力偶系

3、力对点的矩 MO (F) = r×F ——
MO (F) 是定位矢量
|MO (F)| = F h = 2 △OAB 4、合力矩定理
汇交力系的合力对点的矩等于该力系所有分 力对同一点的矩的矢量和。 MO (R) = MO (F1) + MO (F2) + … + MO (Fn )
5、力偶 力偶 —— 由两个等值、反向且不共线的平行力系 组成。记作（ F，F ’）
M1
R
F2 F1
M2
Fn
Mn
M = M1+M2+ … +Mn = ∑M i
证： 设有 n 个力偶，由性质一,总可 得到两个汇交力系，汇交点分别为 A 和 B。
B
RBA
A
Fn
F1 F2
R
M1 + M2 + … + M n = rBA×F1 + rBA×F2 + … + rBA×Fn = rBA×( F1 + F2 + … + Fn ) = rBA×R = M 证毕。
F0 F0
F1
力的作用线分别相交于 a、b 两点， 力 F0 F0 等效地移至 a、b 两点，
= -2△a c b 将 F0 和 F0 分别分解
M ( F1 , F1 ) = -2△a e b
M ( F0 , F0)
c
F2
F0
e
b
∵两三角形同底等高
∴ △a e b = △a c b 得：
M ( F1 , F1 ) = M ( F0 , F0) = - F d
a
F1
F
F2
d
F0
F
(F1 , F1) 的力偶臂也为 d 等效 ∴ F1 = F
•
性质一的实质
（1） 力偶在其作用面内只要力偶矩 不变（即力与力偶臂的积不变），它就可 以随意的转移，也可以增大力的同时减小 力偶臂（或减小力的同时增大力偶臂）， 不改变它对刚体的作用效应。
（2） 力偶的作用面可以随意平行搬 移，不改变它对刚体的作用效应。
C
C
M a A M
C
C
FC
B
A
b
c
B
FA
受力分析
FA
FB
M a 2 b2
解： 由 a : c = b: a 知：AC ⊥CB，
AC为对象，∑M = 0 , FA a 2 b 2 M 0
A B C 考虑CB部分为二力构件，得：
FC FA FB FC
例3-2
图示机构自重不记。圆轮上的销子 A 放在摇杆 BC上 的光滑导槽内。M 1 = 2kNm，OA = r = 0.5m 。图示位置 OA⊥OB，α= 30°，且系统平衡。求作用于摇杆 BC 上力偶的 矩 M 2 及 O、B 支座的反力。
M O (F ) r F x X
y Y
z Z
= ( y Z - z Y ) i + ( z X - x Z ) j + ( x Y - y X )k
2. 合力矩定理
汇交力系的合力对点的矩等于该力系 所有分力对同一点的矩的矢量和。 证：
设 r 为矩心到汇交点的矢径，R 为F1、F2、…、 Fn的合力，即： R = F1 + F2 +…+ Fn 可得： MO (R) = r×R = r×( F1 + F2 +…+ Fn ) = r× F1 + r× F2 + … + r× Fn = MO (F1) + MO (F2) + … + MO (F n ) n 也就是：
力偶对物体的作用效应决定于力偶矩的大小、方 位和转向。 (1)力偶等效定理：作用于刚体上的两力偶，若它 们的力偶矩矢相等，则此二力偶等效。 (2)力偶不能与一个力相平衡 (3)力偶没有合力。
6、力偶的合成与平衡 任意个力偶可以合成为一个合力偶，这个合 力偶矩矢等于各分力偶矩矢的矢量和。 M = M1+M2+ … +M n = ∑M i
• 在平面力偶系中合力偶矩等于各分力偶矩 的代数和。
M = M1+M2+ … + Mn = ∑M i
4 . 力偶系的平衡条件
• 由合成结果可知： 力偶系平衡的充分必要条件是力偶系的合力偶矩 等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零。
Mi 0
i 1
n
•平面力偶系平衡条件：
M
i 1
n
i
0
例3-1 三铰刚架由两直角刚架组成，AC 部分上作用 一力偶，其力偶矩为 M， 自重不计， 且 a : c = b: a， 求A、B支座的反力。 F
•
•
• 这一矢量称作
力偶矩矢
两个力间的垂距 d 称为
1） 其长度表示力偶矩大小；
力偶臂
空间力系因力偶作用面 的方位可能各不相同， 故把力偶用矢量表示。
2）方位与作用面法方向方位 n 同。 3）指向与力偶转向的关系服从 右手螺旋法则。
a.
力偶矩矢是自由矢
B
F’
rB
M d
n
按前述的力偶三要素可知，力偶矩矢可 以平行搬移，且不需确定矢的初端位置。为 进一步说明力偶矩矢为自由矢，显示力偶的 等效性质，可以证明：
（2）解析法求合力
R ( X ) 2 ( Y ) 2 ( Z ) 2
方向余弦
cos(R, i ) = R x / R cos(R, j ) = R y / R cos(R, k ) = R z / R
2、汇交力系的合力
汇交力系平衡的充要条件： R = F1+F2+…FN = 0 即 ΣFi = 0 汇交力系平衡的几何条件： 力多边形自行封闭。 汇交力系平衡的解析条件： ΣXi = 0; ΣYi = 0 ; ΣZi = 0
2. 力偶的性质
性质一
作用于刚体上的两力偶，若它们的力偶矩矢相等， 则此二力偶等效。——力偶等效定理
证：分两部分加以证明 （1）力偶作用面可平行移动而不改变力偶对刚 体的效应。
（2）在同平面内的两力偶，若力偶矩相等，转 向相同，两力偶对刚体的作用彼此等效。
证：设 M (F0 , F0) = M (F , F ) = - F d
力偶对空间任一点的矩都 相等，即等于力偶矩矢。
证：如图求力偶（F，F ’）对任意 点，如 O 点的矩。 画出 O 点到二力作用点 A、B 的矢径
rBA
rA
F A
O
MO ( F, F ) MO ( F ) MO ( F ) r A F rB F
∵F=-F’
(r A rB ) F rBA F
力对点之矩使物体绕矩心逆时针转为 正，反之为负。
b.
空间力系中的力对点的矩 • 空间力系中力对点的 矩需用矢量表示： B n
z
MO(F)
rr h x A
F
1）矢量的模等于力矩的 大小；
2）矢量的方位与力和矩 心组成的平面 的法向 同，矩心为矢起端； 3）矢量的指向确定了转 向，按右手法则。
O
y
矩的矢量记作 MO (F) ，且 MO (F) = r×F —— 定位矢量 显然 | M O (F) | = F h = 2 △OAB 见后续
§3-1 力对点的矩
1. 力对刚体的转动效应用力对点的矩来度量
a.
n
平面力系的力对同平面中的点之矩
B
F r O h A
• 假设力作用在图示 平面内，且 O点也 在此平面内，则力 F 对 O 点的矩为 M O ( F ) = ±F h
或： M O ( F ) =±2△OAB O ——称为矩心 h —— 称为力臂 单位：N· m 或 kN· m
A
FA
α
FA
A B
α α
FO
O M 1
FB
r M2 0 ∑M = 0 ， FA sin
M 2 2r FA
M2 = 4M1 = 8kNm
2M 1 FO FB FA 8kN r
本 章 小 结
1、汇交力系的合力 （1）几何法求合力 R = F1+ F2+…FN = Σ Fi
力偶系平衡的充分必要条件是力偶系的合力 偶矩等于零，即所有力偶矩矢的矢量和等于零。
Mi 0
i 1
n
力对点的矩为零的条件： 要使 | MO (F ) | = 0， 就有r×F =0，得：
1） r = 0 或 r 与 F 共线，即力通过矩心； 2） F = 0
力对点的矩采用行列式可得如下形式：
由： r = x i + y j + z k 和 F = X i + Y j + Z k 可得： i j k
性质三
力偶没有合力。
•证：
仍用反证法，即假定力偶有合力，那么总可找到 一个与此力大小相等，方向相反而作用线共线的 力与此力平衡，即力与力偶相平衡。与性质二矛 盾。
性质一、二和三告诉我们力偶只能与力偶等效 而不能与单个力等效。
•力偶只能与力偶相平衡
3. 力偶系的合成
任意个力偶可以合成为一个 合力偶，这个合力偶矩矢等于各 分力偶矩矢的矢量和。
显见力偶矩的大小为
rBA F Fd
M 为 自 由 矢
所以，力偶对空间任意点的矩矢与矩心无关。
b.
平面力偶系的力偶
若在所研究的问题中，所有的力偶都作用在同一 平面内，则称为平面力偶系。
B d F A
F’ C
将平面力偶系的力偶记作 M (F, F’)，简称 M 。力偶 矩为代数量 即： M = ±F d = ±2△ ACB 以逆时针为正，反之为负，单位与力矩相同。