 y sinα<α<tanα 成立 成立. T 提示 由 S△OAP<S扇形 <S△OAT 得: 扇形OAP P 1 1 1 ×OA×MP< 2 ×α×OA2< 2×OA×AT × × 2 α 1 ×1×sinα< 1 ×12×α< 1×1×tanα o M A x 即 2 × × 2 2 故有 sinα<α<tanα. 7π 例2 解不等式 |sinx|>cosx. {x| π +2kπ<x< 4 +2kπ, k∈Z} ∈ 4 y
α
A
x
π
π
2π x
2
2.五点法作函数 y=Asin(ωx+ϕ) 的图象的步骤 五点法作函数 的图象的步骤: (1)令相位 ωx+ϕ=0, π , π, 3π, 2π, 解出相应的 x 的值 的值; 令相位 2 2 (2)求(1)中 x 对应的 y 的值 并描出相应五点 的值, 并描出相应五点; 求 中 (3)用光滑的曲线连结 中五点 用光滑的曲线连结(2)中五点 用光滑的曲线连结 中五点. 3.变换法 函数 y=Asin(ωx+ϕ)+k 与 y=sinx 图象间的关系 变换法: 图象间的关系: 变换法 的图象纵坐标不变, ①函数 y=sinx 的图象纵坐标不变 横坐标向左 (ϕ>0) 或向右 (ϕ<0) 平移 |ϕ| 个单位得 y=sin(x+ϕ) 的图象 的图象; 1 图象的纵坐标不变, ②函数 y=sin(x+ϕ) 图象的纵坐标不变 横坐标变为原来的 ω , 的图象; 得到函数 y=sin(ωx+ϕ) 的图象 图象的横坐标不变, ③函数 y=sin(ωx+ϕ) 图象的横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 的图象; 倍, 得到函数 y=Asin(ωx+ϕ) 的图象 图象的横坐标不变, ④函数 y=Asin(ωx+ϕ) 图象的横坐标不变 纵坐标向上 (k>0) 或向下 (k<0) 平移 |k| 个单位得 y=Asin(x+ϕ)+k 的图象. 的图象 要特别注意, 的图象, 要特别注意 若由 y=sin(ωx) 得到 y=sin(ωx+ϕ) 的图象 则向左 ϕ 或向右平移应平移 | ω | 个单位. 个单位
四、正切函数的性质
1.定义域 {x | x≠ π +kπ, k∈Z}. 定义域: 定义域 ≠2 ∈ 2.值域是 R, 在上面定义域上无最大值也无最小值 值域是 在上面定义域上无最大值也无最小值. 值域
3.周期性 是周期函数且周期是 π, 它与直线 y=a 的两个相邻 周期性: 周期性 交点之间的距离是一个周期 π. 一般说来, 某一周期函数解析式加绝对值或平方, 注 一般说来 某一周期函数解析式加绝对值或平方 其周期 性是: 弦减半、切不变. 性是 弦减半、切不变
π 当且仅当 2x+ 6 =2kπ+ π (k∈Z), 即 x=kπ+ π (k∈Z) 时, 2 ∈ 6 ∈
取得最大值. 函数 y 取得最大值 取得最大值时, 的集合是: 故当 y 取得最大值时 自变量 x 的集合是 {x | x=kπ+ π , k∈Z}. ∈ 6
(2)将函数 y=sinx 依次进行如下变换 将函数 依次进行如下变换: 1 ②将所得图象上各点横坐标缩短到原来的 2 倍(纵坐标不 的图象; 变), 得到 y=sin(2x+ π ) 的图象 6 1 ③将所得图象上各点纵坐标缩短到原来的 2 倍(横坐标不 的图象; 变), 得到 y= 1 sin(2x+ π ) 的图象 2 6 π 5 1 ④将所得图象向上平移 4 个单位长度, 得到 y= 2 sin(2x+ 6 ) 个单位长度 5 + 4 的图象 的图象; 的图象. 综上得到 y= 1 cos2x+ 3 sinxcosx+1 的图象 2 2
4 而函数 y=sin2x+acos2x 的周期为 π, 8 ∴a=-1. 4 4
4 ∴a=-1. -
1.已知函数 f(x)=log (sinx-cosx), (1)求它的定义域和值域 已知函数 求它的定义域和值域; 求它的定义域和值域 (2)判断它的单调区间 (3)判断它的奇偶性 (4)判断它的周期 判断它的单调区间; 判断它的奇偶性; 判断它的单调区间 判断它的奇偶性 判断它的周期 如果是周期函数, 求出它的一个周期. 性, 如果是周期函数 求出它的一个周期 π 解: (1)由 sinx-cosx>0, 即 2sin(x- 4 )>0 得: 由 2kπ+ π <x<2kπ+ 5π , k∈Z 4 ∈ 4 {x | 2kπ+ π <x<2kπ+ 5π , k∈Z}. ∴f(x) 的定义域为 4 ∈ 4