离散数学习题解答

不是代数系统。
因为22 0，而0 S。所以S;
解答：
13.2找出下述代数系统中的单位 元，逆元与零元：
(1)R;,; (2)M nn (Q);,其中M nn (Q)为有理数构成的
n n阶矩阵；，分别为矩阵的加法与乘法。
（1）R;,
解答： 单位元
加法“” 0
乘法“” 1
逆元
- a, (a R)
证明：作映射：S T , (a ib) a 2b (1)显然，映射是一个双射。 （2）证明（（a1 ib1） (a2 ib2 )）
(a1 ib1) (a2 ib2 ) （（a1 ib1） (a2 ib2 )） （（a1 a2） i(b1 b2 )） （a1 a2） 2(b1 b2 ) （a1 2b1） (a2 2b2 ) (a1 ib1) (a2 ib2 )
(2) (a1) (a) (a1 * a) (e); (a) (a1) (a * a1) (e); (a1)为 (a)的逆元。
离散数学习题解答
第十三章 代数结构预备知识
13.1判断下述系统是不是代数系统
(4) S;其中S 0,1,2,3,定义为 i j i j;
解答：是代数系统。
取任意的i, j都能满足i j S。 例如：2 3 1，0 1 1， 2 2 0等等。
(5) S;其中S 1,2,3,定义为i j ij;
a1 a2 a1 a2 b1 b2 b1 b2
设 ~ 是代数系统的相容等价关系，那么
由a1 ~ a2 , b1 ~ b2可得a1 b1 ~ a2 b2
a1 b1 a2 b2
由a1，a2 , b1，b2的任意性可得，结论成立。
13.6 证明代数系统S;与代数系统T;是同
构的，其中 S a ib | a,b ,T a 2b | a,b
13.7设S;*与T;同态， 为其同态映射，e为S之
单位元，证明 (e)为T的单位元;若a S，a1 S 为其逆元，则 (a1)为 (a)之逆元。 证明：(1) e为S之单位元, 为其同态映射 (e) T. b T , 为满射，a S,(a) b (e) b (e) (a) (e * a) (a) b; b (e) (a) (e) (a *e) (a) b; 即(e) b b b源自文库(e). (e)为T的单位元.
解答：
不是唯一的。举反 例证明。
如右图，1和2均为
中 S;* 的左单 元。 另一方面，S ;* 无
右单位元。
*123 1123 2123 331 2
13.4 证明 S;之商系统 S~; 中的运算结果
与等价类的代表元选取无关。
证明：设a,b S~,取任意的a1, a2 a,b1,b2 b
S~; 是S;的商系统
1 a
, (a
R,
a
0)
无逆元, (a 0)
零元 无
0
（2）M nn (Q);,
解答： 单位元
加法“” n阶零矩阵
乘法“” n阶单位矩阵
逆元
- Mnn (Q)
逆矩阵M 1，若M
为非降秩矩阵;
无逆元, 若M为
降秩矩阵;
零元 无
0
13.3代数系统 S;* 中若只有左（右）单位
元,是否唯一？为什么？