4空间数据处理(3)—空间数据内插

(2)列方程式，把被选择的数据点带入方
程求系数。
(3)带入待求点的坐标（x，y）求解z
b）最小二乘法
由移动拟合方法延伸出来的方法 • 与移动拟合法方法不同之处： (1)选择的邻近的点的个数，超过待定系
数的个数。
(2)在求未知点时，需要考虑距离未知点
不同距离的样点的权重（作用）。权值
应与距离成反比，间距愈近，对待求点
人口 面积
UA UB UC 35 30 10 7 6 3
A
C1
C B
历史区
A1 B1
现实区
(1)在历史区上叠加满足精度的格网。将历史区内的各格网赋予平 均值。求出： A区每个栅格值为 35／7 = 5.0 B区每个橱格值为 30／6 = 5.0 C区每个栅格值为 10／3 = 3.3 如图所示
人口 面积
计算第一次平滑调整值：各个网点值×分区变化率,得到图12 第一次平滑调整值
5.0
5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0
5.0 3.3 3.3 5.0 5.0
5.0 3.3 3.3 5.0
5.0 5.0 5.0 5.0
5.0 4.6 4.6 5.0 5.0
4.4 4.6 4.2 5.0
。。。。。。
根据系数的求算方法，点插值的方法又分为：
①逐点内插
a)移动拟合法 b)最小二乘法 c)反比距离加权法 d)克里格 / 金法 ②局部函数内插
①逐点内插
a)移动拟合法
是在未知点附近寻找若干个采样参考点，拟合一 个局部函数，内插出该点的值。
• 移动拟合法的过程如下： (1)为了选择邻近的数据点，以待定点P 为圆心，以R为半径圆，凡落在圆内的数 据点即被选用。
• 克里金法假设任何变量的空间变化都可以由下述三 个主要成份的和来表示：①与均值或趋势面有关的
结构部分；②与局部变化有关成份，即配置法中的 随机信号；③随机噪声或者称观测误差。
局部函数内插
局部函数法通常以格网小块为加密区，采用低次项函 数拟合地表面。
a)线性内插 b)双线性多项式内插
c)双三次多项式（样条函数）
j-1+ zi-1, j+1 + zi-1, j -1
) ／8
5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 3.3 5.0 5.0 5.0 3.3 3.3 5.0
x
5.0 5.0
(3)求平滑后的区域内各网格值之和：U1A，U1B，U1C ，
与原来各区域网格值之和相除得到数据的变化率，检
查是否符合要求（即变化率接近1）。
其他任意点或任意分区的值。
即通过已知点或分区的数据推求其它点或其它 分区数据的方法就称为空间数据的内插。
二、空间数据内插方法
根据已知点和已知分区数据的不同，将空间数
据内插分为：
点的内插 区域的内插
1、点的内插
插值目的：由于取样的数据点呈离散分布形
式，或者数据点虽然按格网排列，但格网的
密度不能满足使用的要求，这样就需要以数 据点为基础进行插值运算。
4.2 3.9 4.4 4.2
5.0 5.0 5.0
图 历史区数据
5.3
5.3
图1-1 第一次平滑数据
5.3
4.8
4.6
3.6
4.4
3.0
5.3 5.3
5.3 5.3
4.5 5.3
3.4 4.5
图1-2 第一次平滑调整值
(4) 反复进行（2）、（3）计算，直到数据的变化率满足要求（接近1），或 者相应分区的格网值比较一致时，计算结束。
已知某地区各县中历年的人口分布数据，但因行政区划分使 该地区中某些县的边界线发生了变化，现在需要推算新行政区 中历年的人口分布数据，就可用这种插值方法。
主要方法：
叠置法
比重法
区域插值实现过程： (1)把区域划分成网格，并求每个方格的平均值。 (2)重采样平滑数据。按邻域法平滑数据，计算公式可用四 邻域或八邻域法。 四邻域法公式：zij=(zi+1, j+ zi-1, j+ zi, j+1 + zi, j -1) ／4 八邻域法公式： zij=(zi+1, j+ zi-1, j+ zi, j+1 + zi, j -1 + zi+1, j+1+ zi+1,
PA= UA ／ U1A PB= UB ／ U1B PC= UC ／ U1C (4)若数据变化率不符合要求，各格网值乘以变化率，得 到调整后的格网值，再进行第二次平滑。如此循环，
直到区域数据的变化率满足要求。
例证：区域内插方法-比重法
已知某地区有A、B、C三个区域，并已知该三个区域的面积和人 口数，人口数分别为UA、UB 、UC ，如下图所示。现将该区域重新 划分A1、B1 、C1三个区域，如图，请用区域属性数据的插值法求 A1、B1 、C1三个区域的面积和人口数。
a11xy +a12y +a13x3 +a14x2 +a15x +a16 需要4个格网节点的数据，以及x和y 方向的斜率、曲面的扭曲来定义函数 的待定值。 7
D
Y
6
z
5
C
8
y 4 A x B
X
1
2
3
插值形成地下水位图
2、区域内插
从已知分区的数据(如社会经济数据)中推出同一地区的另一组 分区数据。 如：
4 空间数据处理

4.1 空间数据坐标变换 4.2 空间数据结构的转换 4.3 空间数据内插
一、概述
空间数据内插概念
设已知一组空间数据，它们可以是离散点的形式，也 可以是分区数据的形式，空间数据内插就是从这些数据
中找到一个函数关系式，使该关系最好地逼近这些已知
的空间数据，并能根据该函数关系式推求出区域范围内
5.0 3.3 3.3 5.0 5.0
5.0 3.3 3.3 5.0
5.0 5.0 5.0 5.0
5.0 4.6 4.6 5.0 5.0
4.4 4.6 4.2 5.0
4.2 3.9 4.4 4.2
5.0 5.0 5.0
图 历史区数据
z22 = ( 5.0 + 5.0 + 5.0 +
图1-1 第一次平滑数据
图2-1 第二次平滑值
图2-2 第二次平滑调整值
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(5)当变化率满足要求时，计算目标区的内插值。
现实区内插值如下： A1区：U1A=5.5+5.3+5.5+5.2+4.5 = 26 B1区：U1B=5.5+5.5+4.9+4.5+5.2+4.5 = 30
C1区：U1C=5.1+5.1+4.6+3.5+4.0 = 22
C(i,j+1)
N
D(i+1,j+1)
P
S T
y x
A(i,j) M B(i+1,j)
• c)双三次多项式(样条函数)内插。双三次多项式是一 种样条函数。样条函数是一种分段函数,可用于精确
的内插，可以保留微地貌特征。
• 双三次多项式内插的多项式函数为：
Zp=a1x3y3+a2x2y3+a3xy3+a4y3+a5x3y2+ a6x2y2+a7xy2 +a8y2 +a9x3y +a10x2y+
5.0 5.0 5.0 5.0
5.0 A C 5.0 5.0 B 历史区
A 5.0
5.0
3.3
3.3
C
5.0 3.3 5.0
UA UB UC
35 30 10
7 6 3
B
5.0 5.0
图 历史区
(2)对图 历史区数据做第一次平滑后，得图1-1。
5.0
5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0
3.9 4.4 4.2
PC = UC ／ U1C = 10／12.9 = 0.78
其中
图1-1 第一次平滑数据
U1A = 33.2=5.0+5.0+5.0+5.0+4.6+4.4+4.2
U1B = 28.4=5.0+5.0+5.0+5.0+4.2+4.2 U1C = 12.9=4.6+3.9+4.4
满足变化率最终调整 值
重新计算
总结
重点掌握 • 空间数据插值概念； • 空间数据插值方法； • 点插值的原因 / 目的; • 点插值的过程 • 有哪些点插值的方法 • 了解区域插值的实现过程如下;
测定值的影响应愈大。
c）反比距离加权法
移动拟合方法的特例 • 与移动拟合法方法不同之处： 在求拟合方程时，需要考虑距离未知点
不同距离的样点的权重（作用）。权值
应与距离成反比，间距愈近，对待求点
测定值的影响应愈大。
d）克里格 / 金法
• 克里金法(Khriging) 是法国地理数学家Gerges
Matheron(1997)和南非矿业工程师，D．G． Krige创立的地质统计学中矿品位的最佳内插方法。
• a) 线性内插。线性内插的多项式函数为： zp = a0 + a 1 x + a 2 y 只要将内插点周围的3个数据点的数据值带入多
项式即可解算出系数a0、a1、a2。
A(xa,ya,za)
P B(xb,yb,zb)
C(xc,yc,zc)
• b) 双线性多项式内插。双线性内插的多项式函数 为： zp = a0 + a1 x + a2 y + a3 x y 只要将内插点周围的4个数据点的数据值带入多 项式，即可解算出系数a0、a1、a2、a3。
5.0 5.0 5.0 5.0 图 5.3 5.1 5.3 5.3 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 3.3 5.0 5.0 5.0 3.3 3.3 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 5.0 4.6 5.0 5.0 4.4 4.6 4.2 5.0 4.2 3.9 4.4 4.2 5.3 5.3 5.3 5.3 5.3 4.8 5.3 5.3 4.6 3.6 4.5 5.3 4.4 3.0 3.4 4.5
5.5 5.3 5.5 5.5 5.1 5.1 5.2 5.5 4.6 3.5 4.5 4.9 4.0 3.2 3.3 4.5 5.5 5.3 5.5 5.5 5.1 5.1 5.2 5.5 4.6 3.5 4.5 4.9 4.0 3.2 3.3 4.5 B1： 30 现实区内插值 A1 ：26 C1：22
点内插实现过程 ①数据取样： 野外或在图像上选点，取样； ②数据内插方法选择：
根据数据特点，选择数学模型； ③数据记录 / 插值运算： 将内插结果按一定的数据结构形式，存储起来，供
系统使用。
插值运算的手段是选择一个合理的数学模型，使
用已知点上的信息求出函数的待定系数。
待求点的值可写成一般式为： zp = Ax + By + C zp = Ax2 + Bxy + Cy2 + Dx + Ey + F
3.3 ) / 4 = 4.6
(3)计算数据的变化率，对结果（图1-1）进行调整。
计算各分区变化率：
PA = UA ／ U1A = 35／ 33.2 = 1.05 PB = UB ／ U1B = 30／ 28.4 = 1.06
5.0
5.0
4.4
4.2
5.0 5.0 5.0
4.6 5.0 5.0
4.6 4.2 5.0
历史区数 据 4.9 4.4 3.8 4.9 5.0 5.3 4.2 4.4 4.8 3.8 4.0 4.4
图1-1 第一次平滑值 计算变化率 PA = 35 ／33.7 = 1.04 PB = 30／ 29.2 = 1.03 PC = 10／ 12.0 = 0.83
图1-2 第一次平滑调整 5.5 5.1 值 4.6 4.0 5.3 5.5 5.5 5.1 5.2 5.5 3.5 4.5 4.9 3.2 3.3 4.5