三角函数图像变换课件
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三角函数图象变换(伸缩平移)ppt课件
精选ppt
6
问题2
在同一坐标系中作出函数y=sin2x 及图象y=间sin的12关x的系简。图，并指出它们y=sinx
精选ppt
7
x
0
4
2
2x
0
2
sin2x 0
1
0
y y=sin2x
1
y=sinx
2
o 3
3
42 4
2
-1
精选ppt
3 4
3
2
2
-1
0
3
4
x
8
x 0
1x 2
0
sin1 x
2
0
2 3 4
精选ppt
24
感谢亲观看此幻灯片，此课件部分内容来源于网络， 如有侵权请及时联系我们删除，谢谢配合！
0
y=2sinx y=sinx
y= 12sinx
2
3
2
2
x
精选ppt
5
小结1
函数 yAsix n,xR的图象
（其中A0且 A1）
可以看作把正弦曲线上所有点的
纵坐标伸长（当A>1时）或缩短（当
0<A<1时）到原来的A倍（横坐标不变）
而得到． A的作用
引起值域 改变
纵向伸缩
函数 yAsix n,xR的值域是A,A
2
3 2
2
1
0
-1
0
y y=sin2x
1
y=sin
1 2
x
y=sinx
2
3
o 3
3
42 4
2
4
x
-1
精选ppt
9
小结2
2024年度高中数学必修四三角函数PPT课件
建筑设计
在建筑设计中，利用三角函数计算建筑物的角度、高度和距离等 参数，确保设计的准确性和美观性。
机械设计
在机械设计中，三角函数用于计算齿轮、轴承等机械元件的尺寸和 角度，保证机械传动的精确性和稳定性。
航空航天工程
在航空航天工程中，利用三角函数分析飞行器的姿态、航向和速度 等参数，确保飞行安全。
21
2024/3/24
32
THANKS
感谢观看
2024/3/24
33
周期性、奇偶性、单调性等
解三角形
正弦定理、余弦定理及应用
29
常见题型解析及技巧点拨
01
三角函数求值问题：利 用同角关系式、诱导公 式等求解
2024/3/24
02
三角函数的图像与性质 应用：判断单调性、周 期性等
03
04
三角恒等变换的应用： 证明等式、化简表达式 等
30
解三角形问题：利用正 弦定理、余弦定理求解 边或角
易错知识点剖析及防范措施
混淆三角函数定义域和值域
注意定义域和值域的区别，避免混淆
忽视三角函数的周期性
在解题时要考虑周期性，避免漏解或 多解
2024/3/24
错误使用三角恒等变换公式
注意公式的适用条件和变形方式，避 免误用
忽视解三角形的限制条件
在解三角形时要注意边和角的限制条 件，避免得出不符合题意的解
第三象限
正弦、余弦均为负、正切为正 。
第四象限
正弦为负、余弦为正、正切为 负。
2024/3/24
7
02 三角函数诱导公 式与变换
2024/3/24
8
诱导公式及其应用
2024/3/24
诱导公式的基本形式
三角函数图象变换ppt课件
3
7 12
5 6
x
（3）连线：
-3
（4）根据周期性将作出的简图左右 扩展。
函数 y=sinx
（1）向左平移 3
y=sin(x+ ) 的图象 3
倍
（2）横坐标缩短到原来的 纵坐标不变
1 2
y=sin(2x+ ) 的图象 3 y=3sin(2x+ )的图象 3
（3）横坐标不变 纵坐标伸长到原来的3倍
1 函数 y sin x 2 1. 列表： x
1 x 2
0
0 0
2π
3π
3 2
4
2π 0
2
2. 描点：
sin 1 x 2
1
1 2
0
-1
y 1
． y=sin x 2 ． ． O
y=sinx
3
4 ．
1
．
1 y=sin x 2
x
纵坐标不变，横坐标伸长到原来的2倍 y=sinx 1 式变：x换成( x)。 2
y=Sin(x+ ) 的图象
（2）横坐标缩短( >1)或伸长(0<<1)到
1 原来的 倍，（纵坐标不变）
y=Sin( x+ ) 的图象
三角函数图象变 换
1 例1 作函数 y 2 sin x及 y 2 sinx 的图象。 解：这两个函数的周期都为 2π，则先画出 [ 0, 2π] 上的简图。
1. 列表：
x
0
1 sin x 2 y 2. 描点、作图： 2
sinx 2sin x
0 0 0
1
2
0 0 0
3 2 1
5.5 三角恒等变换 课件(21张PPT)(2024年)
2
α是 的二倍角,
2是的二倍角，在倍角公式cos 2α=1－2sin2α中，利用换
元法，
用代替2，用
2
代替，得
cos α=1－2sin2
2
1－
2
=
2
2
新知探究
同理，在倍角公式cos
2
2α=2cos α－1中，用代替2，用
cos
2
α=2
2
−1
2
1+
(1)sin αcos β＝
2
(2)sin θ＋sin φ=2sin θ＋φcos θ－φ
2
2
思考1:(2)式与(1)式有什么相同点和不同点？
θ＋φ
θ－φ
(换元法)如果我们令α＝
，β＝
,
2
2
θ＋φ θ－φ
θ＋φ θ－φ
即α＋β＝
+
= ，α－β＝
=φ，代入(1)中得
2
2
2
2
θ＋φ
θ－φ
2sin
cos
＝sin θ＋sin φ
(＋)＋(－)
同理，我们还可以得到公式
cos αsin
cos αcos
1
β＝
2
1
β＝
2
(＋)－(－)
(＋)＋(－)
1
2
sin αsin β＝ (－)－(＋)
我们把以上四个公式叫做“积化和差公式”
例2、求证：
1
[sin(α＋β)＋sin(α－β)]
2
2
2
， 2 ，2 .
新知探究
例1、试以cos α表示2
三角函数图像变换ppt
分析 : ( 1 )由图意知,最大温度差为 30 10 20
( 2 )此图为y A sin( x ) b的图像,求出各个参数即可 .
图中从6时到 时是半个周期的图像 14
2 T 16 , 16 8
又由图意知A 30 10 30 10 10 ,b 20 2 2
与x轴两相邻交点之间的距离为:___________________; 2
π ⑥两相邻最大值之间的距离是:___________________;
最小值与相邻x轴交点之间的距离为:___________________。 4
例1、 已知函数y 2 sin x cosx 2 3 cos2 x 3 ,填空：
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
周期是: 相位是:
π
2x 3
3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时 ； 12 _____ ,y max _______
［k
R
值域是: [-2，2]
7 ,k ］( k Z ) 12 12 ④ 递减区间是:_________________ k x (kZ) 12 2 ⑤图像的对称轴方程为:__________________; k （ ,0）（k Z） 图像的对称中心为:__________________; 6 2
（ 1） 当函数y取最大值时， 求自变量x的集合； （ 2） 该函数的图像可由 y sin x( x R )的图像经过怎样平移和 伸缩变换得到？ 1 3 2 解 : ( 1 )y cos x sin x cos x 1 2 2
1 cos 2x 1 3 sin 2x 1 2 2 4
( 2 )此图为y A sin( x ) b的图像,求出各个参数即可 .
图中从6时到 时是半个周期的图像 14
2 T 16 , 16 8
又由图意知A 30 10 30 10 10 ,b 20 2 2
与x轴两相邻交点之间的距离为:___________________; 2
π ⑥两相邻最大值之间的距离是:___________________;
最小值与相邻x轴交点之间的距离为:___________________。 4
例1、 已知函数y 2 sin x cosx 2 3 cos2 x 3 ,填空：
①振幅是: 频率是: 初相是: ② 定义域是:
2
1
周期是: 相位是:
π
2x 3
3
x k ( k Z ) 2 ③当x __________ 时 ； 12 _____ ,y max _______
［k
R
值域是: [-2，2]
7 ,k ］( k Z ) 12 12 ④ 递减区间是:_________________ k x (kZ) 12 2 ⑤图像的对称轴方程为:__________________; k （ ,0）（k Z） 图像的对称中心为:__________________; 6 2
（ 1） 当函数y取最大值时， 求自变量x的集合； （ 2） 该函数的图像可由 y sin x( x R )的图像经过怎样平移和 伸缩变换得到？ 1 3 2 解 : ( 1 )y cos x sin x cos x 1 2 2
1 cos 2x 1 3 sin 2x 1 2 2 4
三角函数图像变换ppt
4 (C)向左平移 个长度单位 2
2.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 式是
y sin x （ x R ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的 3、把函数
1 横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是
6
2
2
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、诱导公式 我们可以根据图像的平移来确定诱导公式
•
sin（2kπ ＋α ）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ ＋α ）＝cosα （k∈Z） sin（π ＋α ）＝－sinα cos（π ＋α ）＝－cosα sin（－α ）＝－sinα cos（－α ）＝cosα sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα
3
2 3
0, ，所以，当 k=1 时，φ 2
⑸ 综上，解析式为： y
3 sin(2 x
3
)
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
4
4 (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移 个长度单位
2、如何根据“图像”求解析式
规律总结：
•
① A= 最大值-最小值 =最大值= 最小值
2
（其中，最高点到最低点的距离=最大值-最小值）
② W 和周期有关，周期表示为T= 2
w
（两个对称轴之间的距离= 2
③φ
2.将函数 y sin 2 x 的图象向左平移 个单位, 再向上平移 1 个单位,所得图象的函数解析 式是
y sin x （ x R ）的图象上所有点向左平行移动 3 个单位长度，再把所得图象上所有点的 3、把函数
1 横坐标缩短到原来的 2 倍（纵坐标不变） ，得到的图象所表示的函数是
6
2
2
6
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
四、诱导公式 我们可以根据图像的平移来确定诱导公式
•
sin（2kπ ＋α ）＝sinα （k∈Z） cos（2kπ ＋α ）＝cosα （k∈Z） sin（π ＋α ）＝－sinα cos（π ＋α ）＝－cosα sin（－α ）＝－sinα cos（－α ）＝cosα sin（π －α ）＝sinα cos（π －α ）＝－cosα
3
2 3
0, ，所以，当 k=1 时，φ 2
⑸ 综上，解析式为： y
3 sin(2 x
3
)
例5 : 图中曲线是函数y A sin( x )的图像的一部分 ， 求这个函数的解析式 。
Y 2
解析： 显然A 2
2 2 T
5 T 2( ) 6 3
4
4 (D)向右平移 个长度单位 2
(B)向右平移 个长度单位
2、如何根据“图像”求解析式
规律总结：
•
① A= 最大值-最小值 =最大值= 最小值
2
（其中，最高点到最低点的距离=最大值-最小值）
② W 和周期有关，周期表示为T= 2
w
（两个对称轴之间的距离= 2
③φ
高中数学：131《三角函数图像的变换》课件必修
这些操作包括平移、伸缩、翻折和旋转等，可以单独或组合使用。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
变换的目的是为了更好地理解三角函数的性质，解决实际问题，以及进行图像处理 等。
变换的种类和特点
01
02
03
04
平移变换
将图像沿x轴或y轴方向移动 ，保持图像形状不变。
伸缩变换
通过改变x轴和y轴的比例来 改变图像的大小，可以横向或
纵向伸缩。
翻折变换
利用伸缩变换的性质求解函数的极值
例如，利用正弦函数的伸缩性质，可以求解y=sin(3x)在x=π/9处的极小值为1。
利用对称变换的性质求解函数的对称轴或对称中心
例如，利用正弦函数的对称性质，可以求解y=sin(x)的对称轴为x=kπ+π/2，k∈Z。
变换在实际问题中的应用
物理学中的应用
三角函数图像的综合变换在物理学中有广泛的应用，如振 动和波动现象、交流电等。通过变换可以更好地理解物理 现象和解决实际问题。
x轴缩短为原来的1/2，则图像的 周期变为原来的2倍。
01
03
02 04
总结词：影响相位
详细描述：沿x轴伸缩不仅改变 了图像的周期，还会影响函数的 相位。例如，将x轴缩短为原来 的1/2，相当于将相位滞后了π。
沿y轴伸缩
总结词：改变振幅
详细描述：沿y轴伸缩是 指保持x轴不变，通过改 变y轴的长度来改变整个 图像的振幅。例如，将y 轴放大为原来的2倍，则 图像的振幅变为原来的2 倍。
翻折变换
旋转变换
$y = -f(-x)$ 或 $y = f(x)$，前者表示沿x 轴翻折，后者表示沿y轴翻折。
$x = xcostheta - ysintheta$ 和 $y = xsintheta + ycostheta$，其中$theta$为 旋转角度。
高一数学最新课件-三角函数的图象变换001 精品
(B)横坐标变为原来的
1 2
倍，纵坐标不变
(C)纵坐标变为原来的２倍，横坐标不变
(D)纵坐标变为原来的 1倍，横坐标不变
2
6、为得到函数ｙ＝sin(2x--
3
),x
∈
R，的图
象，只需将函数ｙ＝sin2x, x ∈ R，的图象
上所有点(B )
(A)向左平移
6
个单位长度
(B)向右平移
6
个单位长度
(C)向左平移 个单位长度
横坐标↓伸长或缩短 步骤3 ：得y=sin(ωx+φ),(一个周期)
纵坐标↓伸长或缩短 步骤4 ：得y=Asin(ωx+φ),(一个周期)
沿x轴↓扩展
步骤5 ：得y=Asin（ωx+φ），x∈R
课堂练习
1.由y=sinx的图象经过怎样
变换可以得到
的图象?
y
2 sin x 2来自62、将函数y=3sinx的图象向右平移
y sin x
y sin 1 x 2
2x
x
0 0
2
4
2
3
2
2
3
4
y sin 2x 0
1
0
-1
0
y
y sin 2x
1
o
2
3 2
2
1
y sin x
4x
y sin 1 x 2
小结：函数y=sin x的图象是在y=sinx图象
的基础上纵坐标不变横坐标变成原来的
1
倍。
2
通常叫周期。P54思考交流。
P58练习：1~3 P61、A1
作业：P58练习：3（2）、（3）
y=3sin(2x+ ),x∈R 的图象，
三角函数图像变换课件
利用三角函数的和差 化积公式，将复杂波 形分解为简单波形的 组合。
考虑不同波形的振幅、 频率和相位差，合理 调整参数以生成目标 波形。
利用傅里叶级数展开分析复杂波形
傅里叶级数是一种将周期函数表示为 无穷级数的方法，适用于分析复杂波 形。
利用傅里叶级数的系数，可以定量描 述波形中各频率成分的振幅和相位。
波形
正弦函数的图像呈现出 平滑的波形，具有连续
性和可导性。
余弦函数图像特点
01
02
03
04
周期性
余弦函数同样是周期函数，其 图像在x轴上无限延伸，且每隔
2π个单位重复一次。
振幅
余弦函数的振幅也是1，表示 图像在y轴上的最大偏移量为1。
相位
余弦函数的相位与正弦函数相 差π/2，因此其图像相对于正
弦函数有一定的平移。
鼓励学生提出自己的见解和思考， 促进课堂交流和互动。
THANKS FOR WATCHING
感谢您的观看
波形
余弦函数的图像也呈现出平滑 的波形，与正弦函数类似，但
相位不同。
正切函数图像特点
周期性
正切函数是周期函数，其周期为π，图像 在x轴上无限延伸，且每隔π个单位重复一
次。
趋于无穷
当x趋近于(kπ + π/2)时，正切函数的值会 趋于无穷大或无穷小，因此在这些点上图
像会出现垂直渐近线。
不连续性
正切函数在(kπ + π/2)处存在间断点，其 中k为整数，因此在这些点上图像不连续。
应用举例
在振动分析、图像处理等领域中，伸缩变换常用于调整信 号的频率、幅度等参数。
周期性和对称性变换
周期性定义
三角函数具有周期性，即函数值在一定区间内重 复出现。通过周期性变换，可以实现函数图像的 重复和延拓。
三角函数第七课(三角函数图像变换)讲义高一上学期数学人教A版
三角函数第七课 §三角函数图像变换复习：指出y = sin x 的图像变换为)32sin(π+=x y 的图像的两种方法平移法过程：两种方法殊途同归(1) y=sinx相位变换y=sin(x+φ)周期变换y=sin(ωx+φ)振幅变换 )sin(ϕ+ω=x A y (2)y=sinx 周期变换y=sin ωx 相位变换y=sin(ωx+φ)振幅变换)sin(ϕ+ω=x A y三种变换： 1. 平移变换①对“x ”左加右减; ②对“y ”上加下减。
2. 翻折变换 ①关于x 轴翻折 ②关于y 轴翻折 ③关于原点翻折 ④对“x ”加绝对值 ⑤对“y ”加绝对值 3. 伸缩变换②周期变换巧求初相角，最高点法例题如图，它是函数y ＝A sin(ωx ＋ϕ)(A ＞0，ω＞0)，｜ϕ｜＜π的图象，由图中条件，写出该函数解析式.练习：1.(1)y ＝sin(x ＋4π)是由y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. (2)y ＝sin(x －4π)是由y ＝sin x 向 平移 个单位得到的. (3)y ＝sin(x －4π)是由y ＝sin(x ＋4π)向 平移 个单位得到的.2.要得到函数y ＝sin(2x －3π)的图象，只须将函数y ＝sin2x 的图象 A.向左平移3πB.向右平移3πC.向左平移6πD.向右平移6π3.若将某函数的图象向右平移2π以后所得到的图象的函数式是y ＝sin(x ＋4π)，则原来的函数表达式为( )A.y ＝sin(x ＋43π) B.y ＝sin(x ＋2π) C.y ＝sin(x －4π) D.y ＝sin(x ＋4π)－4π4.将函数y ＝f (x )的图象沿x 轴向右平移3π，再保持图象上的纵坐标不变，而横坐标变为原来的2倍，得到的曲线与y ＝sin x 的图象相同，则y ＝f (x )是( )A.y ＝sin(2x ＋3π)B.y ＝sin(2x －3π)C.y ＝sin(2x ＋32π)D.y ＝sin(2x －32π)5. 函数y ＝cos(432ππ+x )的最小正周期是__________. 6.要得到函数y ＝cos(2x －4π)的图象，只需将函数y ＝sin2x 的图象A.向左平移8π个单位B.向右平移8π个单位 C.向左平移4π个单位 D.向右平移4π个单位7.把函数y ＝cos(3x ＋4π)的图象适当变动就可以得到y ＝sin(－3x )的图象，这种变动可以是( ) A.向右平移4π B.向左平移4π C.向右平移12π D.向左平移12π8.如图b 是函数y ＝A sin(ωx ＋φ）＋2的图象的一部分，它的振幅、周期、初相各是( )A.A ＝3，Ｔ＝34π，φ＝－6πB.A ＝1，Ｔ＝34π，φ＝－43πC.A ＝1，Ｔ＝32π，φ＝－43πD.A ＝1，Ｔ＝34π，φ＝－6π9.如图c 是函数y ＝A sin （ωx ＋φ）的图象的一段，它的解析式为( )A.)32sin(32π+=x yB.)42sin(32π+=x yC.)3sin(32π-=x yD.)322sin(32π+=x y10.函数y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）在同一周期内，当x ＝3π时，有y ｍa x ＝2，当x ＝0时，有y min ＝－2，则函数表达式是 .11.如图d 是f （x ）＝A sin （ωx ＋φ），A ＞0，｜φ｜＜2π的一段图象，则函数f （x ）的表达式为 .12.如图e ，是f （x ）＝A sin （ωx ＋φ），A ＞0，｜φ｜＜2π的一段图象，则f （x ）的表达式为 .13.如图f 所示的曲线是y ＝A sin （ωx ＋φ）（A ＞0，ω＞0）的图象的一部分，求这个函数的解析式.图c图d图e图f14.函数y ＝A sin （ωx ＋φ）＋ｋ（A ＞0，ω＞0）在同一周期内，当x ＝35π时，y 有最大值为37π，当x ＝311π时，y 有最小值－32，求此函数的解析式.15．由图g 所示函数图象，求y ＝A sin （ωx ＋φ）（｜φ｜＜π）的表达式.16．函数y ＝Asin(ωx ＋φ）（｜φ｜＜π）的图象如图h ，求函数的表达式.图g图h。
三角函数图像变化PPT课件
2
2
,1)
最低点： ( 3
,1)
y=cosx=sin(x+
2
)
2
与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0)
周期： T
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 数的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
概念介绍：
当函数 S Asin(t ), x [0, )( A 0, 0) 表示一个振动量时,A就表示物体振动时离开平 衡位置的最大距离,通常称 A 为这个振动的振幅. 往复振动一次所需要的时间T 2 ,T称为这个振
1 例2 对于函数y sin x 和 y=sin2x 与 2
y=sinx 的图像。
y
0
y sin 2 x
x
y sin x
y sin 1 x 2
结论二 周期变换(横向伸缩变换)
y sin x （0<ω <1时）到原来的1/ω倍 y sin x
横坐标缩短（ω >1时)或伸长 （纵坐标不变）
画出正弦曲线在长度为2π 的闭区间上的简图
横坐标伸长 缩短
y sin 2 x
6
0
得到sinωx x∈R在长度为一 个周期的闭区间上简图
沿x轴 平行移动
得到sin(ωx+φ) x∈R在长度 为一个周期的闭区间上简图
3
5 6
x
纵坐标
伸长或缩短
得到Asin(ωx+φ) x∈R在长度为 一个周期的闭区间上简图
y sin 2 x y sin( 2 x ) 3 y 3 sin( 2 x ) 3
方法一变换过程
y sin x y sin( x ) 3 横坐标向左平移π/3 个单位
2
,1)
最低点： ( 3
,1)
y=cosx=sin(x+
2
)
2
与x轴的交点： (0,0) ( ,0) (2 ,0)
周期： T
在精度要求不高的情况下，我们可以利用这5个点画出函数 数的简图，一般把这种画图方法叫“五点法”。
概念介绍：
当函数 S Asin(t ), x [0, )( A 0, 0) 表示一个振动量时,A就表示物体振动时离开平 衡位置的最大距离,通常称 A 为这个振动的振幅. 往复振动一次所需要的时间T 2 ,T称为这个振
1 例2 对于函数y sin x 和 y=sin2x 与 2
y=sinx 的图像。
y
0
y sin 2 x
x
y sin x
y sin 1 x 2
结论二 周期变换(横向伸缩变换)
y sin x （0<ω <1时）到原来的1/ω倍 y sin x
横坐标缩短（ω >1时)或伸长 （纵坐标不变）
画出正弦曲线在长度为2π 的闭区间上的简图
横坐标伸长 缩短
y sin 2 x
6
0
得到sinωx x∈R在长度为一 个周期的闭区间上简图
沿x轴 平行移动
得到sin(ωx+φ) x∈R在长度 为一个周期的闭区间上简图
3
5 6
x
纵坐标
伸长或缩短
得到Asin(ωx+φ) x∈R在长度为 一个周期的闭区间上简图
y sin 2 x y sin( 2 x ) 3 y 3 sin( 2 x ) 3
方法一变换过程
y sin x y sin( x ) 3 横坐标向左平移π/3 个单位
1.5.(1)三角函数的图形变换PPT课件
.
35
3．将函数 y＝sin x 的图像上所有的点的横坐标缩短到原来
的14倍(纵坐标不变)得y_=__s_i_n__4_x的图像．
解析：依题意知，将 y＝sin x 图像上所有点的横坐标缩 短到原来的14倍后，可得 y＝sin 4x 的图像．
.
36
4．将函数 y＝cos x 的图像向左平移 φ(0≤φ<2π)个单位长度 后，得到函数 y＝cosx－π6的图像，则 φ＝____16_1___.
x -4
)的图象
.
27
快速抢答
1:已知函数y 3sin(x )的图象为C.为了得到函数
5
C y 3sin(x )的图象,只要把C上所有的点（
）
5
( A)向右平行移动 个单位长度.
5
(B)向左平行移动 个单位长度.
5
(C)向右平行移动 2 个单位长度.
5
(D)向左平行移动 2 个单位长度.
Asin(ωx+φ)的图象的影响？
.
7
y
y sin(x ) 31o Nhomakorabea23
6
yyyyyyysyysiysnysiysinysinysxinsinsxinsxinsxinsxinsxinsxinxinxinxnxxxx
y sin(x )
6
比较这两个函数与 函数y=sinx的图象 的形状和位置，你
• 重点：将考察参数A、ω、φ对函数图象y=Asin(ωx+φ) , （A>0、ω>0）的影响的问题进行分解，从而学习如何 将一个复杂问题分解为若干个简单问题的方法。
• 难点：ω对函数y=Asin(ωx+φ) ,（A>0、ω>0）图象的影 响规律的概括。
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π , y 取最大值或最小值. ∴当 x=- 8 时 取最大值或最小值 π |sin2(- π )+acos2(- )|2=a2+1 8 解得 a=-1. 8
π 对称 法3 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 8 对称, π 时的函数值相同 ∴当自变量取 0, - 4 时的函数值相同. ∴sin0+acos0=sin2(- π )+acos2(- π ). 即 0+a=-1+0. π 对称 法4 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 对称, π + π = π 时, 函数值为 0. ∴当 x=- 8 4 8 ∴sin π +acos π =0.
五、典型例题
o
x
3.求函数 y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x 的最小正周期和最小值 求函数 的最小正周期和最小值, 上的单调增区间. 并写出该函数在 [0, π] 上的单调增区间 解: ∵ y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x =(sin2x-cos2x)(sin2x+cos2x)+ 3 sin2x = 3 sin2x-cos2x 故该函数的最小正周期是 π, 最小值是 -2. =2sin(2x- π ) -6
一、三角函数图象的作法
作图步骤: 1.几何法 y=sinx 作图步骤 几何法 (1)等分单位圆作出特殊角的三角函数线 等分单位圆作出特殊角的三角函数线; 等分单位圆作出特殊角的三角函数线 (2)平移三角函数线 平移三角函数线; 平移三角函数线 (3)用光滑的曲线连结各点. (3)用光滑的曲线连结各点. 用光滑的曲线连结各点 y 1 o1 Ao -1 y=sinx 3π 2 P M o y
5.单调性 y=sinx 在 [2kπ- π , 2kπ+ π ](k∈Z)上单调递增 在 单调性: 单调性 ( ∈ )上单调递增, 2 π , 2kπ+ 3π ](k∈Z)上单调递减2 y=cosx 在 [2kπ, 2kπ+π] [2kπ+ ( ∈ )上单调递减; 2 2 (k∈Z)上单调递减 在 [2kπ+π, 2kπ+2π](k∈Z)上单调递增 ∈ )上单调递减, ( ∈ )上单调递增.
4.已知函数 y= 1 cos2x+ 3 sinxcosx+1, x∈R. (1)求当 y 取得最 已知函数 ∈ 求当 2 2 的集合; 大值时自变量 x 的集合 (2)该函数的图象可由 y=sinx(x∈R) 的 该函数的图象可由 ∈ 图象经过怎样的平移和伸缩变换得到? 图象经过怎样的平移和伸缩变换得到 1 cos2x+ 3 sinxcosx+1= 1 cos2x+ 3 sin2x+ 5 解: (1)y= 2 4 2 4 4 1 sin(2x+ π )+ 5 . =2 6 4
二、三角函数图象的性质
1.正弦函数 y=sinx(x∈R) 是奇函数 对称中心是 (kπ, 0)(k∈Z), 正弦函数 ∈ 是奇函数, ∈ 对称轴是直线 x=kπ+ π (k∈Z); 余弦函数 y=cosx(x∈R) 是偶函数 ∈ ∈ 是偶函数, 2 对称中心是 (kπ+ π , 0)(k∈Z), 对称轴是直线 x=kπ (k∈Z)(正, 余 ∈ ∈ ( 2 轴的直线, 弦函数的对称轴为过最高点或最低点且垂直于 x 轴的直线 对 轴的交点) 称中心为图象与 x 轴的交点). 2.正切函数 y=tanx(x∈R, x ≠ π +kπ, k∈Z) 是奇函数 对称中心 正切函数 ∈ ∈ 是奇函数, 2 是( kπ , 0)(k∈Z). ∈ 2 函数的对称中心有两类: 轴的交点, 注 正切函数的对称中心有两类 一类是图象与 x 轴的交点 另一类是渐近线与 x 轴的交点, 但无对称轴, 这是与正弦、余 轴的交点 但无对称轴 这是与正弦、 弦函数的不同之处. 弦函数的不同之处
6.如果函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- π 对称 求 a 如果函数 - 8 对称, 的值. 的值 其中, 解: y=sin2x+acos2x= a2+1 sin(2x+ϕ), 其中 tanϕ=a.
π 对称 法1 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 8 对称, π , y 取最大值或最小值. ∴当 x=- 8 时 取最大值或最小值 π )+ϕ=kπ+ π , k∈Z. ∴ϕ=kπ+ 3π , k∈Z. ∈ ∴2(- 8 ∈ 4 2 3π )=-1. ∴a=tanϕ=tan(kπ+ )=4 π 法2 ∵函数 y=sin2x+acos2x 的图象关于直线 x=- 8 对称, - 对称
π 上是减函数. ∴f(x)=cosωx 在区间 [0, ω ] 上是减函数
∴要使 f(x)=cosωx 在区间 [0, π ] 上是单调函数 2 上是单调函数,
π ≤ π , 即 0<ω≤2. 必有 2 ω
4k+2 ∈ 3 ≤2(k∈Z).
∴0<
∴ω=2 或 2 . 解得 k=0 或 1. 3 π 2 综上所述, 综上所述 ϕ= 2 , ω=2 或 3 .来自三、正、余弦函数的性质
1.定义域 都是 R. 定义域: 定义域 值域: 2.值域 都是 [-1, 1]. 值域 对 y=sinx, 当 x=2kπ+ π (k∈Z) 时, y 取最大值 1; 当 x=2kπ+3π ∈ 2 2 (k∈Z) 时, y 取最小值 -1; 对 y=cosx, 当 x=2kπ(k∈Z) 时, y 取最大 ∈ ∈ 值 1, 当 x=2kπ+π(k∈Z) 时, y 取最小值 -1. ∈ 3.周期性 ①y=sinx、y=cosx 的最小正周期都是 2π; ② f(x)= 周期性: 周期性 、 2π Asin(ωx+ϕ) 和 f(x)=Acos(ωx+ϕ)的最小正周期都是 T= |ω| . 的最小正周期都是
π , 得 y=sin(x+ π ) 的图象 ①将 y=sinx 的图象向左平移 6 6 的图象;
5.已知函数 f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0, 0≤ϕ≤π) 是 R 上的偶函数 已知函数 上的偶函数, π 对称, 上是单调函数, 其图象关于点 M( 3π , 0) 对称 且在区间 [0, 2 ] 上是单调函数 4 的值. 求 ϕ 和 ω 的值 上的偶函数, 解: ∵f(x)=sin(ωx+ϕ)(ω>0, 0≤ϕ≤π) 是 R 上的偶函数 ∴sin(-ωx+ϕ)=sin(ωx+ϕ), 即 -cosϕsinωx=cosϕsinωx 对任 都成立. 意实数 x 都成立 ∵ω>0, ∴cosϕ=0. 又∵0≤ϕ≤π, ∴ϕ= π . ∴f(x)=cosωx. 2 对称, ∵f(x) 的图象关于点 M 对称 图象的一个对称中心. ∴点 M 为 f(x) 图象的一个对称中心 3ωπ π (k∈Z). ∴ω= 4k+2 (k∈Z). ∈ ∴ 4 =kπ+ 2 ∈ 3 ∵ω>0,
4.奇偶性与对称性 正弦函数 奇偶性与对称性: 正弦函数y=sinx(x∈R)是奇函数 对称中心 是奇函数, 奇偶性与对称性 ∈ 是奇函数 是 (kπ, 0)(k∈Z), 对称轴是直线 x=kπ+ π (k∈Z); 余弦函数 y=cosx ∈ ∈ 2 (x∈R)是偶函数 对称中心是 (kπ+ π , 0)(k∈Z), 对称轴是直线 x= 是偶函数, ∈ 是偶函数 ∈ 2 kπ (k∈Z) (正(余)弦型函数的对称轴为过最高点或最低点且垂 ∈ 轴的直线, 轴的交点) 直于 x 轴的直线 对称中心为图象与 x 轴的交点).
π
π ≤2x- π ≤2kπ+ π (k∈Z) 得: 由 2kπ- 2 - 6 2 ∈ π kπ- ≤x≤kπ+ π (k∈Z). ∈
6 3 令 k=0, 1 即得函数 y=sin4x+2 3 sinxcosx-cos4x π ] [ 5π , π]. 在 [0, π] 上的单调增区间是 [0, 3 和 6
例1 利用单位圆中的三角函数线证明当 0<α< π 时, 不等式 2 y sinα<α<tanα 成立 成立. T 提示 由 S△OAP<S扇形 <S△OAT 得: 扇形OAP P 1 1 1 ×OA×MP< 2 ×α×OA2< 2×OA×AT × × 2 α 1 ×1×sinα< 1 ×12×α< 1×1×tanα o M A x 即 2 × × 2 2 故有 sinα<α<tanα. 7π 例2 解不等式 |sinx|>cosx. {x| π +2kπ<x< 4 +2kπ, k∈Z} ∈ 4 y
α
A
x
π
π
2π x
2
2.五点法作函数 y=Asin(ωx+ϕ) 的图象的步骤 五点法作函数 的图象的步骤: (1)令相位 ωx+ϕ=0, π , π, 3π, 2π, 解出相应的 x 的值 的值; 令相位 2 2 (2)求(1)中 x 对应的 y 的值 并描出相应五点 的值, 并描出相应五点; 求 中 (3)用光滑的曲线连结 中五点 用光滑的曲线连结(2)中五点 用光滑的曲线连结 中五点. 3.变换法 函数 y=Asin(ωx+ϕ)+k 与 y=sinx 图象间的关系 变换法: 图象间的关系: 变换法 的图象纵坐标不变, ①函数 y=sinx 的图象纵坐标不变 横坐标向左 (ϕ>0) 或向右 (ϕ<0) 平移 |ϕ| 个单位得 y=sin(x+ϕ) 的图象 的图象; 1 图象的纵坐标不变, ②函数 y=sin(x+ϕ) 图象的纵坐标不变 横坐标变为原来的 ω , 的图象; 得到函数 y=sin(ωx+ϕ) 的图象 图象的横坐标不变, ③函数 y=sin(ωx+ϕ) 图象的横坐标不变 纵坐标变为原来的 A 的图象; 倍, 得到函数 y=Asin(ωx+ϕ) 的图象 图象的横坐标不变, ④函数 y=Asin(ωx+ϕ) 图象的横坐标不变 纵坐标向上 (k>0) 或向下 (k<0) 平移 |k| 个单位得 y=Asin(x+ϕ)+k 的图象. 的图象 要特别注意, 的图象, 要特别注意 若由 y=sin(ωx) 得到 y=sin(ωx+ϕ) 的图象 则向左 ϕ 或向右平移应平移 | ω | 个单位. 个单位