两个向量的数量积(教案)
平面向量的数量积及向量的应用教案
平面向量的数量积及向量的应用教案章节一：向量的概念及其表示教学目标：1. 了解向量的定义及其表示方法。
2. 掌握向量的几何表示和坐标表示。
3. 能够正确书写向量的表达式。
教学内容：1. 向量的定义及特点。
2. 向量的几何表示和坐标表示。
3. 向量的运算规则。
教学步骤：1. 引入向量的概念，解释向量的定义及其特点。
2. 通过图形和实例展示向量的几何表示和坐标表示。
3. 讲解向量的运算规则，如加法、减法和数乘。
练习题目：a) (3, 4)b) (3, 4)c) 3d) (3章节二：向量的数量积教学目标：1. 理解向量的数量积的概念及其计算方法。
2. 掌握数量积的性质和运算法则。
3. 能够计算两个向量的数量积。
教学内容：1. 向量的数量积的定义及其计算方法。
2. 数量积的性质和运算法则。
3. 数量积的应用。
教学步骤：1. 引入向量的数量积的概念，解释其定义及其计算方法。
2. 通过图形和实例展示数量积的性质和运算法则。
3. 讲解数量积的应用，如判断两个向量是否垂直。
练习题目：a) (2, 3) ·(1, 2)b) (3, 4) ·(2, 3)c) (1, 0) ·(0, 1)章节三：向量的线性组合教学目标：1. 理解向量的线性组合的概念及其计算方法。
2. 掌握线性组合的性质和运算法则。
3. 能够计算两个向量的线性组合。
教学内容：1. 向量的线性组合的定义及其计算方法。
2. 线性组合的性质和运算法则。
3. 线性组合的应用。
教学步骤：1. 引入向量的线性组合的概念，解释其定义及其计算方法。
2. 通过图形和实例展示线性组合的性质和运算法则。
3. 讲解线性组合的应用，如解线性方程组。
练习题目：a) (2, 3) + (1, 2)b) (3, 4) (1, 2)c) 2(1, 0) 3(0, 1)章节四：向量的投影教学目标：1. 理解向量的投影的概念及其计算方法。
2. 掌握投影的性质和运算法则。
平面向量的数量积教案
平面向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解平面向量的数量积的概念及其几何意义。
2. 学会计算平面向量的数量积，并能熟练运用数量积解决实际问题。
3. 掌握平面向量的数量积的性质，并能运用其性质进行向量运算。
二、教学重点：1. 平面向量的数量积的概念及其几何意义。
2. 平面向量的数量积的计算方法。
3. 平面向量的数量积的性质。
三、教学难点：1. 平面向量的数量积的计算方法。
2. 平面向量的数量积的性质的证明。
四、教学准备：1. 教师准备PPT，内容包括平面向量的数量积的概念、计算方法、性质及其应用。
2. 教师准备一些实际问题，用于引导学生运用平面向量的数量积解决实际问题。
五、教学过程：1. 导入（5分钟）教师通过PPT展示一些实际问题，引导学生思考如何运用向量的知识解决这些问题。
2. 讲解平面向量的数量积的概念（10分钟）教师通过PPT讲解平面向量的数量积的概念，并展示其几何意义。
3. 讲解平面向量的数量积的计算方法（15分钟）教师通过PPT讲解平面向量的数量积的计算方法，并给出一些例题进行讲解。
4. 练习平面向量的数量积的计算（10分钟）学生独立完成一些练习题，教师进行解答和讲解。
5. 讲解平面向量的数量积的性质（10分钟）教师通过PPT讲解平面向量的数量积的性质，并给出一些证明。
6. 练习平面向量的数量积的性质（10分钟）学生独立完成一些练习题，教师进行解答和讲解。
7. 应用平面向量的数量积解决实际问题（10分钟）教师给出一些实际问题，引导学生运用平面向量的数量积解决这些问题。
8. 总结（5分钟）教师对本节课的内容进行总结，并强调平面向量的数量积的重要性和应用价值。
9. 布置作业（5分钟）教师布置一些练习题，巩固学生对平面向量的数量积的理解和应用。
10. 课堂反馈（5分钟）教师通过课堂反馈了解学生对平面向量的数量积的掌握情况，为下一步的教学做好准备。
六、教学拓展：1. 教师通过PPT讲解平面向量的数量积与其他向量知识的联系，如向量的模、向量的加减法等。
向量数量级教案模板
教师： 学生： 时间： 年 月 日 段 一、 授课目的与考点分析：1. 两个向量的数量积的性质：设a 、b 为两个非零向量，e 是与b 同向的单位向量1︒e ⋅a = a ⋅e =|a |cos θ；2︒a ⊥b ⇔ a ⋅b = 0；3︒当a 与b 同向时，a ⋅b = |a ||b |；当a 与b 反向时，a ⋅b = -|a ||b |；特别的a ⋅a = |a |2或a a a ⋅=||；4︒cos θ =||||b a b a ⋅； 5︒|a ⋅b | ≤ |a ||b |.2．“投影”的概念：作图定义：|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影投影也是一个数量，不是向量；当θ为锐角时投影为正值；当θ为钝角时投影为负值；当θ为直角时投影为0；当θ = 0︒时投影为 |b |；当θ = 180︒时投影为 -|b |3. 向量的数量积不满足结合律,即)(c b a c b a ∙∙∙∙≠）（. 4.代数中的命题 “若ab =0,则a =0或b =0”是真命题；向量中的命题 “若b a ∙＝0，则→a ＝0或→b ＝0”是假命题.5.对于非零实数a ,b ,c ,有ab =bc ⇒a =c . 但对于向量这个结论不成立，即 c a c b b a ==∙∙不能推出.【经典例题】【例1】 判断正误，并简要说明理由 ①a ·0＝0；②0·a ＝０；③0－AB ＝BA ；④｜a ·b ｜＝｜a ｜｜b ｜；⑤若a ≠0，则对任一非零b 有a ·b ≠０；⑥a ·b ＝０，则a 与b 中至少有一个为0；⑦对任意向量a ，b ，c 都有（a ·b ）c ＝a （b ·c ）；⑧a 与b 是两个单位向量，则a ２＝b ２。
向量的数量积教学设计
向量的数量积教学设计向量是数学中的一个重要概念，它可以用来描述空间中的任何一个物理量，例如力、速度、加速度等。
向量的数量积是向量运算中的一种基本运算，本篇文章将从定义、性质、应用等方面对向量的数量积进行详细介绍。
一、定义向量的数量积，也叫点积或内积，是指两个向量的乘积再求和的结果。
假设有两个向量A和B，它们的数量积表示为A·B，计算公式为A·B=|A||B|cosθ，其中|A|和|B|分别表示向量A和B的模长，θ表示向量A和B之间的夹角。
二、性质1.数量积具有交换律，即A·B=B·A。
2.数量积具有分配律，即(A+B)·C=A·C+B·C。
3.数量积具有结合律，即k(A·B)=(kA)·B=A·(kB)，其中k为实数。
4.若向量A与向量B的数量积为0，则称A与B垂直或正交。
5.若向量A与向量B的夹角为锐角，则它们的数量积为正数；若夹角为钝角，则数量积为负数。
三、应用1.求向量的模长利用向量的数量积可以求向量的模长，|A|=√(A·A)。
2.求向量的夹角利用向量的数量积还可以求向量之间的夹角，cosθ=(A·B)/(|A||B|)，其中θ为夹角。
3.求向量的投影利用向量的数量积和向量的模长可以求出一个向量在另一个向量上的投影，投影的大小为|A|cosθ，方向与另一个向量相同。
4.判断向量之间的关系利用向量的数量积可以判断两个向量之间的关系，若A·B>0，则向量A和向量B同向；若A·B<0，则向量A和向量B反向；若A·B=0，则向量A和向量B垂直或正交。
向量的数量积是向量运算中的一种基本运算，它具有重要的应用价值。
无论是在物理学、工程学、计算机科学等领域，都有着广泛的应用。
因此，学习向量的数量积是非常有必要的。
高中数学教案——两个向量的数量积
§9.5两个向量的数量积 教学目的：⒈掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；⒉掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；⒊掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题． 教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用． 教学难点：两个向量数量积的几何意义． 授课类型：新授课 课时安排：1课时教 具：多媒体、实物投影仪 教学过程：一、复习引入：1．空间向量的概念：在空间，我们把具有大小和方向的量叫做向量注：⑴空间的一个平移就是一个向量⑵向量一般用有向线段表示同向等长的有向线段表示同一或相等的向量 ⑶空间的两个向量可用同一平面内的两条有向线段来表示 2．空间向量的运算定义：与平面向量运算一样，空间向量的加法、减法与数乘向量运算如下b a +=+=;b a -=-=;)(R a ∈=λλ运算律：⑴加法交换律：a b b a+=+⑵加法结合律：)()(c b a c b a++=++ ⑶数乘分配律：b a b aλλλ+=+)(3．平行六面体：平行四边形ABCD 平移向量a到D C B A ''''的轨迹所形成的几何体，叫做平行六面体，并记作：ABCD －D C B A ''''它的六个面都是平行四边形，每个面的边叫做平行六面体的棱 4. 平面向量共线定理方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一组平行向量都可以平移到同一条直线上，所以平行向量也叫做共线向量．向量b 与非零向量a 共线的充要条件是有且只有一个实数λ，使b ＝λa .要注意其中对向量a的非零要求．5 共线向量如果表示空间向量的有向线段所在的直线互相平行或重合，则这些向量叫做共线向量或平行向量．a 平行于b 记作b a//．当我们说向量a 、b 共线（或a //b ）时，表示a 、b的有向线段所在的直线可能是同一直线，也可能是平行直线．6． 共线向量定理：空间任意两个向量a 、b （b ≠0 ），a //b的充要条件是存在实数λ，使a＝λb .推论：如果l 为经过已知点A 且平行于已知非零向量a的直线，那么对于任意一点O ，点P 在直线l 上的充要条件是存在实数t 满足等式t +=a ．其中向量a叫做直线l 的方向向量.空间直线的向量参数表示式：t OA OP +=a或)(OA OB t OA OP -+=OB t OA t +-=)1(，中点公式．)(21OB OA OP +=7．向量与平面平行：已知平面α和向量a，作O A a = ，如果直线OA 平行于α或在α内，那么我们说向量a 平行于平面α，记作：//a α．通常我们把平行于同一平面的向量，叫做共面向量 说明：空间任意的两向量都是共面的8．共面向量定理：如果两个向量,a b 不共线，p 与向量,a b共面的充要条件是存在实数,x y 使p xa yb =+推论：空间一点P 位于平面MAB 内的充分必要条件是存在有序实数对,x y ，使MP xMA yMB =+ ①或对空间任一点O ，有OP OM xMA yMB =++ ②或,(1)OP xOA yOB zOM x y z =++++=③上面①式叫做平面MAB 的向量表达式9 空间向量基本定理：如果三个向量,,a b c不共面，那么对空间任一向量p ，存在一个唯一的有序实数组,,x y z ，使p xa yb zc =++若三向量,,a b c不共面，我们把{,,}a b c 叫做空间的一个基底，,,a b c 叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底推论：设,,,O A B C 是不共面的四点，则对空间任一点P ，都存在唯一的三个有序实数,,x y z ，使OP xOA yOB =++二、讲解新课：1 空间向量的夹角及其表示：已知两非零向量,a b，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==，则AOB ∠叫做向量a 与b 的夹角，记作,a b <>；规定0,a b π≤<>≤ ，显然有,,a b b a <>=<>；若,2a b π<>= ，则称a 与b 互相垂直，记作：a b ⊥.2．向量的模：设OA a = ，则有向线段OA 的长度叫做向量a 的长度或模，记作：||a .3．向量的数量积：已知向量,a b ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<> 叫做,a b的数量积，记作a b ⋅ ，即a b ⋅= ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>．已知向量AB a = 和轴l ，e是l 上与l 同方向的单位向量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B '' 叫做向量AB 在轴l 上或在e上的正射影.可以证明A B '' 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅ ．4．空间向量数量积的性质：（1）||cos ,a e a a e ⋅=<>．（2）0a b a b ⊥⇔⋅=．（3）2||a a a =⋅．5．空间向量数量积运算律：（1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅．（2）a b b a ⋅=⋅（交换律）．（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅（分配律）．三、讲解范例：例1 用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥求证：l α⊥．证明：在α内作不与,m n 重合的任一直线g ，在,,,l m n g 上取非零向量,,,l m n g，∵,m n 相交，∴向量,m n不平行，由共面定理可知， 存在唯一有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+，∴l g xl m yl n ⋅=⋅+⋅ ，又∵0,0l m l n ⋅=⋅=， ∴0l g ⋅= ，∴l g ⊥，∴l g ⊥，所以，直线l 垂直于平面内的任意一条直线，即得l α⊥．例2．已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥．证明：（法一）()()AD BC AB BD AC AB ⋅=+⋅- 2AB AC BD AC AB AB BD =⋅+⋅--⋅ ()0AB AC AB BD AB DC =⋅--=⋅=． （法二）选取一组基底，设,,AB a AC b AD c ===， ∵AB CD ⊥，∴()0a c b ⋅-=，即a c b a ⋅=⋅ ， 同理：a b b c ⋅=⋅ ， ∴a c b c ⋅=⋅ ，∴()0c b a ⋅-=，∴0AD BC ⋅= ，即AD BC ⊥．说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明例3．如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠= ，60OAB ∠= ，求OA 与BC 的夹角的余弦值解：∵BC AC AB =- ， ∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>84cos13586cos12024=⨯⨯-⨯⨯=- ∴243cos ,855||||OA BC OA BC OA BC ⋅--<>===⨯⋅， 所以，OA 与BC 的夹角的余弦值为35-． 说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=易错写成,45OA AC <>=，切记！四、课堂练习：1．已知向量a b ⊥ ，向量c 与,a b 的夹角都是60，且||1,||2,||3a b c === ，试求：（1）2()a b + ；（2）2(2)a b c +- ；（3）(32)(3)a b b c -⋅-． 解：∵向量a b ⊥ ，向量c 与,a b 的夹角都是60，且||1,||2,||3a b c === ，∴22231,4,9,0,,32a b c a b a c b c ===∙=∙=∙=（1）222()2a b a a b b +=+∙+ 1045=++=；（2）2(2)a b c +- =222(2)2224a b c a b a c b c +++∙-∙-∙＝1+16+9+0-3-12=11；（3）(32)(3)a b b c -⋅- =2333223a b a c b b c ∙-∙-+∙ ＝0-272-8+18=722.已知线段AB 、BD 在平面α内，BD ⊥AB ，线段AC ⊥α，如果AB=a,BD=b,AC=c,求C 、D 间的距离.解：∵AC α⊥，,AB BD α⊂,∴,AC AB AC BD ⊥⊥，又∵AB BD ⊥,∴0,0AC AB AC BD ∙=∙=，0AB BD ∙= ,∴22||()CD CD CD CA AB BD =∙=++ =222c a b ++.∴||CD =五、小结 ：由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义、取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号及向量的模的概念和表示符号，两个向量的数量积的意义等，都与平面向量是相同的．六、课后作业：七、板书设计（略）八、课后记：。
两个向量的数量积说课稿
两个向量的数量积一、教材分析空间两个向量的夹角、数量积是高中数学向量的重要内容，也是高考的重要考查内容。
从知识的网络结构上看，空间向量夹角、数量积既是平面向量夹角、数量积概念的延续和拓展，又是后续空间向量数量积的计算坐标化和空间向量在立体几何中应用的教学基础。
二、教学目标根据上述教材分析，考虑到学生已有的认知心理特征，制定如下教学目标：1.知识目标：掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；掌握空间向量的数量积及其运算律。
2.能力目标：体会类比和归纳的数学思想，并能利用两个向量的数量积公式解决立体几何中的一些简单问题。
3.情感目标：激发学生的学习热情和求知欲，培养严谨的学习态度以及空间想象的能力。
三、教学重点和难点本着课程标准，在吃透教材基础上，我确立了如下教学重点和难点：教学重点：空间两个向量的夹角、数量积的概念、计算方法及其应用。
教学难点：空间向量数量积的几何意义以及立体几何问题的转化。
下面，为了讲清楚重点、难点，使学生能达到本节课设定的教学目标，我再从教法上谈谈：四、教法分析1.本节属于概念教学，可采用以语言传递信息、分析概念的讲授法。
2.本节涉及到一些比较抽象的概念，可以借助多媒体，利用三维动态演示，来提高学生对概念的理解。
3.在重点和难点上，采用举例的方法来提高学生的实际解题能力。
4.通过知识对比来加强学生的知识迁移能力，顺便对已学过知识的复习。
最后我来具体谈一谈这节课的教学过程：五、教学过程学生是认知的主体，遵循学生的认知规律和本节课的特点，我设计了如下的教学过程：1.复习旧课，引入新课1）让学生回顾平面向量数量积及其运算律。
定义夹角几何意义：数量积a.b等于a的长度|a|与b在a的方向上的投影|b|cosθ的乘积。
性质运算律2）举两个实际例子进行练习，并引出空间两个向量数量积课题。
设计意图：从学生已有认知平面向量相关知识出发，为类比出空间向量夹角和数量积概念做铺垫。
2.运用例子，理解概念，说明定义1、两向量夹角的定义已知两个非零向量a 、b，在空间任取一点O，做OA=a 、OB=b，则∠AOB ,叫做向a与b的夹角，记作<a ,b>。
数量积的坐标表示教案
8
3
例3：已知 a (2,1) , b (1,3) , 若存在向
量 c ，使得 a • c 4 ，b • c 9
试求 c 的坐标
答案： c (3, 2)
例4: 已知 A(1, 2), B(2, 3), C(-2, 5)
求证: ABC是直角三角形
•C (2, 5)
y
证明： AB (2 1，3 2) (1，1)
答案： 2 13
已知非零向量 a (x1, y1),b (x2, y2)
(2)两向量垂直的充要条件 ：a b a • b 0
a b x1x2 y1y2 0 a // b x1y2 y1x2 0
练习：设 a (2, 3),b (4, x) ，若 a 与 b
垂直，求x的值。
i• j j•i 0
a •b x1x2 y1y2
平面向量数量积的坐标运算: a •b x1x2 y1y2
横坐标乘横坐 标+纵坐标乘
纵坐标
即: 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和
例1：已知 a (5,7), b (6,4), 求a • b
解：a • b 5 (6) (7) (4) 30 28
二.新课
已知两个非零向量
a
(
x1，y1
)
b (x2 ，y2 ) ，则
a x1i y1 j b x2i y2 j
a •b (x1i y1 j ) • (x2i y2 j )
2
2
x1x2i x1y2i j x2 y1i j y1y2 j
x1x2 y1y2
2
2
i 1 j 1
AC (2 1，5 2) (3，3) 1
1 0
AB AC 1 ( 3) 1 3 0
向量的数量积与向量积教案
向量的数量积与向量积教案一、引言在学习向量的时候，除了了解向量的基本概念和运算法则，还需要掌握向量的数量积与向量积两种特殊的运算方式。
本教案将详细介绍向量的数量积与向量积的概念、性质及其在几何和物理问题中的应用。
二、向量的数量积1. 概念向量的数量积，又称为点积或内积，表示两个向量之间的乘积。
设有向量a、b，则a与b的数量积记作a·b，计算公式为：a·b = |a|·|b|·cosθ其中，|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ为a与b之间的夹角。
2. 性质（1）交换律：a·b = b·a（2）分配律：a·(b + c) = a·b + a·c（3）数量积的零向量：若a·b = 0，则a与b垂直或其中一个是零向量。
（4）平行性判别：a·b = |a|·|b| 当且仅当 a与b平行或其中一个是零向量。
3. 应用举例（1）工作与力的夹角：设有一个施力向量F和一个位移向量d，则功W等于F·d。
（2）向量的投影：设向量a与b的夹角为θ，则a在b上的投影为|a|·cosθ。
三、向量的向量积1. 概念向量的向量积，又称为叉积或外积，表示两个向量之间的积。
设有向量a、b，则a与b的向量积记作a×b，计算公式为：|a×b| = |a|·|b|·sinθ其中，|a×b|表示a与b的向量积的模长，θ为a与b之间的夹角。
2. 性质（1）反交换律：a×b = -b×a（2）分配律：a×(b + c) = a×b + a×c（3）叉乘的零向量：若a×b = 0，则a与b平行或其中一个是零向量。
（4）垂直性判别：a与b的向量积为零当且仅当 a与b平行或其中一个是零向量。
3. 应用举例（1）面积计算：设有两个向量a和b，它们的向量积|a×b|表示以a和b为邻边的平行四边形的面积。
空间向量的数量积运算》教学设计
空间向量的数量积运算》教学设计教学设计3.1.3 空间向量的数量积运算整体设计本节课在平面向量的夹角和向量长度的概念的基础上，引入了空间向量的夹角和向量长度的概念和表示方法，介绍了空间两个向量数量积的概念、计算方法、性质和运算律，并举例说明利用向量的数量积解决问题的基本方法。
传统的解立体几何题需要有较强的空间想象能力、逻辑推理能力以及作图能力，学生往往由于这些能力的不足造成解题困难。
用向量处理立体几何问题，可使学生克服空间想象力的障碍而顺利解题，为研究立体几何提供了新的思想方法和工具，具有相当大的优越性；而且，在丰富学生思维结构的同时，应用数学的能力也得到了锻炼和提高。
课时分配：1课时教学目标知识与技能：1.掌握空间向量夹角的概念及表示方法；2.掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3.掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题。
过程与方法：1.运用类比方法，经历向量的数量积运算由平面向空间推广的过程；2.引导学生借助空间几何体理解空间向量数量积运算的意义。
情感、态度与价值观：1.培养学生的类比思想、转化思想，培养探究、研讨、综合自学应用能力；2.培养学生空间向量的应用意识。
重点难点教学重点：1.空间向量的数量积运算及其运算律、几何意义；2.空间向量的数量积运算及其变形在空间几何体中的应用。
教学难点：1.空间想象能力的培养，思想方法的理解和应用；2.空间向量的数量积运算及其几何应用和理解。
教学过程引入新课提出问题：已知在正方体ABCD—A′B′C′D′中，E为AA′的中点，点F在线段D′C′上，D′F＝FC′，如何确定BE，FD的夹角？活动设计：教师设问：平面向量的夹角问题是如何求得的？是否可将平面内求得两向量的夹角公式推广到空间？公式的形式是否会有所变化？学生活动：回顾平面向量数量积、向量夹角公式；类比猜想空间向量夹角公式的形式。
设计意图：问题的给出，一时之间可能会使学生感到突然，但预计应该会联想到平面向量的夹角公式，由此作一番类比猜想，起到温故知新的作用。
《向量的数量积》示范公开课教学设计【高中数学人教】
《向量的数量积》教学设计第一课时前面已学了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算----向量数量积．教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量．在定义了数量积的概念后，进一步探究了两个向量的夹角对数量积符号的影响；两个向量的位置与数量积之间的关系．（1）了解向量数量积的物理背景，经历平面向量数量积概念的形成过程，培养学生抽象问题的能力；（2）掌握向量数量积的几何意义，理解投影的概念，体会数学研究的一般过程．教学重点：向量数量积概念的形成过程及理解．1．教学问题：（1）学习过程中，学生对脱离背景之后抽象向量数量积的概念，一时难以适应；（2）向量数量积的几何意义的应用．2．教学支持条件：科大讯飞问答系统．【问题1】如图所示，物体在力F的作用下产生位移s，那么力F所做的功W为多少？◆教材分析◆教学目标◆教学重难点◆◆课前准备◆教学过程【设计意图】认识向量的数量积的实际背景，为引出数量积运算作铺垫． 【预设师生活动】（1）学生：cos W θ=F s ．（2）老师：功W 是向量吗？（3）学生：不是．（4）老师： 那是什么？（5）学生：数量． （6）老师：但是力F 和位移s 都是向量啊，它们作了什么运算得到了数量？（7）学生：乘法……．（8）老师：我们学过实数的加法，减法，乘法和除法．前面我们学习了向量的线性运算，今天我们来学习向量的乘法．板书设计：数学中，我们把这种向量的乘法运算叫做向量的数量积（内积）．【问题2】如何定义向量的数量积？ 【设计意图】类比物理学中的功的定义，抽象出数学中的向量数量积的定义，体会数学抽象的过程．【预设师生活动】（1）学生：cos θ⋅=a b a b ．（2）老师：向量a ，b 有什么要求吗？θ是什么？（3）学生：θ是向量a 与b 的夹角． （4）老师：我们给出向量数量积的概念：已知两个非零向量向量a 与b ，我们把数量cos θa b 叫做a 与b 的数量积（或内积），记作⋅a b ，即cos θ⋅=a b a b ，其中θ是a 与b 的夹角，cos θa （cos θb ）叫做向量a 在b 方向上（b 在a 方向上）的投影．我们规定：零向量与任一向量的数量积为0．强调：向量a 、b 的数量积⋅a b 与代数中数a 、b 的乘积ab （或a b ⋅）不同，所以书写时一定要把它们严格区分开，以免影响后面的学习．（5）老师：你能确定两个非零向量的数量积的值何时为正，何时为负吗？它能等于零吗？（6）学生：当cos θ为正时，为正；当cos θ为负时，为负；当cos θ等于零时，为零．（7）老师：向量a 与b 的夹角θ的范围是什么？cos θ何时为正，何时为负，何时为零呢？（8）学生：向量a 与b 的夹角θ的范围是[]0,π．当π[0,)2θ∈时，cos θ为正；当π(,π]2θ∈时，cos θ为负；当π2θ=时，cos θ为零． （9）老师：类似地，投影的取值正负同样由向量的夹角θ的范围决定，请同学们自行归纳．（10）老师：当≠a 0时，0⋅=a b 能推出=b 0吗？（11）学生：不能．因为任一与a 垂直的非零向量b ，都有0⋅=a b ．（12）老师：已知实数a ，b ，c （0b ≠），则ab bc a c =⇒=．那对向量的数量积，该推理正确吗？（13）学生：不正确，即⋅=⋅⇒a b b c =a c ．（14）老师：那么 ⋅=⋅a b b c 等价于什么？（15）学生：不知道．（16）老师： 我们先留下这个问题，等我们学完后面的内容再回来解决．（17）老师：例1．已知5=a ，4=b ，a 与b 的夹角120θ=︒，求⋅a b ．（18）学生：由数量积的定义，算得10⋅=-a b ．（19）老师：例2． 已知1=a ，=b （1）若a b ，求⋅a b ；（2）若a 与b 的夹角3π4θ=，求⋅a b ．（20）学生：第（1）问要分类讨论，当a 与b 同向时，⋅=a b当a 与b 反向时，⋅=a b第（2）问，1⋅=-a b ．【问题3】向量的数量积有什么性质？【设计意图】对两个向量的特殊位置关系（垂直、共线）下的数量积进行研究，从细节上认识定义．让学生参与这些性质的推导过程，体会数学中的性质是概念在合理的逻辑推理下的自然产物，培养学生逻辑推理的核心素养．（1）老师：0⊥⇔⋅=a b a b ，对吗？（2）学生1：对．学生2：根据向量数量积的定义，如果向量a 与b 是非零向量，当然是对的．但是，根据规定，零向量与任一向量的数量积为0．即当向量a 与b 有零向量时，结论不对．（3）老师：同学们讲得非常好．但是，我们对零向量的方向是如何规定的？（4）学生2：哦，对了．零向量与任意向量共线，自然也就与任意向量垂直了．所以，老师，结论0⊥⇔⋅=a b a b 无论向量a 与b 是否为非零向量都是对的．（5）老师：非常好，同学们对概念的理解又深入了．这个结论也提示我们，以后我们要证明垂直时，只需证明两个向量的数量积为零即可．（6）老师：能不能用向量的数量积表示向量的模？（7）学生：按照定义，当a 与b 同向时，⋅=a b a b ．那么，2⋅=a a a ．（8）老师：非常好，我们记2⋅=a a a ，注意，2a 和a 都是实数，所以我们可以写出=a（9）老师：对于模一定的向量a 与b ，数量积⋅a b 有没有范围？（10）学生：由于cos 1θ≤，所以⋅≤a b a b ．【问题4】我们说向量本身兼具“数”和“形”，你能够说一说数量积的几何意义吗？【设计意图】进一步加深对投影的概念的理解，体会数形结合．【预设师生活动】（1）学生：由向量投影的定义，我们可以得到⋅a b 的几何意义：数量积⋅a b 等于a 的长度a 与b 在a 的方向上的投影cos θb 的乘积．（2） 教师：思考题：在圆C 中，已知弦AB 的长为l ，那么AB AC ⋅的值为多少？【设计意图】进一步加深对数量积的几何意义的理解，让学生学会应用数量积的几何意义解决问题．【问题5】你能够回答一下本节课我们都学习了哪些新的概念？【设计意图】课堂小结．由学生总结、概括本节课所学习的主要内容，教师进行提炼，并总结学习新概念的基本思路．【预设师生活动】（1）学生总结后得到向量数量积的定义，性质，及其几何意义．（2）老师：小结完成了，同学们是否有什么疑惑的地方？有的话，可以提出来．数量积是一种我们引入的新的运算，我们在实数的四则运算中，研究过运算律．那么，下节课我们就来研究数量积的运算律或运算法则．【习题检测】1．课中检测通过例题及思考题检测学生理解情况，注意及时收集学生反馈．2．课后检测请完成课后练习，检测学习效果．第二课时◆教材分析前面已学了向量的概念及向量的线性运算，这里引入一种新的向量运算——向量数量积．教科书以物体受力作功为背景引入向量数量积的概念，既使向量数量积运算与学生已有知识建立了联系，又使学生看到向量数量积与向量模的大小及夹角有关，同时与前面的向量运算不同，其计算结果不是向量而是数量．在定义了数量积的概念后，进一步探究其运算律．◆教学目标（1）理解向量数量积的运算律，经历平面向量数量积运算律的证明过程，培养学生逻辑推理与运算的能力；（2）掌握向量数量积的运算律，进一步理解投影的概念，体会数学运算的一般法则．◆课前准备1．教学问题：（1）学习过程中，学生对新的运算的运算律感觉抽象，一时难以适应；（2）向量数量积的运算律的应用．2．教学支持条件：科大讯飞问答系统．◆教学过程【问题1】我们学过的实数的乘法运算有哪些运算律？【设计意图】以学生熟悉的实数的乘法运算律为背景，为引出数量积的运算律作铺垫．【预设师生活动】（1）学生：交换律，结合律，对加法的分配律等．（2）老师：那么，向量的数量积会不会也有这些运算律啊？ （3）学生：有……没有……有……（4）老师：那我们先不着急下结论，我们一条一条来验证．如果要证明数量积具有交换律，是证明哪个等式？（5）学生：⋅=⋅a b b a ． （6）老师：对，那怎么证明？（7）学生：这个简单，直接用定义即可，因为向量a 与b 的夹角不变，模的乘积相等．板书设计：向量的数量积（内积）的运算律：（1）交换律：⋅=⋅a b b a（8）老师： 那么分配律呢？（9）学生：()+⋅=⋅+⋅a b c a c b c ．（10）老师：怎么证明呢？给学生5分钟时间思考，证明．并通过科大讯飞的技术平台查看学生的证明过程． 之后演示学生中比较严谨的证明过程并表扬，然后点评证明过程中要注意的地方．（11）老师： 那么结合律呢？（12）学生：()()⋅=⋅a b c a b c ．（13）老师：很好，大家的类比还是很强．但是我说这个等式不成立，你们知道为什么吗？（14）学生：等式的两边我们可以看成向量与实数的数乘运算，结果是向量．而向量的相等需要模相等并且方向相同，而等式的左边的向量与向量c 共线，右边的向量与向量a 共线，所以一般情况下这个等式不成立．（15）老师：说的非常好，既然你提到了实数与向量的数乘运算，我们对于结合律能不能把实数与数量积的运算考虑在一起？（16）学生：()()λλ⋅=⋅a b a b ？（17）老师：非常好，能不能证明出来？请xx 同学上黑板来证明，其他同学在草稿纸上证明．老师对xx 同学的证明过程进行点评，随后通过PPT 演示证明过程．（18）学生：()()()λλλ⋅=⋅=⋅a b a b a b 成立吗？（19）老师：成立．证明方法同上，请同学们下课后完成．【问题2】在实数的四则运算中，我们有完全平方和公式和平方差公式，向量的数量积是否有类似的结论？【设计意图】类比实数运算中的公式，推导向量数量积的运算公式，体会代数运算的推导过程．【预设师生活动】（1）学生：()2222+=+⋅+a b a a b b ，()()22+-=-a b a b a b ．（2）老师：如何证明？给学生10分钟时间思考，证明．并通过科大讯飞的技术平台查看学生的证明过程．之后演示学生中比较严谨的证明过程并表扬，然后点评证明过程中要注意的地方，揭示代数运算中交换律对于运算的重要性，引导学生对运算有更本质的认识．（3）教材P105 页例3：已知6=a ，4=b ，a 与b 的夹角为60︒，求()()23+⋅-a b a b ． 设计意图：让学生熟悉数量积的运算律及数量积的概念．（4）教材P105 页例4：已知3=a ，4=b ，且a 与b 不共线．k 为何值时，向量k +a b与k -a b 互相垂直？设计意图：让学生熟悉数量积的运算律及数量积的应用．（5）已知2=a ，3=b ，a 与b 的夹角为120︒，求：（1） ⋅a b （2） 22-a b （3） ()()23-⋅+a b a b （4）+a b （5） -a b设计意图：让学生熟悉数量积的运算律及数量积的应用．【问题3】你能够回答一下本节课我们都学习了哪些新的知识？【设计意图】课堂小结．由学生总结、概括本节课所学习的主要内容，教师进行提炼，并总结学习新运算律的基本思路．【预设师生活动】（1）学生总结后得到向量数量积的运算律，公式等．（2）老师：小结完成了，同学们是否有什么疑惑的地方？有的话，可以提出来．数量积作为一种我们引入的新的运算，我们已经研究了运算律．向量兼具“数”与“形”，那么，下节课我们就来研究数量积的坐标运算．【习题检测】1．课中检测通过例题及思考题检测学生理解情况，注意及时收集学生反馈．2．课后检测请完成课后练习，检测学习效果．。
教学设计2：6.2.4 向量的数量积
6.2.4 向量的数量积一、教学分析前面已经知道,向量的线性运算有非常明确的几何意义,因此利用向量运算可以讨论一些几何元素的位置关系.既然向量可以进行加减运算,一个自然的想法是两个向量能否做乘法运算呢?如果能,运算结果应该是什么呢?另外,距离和角是刻画几何元素(点、线、面)之间度量关系的基本量.我们需要一个向量运算来反映向量的长度和两个向量间夹角的关系.众所周知,向量概念的引入与物理学的研究密切相关,物理学家很早就知道,如果一个物体在力F的作用下产生位移s(如图1),那么力F所做的功W=|F||s|cosθ图1功W是一个数量,其中既涉及“长度”,也涉及“角”,而且只与向量F,s有关.熟悉的数的运算启发我们把上式解释为两个向量的运算,从而引进向量的数量积的定义a·b=|a||b|cosθ.这是一个好定义,它不仅满足人们熟悉的运算律(如交换律、分配律等),而且还可以用它来更加简洁地表述几何中的许多结果.向量的数量积是一种新的向量运算,与向量的加法、减法、数乘运算一样,它也有明显的物理意义、几何意义.但与向量的线性运算不同的是,它的运算结果不是向量而是数量.二、教学目标1、知识与技能：掌握平面向量的数量积及其几何意义；掌握平面向量数量积的重要性质及运算律；了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题；掌握向量垂直的条件。
2、过程与方法：通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的含义及其物理意义；体会平面向量的数量积与向量投影的关系。
3、情感态度与价值观：通过与物理中“功”的类比抽象出向量的数量积，培养学生的抽象概括能力。
三、重点难点教学重点:平面向量数量积的定义.教学难点:平面向量数量积的定义及其运算律的理解和平面向量数量积的应用.四、教学设想（一）导入新课思路1.我们前面知道向量概念的原型就是物理中的力、速度、位移以及几何中的有向线段等概念,向量是既有大小、又有方向的量,它与物理学中的力学、运动学等有着天然的联系,将向量这一工具应用到物理中,可以使物理题解答更简捷、更清晰,并且向量知识不仅是解决物理许多问题的有利工具,而且用数学的思想方法去审视相关物理现象,研究相关物理问题,可使我们对物理问题认识更深刻.物理中有许多量,比如力、速度、加速度、位移等都是向量,这些物理现象都可以用向量来研究.在物理课中,我们学过功的概念,即如果一个物体在力F的作用下产生位移s,那么力F所做的功W可由下式计算:W=|F||s|cosθ其中θ是F与s的夹角.我们知道力和位移都是向量,而功是一个标量(数量).故从力所做的功出发,我们就顺其自然地引入向量数量积的概念.思路2.前面我们已学过,任意的两个向量都可以进行加减运算,并且两个向量的和与差仍是一个向量.我们结合任意的两个实数之间可以进行加减乘除(除数不为零)运算,就自然地会想到,任意的两个向量是否可以进行乘法运算呢？如果能,其运算结果是什么呢？（二）推进新课、新知探究、提出问题①a·b的运算结果是向量还是数量？它的名称是什么?②由所学知识可以知道,任何一种运算都有其相应的运算律,数量积是一种向量的乘法运算,它是否满足实数的乘法运算律？③我们知道,对任意a,b∈R,恒有(a+b)2=a2+2ab+b2,(a+b)(a-b)=a2-b2.对任意向量a、b,是否也有下面类似的结论?(1)(a+b)2=a2+2a·b+b2;(2)(a+b)·(a-b)=a2-b2.活动:已知两个非零向量a与b,我们把数量|a||b|cosθ叫做a与b的数量积(或内积),记作a·b,即a·b=|a||b|cosθ(0≤θ≤π).其中θ是a与b的夹角,|a|cosθ(|b|cosθ)叫做向量a在b方向上(b在a方向上)的投影.如图2为两向量数量积的关系,并且可以知道向量夹角的范围是0°≤θ≤180°.图2在教师与学生一起探究的活动中,应特别点拨引导学生注意:(1)两个非零向量的数量积是个数量,而不是向量,它的值为两向量的模与两向量夹角的余弦的乘积;(2)零向量与任一向量的数量积为0,即a ·0=0;(3)符号“·”在向量运算中不是乘号,既不能省略,也不能用“×”代替;(4)当0≤θ<时cos θ>0,从而a ·b >0;当<θ≤π时,cos θ<0,从而a ·b <0.与学生共同探究并证明数量积的运算律.已知a ,b ,c 和实数λ,则向量的数量积满足下列运算律:①a ·b =b ·a (交换律);②(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律);③(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).特别是:(1)当a ≠0时,由a ·b =0不能推出b 一定是零向量.这是因为任一与a 垂直的非零向量b ,都有a ·b =0.图3(2)已知实数a 、b 、c (b ≠0),则ab =bc a =c .但对向量的数量积,该推理不正确,即a ·b =b ·c 不能推出a =c .由图3很容易看出,虽然a ·b =b ·c ,但a ≠c .(3)对于实数a 、b 、c 有(a ·b )c =a (b ·c );但对于向量a 、b 、c ,(a ·b )c =a (b ·c )不成立.这是因为(a ·b )c 表示一个与c 共线的向量,而a (b ·c )表示一个与a 共线的向量,而c 与a 不一定共线,所以(a ·b )c =a (b ·c )不成立.讨论结果:①是数量,叫数量积.②数量积满足a ·b =b ·a (交换律);(λa )·b =λ(a ·b )=a ·(λb )(数乘结合律);(a +b )·c =a ·c +b ·c (分配律).2π2π⇒③(1)(a +b )2=(a +b )·(a +b )=a ·b +a ·b +b ·a +b ·b =a 2+2a ·b +b 2;(2)(a +b )·(a -b )=a ·a -a ·b +b ·a -b ·b =a 2-b 2.提出问题①如何理解向量的投影与数量积？它们与向量之间有什么关系？②能用“投影”来解释数量积的几何意义吗？活动:教师引导学生来总结投影的概念,可以结合“探究”,让学生用平面向量的数量积的定义,从数与形两个角度进行探索研究.教师给出图形并作结论性的总结,提出注意点“投影”的概念,如图4.图4定义:|b |cos θ叫做向量b 在a 方向上的投影.并引导学生思考:1°投影也是一个数量,不是向量;2°当θ为锐角时投影为正值;当θ为钝角时投影为负值;当θ为直角时投影为0;当θ=0°时投影为|b |;当θ=180°时投影为-|b |.教师结合学生对“投影”的理解,让学生总结出向量的数量积的几何意义:数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.让学生思考:这个投影值可正、可负,也可为零,所以我们说向量的数量积的结果是一个实数.教师和学生共同总结两个向量的数量积的性质:设a 、b 为两个非零向量,e 是与b 同向的单位向量.1°e ·a =a ·e =|a |cos θ.2°a ⊥b a ·b =0.3°当a 与b 同向时,a ·b =|a ||b |;当a 与b 反向时,a ·b =-|a ||b |.特别地a ·a =|a |2或|a |=.4°cos θ=. 5°|a ·b |≤|a ||b |.上述性质要求学生结合数量积的定义自己尝试推证,教师给予必要的补充和提示,在推导过程⇔a a •||||b a b a •中理解并记忆这些性质.讨论结果:①略(见活动).②向量的数量积的几何意义为数量积a ·b 等于a 的长度与b 在a 方向上投影|b |cos θ的乘积.（三）应用示例思路1例1 已知平面上三点A 、B 、C 满足||=2,||=1, ||=,求·+·+的值. 活动:教师引导学生利用向量的数量积并结合两向量的夹角来求解,先分析题设然后找到所需条件.因为已知、、的长度,要求得两两之间的数量积,必须先求出两两之间的夹角.结合勾股定理可以注意到△A 是直角三角形,然后可利用数形结合来求解结果. 解:由已知,||2+||2=||2,所以△ABC 是直角三角形.而且∠ACB =90°,从而sin ∠ABC =,sin ∠BAC =.∴∠ABC =60°,∠BAC =30°. ∴与的夹角为120°,与的夹角为90°,与的夹角为150°.故·+·+·=2×1×cos120°+1×cos90°+×2cos150°=-4.点评:确定两个向量的夹角,应先平移向量,使它们的起点相同,再考察其角的大小,而不是简单地看成两条线段的夹角,如例题中与的夹角是120°,而不是60°.变式训练已知|a |=6,|b |=4,a 与b 的夹角为60°,求(a +2b )·(a -3b ).解:(a +2b )·(a -3b )=a ·a -a ·b -6b ·b =|a |2-a ·b -6|b |2=|a |2-|a ||b |cos θ-6|b |2=62-6×4×cos60°-6×42=-72.例2 已知|a |=3,|b |=4,且a 与b 不共线,当k 为何值时,向量a +k b 与a -k b 互相垂直?解:a +k b 与a -k b 互相垂直的条件是(a +k b )·(a -k b )=0,即a 2-k 2b 2=0.∵a 2=32=9,b 2=42=16,∴9-16k 2=0.∴k =±. 也就是说,当k =±时,a +k b 与a -k b 互相垂直. AB BC CA 3AB BC BC CA CA AB AB BC CA BC BC CA AB 2321AB BC BC CA CA AB AB BC BC CA CA AB 33AB BC 4343点评:本题主要考查向量的数量积性质中垂直的充要条件.变式训练已知向量a 、b 满足:a 2=9,a ·b =-12,求|b |的取值范围.解:∵|a |2=a 2=9,∴|a |=3.又∵a ·b =-12,∴|a ·b |=12.∵|a ·b |≤|a ||b |,∴12≤3|b |,|b |≥4.故|b |的取值范围是［4,+∞).思路2例1 已知在四边形ABCD 中,=a ,=b ,=c ,=d ,且a ·b =c ·d =b ·c =d ·a ,试问四边形ABCD 的形状如何？解:∵+++=0,即a +b +c +d =0,∴a +b =-(c +d ).由上可得(a +b )2=(c +d )2,即a 2+2a ·b +b 2=c 2+2c ·d +d 2.又∵a ·b =c ·d ,故a 2+b 2=c 2+d 2.同理可得a 2+d 2=b 2+c 2.由上两式可得a 2=c 2,且b 2=d 2,即|a |=|c |,且|b |=|d |,也即AB =CD ,且BC =DA ,∴ABCD 是平行四边形.故=,即a =-c .又a ·b =b ·c =-a ·b ,即a ·b =０,∴a ⊥b ,即⊥.综上所述,ABCD 是矩形.点评:本题考查的是向量数量积的性质应用,利用向量的数量积解决有关垂直问题,然后结合四边形的特点进而判断四边形的形状.例2 已知a ,b 是两个非零向量,且|a |-|b |=|a +b |,求向量b 与a -b 的夹角.活动:教师引导学生利用向量减法的平行四边形法则,画出以a ,b 为邻边的ABCD ,若=a ,=b ,则=a +b ,=a -b .由|a |-|b |=|a +b |,可知∠ABC =60°,b 与所成角是150°.我们还可以利用数量积的运算,得出向量b 与a -b 的夹角,为了巩固数量积的有关知识,我们采用另外一种角度来思考问题,教师给予必要的点拨和指导,即由cos 〈b ,a -b 〉=作为切入点,进行求解.解:∵|b |=|a +b |,|b |=|a |,∴b 2=(a +b )2.AB BC CD DA AB BC CD DA AB CD -AB BC AB CB CA DB DB ||||)(b a b b a b --•∴|b |2=|a |2+2a ·b +|b |2.∴a ·b =-|b |2. 而b ·(a -b )=b ·a -b 2=|b |2-|b |2=|b |2,① 由(a -b )2=a 2-2a ·b +b 2=|b |2-2×()|b |2+|b |2=3|b |2, 而|a -b |2=(a -b )2=3|b |2,∴|a -b |=3|b |.②∵cos 〈b ,a -b 〉= 代入①②,得cos 〈b ,a -b 〉=-. 又∵〈b ,a -b 〉∈［0,π］,∴〈b ,a -b 〉=. 点评:本题考查的是利用平面向量的数量积解决有关夹角问题,解完后教师及时引导学生对本解法进行反思、总结、体会.变式训练设向量c =m a +n b (m ,n ∈R ),已知|a |=2,|c |=4,a ⊥c ,b ·c =-4,且b 与c 的夹角为120°,求m ,n 的值. 解:∵a ⊥c ,∴a ·c =0.又c =m a +n b ,∴c ·c =(m a +n b )·c ,即|c |2=m a ·c +n b ·c .∴|c |2=n b ·c .由已知|c |2=16,b ·c =-4,∴16=-4n .∴n =-4.从而c =m a -4b .∵b ·c =|b ||c |cos120°=-4,∴|b |·4·()=-4.∴|b |=2. 由c =m a -4b ,得a ·c =m a 2-4a ·b ,∴8m -4a ·b =0,即a ·b =2m .①再由c =m a -4b ,得b ·c =m a ·b -4b 2.∴m a ·b -16=-4,即m a ·b =12.②联立①②得2m 2=12,即m 2=6.∴m =±.故m =±,n =-4.（四）课堂小结1.先由学生回顾本节学习的数学知识,数量积的定义、几何意义,数量积的重要性质,数量积的运算律.2.教师与学生总结本节学习的数学方法,归纳类比、定义法、数形结合等.在领悟数学思想方法的同时,鼓励学生多角度、发散性地思考问题,并鼓励学生进行一题多解.（五）作业 2121-23-21-,||||)(b a b b a b --•2323||3||||2-=•b b b 65π221-66。
《向量的数量积》教案
诚西郊市崇武区沿街学校向量的数量积|||cos F s θ〔其中F 与s 的夹角〕．〔二〕新课讲解： ．向量的夹角：a 和b 〔如图〕，作OA a =，OB b =，那么θ〔0180θ≤≤〕叫做向量a 与b 的夹角。
0时，a 与b 同向； 180时，a 与b 反向；90时，a 与b 的夹角是90，我们说a 与b 垂直，记作a ⊥b ． ．向量数量积的定义：两个非零向量a 和b ，它们的夹角为θ，那么数量||||cos a b θ⋅⋅叫做a 与b 的数量积〔或者者内积〕，记作a b ⋅，即||||cos a b a b θ⋅=⋅⋅．说明：①两个向量的数量积是一个数量，这个数量的大小与两个向量的长度及其有关；②实数与向量的积与向量数量积的本质区别：两个向量的数量积是一个数数与向量的积是一个向量； 〕投影的概念：OA a =，，过点|cos b θ．|cos b θ叫做向量b 在a 方向上的投影，当θ为锐角时，它是正值；当A abθ〔图2〕 aABbθ 1B OAbaθ b1()BθsF是一负值；当时，它是0；当0θ=时，它是||b ；当180θ=时，它是||b -a b ⋅的几何意义：数量积a b ⋅等于a 的长度||a 与b 在a 的方向上的投影||cos b θ的乘积。
【练习】：①||5a =，||4b =，a 与b 的夹角120θ=，那么a b ⋅=10-；②||4b =，a 在b 上的投影是1||2b ，那么a b ⋅=8；③||5a =，||4b =，32a b ⋅=-，那么a 与b 的夹角θ=135．〕数量积的性质：a 、b 都是非零向量，θ是a 与b 的夹角，那么 cos ||||a ba b θ⋅=；②当a 与b 同向时，||||a b a b ⋅=；当a 与b 反向时，||||a b a b ⋅=-；特别地：2||a a a ⋅=或者者||a a a =⋅；||||||a b a b ⋅≤； a b ⊥0a b ⇔⋅=；假设e 是与b 方向一样的单位向量，那么 ||cos e a a e a θ⋅=⋅=． ．例题分析：ABC ∆的边长为2，设BC a =，CA b =，AB c =，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅． 解：如图，a 与b 、b 与c 、a 与c 夹角为120， ∴原式||||cos120||||cos120||||cos120a b b c a c =⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅1()362⨯-⨯=-．|3a =，||3b =，||23c =，且0a b c ++=，求a b b c c a ⋅+⋅+⋅．解：作AB c =，BC a =，∵0a b c ++=，∴CA b =，∵||||||||||||a b c a b -<<+且222||||||c a b =+， ∴ABC ∆中，90C =，∴3tan 3A =，∴30A ∠=，60B ∠=， 所以，323cos150323cos1209312a b b c c a ⋅+⋅+⋅=⨯+⨯=--=-假设非零向量a 与b 满足||||a b a b +=-，那么a b ⋅=0．C AAB C。
平面向量的数量积教案
平面向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解平面向量的数量积的定义及其几何意义。
2. 掌握平面向量的数量积的计算公式及运算性质。
3. 学会运用平面向量的数量积解决实际问题。
二、教学内容：1. 平面向量的数量积的定义向量的数量积又称点积，是指两个向量在数量上的乘积。
对于平面向量a和b，它们的数量积定义为：a·b = |a||b|cosθ，其中|a|和|b|分别表示向量a和b的模长，θ表示向量a和b之间的夹角。
2. 平面向量的数量积的几何意义（1）向量a和b的夹角为θ时，它们的数量积|a||b|cosθ表示在平行四边形法则下，向量a和b共同作用于某一点产生的合力的大小。
（2）向量a和b的夹角为90°时，它们的数量积为0，表示向量a和b垂直。
3. 平面向量的数量积的计算公式及运算性质（1）计算公式：a·b = |a||b|cosθ（2）运算性质：①交换律：a·b = b·a②分配律：a·(b+c) = a·b + a·c③数乘律：λa·b = (λa)·b = λ(a·b)三、教学重点与难点：1. 教学重点：平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 教学难点：平面向量的数量积的几何意义的理解及应用。
四、教学方法：1. 采用讲授法，讲解平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 利用多媒体课件，展示平面向量的数量积的图形演示，增强学生的直观感受。
3. 结合例题，引导学生运用平面向量的数量积解决实际问题。
五、课后作业：1. 理解并掌握平面向量的数量积的定义、几何意义、计算公式及运算性质。
2. 完成课后练习题，巩固所学知识。
3. 思考如何运用平面向量的数量积解决实际问题。
六、教学案例与分析：1. 案例一：在平面直角坐标系中，有两个向量a = (3, 2)和b = (4, -1)，求向量a和b的数量积。
3.1.3空间向量的数量积运算(优秀经典公开课比赛教案)
3.1.3空间向量的数量积运算一、教材分析：“3.1空间向量及其运算”包括空间向量的定义、空间向量的加减运算、空间向量的数乘运算、空间向量的数量积运算、空间向量的正交分解及其坐标表示、空间向量运算的坐标表示等内容。
在学生掌握了空间向量加法运算的基础上，学习空间向量的数乘运算应无困难。
教科书在本小节首先类比平面向量的数乘运算引入空间向量的数乘运算以及数乘运算的分配律和结合律。
进而分别给出了空间向量共线和共面的定义，并进一步研究了空间向量共线和共面的问题。
二、教学目标：1、掌握空间向量夹角和模的概念及表示方法；2、掌握两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；3、掌握两个向量数量积的主要用途，会用它解决立体几何中的一些简单问题.三、教学重点：两个向量的数量积的计算方法及其应用．四、教学难点：向量运算在几何证明与计算中的应用．五、教学准备1、课时安排：1课时2、学情分析：3、教具选择：六、教学方法：七、教学过程1、自主导学：2、合作探究（一）、复习引入1.复习平面向量数量积定义：2. 平面向量中有两个平面向量的数量积，与其类似，空间两个向量也有数量积.（二）、新课讲授1. 两个非零向量夹角的概念：已知两个非零向量a 与b ，在空间中任取一点O ，作OA ＝a ，OB ＝b ，则∠AOB 叫做向量a 与b 的夹角，记作＜a ,b ＞．说明：⑴规定：0≤＜a ，b ＞π≤． 当＜a 、b ＞＝０时，a 与b同向； 当＜a 、b ＞＝π时，a 与b 反向；当＜a 、b ＞＝2π时，称a 与b 垂直，记a ⊥b ． ⑵ 两个向量的夹角唯一确定且＜a ,b ＞＝＜b ,a＞．⑶ 注意：①在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的．②＜a ,b ＞≠(a ,b )2. 两个向量的数量积：已知空间两个向量a 与b ，|a ||b |cos ＜a 、b ＞叫做向量a 、b 的数量积，记作a ·b ，即 a ·b ＝|a ||b |cos ＜a ,b ＞. 说明：⑴零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝０；⑵符号“· ”在向量运算中不是乘号，既不能省略，也不能用“×”代替. 几何意义：已知向量AB ＝a 和轴l ，e 是l 上和l 同方向的单位向量．作点A 在l 上的射影A ′，点B 在l 上的射影B ′，则''A B 叫做向量AB 在轴l 上或在e 方向上的正射影，简称射影．可以证明：''A B ＝｜AB ｜cos ＜a ,e ＞＝a ·e ．说明：一个向量在轴上的投影的概念，就是a ·e 的几何意义．3. 空间数量积的性质：根据定义，空间向量的数量积和平面向量的数量积一样，具有以下性质：⑴a ·e ＝｜a ｜·cos ＜a ,e ＞； ⑵a ⊥b ⇔a ·b ＝０⑶当a 与b 同向时，a ·b ＝｜a ｜·｜b ｜； 当a 与b 反向时，a ·b ＝－｜a ｜·｜b ｜.特别地，a ·a ＝｜a ｜2或｜a ｜＝2a a a ⋅=.⑷cos ＜a ,b ＞＝a ba b ⋅⋅; ⑸｜a ·b ｜≤｜a ｜·｜b ｜.4. 空间向量数量积的运算律：与平面向量的数量积一样，空间向量的数量积有如下运算律：⑴(λa )·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb ) (数乘结合律)； ⑵ a ·b ＝b ·a (交换律)；⑶a ·(b ＋c )＝a ·b ＋a ·c (分配律)说明：⑴(a ·b )c ≠a （b ·с）；⑵有如下常用性质：a 2＝｜a ｜2，(a ＋b )2＝a 2＋２a ·b ＋b 2例题讲解：课本91页：例2、例33、巩固训练：课本92页：练习4、拓展延伸：5、师生合作总结：（1）空间向量夹角和模的概念及表示方法（2）两个向量数量积的概念、性质和计算方法及运算律；八、课外作业：课本97页：习题3.1 A组 4九、板书设计：。
向量的数量积教案
向量的数量积教案教案标题：向量的数量积教案一、教学目标：1. 理解向量的数量积的概念和性质；2. 掌握向量的数量积的计算方法；3. 运用向量的数量积解决几何和物理问题。
二、教学准备：1. 教材：教科书、教学参考书；2. 教具：黑板、白板、教学投影仪、计算器；3. 知识点讲解的例题和练习题。
三、教学过程：1. 导入（5分钟）向学生简要介绍向量的数量积是什么，为何重要以及在哪些应用中会使用到，引发学生对本课内容的兴趣。
2. 理论讲解（15分钟）对向量的数量积的概念进行详细的讲解，包括定义、计算公式、性质等。
强调其与向量的夹角之间的关系和两个向量之间数量积的几何意义。
3. 示例演练（20分钟）通过几个具体的例子，让学生熟悉如何计算向量的数量积，重点讲解一些常见的特殊情况，如零向量与其他向量的数量积为零等。
4. 练习与巩固（15分钟）提供一定数量的练习题，让学生独立完成，巩固所学知识。
教师可以根据学生的进度进行辅导和解答。
5. 拓展应用（10分钟）引导学生思考如何应用向量的数量积解决几何和物理问题，如求两条直线的夹角、判断两条向量的垂直关系等。
6. 总结与讨论（5分钟）与学生一起总结本节课的重点内容和要点，解答学生提出的问题。
可以进行小组或全班讨论，鼓励学生发表观点和提出疑问。
四、课堂作业：布置一定数量的课后作业，要求学生综合应用向量的数量积解答问题。
可以包括计算题和应用题。
五、板书设计：在黑板或白板上，清晰地书写本节课的重点知识和公式，以供学生复习和记忆。
六、教学反思：通过本节课的教学，学生掌握了向量的数量积的计算方法和应用技巧，提高了解决问题的能力。
在以后的教学中，可以结合具体应用情境，引导学生进一步思考和探索向量的数量积的应用。
《平面向量的数量积及运算律》教案及说明
5.平面向量数量积的运算律:
（1）
（2）数乘向量的结合律：( ) = ( ) = ( )
（3）分配律：( + ) = +
（引导学生利用数量积的定义证明）
不满足结合律: （作为思考题留给学生课余去证明）
（三）例题讲解
例1、求证：
（1）
（2）
例2、
（四）巩固练习
1、判断正误，说明理由。
①若 = ，则对任一向量 ，有 · =0；
平面向量的数量积及运算律
一、教学目标
1.正确理解平面向量的数量积的概念，能够运用这一概念求两个向量的数量积，并能根据条件逆用等式求向量的夹角；
2.掌握平面向量的数量积的5条重要性质及运算律，并能运用这些性质解决有关问题；
3.通过平面向量的数量积的概念，几何意义，重要性质及运算律的应用，培养学生的应用意识.
二、教学重点，教学难点
教学重点平面向量的数量积的概念、重要性质及运算律
教学难点平面向量的数量积的重要性质及运算律的理解和应用.
三、教具三角尺，实物投影仪，多媒体
四、教学方法
启发引导式
本节学习的关键是启发学生理解平面向量数量积的定义，理解定义之后便可引导学生推导数量积的性质及运算律，然后通过习题加深学生对于平面向量数量积的认识.
②若 ≠ 则对任一 ≠ ，有 · ≠0；
③若 ≠ ， · =0，则 ；
④若 · =0，则 ， 中至少有一个为 ；
⑤对任一向量 ，有 ； ⑥
2、已知 =4， =5，当① // ② ⊥ ③ 与 的夹角为 时，分别求 与 的数量积。
（五）归纳小结：
1、平面向量的夹角：
（1）两向量要共起点； （2）范围：
2、平面向量的数量积定义和几何意义；
【教案】向量的数量积教学设计-2022-2023学年高一下学期数学人教A版(2019)必修第二册
§6.2.4向量的数量积一、内容和内容解析内容：向量的数量积．内容解析：本节是高中数学人教A版必修2第六章第2节的第四课时内容．教材以物理中力作功为背景引入向量的数量积，与向量的加法、减法、数乘运算一样有明显的几何意义，用途广泛，但与向量的线性运算不同的是，数量积的运算结果是数量而不是向量.会计算两个向量的数量积，提升数学抽象的核心素养.通过探究投影向量的表达式，进而得到数量积的几何意义，提升直观想象，逻辑推理的核心素养.二、目标和目标解析目标：（1）通过物理中“功”等实例，理解平面向量数量积的概念及其物理意义，会计算平面向量的数量积．（2）通过几何直观，了解平面向量投影的概念以及投影向量的意义．（3）会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．目标解析：（1）能从物理中“功”的具体实例中，引出向量的数量积的概念，能依据数量积的概念计算平面向量的数量积，并能像了解实数的运算律一样，通过具体实例了解向量数量积的性质．（2）能从图形中判断向量投影与投影向量，知道向量投影是一种正交变换，并能表示投影向量与原向量之间的关系，能借助向量投影与投影向量体会向量数量积的几何意义．（3）知道两个平面向量的垂直等价于其数量积为零，并能用这一结论进行向量运算．三、教学问题诊断分析1．教学问题一：两个向量夹角的定义是指同一点出发的两个向量所构成的较小的非负角，因此向量夹角定义理解不清而造成解题错误是一些常见的误区．同时利用向量的数量积，可以解决两向量垂直问题，要深刻理解两向量垂直的充要条件，应用的时候才能得心应手．解决方案：数形结合让学生体验夹角的概念，强调夹角一定是共起点的最小角.2．教学问题二：向量的数量积是一种新的向量运算，与向量的加法、减法、数乘运算一样，它也有明显的物理意义、几何意义，用途广泛．但与向量的线性运算不同的是，它的运算结果不是向量而是数量，正是这个不同点沟通了向量运算与数量之间的关系．解决方案：强调两个非零向量的数量积是数量，而不是向量，它的值是两个向量的长度与两个向量夹角的余弦的乘积.3．教学问题三：对于向量的数量积运算，学生容易受实数乘法运算性质的负迁移的影响，可能出现一些错误，教师要尽可能地引导学生举一些反例，纠正错误．解决方案：引导学生借助画图、举反例来澄清认识，体会向量运算与实数运算的差异．基于上述情况，本节课的教学难点定为：数量积的性质及其应用．四、教学策略分析本节课的教学目标与教学问题为我们选择教学策略提供了启示．数量积的概念既是本节课的重点，也是难点.为了突破这一难点，首先无论是在概念的引入还是应用过程中，物理中“功”的实例都发挥了重要作用.其次，作为数量积概念延伸的性质和运算律，不仅能够使学生更加全面深刻地理解概念，同时也是进行相关计算和判断的理论依据.最后，无论是数量积的性质还是运算律，都希望学生在类比的基础上，通过主动探究来发现，因而对培养学生的抽象概括能力、推理论证能力和类比思想都无疑是很好的载体.在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视数量积的概念和运算律，让学生在类比的基础上体会到从特殊到一般是数学抽象的基本过程．因此，本节课的教学是实施数学具体内容的教学与核心素养教学有机结合的尝试．五、教学过程与设计教学环节问题或任务师生活动设计意图创设情境引入新知[问题1]我们已经研究了向量的哪些运算？这些运算的结果是什么？[问题2]我们是怎么引入向量的加法运算的？我们又是按照怎样的顺序研究了这种运算的？[问题3]当力F与运动方向成某一角度时，力F对物体所做的功等于多少呢？教师1：提出问题1．学生1：学生思考．教师2：提出问题2．学生2：学生思考．物理模型→概念→性质→运算律→应用.教师3：提出问题3．学生3：cosW FSθ=使学生在与向量加法类比的基础上明了本节课的研究方法和顺序，为教学活动指明方向.探寻规律，明[问题4]向量的夹角该如何定义？它的范围是什么？教师4：提出问题4．学生4：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点，作OA＝a，OB=b，则∠AOB＝θ叫做向量a与b的夹角.范围是：[0,]π教师5：我们可以用图来表示：通过此环节不仅使学生认识到数量积的结果与线性运算的结果有着本确概念[问题5]你能用文字语言来表述功的计算公式吗?如果我们将公式中的力与位移推广到一般向量，其结果又该如何表述？[问题6]向量的数量积运算与线性运算的结果有什么不同？影响数量积大小的因素有哪些？例1.已知|a|=5，|b|=4，a与b的夹角θ=23π，求a⋅b．例2.设|a|=12，|b|=9，a⋅b=542-，求a与b的夹角θ．当=0，a与b同向；当=，a与b反向；当=2，a与b垂直教师6：提出问题5．学生5：功是力与位移的大小及其夹角余弦的乘积；两个向量的大小及其夹角余弦的乘积.教师7：明确概念：已知两个非零向量a与b，它们的夹角为α，我们把数量︱a︱︱b︱cosα叫做a与b的数量积（或内积），记作：a b⋅，即：a b⋅ =︱a︱︱b︱cosα.规定：零向量与任一向量的数量积均为0.教师8：提出问题6．学生6：数量积的结果是数，线性运算的结果是向量.学生7：影响因素有：模长和夹角.教师9：完成表格：角α的范围00090α≤<090α=0090180α<≤a b⋅的符号学生8：学生思考，完成表格.教师10：追问：你能用数量积的概念解决以下问题吗？学生9：学生思考，完成例题.教师11：引入投影向量：如图，设a,b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，作如下变换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A1，B1，得到11AB，质的不同，而且认识到向量的夹角是决定数量积结果的重要因素，为下面更好地理解数量积的性质和运算律做好铺垫.通过例题巩固数量积的概念．这样做不仅让学生从“形”的角度重新认识数量积的概念，从中体[问题7]如图，在平面内任取一点O，作OM=a,ON=b,设与b方向相同的单位向量为e,a与b的夹角为，过点M作直线ON的垂线，垂足为M1，则1OM等于什么？[问题8]数量积的几何意义是什么？【练习】已知非零向量a与b 的夹角为45°，|a|=2，与b方向相同的单位向量为e,向量a在向量b上的投影向量为c,则c= .[问题9]根据数量积的概念，数量积有哪些性质？[问题10]类比数的乘法运算律，结合向量的线性运算的运算律，你能得到数量积运算的哪我们称上述变换为向量a向向量b投影，11AB叫做向量a在向量b上的投影向量.教师12：提出问题7.学生10：1OM=|a|cos e.教师13：提出问题8.学生11：a b⋅=b⋅a在b上的投影向量.教师14：完成练习学生12：c=|a|cos45°e=222e=2e.教师15：提出问题9：师生共同总结数量积的性质：(1) a⋅e=e⋅a=| a|cos.(2)a⊥b⇔a⋅b＝0.(3)当a与b同向时，a⋅b＝|a||b|；当a与b反向时，a⋅b＝－|a|b|.(4) a·a＝a2=|a|2或|a|＝a·a＝a2.(5)| a⋅b|≤|a||b|.(6)cosθ＝a·b|a||b|.学生结合数量积的定义自己尝试推证上述性质，教师会数量积与向量投影的关系，同时也更符合知识的连贯性.结合数量积、投影的概念和几何意义，让学生自己尝试得到数量积些运算律？能否证明一下？给予必要的补充和提示，学生在推导过程中理解并记忆这些性质.教师16：提出问题10：学生13：教师17：表格中的结论有没有问题？学生14：数量积的结合律一般不成立，因为(a·b)·c是一个与c共线的向量，而(a·c)·b是一个与b共线的向量，两者一般不同．教师18：向量数量积的运算律交换律a·b＝b·a对数乘的结合律(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)分配律(a＋b)·c＝a·c＋b·c 的性质，培养学生独立思考的能力．有了运算方法就有运算律，通过问题让学生理解平面向量数量积运算律，并运用投影向量的性质证明数量积的分配律．典例探究落实巩固1.求投影向量例3.已知|a|＝4，e为单位向量，它们的夹角为2π3，则向量a在向量e上的投影向量是______；向量e在向量a上的投影向量是________．2.利用数量积解决向量的夹角和垂直问题例4.已知非零向量a，b满足|b|＝4|a|，且a⊥(2a＋b)，则a与b的夹角为()教师19：完成例3学生15：向量a在向量e上的投影向量是|a|cosθe=4cos2π3e=－2e.因为与向量a方向相同的单位向量为aa=14a，所以向量e在向量a上的投影向量是|e|cosθaa=cos2π314a=－18a.教师20：完成例4学生16：由题意，得a·(2a＋b)＝2a2＋a·b＝0，即a·b通过例题，让学生熟悉向量数量积的运算．A ．π3B ．π2C ．2π3D ．5π63利用数量积求向量的模例5.已知|a |＝|b |＝5，向量a 与b 的夹角为π3，求|a ＋b |，|a －b |的值．[课堂练习1] 设向量a ，b 满足|a +b|=10|a -b|=6，则 a·b =（ ）．A ．1B ．2C ．3D ．5 [课堂练习2]设向量a ，b 满足|a |=|b |=1，a·b =14-,则|a +2b|=_____.＝－2a 2，设a 与b 的夹角为θ，则cos θ＝a ·b |a |·|b |＝－2a 24a 2＝－12，所以θ＝2π3，故选C ．教师21：完成例5学生17：因为a 2＝|a |2＝25，b 2＝|b |2＝25，a·b ＝|a||b |cos θ＝5×5×cos π3＝252，所以|a ＋b |＝(a ＋b )2＝a 2＋b 2＋2a·b ＝25＋25＋25＝53，|a －b |＝(a －b )2＝a 2＋b 2－2a·b ＝25＋25－25＝5.教师18：布置课堂练习1、2． 学生16：完成课堂练习，并订正答案．课堂练习1：考查学生对平面向量数量积运算的掌握情况课堂练习2： 考查学生通过平面向量数量积运算求向量的模的能力． 课堂小结[问题11]通过这节课，你学到了什么知识？在解决问题时，用到了哪些数学思想？[课后练习]1.若|m |＝4，|n |＝6，m 与n 的夹角为135°，则m ·n ＝( ) A ．12 B ．12 2教师19：提出问题11． 学生17：思考.教师20：布置课后练习师生共同回顾总结：引领学生感悟数学认知的过程，体会数学核心素养．升华认知 C．－12 2 D．－122.若向量a与b的夹角为60°，|b|＝4，且(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a的模为()A．2B．4C．6 D．123.已知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝k a－4b，c与d垂直，则k的值为()A．－6 B．6C．3 D．－34.已知|b|＝5，a·b＝12，则向量a在向量b上的投影向量为________．学生18：学生课后进行思考，并完成课后练习．答案：C，C，B，1225b课后练习：巩固定理，是对本节知识的一个深化认识，同时也为下节内容做好铺垫．。
数学空间向量的数量积与向量积教案
数学空间向量的数量积与向量积教案导言：数学中的向量是一种重要的概念，它具有方向和大小，在解决实际问题中起着重要的作用。
本教案将重点介绍数学空间向量的数量积与向量积的概念、性质和应用，并通过具体的案例进行讲解，帮助学生加深对这两个概念的理解和运用能力。
一、数学空间向量的数量积1. 数学空间向量的定义数学空间中的向量可以表示为有序的数对、数三元组或数四元组。
例如，向量a可以表示为(a₁, a₂, a₃)。
数量积是两个向量的乘积，表示为a·b，其结果是一个标量。
2. 数量积的计算方法设a=(a₁, a₂, a₃)和b=(b₁, b₂, b₃)为数学空间中的向量，则其数量积a·b的计算方法为a·b=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃。
3. 数量积的性质- 交换律：a·b=b·a- 结合律：(ka)·b=a·(kb)=k(a·b)，其中k为标量- 零向量：零向量与任意向量的数量积都为04. 数量积的几何意义数量积的计算结果等于向量a在向量b上的投影长度与向量b 的模长的乘积。
二、数学空间向量的向量积1. 数学空间向量的定义向量积又称为叉乘，是两个向量的乘积，其结果是一个新的向量。
设向量a和b在空间中的夹角为θ，向量a和b的向量积表示为a×b，其方向满足右手法则。
2. 向量积的计算方法设a=(a₁, a₂, a₃)和b=(b₁, b₂, b₃)为数学空间中的向量，则它们的向量积a×b的计算方法为a×b=(a₂b₃-a₃b₂, a₃b₁-a₁b₃, a₁b₂-a₂b₁)3. 向量积的性质- 交换律：a×b=-(b×a)- 结合律：(ka)×b=a×(kb)=k(a×b)，其中k为标量- 零向量：向量a与自身的向量积为零向量4. 向量积的几何意义向量积的模长等于以向量a和向量b为邻边的平行四边形的面积，方向垂直于向量a和向量b所在的平面。
辽宁省高级中学高中数学(人教B版)选修2-1教案：3.1.3向量的数量积2
2分钟
(2)设θ＝〈a，b〉＝120°，|a|＝3，|b|＝4，求：
①a·b；②(3a－2b)·(a＋2b)．
跟踪训练1已知a，b均为单位向量，它们的夹角为60°，那么|a＋3b|等于()
A. B.
C. D．4
跟踪训练2已知正四面体OABC的棱长为1，求：
(1)( ＋ )·( ＋ )；(2)| ＋ ＋ |.
1、巡视学生作答情况。
2、公布答案。
3、评价学生作答结果。
1、小考本上作答。
2、同桌互批。
3、独立订正答案。
检查学生对本课所学知识的掌握情况。
5分钟
6
布置下节课自主学习任务
7.
板书
8.课后反思
完成优化学案，整理错题
两个向量的数量积
知识点1例1
2例2
学生分类归纳能力有了明显提高，但计算能力和知识的综合运用能力还需提升
①( ＋ ＋ )2＝3 2；
② ·( － )＝0；
③ 与 的夹角为60°.
其中真命题的个数为()
A．1 B．2 C．3 D．0
4．已知a，b为两个非零空间向量，若|a|＝2 ，|b|＝ ，a·b＝－ ，则〈a，b〉＝________.
5．已知正四面体ABCD的棱长为2，E，F分别为BC，AD的中点，则EF的长为________．
2、改正错误
明确本节课听课重点
3分钟
2.承接结果
类型一 空间向量的数量积运算
命题角度1空间向量数量积的基本运算
例1(1)下列命题是否正确？正确的请给出证明，不正确的给予说明．
①p2·q2＝(p·q)2；
②|p＋q|·|p－q|＝|p2－q2|；
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
高二数学教学案
一、预习提纲：
1．空间向量的夹角及其表示、异面直线
2．向量的数量积
3．空间向量数量积的性质
4．空间向量数量积运算律
二、预习达标：
1、=++
，2
=3，4=，则,a b <>r r =______
A 、3π
B 、 4π
C 、2π
D 、32π 2、空间向量a 、b =8，,a b <>r r =3
2π，求 （1）（+2）∙=_____________, （2）（+2）∙(2−)=__________________
三、学案导学：
1．空间向量的夹角及其表示： 已知两非零向量,a b r r ，在空间任取一点O ，作,OA a OB b ==u u u r u u u r r r ，则AOB ∠叫做向量a r 与b r 的夹角，记作,a b <>r r ；且规定0,a b π≤<>≤r r ，显然有,,a b b a <>=<>r r r r ；
若,2
a b π<>=r r ，则称a r 与b r 互相垂直，记作：a b ⊥r r ； ﹡ 异面直线：_______________________________
2．向量的模： 设OA a =u u u r r ，则有向线段OA u u u r 的长度叫做向量a r 的长度或模，记作：||a r ；
3．向量的数量积： 已知向量,a b r r ，则||||cos ,a b a b ⋅⋅<>r r r r 叫做,a b r r 的数量积，记作a b ⋅r r ，即a b ⋅=r r ||||cos ,a b a b ⋅⋅<>r r r r ． 已知向量AB a =u u u r r 和轴l ，e r 是l 上与l 同方向的单位向
量，作点A 在l 上的射影A '，作点B 在l 上的射影B '，则A B ''u u u u r 叫做向量AB u u u r 在轴l 上或在e r 上的正射影；可以证明A B ''u u u u r 的长度||||cos ,||A B AB a e a e ''=<>=⋅u u u u r u u u r r r r r ．
4．空间向量数量积的性质： （1）||cos ,a e a a e ⋅=<>r r r r r ． （2）0a b a b ⊥⇔⋅=r r r r ． （3）2||a a a =⋅r r r ．
5．空间向量数量积运算律： （1）()()()a b a b a b λλλ⋅=⋅=⋅r r r r r r ． （2）a b b a ⋅=⋅r r r r （交换律）．
（3）()a b c a b a c ⋅+=⋅+⋅r r r r r r r （分配律）．
四、典例剖析：
例1．用向量方法证明：直线和平面垂直的判定定理。
已知：,m n 是平面α内的两条相交直线，直线l 与平面α的交点为B ，且,l m l n ⊥⊥
求证：l α⊥．
证明：在α内作不与,m n 重合的任一直线g ， 在,,,l m n g 上取非零向量,,,l m n g r r r r ，∵,m n 相交， ∴向量,m n r r 不平行，由共面定理可知，存在 唯一有序实数对(,)x y ，使g xm yn =+r r r ， ∴l g xl m yl n ⋅=⋅+⋅r r r r r r ，又∵0,0l m l n ⋅=⋅=r r r r ， ∴0l g ⋅=r r ，∴l g ⊥r r ，∴l g ⊥，
所以，直线l 垂直于平面内的任意一条直线，即得l α⊥．
例2．已知空间四边形ABCD 中，AB CD ⊥，AC BD ⊥，求证：AD BC ⊥． 证明：（法一）()()AD BC AB BD AC AB ⋅=+⋅-u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 2AB AC BD AC AB AB BD =⋅+⋅--⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ()0AB AC AB BD AB DC =⋅--=⋅=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ．
l m n m n g g l
（法二）选取一组基底，设,,AB a AC b AD c ===u u u r r u u u r r u u u r r ， ∵AB CD ⊥，∴()0a c b ⋅-=r r r ，即a c b a ⋅=⋅r r r r ， 同理：a b b c ⋅=⋅r r r r ，， ∴a c b c ⋅=⋅r r r r ， ∴()0c b a ⋅-=r r r ，∴0AD BC ⋅=u u u r u u u r ，即AD BC ⊥．
说明：用向量解几何题的一般方法：把线段或角度转化为向量表示，并用已知向量表示未知向量，然后通过向量运算取计算或证明。
例3．如图，在空间四边形OABC 中，8OA =，6AB =，4AC =，5BC =，45OAC ∠=o ，60OAB ∠=o ，求OA 与BC 的夹角的余弦值。
解：∵BC AC AB =-u u u r u u u r u u u r ， ∴OA BC OA AC OA AB ⋅=⋅-⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ||||cos ,||||cos ,OA AC OA AC OA AB OA AB =⋅⋅<>-⋅⋅<>u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r
84cos13586cos12024=⨯⨯-⨯⨯=-o o
∴cos ,||||OA BC OA BC OA BC ⋅<>===⋅u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r ， 所以，OA 与BC
． 说明：由图形知向量的夹角时易出错，如,135OA AC <>=o u u u r u u u r 易错写成,45OA AC <>=o u u u r u u u r ，切记！
五、当堂达标：
课本88页练习A 1、2、3
六、课堂小结：
七、课后巩固：
1、若、是两个非零向量，且2∙ =2∙ ，则、的关系是______
A 、相等
B 、共线不一定相等
C 、不共线
D 、、为任意非零向量
2、b +=λ+=，,a b <>r r =4
3π，⊥ ，求实数λ的值
3．已知向量a b ⊥r r ，向量c r 与,a b r r 的夹角都是60o ，且
||1,||2,||3a b c ===r r r ， 试求：（1）2()a b +r r ；（2）2(2)a b c +-r r r ；（3）(32)(3)a b b c -⋅-r r r r ．
4．正方体ABCD —1111D C B A 中，求异面直线1BA 与AC 所成的角。