椭圆的简单几何性质

课后记
• • 通过本节课的学习，让学生掌握了 一：椭圆： 1：标准椭圆，取一根标准的圆柱体，并在圆柱的圆心轴上O点横切圆柱是标 准正圆，再过O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。 2：基础椭圆，当在标准圆柱上过圆心轴的O点横切圆柱，横切面则是正圆。 又过 圆柱的圆心轴上的O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。设：斜切面椭圆与 横切面正圆经O点的交角为α 。当a=0时，斜切面就变成了横切面，椭圆也就 变成了正圆。所以我们把圆柱的横切面正圆命名为基础椭圆（简称为基础 圆）。 3：椭圆心，因为椭圆和正圆都是以圆柱的圆心轴上的O点为圆心，斜切和横 切圆柱的。所以椭圆和正圆都只有一个圆心。 4：椭圆的形状，在标准圆柱上过圆心轴上的O点横切面正圆与斜切椭圆的交 角α 越大，椭圆的形状也就越长。α 角越小，椭圆形状也就越短（越接近正 圆）。当α =0时，斜切面重叠横切面，椭圆的形状就是正圆（基础椭圆）。
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a、b、c的几何意义
B1 (0,b) a b c O B2(0,-b) y
(-a,0) A1
F1
F2
(a,0) A2 x
a b c
2 2
2
B1F1 B1F2 B2 F1 B2 F2 a
2、范围：
B2
y
b a
F2
A1
A2
F1
o c
B1
y2 x 1, 2 1得： 2 b a -a≤x≤a, -b≤y≤b 知 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
所以a 5, b 4, c 3
因此长轴长 2a
25 16
c 3 离心率 e a 5
10
，短轴长 2b 8
练习：P41 T2
焦点F1(－3,0)和F2(3,0), 椭圆的四个顶点是A1(－5,0)、A2(5,0)、 B1(0,－4)、B2(0,4)
例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。 （1）解：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对 称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于 是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短 轴的一个端点，故a＝3，b＝2，故椭圆的标准方 2 2 程为 x y
y Q M -2 O A 2 x
解：设动点M的坐标为(x,y)， 则Q的坐标为(2x-1,2y)
x y2 1 因为Q点为椭圆 4 上的点
2
(2 x 1) 2 (2 y ) 2 1 所以有 4 1 2 即 (x ) 4 y2 1 2 1 2 所以点M的轨迹方程是 ( x ) 4 y 2 1 2
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P x
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
焦点坐标
相 同 点 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
能力目标
通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法 解决几何问题的能力．
学科渗透点
通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力． 二、教材分析 1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． 2．难点：椭圆的标准方程的推导．
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
a 2 = b2 + c 2
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
练习：P36 T2,3,4
1.顶点:椭圆和坐标轴的交点叫做椭圆的顶点 • 椭圆有四个顶点（±a，0）、（0，±b）
B1 (0,b)
(-a,0) A1 F1 F2 (a,0) A2 x y
O B2(0,-b)
• 线段A1A2叫做椭圆的长轴，且长为2a， a叫做椭圆的长半轴长 • 线段B1B2叫做椭圆的短轴，且长为2b， b叫做椭圆的短半轴长 2c 为椭圆的焦距, c 为椭圆的半焦距
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
ห้องสมุดไป่ตู้
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
c [3]e与a,b的关系: e a
a b b 1 a a
2 2 2
2
2
两种标准方程的椭圆性质的比较
方程
x y 2 1(a b 0) 2 a b
B2 y O A1 F1 B1 F2 A2 x
2
2
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
A2 F2 y B2 B1 F1 A1 O x
2
x2 y2 3、对称性： 2 2 1(a b 0) a b 从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称, 原点是椭圆的中心. 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图 y 象关于原点成中心对称。 B2
9
2 2

4
1
2 2 x y y x 1 1或 ⑵ 100 64 100 64
练习：P42 T5
例3：点M（x，y）与定点F(4,0)的距离和它到直 25 4 线x 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。
4
5
练习：P43 T2
x2 练：已知x轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆 y 2 1 4 上的动点，求AQ中点M的轨迹方程.
图形
范围 对称性 顶点
离心率
a x a,b y b a y a,b x b
关于x轴、y轴、原点对称 A1(-a,0), A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) B1(0,-b), B2(0,b) B1(-b,0), B2(b,0)
例1求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴长，离心率 焦点和顶点坐标。 x2 y2 解：把已知方程化为标准方程 1
4、椭圆的离心率 (刻画椭圆扁平程度的量)
c 椭圆的焦距与长轴长的比e a 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围： 0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响： 2 2 1）e越接近1，c就越接近a，从而b a c 就越小，椭圆就越扁 2 2 2）e越接近0，c就越接近0，从而b a c 就越大，椭圆就越圆 思考：当e＝0时，曲线是什么？ 圆 线段F1F2 当e＝1时曲线又是 什么？