课时跟踪检测 (三十六) 诱导公式五、六

课时跟踪检测 （三十六） 诱导公式五、六

层级(一) “四基”落实练

1．已知tan α＝2，则cos (π－α)

cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝( )

A ．－1

2

B ．－2 C.12

D ．2

解析：选A cos (π－α)cos ⎝⎛⎭⎫α－π2＝－cos αsin α＝－1tan α＝－1

2.

2．已知cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝1

3，则sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ的值是( ) A.1

3 B ．－1

3

C.233

D ．－

23

3

解析：选A cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝1

3，则sin ⎝⎛⎭⎫5π12＋θ ＝cos ⎝⎛⎭⎫π2－5π12－θ＝cos ⎝⎛⎭⎫π12－θ＝1

3

. 3．化简：sin (2π－α)cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2αcos (π－α)

tan (α－3π)sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αsin ⎝⎛⎭⎫7π6－2α＝( )

A ．－cos α

B ．cos α

C ．sin α

D ．－sin α

解析：选A 原式

＝sin (－α)·cos ⎝⎛⎭⎫π

3＋2α·(－cos α)

tan α·cos α·sin ⎣⎡⎦

⎤3π2－⎝⎛⎭⎫π3＋2α

＝

sin αcos α·cos ⎝⎛⎭

⎫π3＋2αtan αcos α⎣⎡⎦

⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π3＋2α ＝－cos α.

4．若sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ，则cos(270°－α)＋2sin(360°－α)的值是( )

A ．－2a 3

B ．－3a 2

C.2a 3

D ．

3a 2

解析：选B 由sin(180°＋α)＋cos(90°＋α)＝－a ， 得－sin α－sin α＝－a ，即sin α＝a 2，

则cos(270°－α)＋2sin(360°－α) ＝－sin α－2sin α＝－3sin α＝－32a .

5．已知sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫θ－π

2＝0， 则2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－3cos ⎝

⎛⎭⎫θ－3π2cos θ＋4sin θ

＝( )

A ．－3

B ．3

C ．－1

3

D ．0

解析：选A 由sin ⎝⎛⎭⎫3π2＋θ－3cos ⎝⎛⎭⎫θ－π

2＝0， 可得－cos θ－3sin θ＝0，即tan θ＝－1

3.

则2sin ⎝⎛⎭⎫π2＋θ－3cos ⎝

⎛⎭⎫θ－3π

2cos θ＋4sin θ＝2cos θ＋3sin θcos θ＋4sin θ

＝2＋3tan θ1＋4tan θ＝1

－1

3

＝－3. 6．化简：sin(－α－7π)·cos ⎝⎛⎭⎫α－3π

2＝________. 解析：原式＝－sin(7π＋α)·cos ⎝⎛⎭⎫3π2－α

＝－sin(π＋α)·⎣⎡⎦

⎤－cos ⎝⎛⎭⎫π2－α ＝sin α·(－sin α) ＝－sin 2α. 答案：－sin 2α

7．已知α是第四象限角，且sin(5°＋α)＝4

5

，则sin(α－85°)＝________.

解析：因为α是第四象限角，且sin(5°＋α)＝4

5＞0，所以5°＋α是第一象限角，

所以cos(5°＋α)＝

1－sin 2(5°＋α)＝3

5

，

所以sin(α－85°)＝sin(5°＋α－90°) ＝－cos(5°＋α)＝－35.

答案：－3

5

8．tan(45°＋θ)·tan(45°－θ)＝________. 解析：原式＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin (45°－θ)cos (45°－θ)

＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)·sin[90°－(45°＋θ)]

cos[90°－(45°＋θ)] ＝sin (45°＋θ)cos (45°＋θ)cos (45°＋θ)sin (45°＋θ)＝1. 答案：1

9．已知f (α)＝tan (π－α)·cos (2π－α)·sin ⎝⎛⎭⎫π2＋αcos (－α－π).

(1)化简f (α)；

(2)若f ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－3

5，且α是第二象限角，求tan α. 解：(1)f (α)＝－tan α·cos α·cos α

－cos α＝sin α.

(2)由sin ⎝⎛⎭⎫π2－α＝－35，得cos α＝－35， 又α是第二象限角，所以sin α＝1－cos 2 α＝4

5

，

所以tan α＝sin αcos α＝－4

3

.

10．求证：2sin ⎝⎛⎭⎫θ－3π2cos ⎝⎛⎭⎫θ＋π

2－11－2sin 2θ＝tan (9π＋θ)＋1

tan (π＋θ)－1.

证明：左边＝－2cos θ·sin θ－1

sin 2θ＋cos 2θ－2sin 2

θ

＝

－(sin θ＋cos θ)2

(cos θ＋sin θ)(cos θ－sin θ)

＝

sin θ＋cos θ

sin θ－cos θ

，

右边＝tan (8π＋π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1

＝tan (π＋θ)＋1tan (π＋θ)－1＝tan θ＋1tan θ－1 ＝sin θ

cos θ＋1sin θcos θ－1＝sin θ＋cos θsin θ－cos θ， 所以等式成立．

层级(二) 素养提升练

1．若α∈⎝⎛⎭⎫π，3π

2，则 1－sin 2⎝⎛⎭

⎫3π

2－α＝( ) A ．sin α B ．－sin α C ．cos α

D ．－cos α

解析：选B ∵sin ⎝⎛⎭⎫3π2－α＝－cos α，且α∈⎝⎛⎭⎫π，3π

2， ∴

1－sin 2⎝⎛⎭⎫3π2－α＝

1－cos 2α＝|sin α|＝－sin α.

2．已知cos(60°＋α)＝1

3，且－180°＜α＜－90°，则cos(30°－α)的值为( )

A ．－22

3 B ．

22

3 C ．－

23

D ．

23

解析：选A 由－180°＜α＜－90°，得－120°＜60°＋α＜－30°.又cos(60°＋α)＝1

3＞0，

所以－90°＜60°＋α＜－30°，即－150°＜α＜－90°，所以120°＜30°－α＜180°，cos(30°－α)＜0，所以cos(30°－α)＝sin(60°＋α)＝－

1－cos 2(60°＋α)＝－

1－⎝⎛⎭⎫132＝－22

3

. 3．角α与角γ的终边相同，且α是第一象限角，tan γ＝1，β＝α＋90°，则sin β＝________.