电磁场与电磁波 第9章

2 A k2 A J
2j k 2j
式中k2=ω2με。式(5-78)和(5-79)称为非齐次亥姆霍兹方程。时 谐场中，电荷源ρ和电流源J之间以电流连续性方程为
J j
将ρ与J联系起来，而标量位j和矢量位A之间也存在一定的关
系，这一关系就是洛仑兹条件(式(5-78))
A j j
e jkR R
j(r)
R
Ra
a 2d
Ñ
S2
j(r)
1 R2
jk R
e jkR
e jkR R
j(r)
R
R
a
a
2dΩ
令a小球面S2收缩成点P。考虑到
j
R
有限，上式中的积分只
剩下被积函数是j(r′)·e－jkR/R2的一项不等于零。此时小球面
S2上任一点的j(r′)可以用小球球心处的j(r)代替，从而使上
(9-8)
由于矢量位A的每个直角坐标分量均可用形如上式的积
分表示，于是矢量位的表达式为
Ñ A(r )
4π
V
J
(r R
)
e
jkR
dV
1 4π
A(r ) e jkR
S
R
R
A(r
)
R
e jkR
R
ds
(9-9)
可见，当源分布已知时，可由式(9-8)或式(9-9)求出位函数，其
中的体积分是V内源的贡献； 而面积分是V外源的贡献。上述
[j(r)2Ψ Ψ2j(r)]ddV
V1
S
j(r)
Ψ n
Ψ
j(nr)dds
S2
j(r)
Ψ n
Байду номын сангаас
Ψ
j(nr)dds
(9-7)
式中，在S2上积分时，其面元外法线方向指向小球球心P点，
于是有 ； 面元dS′=a2 dΩ′， dΩ′是dS′对P点所张的立
n
R
体角元。这样，
Ñ S2
j(r)
R
e jkR R
j(r )
1
4π
V
(r R
)
dV
A(r )
4π V
J
(r R
)
dV
9.2 电基本振子辐射场
电基本振子是指载有高频电流的短导线，短是指其长度远小于所辐 射的电磁波的工作波长(l<<λ)，这时导线上各点电流的振幅和相位可视 为相同，但其上的电流分布可以看成是由许多首尾相连的一系列电基本 振子的电流组成的，而各电基本振子上的电流可分别看做常数，因此电 基本振子也称为电流元。电流元辐射场的分析计算是线天线工程计算的 基础。
式变为
蜒 lim
a 0
S2
(r
)
e jkR
R2
R
a2
a
d
(r )
S2
d
4π(r )
将上式代入式(9-7)，并且在其体积分中考虑到式(9-5)和式
(9-6)，可得标量位的表达式为
Ñ (r )
1 4π
V
(r R
)
e
jkR
dV
1 4π
(r ) e jkR
S
R
R
(r
)
R
e jkR R
ds
4π V
J
(r R
)
ejkR
dV
(9-13a)
引入时间因子ejwt后则有
A(r ,t)
4π V
J(r ) R
ej
t
R
dV
(9-13b)
这就是式(5-78)的解。利用上式可求解天线电流在空间激发 的电磁波的分布。
现在讨论式(9-12b)和(9-13b)的物理含义。首先注意到， 当ω=0时，式(9-12b)和(9-13b)都还原到静电场的解
向外传播的电磁波，即
j(r )
1
4π
V
(r )ejkR R
dV
(9-12a)
如果我们把k=ω/v代入上式，并重新引入时间因子ejωt，则得
j(r,t)
1
4π
V
(r R
)
j
e
t
R v
dV
(9-12b)
由于矢量位A可以分解为三个直角坐标分量，它们的解也
具有式(9-12)的形式，因此有
A(r )
根据电流连续性原理，电流元的两端必须同时积聚大小相等、符号 相反的时谐电荷Q，以使 i(t) Q(t) / t Im cos(t j) ，用复量表示，则 有Q=I/jω，(I=Imejj)。为此，电基本振子的实际结构之一是在两端各加 载一个大金属球，如图9-2(a)所示，这也就是早期赫兹实验所用的形式， 所以又称为赫兹电偶极子。普通的短对称振子，两端的电流分布近于零 (相当于开路端)，其电流沿导线的分布是不均匀的，而是呈现如图9-2(b) 所示的三角形分布。
2j(r) k 2j(r) (ρ)
(9-6)
再令w=Ψ，且R=|r－r′|，如图9-1所示。r是场点；r′是源点，
亦即格林定理中的积分变点。
图9-1 求解式(9-6)用图
再将j和Ψ带入格林定理积分时，需暂时排除Ψ的奇点
R=0(r=r′)，因为这时Ψ在P点不连续，从而不满足格林定理 对被积函数的要求。为此，以P点为球心，作半径为a的小 球，其表面为S2，体积为V2，如图9-1所示。于是积分在体 积V1=V－V2及其表面S1=S+S2上进行：
结论首先是由亥姆霍兹得出，故称为亥姆霍兹积分。
考虑无限空间的电磁场问题时，取以R为半径的球面作 为S，dS′=R2 dΩ′，这时式(9-8)中的面积分可以写成
蜒 S
R
j
R
jk
e jkR dΩ
je jkR dΩ
S
(9-10)
而要排除在无限远处的场源(设无限远处的场源为零)，就必
须使上式为零。为此，要求R→∞ 时
采用格林定理
(u2w w2u)ddvv (uw wu) dSS (9-3)
V
S
求式(5-79)中的标量位j，并且导出辐射条件。这里u、w以及
它们的一阶和二阶导数在V内连续。
容易验证标量函数
e j kR Ψ
R
(9-4)
满足齐次亥姆霍兹方程
2Ψ k 2Ψ 0
(9-5)
令格林定理中的u代表标量位j，即u= j ， j满足式(5-79)，即
lim R j 有限值
R
(9-11a)
在这个限制条件下，又要求式(9-10)的第二项积分等于
零，即要求在远离场源处标量位j至少按R－1减少； 第一项
积分在满足
lim R
R
j
R
j
kj
0
(9-11b)
9.1.2 滞后位
标量位j满足辐射条件式(9-11b)时，排除无限远处的场 源，于是式(9-8)右边的面积分一项为零，标量位j(r)仅表示
第9章 电磁波的辐射及天线基础
9.1 滞后位 9.2 电基本振子辐射场 9.3 磁基本振子的辐射场 9.4 天线的基本电参数 9.5 互易定理 9. 6 线形天线 9.7 天线阵 9.8 面天线基本理论
9.1 滞 后 位
在第5章中，已经引入了时变电磁场的标量位j和矢量
位A。对于时谐场，它们与电荷源ρ和电流源J之间的关系为 (式(5-79)和式(5-80))
电磁场与标量位j和矢量位A之间的关系式为
B A
(9-1)
E
j
( k 2
A)
A
可见，只要解出式(5-78)中的A，就可以由式(9-1)和式(9-2)求 出B和E。
9.1.1 亥姆霍兹积分及辐射条件
下面我们来求式(5-79)中的标量位j。对于式(5-78)，可
以在直角坐标系中把矢量位A分解为三个分量，得到三个与 式(5-79)形式相同的标量方程，然后直接套用标量位φ的解 法求得。