高等数学分部积分法课件

积分，其中 和 为常数．
结论3 分部积分公式具有 循的环作用.
3.小结
本节通过两个函数乘积的导数公式，推导出分部积
分公式，应用分部积分公式解决了三种类型的不定积
分问题.分部积分法主要解决两个函数乘积的不定积分
问题.
应用分部积分法的口诀：
不能换元用分部，
三指函数凑微分，
对反函数要去掉，
分部积分能循环.
问题 x2e xdx 如何做？ x2e xdx x2de xx2 e x e xdx2 x2 e x2 xe xdx
例2 求不定积分 x cos xdx.
解 x cos xdx xd sin x x sinx sinxdx
x sin x cos x C
问题 x 和 dx 能凑成微分吗？
《高等数学》
分部积分法
主讲 xxx
xx师范学院数学与信息科学学院
第3节 分部积分法
1.分部积分公式 2.典型类型分析 3.小结
1.分部积分公式
设函数 u u、( x) v v( x)均具有连
续导数， 则 uv uv uv ，
移项 得
uv uv uv ，
两边积分 得 uvdx uv dx uvdx ，
结论1 分部积分公式具有 降的幂作用.
例3 求不定积分 xlnxdx.
问题 lnxdxd ?
解
xlnxdx
lnxd
x2 2
lnx x2 2
x2
2
dlnx
x 2 lnx 2
x 2 1 dx 2x
x 2
1
ln x
xdx x 2 ln x1 x 2C .
2
2
2
4
注 将 xlnxdx 转化为 xdx
谢谢！
分部积分公式具有去掉对数 的作用.
例4 求不定积分 arctanxdx.
解 arctanxdx arctanxx xdarctanx
arctaBaidu Nhomakorabeaxx
xdx 1 x2
1 d1 x2
x
x
arctanx 2 arctanx1 ln
1 x2 1 x 2
C
注
将
arctan
2 xdx
转化为
x 1 x 2
dx
分部积分公式具有去掉反三角函数的作用.
类型2
形如 Pn ( x) ln x dx , Pn( x)arcsin xdx ,
Pn( x)arctan x dx 等的不定积分，其中Pn ( x)为
多项式，和 为常数．
结论2 分部积分公式具有 去掉对数函数、 去掉反三角的函作数用.
例5 求不定积分 sinxe x dx.
x cos xdx cos xd
x2 2
cos x
x2 2
x2 2
dcos x
x2
x2
cos x
越化越难,不能！
2
2
sinxdx
类型1
形如 Pn ( x) e x dx , Pn ( x)sin x dx ,
Pn ( x)cos x dx 等的不定积分， 其中 Pn ( x)
为多项式， 和 为常数．
解 sin x e x dx sin xde x
sinxe x e xdsinx e xsin x e xcosxdx e xsinx cosxde x e xsinxe x cosx sinx e xdx 循环
故
sinx
e
x
dx1 2
e
x
sinxcosx
C
.
类型3
形如 e xsin xdx , ex cos xdx 等的不定
即
uvdxuv uvdx，
或
u d vuv v d u.
udvuv vdu
上式称为分部积分公式，利用分部积分 公式求不定积分的方法称为分部积分法． 注 ①公式的特点 具有对称性
②公式的记忆
udv d
u dv uv v du
上式称为分部积分公式，利用分部积分 公式求不定积分的方法称为分部积分法． 注 ①公式的特点 具有对称性
②公式的记忆
ud v uv v d u
③公式的用途 将 u dv转化为 v du
2.典型类型分析
例1 求不定积分 xe xdx.
解 xe xdx xde x xe x e x dx
xe x e x C
注 将 x1e xdx 转化为 x0e xdx.
分部积分公式具有 降幂 的作用.