椭圆的简单几何性质
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3.1.2 第1课时 椭圆的简单几何性质(课件)
经典例题
题型二 由几何性质求椭圆的标准方程
(2)由题意知 e2＝1－ab22＝12， 所以ba22＝12，即 a2＝2b2， 设所求椭圆的方程为2xb22＋by22＝1 或2yb22＋bx22＝1.
将点 M(1,2)代入椭圆方程得21b2＋b42＝1 或24b2＋b12＝1，
解得 b2＝92或 b2＝3. 故所求椭圆的方程为x92＋y92＝1 或y62＋x32＝1.
a 23 2
当堂达标
6.已知椭圆 C： x2 y2 1（ a b 0 ），点 A，B 为长轴的两个端点，若在椭
a2 b2
圆上存在点
P，使
k AP
kBP
1 3
,
0
，求椭圆的离心率
e
的取值范围．
解：由题可知 Aa,0 ， Ba,0 ，设 P x0,y0 ，
由点
P
在椭圆上，得
y02
b2 a2
∵|F1F2|＝2c，|F1F2|＝|PF2|，∴3a－2c＝2c，∴e＝ac＝34.
当堂达标
5.椭圆的中心在原点，焦点在 x 轴上，焦距为 2
6 ，且经过点 3,
6 2
．
(1)求满足条件的椭圆方程； (2)求该椭圆的长半轴的长、顶点坐标和离心率．
解：（1）设椭圆的标准方程为
x2 a2
y2 b2
当堂达标
4.设 F1，F2 是椭圆 E：ax22＋by22＝1(a>b>0)的左、右焦点，P 为直线 x＝32a上
一点，△F2PF1 是底角为 30°的等腰三角形，则 E 的离心率为________．
3 4
解析：由题意，知∠F2F1P＝∠F2PF1＝30°，
∴∠PF2x＝60°.∴|PF2|＝2×32a－c＝3a－2c.
椭圆的简单几何性质
2.2 椭圆2.2.2椭圆的简单几何性质 第一课时 椭圆的简单几何性质【学习目标】1、理解椭圆的范围、对称性、顶点、长轴长及短轴长；2、掌握椭圆的离心率及c b a ,,的几何意义。
【重难点】重点：椭圆的简单几何性质 难点：求椭圆的离心率 【学习过程】复习引入：1、椭圆的定义我们把平面内与两个定点21,F F 的距离的和等于常数（大于||21F F ）的点的轨迹叫做椭圆。
这两个定点21,F F 叫做椭圆的焦点，两焦点21,F F 间的距离||21F F 叫做椭圆的焦距。
2、椭圆的标准方程焦点在x 轴上：12222=+b y a x )0(>>b a 焦点在y 轴上：12222=+ay b x )0(>>b a3、重要结论：222c b a +=知识点一：椭圆的简单几何性质 1、范围由图形及椭圆的标准方程12222=+b y a x 可知，122≤a x 且122≤by ，即⎩⎨⎧≤≤-≤≤-by b ax a 故椭圆12222=+by a x 位于直线a x ±=和b y ±=所形成的矩形框里。
2、对称性观察椭圆的形状，可以发现椭圆既是轴对称图形，又是中心对称图形。
在椭圆12222=+by a x 中，用y -代替y ，方程不变，所以椭圆关于x 轴对称；用x -代替x ，方程不变，所以椭圆关于y 轴对称；用x -代替x ，用y -代替y ，方程不变，所以椭圆关于原点对称。
结论：椭圆关于x 轴和y 轴都对称，所以x 轴、y 轴叫做椭圆的对称轴；对称轴的交点原点，叫做椭圆的对称中心。
3、顶点椭圆与对称轴的交点，叫做椭圆的顶点。
显然12222=+by a x 有四个顶点，其中在x 轴上有)0,(),0,(21a A a A -，在y 轴上有),0(),,0(21b B b B -。
线段2121,B B A A 分别叫做椭圆的长轴和短轴，它们的长分别和a 2和b 2，b a ,分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)
3.1.2 椭圆的简单几何性质
y
O
x
A1 F1
y
B2 ba
Oc
x
F2 A2
B1
图2.1 7
综 上, 椭 圆 关 于x 轴 、y 轴 对 称,这 时,坐 标 轴 是 椭 圆 的 对 称 轴 ,原点 是 椭 圆 的对 称 中 心 , 椭 圆 的 对 称中 心 叫 做
y
O
x
图2.1 8
y
O
x
图2.1 8
图2.1 9
y
O
x
图2.2 10
c = 1.20 a = 1.81 c a = 0.66
c = 1.50 a = 1.81 c a = 0.83
我 们 把 椭 圆 的 焦 距 与 长轴 长 的 比c a
称 为 椭 圆 的 离 心 率,用e表 示,即e c . a
B
解 设d是点M到直线
l
:
x
25 4
的距离,
根据题意, 点M的轨迹就是集合
P
M
|
|
MF d
|
4 5
.
由此得
x 42 y2 4
25
5.
4 x
y Md H
O
Fx
l
将上式两边平方, 并化简, 得
图2.1 129x2 Nhomakorabea25 y2
225,
即
x2 25
y2 9
1.
所以,点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6
的椭圆图2.1 12.
A
F1
C
y
反射镜面
E
O
F2
x
D
透明窗
y
B
反射镜面
y
O
x
A1 F1
y
B2 ba
Oc
x
F2 A2
B1
图2.1 7
综 上, 椭 圆 关 于x 轴 、y 轴 对 称,这 时,坐 标 轴 是 椭 圆 的 对 称 轴 ,原点 是 椭 圆 的对 称 中 心 , 椭 圆 的 对 称中 心 叫 做
y
O
x
图2.1 8
y
O
x
图2.1 8
图2.1 9
y
O
x
图2.2 10
c = 1.20 a = 1.81 c a = 0.66
c = 1.50 a = 1.81 c a = 0.83
我 们 把 椭 圆 的 焦 距 与 长轴 长 的 比c a
称 为 椭 圆 的 离 心 率,用e表 示,即e c . a
B
解 设d是点M到直线
l
:
x
25 4
的距离,
根据题意, 点M的轨迹就是集合
P
M
|
|
MF d
|
4 5
.
由此得
x 42 y2 4
25
5.
4 x
y Md H
O
Fx
l
将上式两边平方, 并化简, 得
图2.1 129x2 Nhomakorabea25 y2
225,
即
x2 25
y2 9
1.
所以,点M 的轨迹是长轴、短轴长分别为10、6
的椭圆图2.1 12.
A
F1
C
y
反射镜面
E
O
F2
x
D
透明窗
y
B
反射镜面
椭圆的简单几何性质
1.椭圆的对称性
y
F
1
O
F
2
x
椭圆关于x轴对称
二、新课探究：
A1 F
1
1.椭圆的对称性
y
O
F
2
x
A2
椭圆关于原点对称
二、新课探究：
1.椭圆的对称性
Y P（x，y）
以焦点在X轴上的为例：
P1（-x，y）
O
X
P 2 x, y
P3（-x，-y）
二、新课探究：
2、椭圆的顶点
B2 (0,b)
一、复习回顾：
3.椭圆中a,b,c的关系:
若点M运动到y轴上时：
y
M
| MF1 | ＝ | MFOF1 | ＝ | OF2 | c
x
F1
O
| MO | ＝ a c b
2 2
a2=b2+c2
二、新课探究：
y
1.椭圆的对称性
F
1
O
F
2
x
椭圆关于y轴对称
二、新课探究：
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4
2.2.2 椭圆的简单几何性质
第一课时 椭圆的简单几何性质
一、复习回顾：
1、椭圆的定义：
3.2.2 椭圆的简单几何性质
度吗？
椭圆的离心率 e= ．
范围： 0<e<1
e越接近1，c越接近a， = 2 − 2 越小，因
此椭圆越扁平；
e越接近0，c越接近0， = 2 − 2 越大，因
此椭圆越接近于圆；
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，
图形变为圆，方程为 2 + 2 = 2 .
典型例题
典型例题
例2 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=
4
比是常数 ，求动点M的轨迹．
5
25
的距离的
4
轨迹方程
轨迹上任意的点 M 的坐标(x , y)所满足的条件
点M所满足的条件
点M与定点F(4,0)的距离和M到定
25
4
直线l:x= 的距离的比是常数
4
转化
5
两点间距离和点到直线的距离
6 − 91 = 0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?
圆 2 + 2 + 6 + 5 = 0
圆心1 (− 3,0),半径r1=2
椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，
经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知 ⊥ 1 2 ， 1 = 2.8cm，
1 2 = 4.5cm．试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．
椭圆的方程
求a,b
建立关于a,b的方程
典型例题
2
4.12
+
2
3⋅4 2
= 1．
方
程
思
想
典型例题
例1 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲
椭圆的离心率 e= ．
范围： 0<e<1
e越接近1，c越接近a， = 2 − 2 越小，因
此椭圆越扁平；
e越接近0，c越接近0， = 2 − 2 越大，因
此椭圆越接近于圆；
当且仅当a=b时，c=0，这时两个焦点重合，
图形变为圆，方程为 2 + 2 = 2 .
典型例题
典型例题
例2 动点M(x,y)与定点F(4,0)的距离和M到定直线l:x=
4
比是常数 ，求动点M的轨迹．
5
25
的距离的
4
轨迹方程
轨迹上任意的点 M 的坐标(x , y)所满足的条件
点M所满足的条件
点M与定点F(4,0)的距离和M到定
25
4
直线l:x= 的距离的比是常数
4
转化
5
两点间距离和点到直线的距离
6 − 91 = 0内切，求动圆圆心的轨迹方程，并说明它是什么曲线?
圆 2 + 2 + 6 + 5 = 0
圆心1 (− 3,0),半径r1=2
椭圆的一个焦点F1上，片门位于另一个焦点F2上．由椭圆一个焦点F1发出的光线，
经过旋转椭圆面反射后集中到另一个焦点F2．已知 ⊥ 1 2 ， 1 = 2.8cm，
1 2 = 4.5cm．试建立适当的平面直角坐标系，求截口BAC所在椭圆的方程．
椭圆的方程
求a,b
建立关于a,b的方程
典型例题
2
4.12
+
2
3⋅4 2
= 1．
方
程
思
想
典型例题
例1 如图，一种电影放映灯的反射镜面是旋转椭圆面（椭圆绕其对称轴旋转一周形成的曲
3.1.2椭圆的简单几何性质课件(人教版)
x2 a2
y2 b2
1，
（4）
由此可知，点M的轨迹是椭圆，方程（1）是椭圆
的参数方程，在椭圆的参数方程（1）中，常数a、
b分别是椭圆的长半轴长和短半轴长.
6、椭圆的参数方程
椭圆 x2 a2
y2 b2
1 （a
b
0），的参数方程是
x
y
a cos b sin
（为参数）
7、椭圆的焦半径公式
P（x0，y0）是椭圆
c2
b2，就可化
成：x a
2 2
y2 b2
（1 a
b 0）.
这是椭圆的标准方程，所以点M的轨迹是长轴、 短轴长分别为2a、2b的椭圆.
5、椭圆的第二定义
平面内点M与一个定点的距离和它到一定直线的
距离的比是常数：e c （0＜e＜1）时，这个 a
点M的轨迹是椭圆，定点是椭圆的焦点，定直线 叫做椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率．
长、离心率、焦点和顶点的坐标，并用描点法
画出它的图形．
解：把已知方程化成标准方程： x 2 52
y2 42
1，
这里，a 5，b 4，所以：c 25 16 3，
因此，椭圆的长轴和短轴的长分别是：2a 10
和 2b 8，离心率 e c 3，两个焦点分别是 a5
F1 （ 3，0）和F2 （3，0），椭圆的四个顶点是 A（1 5，0）、A（2 5，0），B（1 0， 4）和B（2 0，4）.
练习
一、选择题
1、椭圆短轴长是2，长轴是短轴的2倍，则椭圆
的中心到其准线的距离是（D ）
A、8 5 5
B、 4 5 5
C、8 3 3
D、 4 3 3
2、椭圆 9x2 25 y 2 225 上有一点P，它到右准
3.1.2椭圆的简单几何性质
OF
y1 c
1 c2 ，即 b2
2
c
1 c ，a2 2
c2
1 2
c2
，解得
e
c a
6. 3
综上所述，可得 2 e 6 .故选：A
2
3
5．直线 x－y＋1＝0 被椭圆 x2 ＋y2＝1 所截得的弦长|AB|等于（ ）
3
A． 3 2 2
B． 2 C． 2 2
D． 3 2
【答案】A
x y 1 0,
（）
A． 3 2
B． 2 2
C． 5 3
D． 6 3
【答案】B 【解析】由题意：椭圆的两个焦点与它的短轴的两个端点是一个正方形的四个顶点， 所以 b=c.
则 a b2 c2 2c ， 所以离心率 e c 2 .
a2 故选：B
2．已知圆 M
: x2
y2
2mx 3 0m 0
的半径为 2 ，椭圆C :
则
x1＋x2＝－
4 3
，
故 AB
的中点横坐标
x0＝
x1
2
x2
＝－ 2 3
.
纵坐标
y0＝x0＋1＝－
2 3
＋1＝
1 3
.
例题分析2
已知椭圆的离心率为
1 2
，焦点是(－3，0)和(3，0)，则椭圆方程为（
）
A． x2 ＋ y2 ＝1 36 27
B． x2 ＋ y2 ＝1 63
C． x2 ＋ y2 ＝1 27 36
x2 a2
y2 3
1 的左焦点为
F c,0 ，若垂直于 x 轴且经过 F 点的直线l 与圆 M 相切，则椭圆C 的长轴长为（ ）
A． 3 2
椭圆的简单几何性质(第一课时)
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A1
(-a，0) F1
b
oc
a A2(a，0) F2
叫做椭圆的长轴和短轴。
B1 (0,-b)
它们的长分别等于2 a和2 b 。
a、b分别叫做椭圆的长半轴长和短半轴长。
根据前面所学有关知识画出下列图形
（1）
x2 y2 1
25 16
（2） x2 y2 1 25 4
y
4 B2
3
2
A1
1
A2
-5 -4 -3 -2 --11 0 1 2 3 4 5 x
3、椭圆
x2 a2
y2 b2
1(a b 0)的顶点：
令 x=0，得 y=？说明椭圆与 y轴的交点为（ 0, ±b ）， 令 y=0，得 x=？说明椭圆与 x轴的交点为（ ±a, 0 ）。
*顶点：椭圆与它的对称轴的四个
y
B2 (0,b)
交点，叫做椭圆的顶点。
*长轴、短轴： 线段A1A2、B1B2分别
从方程上看：
（1）把x换成-x方程不变，图象关于 y 轴对称；
（2）把y换成-y方程不变，图象关于 x 轴对称； Y
（3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，
图象关于原点 成中心对称。
P1（-x，y）
P（x，y）
坐标轴是椭圆的对称轴，
O
X
原点是椭圆的对称中心。
P2（-x，-y）
中心：椭圆的对称中心叫做椭圆的中心。
100 64
100 64
练习：书本48页第1、2、3题
标准方程 范围
x2 y2 1(a b 0) a2 b2 -a ≤ x≤ a, - b≤ y≤ b
椭圆的简单几何性质
不 同 点
焦点
顶点 准线
F1 (c,0) F2 (c,0)
A1 (a,0) A2 (a,0) B1 (0,b) B(0, b)
F1 (0,c) F2 (0, c)
A1 (0,a) A2 (0, a ) B1 (b,0) B(b,0)
a2 x c
a2 y c
例题讲解
练习１: 求下列椭圆的焦点坐标和准线
(1)
+ =1 100 36
25 __ x= ±
x2 __
2 y __
焦点坐标:(-8,0),(8,0). 准线方程:
2
(2) 2x2+y2=8
焦点坐标:(0,-2),(0,2). 准线方程:y= ±4
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例题讲解
例2：求中心在原点，一条准线方程是x=3， 离心率为 5 的椭圆标准方程。
c [3]e与a,b的关系: e a
a b b 1 a a
2 2 2
2
2
两种标准方程的椭圆性质的比较
方程
x y 2 1(a b 0) 2 a b
B2 y A1 F1 O B1 F2 A2 x
2
2
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
A2 F2 B1 O F1 A1 y B2
F (c,0) 0
F (c,0)
2 a x 方程是 x c
a x c
2
a x c
2
由椭圆的对称性,相应与焦点 F (c,0) 的准线方程是
a2 x c
知识归纳
图 形 相同点
方程
长轴长 2a, 短轴长 2b
c 离心率e (0 e 1) a 2 b2 c2 a 2 2 2 2 y x x y 2 1(a b 0) 2 1(a b 0) 2 2 a b a b
椭圆的简单几何性质课件培训讲解
03
CHAPTER
椭圆的面积与周长
椭圆的面积
1 2
椭圆面积
椭圆的面积可以通过其长半轴和短半轴的长度计 算得出，公式为$S = pi ab$，其中$a$是长半轴 长度，$b$是短半轴长度。
面积计算
在已知椭圆的长半轴和短半轴长度的情况下，可 以直接代入公式计算出椭圆的面积。
3
面积与长、短半轴关系
椭圆的面积与其长半轴和短半轴的长度密切相关， 当长半轴和短半轴长度发生变化时，椭圆的面积 也会相应地发生变化。
转换的意义
在实际应用中，经常需要在直角坐标系和极坐标系之间进行转换。例如，在物理学、工程学和天文学等领域中， 许多问题可以通过极坐标或直角坐标方便地描述和解决。因此，掌握这两种坐标之间的转换方法对于解决实际问 题非常重要。
06
CHAPTER
椭圆的几何性质在生活中的 应用
地球轨道的椭圆性质
总结词
地球的轨道是椭圆形的，这是天文学和地理学中一个重要的 知识点。
椭圆的简单几何性质课件培训 讲解
目录
CONTENTS
• 椭圆的定义与性质 • 椭圆的焦点与离心率 • 椭圆的面积与周长 • 椭圆的切线与切点性质 • 椭圆的对称性与极坐标表示 • 椭圆的几何性质在生活中的应用
01
CHAPTER
椭圆的定义与性质
椭圆的定义
椭圆是平面内与两个定点F1、 F2的距离之和等于常数（大于
工程设计中的椭圆应用
总结词
在工程设计中，椭圆也有着广泛的应用。
详细描述
例如桥梁、建筑和机械零件的设计中，经常需要使用到椭圆的几何性质。特别是 在结构稳定性和力学分析方面，椭圆的几何性质发挥了重要的作用。
THANKS
椭圆性质
椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜ea＜1．
(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b a2 c2
越小，因此椭圆越扁；
y
O
x
4．离心率 椭圆的焦距与长轴长的比
e
c
，叫做
椭圆的离心率．∵a＞c＞0，∴0＜ea＜1．
(1)当e越接近1时，c越接近a，从而b a2 c2 越小，因此椭圆越扁；
A1 b a A2 F1 O c F2 x
B1
3．顶点 线段A1A2、B1B2分别叫做椭圆的长轴和 短轴. 长轴的长等于2a. 短轴的长等于2b.
a叫做椭圆的长半轴长．
y
b叫做椭圆的短半轴长．
B2
|B1F1|＝|B1F2|＝|B2F1| ＝|B2F2|＝a．
A1 b a A2 F1 O c F2 x
2.1.2椭圆的简单 几何性质
§2.1 椭 圆
1.在平面内到两定点F1、椭圆
.这两定点叫做椭圆
的 焦点 ，两焦点间的距离叫 焦距 .
集合P={M||MF1|+|MF2|=2a}，|F1F2|=2c，其中a>0,c>0， 且a，c为常数；（1）若 a>c ，则集合P
，
10 2 A.
3
5 1 B.
3
C. 5 1 2
D. 10 2 2
3. 综合练习：
1. 以 正 方 形ABCD的 相 对 顶 点A、C为
焦点的椭圆，恰好过正方形四边的中
点，则该椭圆的离心率为（ D ）
，
10 2 A.
3
5 1 B.
3
C. 5 1 2
D. 10 2 2
例2 求适合下列条件的椭圆的标准方程：
椭圆的简单几何性质ppt课件
研究直线与椭圆的位置关系的思路方法
1．研究直线与椭圆的位置关系，可联立直线与椭圆的方程，消元后用 判别式讨论． 2．求直线被椭圆截得的弦长，一般利用弦长公式，对于与坐标轴平行 的直线，直接求交点 坐标即可求解． 3．有关弦长的最值问题，可以运用二次函数性质、一元二次方程的判 别式、基本不等式等来求解.
m
4
4.已知椭圆 C :
x2 a2
y2 b2
1(a
b
0) 的左､右焦点分别为 F1 ，F2
，A
15 2
,
1 2
在椭圆
B C 上，且 AF1 AF2 ，则椭圆 C 的长轴长为( )
A. 5
B. 2 5
C. 5 或 3
D.2 5 或2 3
解析：由 AF1
AF2 ，得
OA
1 2
F1F2
，所以c
3.1.2 椭圆的简单几何性质
学习目标
01 掌握椭圆的范围、对称点、顶点、离心率等简单性质 02 能 利 用 椭 圆 的 简 单 性 质 求 椭 圆 方 程 03 能 用 椭 圆 的 简 单 性 质 分 析 解 决 有 关 问 题 04 理 解 数 形 结 合 思 想
学习重点
椭圆的几何性质
学习重点
y2 b2
1 (a
b
0) 的长半轴长为
a，半焦距为
c.利
y
用信息技术，保持长半轴长 a 不变，改变椭圆的半焦距
c，可以发现，c 越接近 a，椭圆越扁平.类似地，保持 c
O
x
不变，改变 a 的大小，则 a 越接近 c，椭圆越扁平；而
当 a，c 扩大或缩小相同倍数时，椭圆的形状不变.
这样，利用c和a这两个量，可以刻画椭圆的扁平程度.
椭圆的简单几何性质 课件
据椭圆定义得|BF1|＋|BF2|＝2a，
即 c＋ 3c＝所2以a，
c＝ 3－1. a
所以椭圆的离心率为 e＝ 3－1.
【方法技巧】求椭圆离心率及范围的两种方法 (1)直接法：若已知a,c可直接利用 e 求c解.若已知a,b或b,c
a
可借助于a2=b2+c2求出c或a，再代入公式e c 求解.
的距离为 1 |OF1|，则椭圆的离心率为( )
2
A. 1
B. 3 1
C. 2
D. 2 1
3
2
(3)已知F1，F2是椭圆的两个焦点，过F1且与椭圆长轴垂直的直
线交椭圆于A，B两点，若△ABF2是正三角形，求该椭圆的离心
率.
【解题探究】1.题(1)由条件 3DF1 DA能得2D到F2什么结 论？ 2.题(2)求解离心率的关键是什么？ 3.题(3)当椭圆中涉及其他平面几何图形时，一般要注意什 么？
所以|AF1|= 3c,
所以2a=|AF1|+|AF2|= 3 1 c,
所以 e 3 1.
(3)不妨设椭圆的焦点在x轴上，因为 AB⊥F1F2，且△ABF2为正三角形，所以 在Rt△AF1F2中，∠AF2F1=30°,令|AF1| =x,则|AF2|=2x, 所以 F1F2 AF2 2 AF1 2 3x 2c, 再由椭圆的定义，可知|AF1|+|AF2|=2a=3x, 所以 e 2c 3x 3 .
【探究提示】1.将向量的等量关系转化为坐标间的关系，取
D(0，b)得3(-c,-b)=(-a,-b)+2(c,-b). 2.由题意求a,c的值或构造a,c的关系式，求 的c 值.
a
3.当椭圆中涉及其他平面几何图形时，注意利用平面图形的几
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图形
范围 对称性 顶点
离心率
a x a,b y b a y a,b x b
关于x轴、y轴、原点对称 A1(-a,0), A2(a,0) A1(0,-a), A2(0,a) B1(0,-b), B2(0,b) B1(-b,0), B2(b,0)
例1求椭圆16x2＋25y2＝400的长轴和短轴长，离心率 焦点和顶点坐标。 x2 y2 解：把已知方程化为标准方程 1
4、椭圆的离心率 (刻画椭圆扁平程度的量)
c 椭圆的焦距与长轴长的比e a 叫做椭圆的离心率。 [1]离心率的取值范围： 0<e<1
[2]离心率对椭圆形状的影响： 2 2 1）e越接近1，c就越接近a，从而b a c 就越小，椭圆就越扁 2 2 2）e越接近0，c就越接近0，从而b a c 就越大，椭圆就越圆 思考：当e＝0时，曲线是什么？ 圆 线段F1F2 当e＝1时曲线又是 什么？
y Q M -2 O A 2 x
解：设动点M的坐标为(x,y)， 则Q的坐标为(2x-1,2y)
x y2 1 因为Q点为椭圆 4 上的点
2
(2 x 1) 2 (2 y ) 2 1 所以有 4 1 2 即 (x ) 4 y2 1 2 1 2 所以点M的轨迹方程是 ( x ) 4 y 2 1 2
►
a、b、c的几何意义
B1 (0,b) a b c O B2(0,-b) y
(-a,0) A1
F1
ห้องสมุดไป่ตู้F2
(a,0) A2 x
a b c
2 2
2
B1F1 B1F2 B2 F1 B2 F2 a
2、范围：
B2
y
b a
F2
A1
A2
F1
o c
B1
y2 x 1, 2 1得： 2 b a -a≤x≤a, -b≤y≤b 知 椭圆落在x=±a,y= ± b组成的矩形中
2
x2 y2 3、对称性： 2 2 1(a b 0) a b 从图形上看，椭圆关于x轴、y轴、原点对称, 原点是椭圆的中心. 从方程上看： （1）把x换成-x方程不变，图象关于y轴对称； （2）把y换成-y方程不变，图象关于x轴对称； （3）把x换成-x，同时把y换成-y方程不变，图 y 象关于原点成中心对称。 B2
9
2 2
4
1
2 2 x y y x 1 1或 ⑵ 100 64 100 64
练习：P42 T5
例3：点M（x，y）与定点F(4,0)的距离和它到直 25 4 线x 的距离的比是常数 ，求点M的轨迹。
4
5
练习：P43 T2
x2 练：已知x轴上的一定点A（1,0），Q为椭圆 y 2 1 4 上的动点，求AQ中点M的轨迹方程.
y P
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 b a y
F2 P x
不 同 点
图
形
F1
O
F2
x
O
F1
焦点坐标
相 同 点 定 义 a、b、c 的关系 焦点位置的判断
F1 -c , 0，F2 c , 0
F1 0,- c ，F2 0,c
平面内到两个定点F1，F2的距离的和等 于常数（大于F1F2）的点的轨迹
c [3]e与a,b的关系: e a
a b b 1 a a
2 2 2
2
2
两种标准方程的椭圆性质的比较
方程
x y 2 1(a b 0) 2 a b
B2 y O A1 F1 B1 F2 A2 x
2
2
y 2 x2 2 1(a b 0) 2 a b
A2 F2 y B2 B1 F1 A1 O x
课后记
• • 通过本节课的学习，让学生掌握了 一：椭圆： 1：标准椭圆，取一根标准的圆柱体，并在圆柱的圆心轴上O点横切圆柱是标 准正圆，再过O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。 2：基础椭圆，当在标准圆柱上过圆心轴的O点横切圆柱，横切面则是正圆。 又过 圆柱的圆心轴上的O点斜切圆柱这个斜切面就是标准椭圆。设：斜切面椭圆与 横切面正圆经O点的交角为α 。当a=0时，斜切面就变成了横切面，椭圆也就 变成了正圆。所以我们把圆柱的横切面正圆命名为基础椭圆（简称为基础 圆）。 3：椭圆心，因为椭圆和正圆都是以圆柱的圆心轴上的O点为圆心，斜切和横 切圆柱的。所以椭圆和正圆都只有一个圆心。 4：椭圆的形状，在标准圆柱上过圆心轴上的O点横切面正圆与斜切椭圆的交 角α 越大，椭圆的形状也就越长。α 角越小，椭圆形状也就越短（越接近正 圆）。当α =0时，斜切面重叠横切面，椭圆的形状就是正圆（基础椭圆）。
所以a 5, b 4, c 3
因此长轴长 2a
25 16
c 3 离心率 e a 5
10
，短轴长 2b 8
练习：P41 T2
焦点F1(－3,0)和F2(3,0), 椭圆的四个顶点是A1(－5,0)、A2(5,0)、 B1(0,－4)、B2(0,4)
例2：求适合下列条件的椭圆的标准方程 ⑴经过点P(－3,0)、Q(0,－2)； ⑵长轴长等于20，离心率3/5。 （1）解：利用椭圆的几何性质，以坐标轴为对 称轴的椭圆与坐标轴的交点就是椭圆的顶点，于 是焦点在x轴上，且点P、Q分别是椭圆长轴与短 轴的一个端点，故a＝3，b＝2，故椭圆的标准方 2 2 程为 x y
能力目标
通过对椭圆概念的引入与标准方程的推导，培养学生分析探索能力，增强运用坐标法 解决几何问题的能力．
学科渗透点
通过对椭圆标准方程的推导的教学，可以提高对各种知识的综合运用能力． 二、教材分析 1．重点：椭圆的定义和椭圆的标准方程． 2．难点：椭圆的标准方程的推导．
标准方程
x2 y2 + 2 = 1 a > b > 0 2 a b
a 2 = b2 + c 2
分母哪个大，焦点就在哪个轴上
练习：P36 T2,3,4
1.顶点:椭圆和坐标轴的交点叫做椭圆的顶点 • 椭圆有四个顶点（±a，0）、（0，±b）
B1 (0,b)
(-a,0) A1 F1 F2 (a,0) A2 x y
O B2(0,-b)
• 线段A1A2叫做椭圆的长轴，且长为2a， a叫做椭圆的长半轴长 • 线段B1B2叫做椭圆的短轴，且长为2b， b叫做椭圆的短半轴长 2c 为椭圆的焦距, c 为椭圆的半焦距
A1
b F1
a F2
A2
o c
B1
根据前面所学有关知识画出下列图形
x y 1 （1） 25 16
y
4 B2 3 2 1
2 2
x2 y2 1 （2） 25 4
y
4 3 B 2 2 1
A1
A2 x
A1
A2 x
-5 -4 -3 -2 -1 -1 -2 -3 -4
123 4 5
B1
-5 -4 -3 -2 -1 -1 1 2 3 4 5 -2 -3 B1 -4