函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式
函数的幂级数展开式幂级数展开式在数学和物理学等领域中非常重要，可以用来近似计算函数的值、求解微分方程、分析函数的性质等。
幂级数是指形如∑(an)(x-a)^n的级数，其中an是常数系数，x是变量，a是展开点。
幂级数展开式可以认为是多项式的无穷级数，通过将无穷多项式项相加得到。
一个函数的幂级数展开式的一般形式为：f(x) = ∑(an)(x-a)^n其中，an是函数f(x)在展开点a处的n阶导数值除以n的阶乘，即：an = f^(n)(a) / n!这里，f^(n)(a)表示函数f(x)在点a处的n阶导数。
幂级数展开式的收敛性需要通过收敛半径来判断。
幂级数展开式在展开点a的收敛半径r为：r = 1 / lim sup( ，an，^(1/n) )其中，lim sup是上极限。
当，x-a，<r时，幂级数展开式收敛；当，x-a，>r时，幂级数展开式发散；当，x-a，=r时，幂级数展开式的收敛情况需要进一步判断。
幂级数展开式的收敛半径决定了展开式的适用范围。
当，x-a，<r时，可以通过前n项的有限求和来近似计算函数的值，对于其他点则需要通过对幂级数进行求和计算。
幂级数展开式的求解可以利用泰勒级数或母函数法等方法。
泰勒级数是一种特殊的幂级数展开形式，其中展开点a为0，并且每一项的系数an 与函数在展开点处的导数值相关。
幂级数展开式在许多函数中都有应用，例如指数函数、三角函数、对数函数等。
通过幂级数展开式，可以将这些函数在其中一点的展开为无穷项的级数，在一定范围内进行近似计算。
总之，函数的幂级数展开式是一种重要的数学工具，可以用来近似计算函数的值、求解微分方程、分析函数的性质等。
幂级数的展开式
f ( x ) = a 0 + a1 ( x x 0 ) + + a n ( x x 0 ) +
n
逐项求导任意次,得 逐项求导任意次 得
′( x ) = a1 + 2a 2 ( x x0 ) + + na n ( x x0 ) n1 + f f ( n ) ( x ) = n! a n + ( n + 1)n 3 2a n+1 ( x x0 ) +
令 x = x0 , 即得 1 (n) an = f ( x0 ) n!
(n = 0,1,2, 泰勒系数 )
泰勒系数是唯一的, 泰勒系数是唯一的 ∴ f ( x )的展开式是唯一的 .
定义
∞
处任意阶可导, 如果 f ( x ) 在点 x0 处任意阶可导,则幂级数
f ( n ) ( x0 ) n 泰勒级数. ∑ n! ( x x0 ) 称为 f ( x ) 在点 x0 的泰勒级数. n=0 (n) ∞ f ( 0) n 麦克劳林级数. ∑0 n! x 称为 f ( x ) 在点 x0 = 0 的麦克劳林级数. n=
第四节 函数的幂级数展开式
一,泰勒级数
上节告诉我们: 上节告诉我们: 幂级数在其收敛域内有一个和函数, 幂级数在其收敛域内有一个和函数,把这句话反过来 就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数. 说,就是这个和函数在收敛域内可以展开成幂级数. 我们的问题是:任意给定的函数f(x) 我们的问题是:任意给定的函数f(x) 1.在什么条件下才能展开成幂级数 在什么条件下才能展开成幂级数? 在什么条件下才能展开成幂级数
n→∞
证明 必要性 设f ( x )能展开为泰勒级数 ,
高等数学课件：11-4 函数的幂级数展开式
n 2k n 2k 1
(k 0, 1, 2,)
得级数:
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n1
1 (2n1)!
x2n1
其收敛半径为 R , 对任何有限数 x , 其余项满足
sin(
(n
1)
2
)
(n 1)!
x n 1
n
sin x
x
1 3!
x3
1 5!
x5
(1)n
1 ( 2 n1)!
x 2n1
2. 间接展开法 利用一些已知的函数展开式 及幂级数的运算性质, 将所给函数展开成 幂级数. 例3. 将 f ( x) cos x 展开成为关于x 的幂级数. 解：由于
1 x
( 1 x 1)
1 1 x x2 xn 1 x
(1 x 1)
例6. 求
的麦克劳林级数.
解: sin2 x 1 1 cos 2x 22
1 1 (1)n 1
2 2 n0
( 2n) !
x (, )
1 (1)n
4n
x 2n (1)n1
4n
x 2n
2 n1
( 2n) !
f (0) f (0)x f (0) x2 f (n) (0) xn
2!
n!
两个待解决的问题 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
泰勒公式
若函数
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
该邻域内有 :
f
(x)
f
(
x0 ) f (x0 )(x x0 ) f (n) (x0 ) (x n!
所以展开式对 x ＝1 也是成立的, 于是收敛域为
高等数学第五节 函数幂级数展开
f(x) f(0) f(0)x f(0) x2 f(n)(0) xn
2!
n!
rn(x). ②
rn(x)f((n n 1 )(1 )x!)xn1 (0θ1).
②式称为麦克劳林公式 . 幂级数
f()0 f(0 )x f(0 )x 2 f(n )(0 )x n ,
rn(x)(n e( θx 1))!xn1 (0θ1),
且 x ≤ x x , 所以eθx ex , 因而有
rn(x)(n e x 1)!xn1(ne x1)!xn1.
注意到，对任一确定的 x 值， e x 是一个确定
的常数 . 而级数 ⑥ 是绝对收敛的，因此其一
例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
解 由 f(n )(x)ex(n1,2,3, ), 可以
得到
f(0 ) f(0 ) f(0 ) f(n )(0 ) 1 .
因此我们可以得到幂级数
1x1x2 1xn .
⑥
2!
n!
显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) . 至 于 数 ⑥ 是 否 f(x)以 ex为 和 ,收 函 敛 f数 (x 于 )ex, 还要考察函f(x数)ex 的麦克劳林公式中 项, 因为
所以 f(x) 1 1 1x 2x
(1xx2 xn )
1[1x(x)2 (x)n ]
2 22
2
1 2 2 2 2 21x 2 3 2 31x 2 2 n 2 n 1 11x n .
根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应
取较小的一个，故 R = 1，因此所得幂级数的收 敛区间为 1 < x < 1 .
例7
幂级数. 解
函数的幂级数展开式的应用一近似计算
。
拓展幂级数展开式在物 理、工程、金融等领域 的应用，提高近似计算
的精度和效率。
探索新的近似计算方法和技术
研究新的近似计算方法，如泰勒级数、傅里叶级 数等，以适应不同问题的需求。
结合人工智能和机器学习技术，开发自适应近似 计算算法，提高计算效率和精度。
探索混合精度计算方法，结合不同精度的数值计 算，以实现更高效的近似计算。
01
幂级数展开式的收敛性是指级数在某个区间内是收敛的，即其 和是有限的。
02
收敛性的判断对于幂级数展开式的应用至关重要，因为只有在
收敛的条件下，级数的近似值才具有意义。
收敛性的判断依据包括柯西收敛准则、阿贝尔定理等，这些准
03
则可以帮助我们确定幂级数的收敛域。
近似计算的精度控制
1
近似计算的精度控制是指在近似计算过程中，如 何控制近似值的误差范围，以确保结果的准确性。
收敛速度快
幂级数展开式的收敛速度通常比其他级数展开式更快，这意味着在 相同的精度要求下，幂级数展开式需要的项数更少。
适用范围广
幂级数展开式适用于多种类型的函数，包括初等函数和某些复杂函 数。
幂级数展开式的局限性
收敛范围有限
幂级数展开式的收敛范围通常较小，这意味着在某些情况下，需要非常接近展开点才能 得到有意义的结果。
幂级数展开式的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$
幂级数展开式的性质
01
幂级数展开式具有唯一性，即一个函数只有一个幂 级数展开式。
02
幂级数展开式具有收敛性，即当$x$取值在一定范围 内时，级数收敛，否则发散。
函数的幂级数展开式
1 + ( −4 ) n n x , = ln 4 − ∑ n n4 n =1
∞
x ∈ (− 1, 1] −
ln(1 + x ) = ∑ ( −1) n−1
n =1
∞
xn x2 x3 − = x− + − L , x ∈ (−1, 1] n 2 3 18
例9 将 f (x) = xarctanx −ln 1+ x 展 成 开 麦
n= 3
⇒ f ′′′( 0) = 3! a 3
f ′′′(0) ⇒ a3 = 3!
4
f ( x ) = ∑ a n x n = a 0 + a1 x + a 2 x 2 + L ( | x | < r )
n=0
∞
归纳可得， 归纳可得，
f ( k ) ( 0) ak = k!
即得
( k = 0,1,2 L)
∞
16
1 的幂级数. 展开成 x 的幂级数. 例7 将 f ( x ) = 2 x + 4x + 3
解
1 1 f ( x) = 2 = x + 4 x + 3 ( x + 1)( x + 3 )
1 1 1 1 1 1 = − = 2(1 + x ) − 6 ⋅ 1 + x / 3 2 x + 1 x + 3
− x2
展开成 x 的幂级数. 的幂级数.
e =∑
x nቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ0
∞
x , x ∈ ( −∞ ,+∞ ) n!
2 n ∞ n
n
所以
e
−x
2
高等数学第五节 函数幂级数展开-PPT文档资料
f ( 0 ) 2 S (x )f( 0 )f ( 0 )x x n 1 2 ! ) f(n ( 0 ) n x. n !
那么， 级数 ③ 收敛于函数 f(x) 的条件为
lim S ( x ) f ( x ) . n 1
n
注意到麦克劳林公式 ② 与麦克劳林级数 ③ 的关为泰勒公式 .
如果令 x 0 , 就得到 0
f (0 ) 2 f (n)(0 ) n f (x ) f (0 ) f (0 )x x x 2 ! n ! r ). n(x ②
( n 1 ) f ( x )n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) . n ( n 1 )!
( 0 ) 1 , , ( 0 ) 0 ,f f( 0 )0, f( 0 ) 1 , f
n 1 ) n ( 0 ) ( 1 ) . f(2n)( 0 )0, f(2
于是可以得到幂级数
2 n 1 1 3 15 x n x x x ( 1 ) , 3 ! 5 ! ( 2 n 1 )!
称为泰勒级数 .
二、 直接展开法
利用麦克劳林公式将函数 f(x 展开成幂级数
的方法，称为直接展开法 .
例1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
( n ) x 解 由 f ( x ) e( n 1 , 2 , 3 , ) , 可以
得到
( n ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) f ( 0 ) 1 .
( θ x ) e n 1 r ( x ) x ( 0 θ 1 ) , n ( n 1 )!
且 x≤
x θx x x , 所以 e e , 因而有
数学物理方法课件解析函数的幂级数展开
幂级数展开求解积分方程
幂级数展开求解积分方程 的步骤
首先将积分方程中的未知函数进行幂级数展 开，然后代入积分方程中求解系数，最后得 到积分方程的解。
举例
求解∫(上限1下限0) (x^2+y^2)^(-3/2) * y dx = 1。将y(x)进行幂级数展开，得到
y(x)=∑(n=0,∞) a_n * x^(n+1)，然后代入 积分方程中求解系数a_n，得到解。
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幂级数展开的收敛半径
幂级数展开的收敛半径是指函数在一定区间内可以展开成幂 级数的范围。
收敛半径的大小取决于各项系数的变化规律，可以通过比较 相邻项系数的方法来确定收敛半径。
幂级数展开的收敛区间
幂级数展开的收敛区间是指函数可以精确展开成幂级数的区间，通常是一个闭区 间或者半开半闭区间。
在收敛区间内，幂级数展开可以无限逼近原函数，但在收敛区间的外延，误差会 逐渐增大。
数学物理方法课件解析函 数的幂级数展开
• 幂级数展开的概述 • 幂级数展开的原理 • 幂级数展开的应用 • 幂级数展开的实例解析
01
幂级数展开的概述
幂级数展开的定义
幂级数展开是指将一个函数表示为无 穷级数的方式，其中每一项都是该函 数的幂次与系数的乘积。
幂级数展开的一般形式为：$f(x) = a_0 + a_1x + a_2x^2 + cdots + a_nx^n + cdots$，其中 $a_0, a_1, ldots, a_n$ 是常数，$x$ 是自变量。
幂级数展开求解微分方程
幂级数展开求解微分方程的步骤
首先将微分方程中的未知函数进行幂级数展开，然后代入微分方程中求解系数，最后得 到微分方程的解。
函数的幂级数展开
f (x ) 在
定理 2 ( 充要条件 ) 设函数 f (x ) 在点 x0 有任意阶导数 . 则 f (x) 在区间 ( x0 r , x0 r ) ( r 0 ) 内等于其 Taylor 级数 ( 即可展 )的充要条件是: 对 x ( x0 , r ) , 有 lim Rn ( x) 0 . 其 n 中 Rn (x) 是 Taylor 公式中的余项. 证 把函数 f (x ) 展开为 n 阶 Taylor 公式, 有
1 ( n 1) Rn (x) f ( )( x ) n x, n!
在 0 与 x 之间.
Taylor 公式的项数无限增多时, 得
f ( x0 ) f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 ( x x0 ) n 2! n!
f ( n ) ( x) n! , n 1 (1 x) 1 在点 x 0 1 x
无限次可微. 求得
( x 1 ), f ( n ) (0) n!
2013-2-27
. 其 Taylor 级数为
4
1 x x x xn .
2 n
n 0
该幂级数的收敛域为 ( 1 , 1 ) . 仅在区间 ( 1 , 1 ) 内有 f (x) = x n .
a a
x
x ln a
x n ln n a , n! n 0
| x | .
2
2013-2-27
x 2 n 1 sin x ( 1 ) , (2n 1)! n 0
n
x( , ).
函数的幂级数展开式ppt课件泰勒级数课件
o
x0
P104,条件1,2
y f (x)
x
Pn的确定
Pn( x) a0 a1( x x0 ) a2( x x0 )2 an( x x0 )n
分析: f (x0) Pn(x0) a0
f (x0) Pn(x0) 1 a1 f (x0) Pn(x0) 2!a2
an
1 n!
代换 恒等变形
求导,积分
数项级数求和
无穷级数
特殊:数项级数
特殊:交正错项
一般:
一般:函数项级数
特殊:幂级数 一般:
判定敛散性
求R,收敛域 求和函数,
2. 数项级数求和
(1)e x 1 x 1 x2 2!
1 xn
n!
n0
1 n!
xn
此公式对应了无数个求和公式!
x0 )n
称为点 x0 处泰勒级数
f (x) 的泰勒级数 :
f (x)
f (x)
f (x0 )
f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
)
(
x
x0
)2
f
(n) (x0 ) (x n!
x0 )n
n0
f
(n)( x0 )( x n!
x0 )n
不一定！
2 定理1 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展成泰勒级数的 充要条件是 f (x) 的__________余项满足:___________
理解1:
f (x) 的 n 阶泰勒公式
f (x) f (x0 ) f (x0 )(x x0 )
f
( x0 2!
幂级数展开式常用公式 csdn
幂级数展开式常用公式一、概述幂级数展开是微积分中非常重要的一个概念，它在数学、物理、工程等领域都有着广泛的应用。
在实际问题中，往往需要根据实际情况来拟定幂级数展开式，以便进行进一步的分析和计算。
本文将介绍一些幂级数展开式的常用公式，以帮助读者更好地理解和应用这一重要的数学工具。
二、常见的幂级数展开式1. $e^x$的幂级数展开式可以利用泰勒公式得到$e^x$的幂级数展开式：$$e^x = 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots$$这个幂级数在实际计算中有着广泛的应用，特别是在微积分和概率论中。
2. $\sin x$的幂级数展开式$\sin x$函数的幂级数展开式为：$$\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots$$3. $\cos x$的幂级数展开式$\cos x$函数的幂级数展开式为：$$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$$4. $\ln(1 + x)$的幂级数展开式$\ln(1 + x)$函数的幂级数展开式为：$$\ln(1 + x) = x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots$$5. $(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式当$\alpha$为实数时，$(1 + x)^\alpha$的幂级数展开式为：$$(1 + x)^\alpha = 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!} x^2 + \frac{\alpha(\alpha - 1)(\alpha - 2)}{3!} x^3 + \cdots$$这个幂级数展开式在概率论和统计学中有着广泛的应用。
微积分第5节幂级数展开式
f ( x) n f (k)( x0 )
k0 k !
x x0
k
f (n1) ( ) n1 !
x x0 k ,
介于x, x0之间 .
f x任意可导 f ( x)
f (n)( x0 )
n0 n!
x x0
n.
2
函数展开方法之一：直接法
ex n ex e x xn
n0 n !
(1)n
x 2n
1 x2 x4 ,
x (,)
n0
(2n) !
2! 4!
9
解法2 (cos 2 x) sin2x (1)n (2x)2n1 ,
n0
(2n 1) !
两边从 0 到 x 积分,得
x (,)
cos2 x 1 1 (1)n (2x)2n2
2 n0
(2n 2) !
0 n0
n0
2n 1
故 f (x)
x
(1)n
x 2n1 dx
(1)n
x 2n 2
0 n0
2n 1
n0
(2n 1)(2n 2)
(1)n1
x2n
, (1 x 1)
n1
2n(2n 1)
13
例10. 将 f ( x) 1 展开成x 1的幂级数. 4+x
解
4
1
x
5
1 x
1
1 5
n0
n0
k n1
f
n
(
x)
n1
ak
x x0
k
n
an
x x0
n
n
ak
x x0
k n
k0
kn1
函数的幂级数展开
函数的幂级数展开函数的幂级数展开是解析学中的重要内容之一，通常也被称为泰勒级数或者麦克劳林级数。
它是一个无穷级数，可以将某些函数表示为一个多项式的和，从而方便了数学分析和计算机数值分析。
函数的幂级数展开由于其普适性和可求解性，被广泛地应用于数学、物理、工程、计算机等学科领域。
函数的幂级数展开是指把某些函数用一个无穷级数表示为：$f(z) = \sum_{n=0}^{\infty} a_n(z-z_0)^n$其中，$f(z)$是一个函数，$a_n$是实数或复数，$z$和$z_0$是复数。
$z_0$通常被称为展开点，$a_n$称为函数在展开点$z_0$处的$n$阶导数，级数$\sum_{n=0}^{\infty}a_n(z-z_0)^n$称为函数$f(z)$在$z_0$处的幂级数展开。
特别地，当$z_0=0$时，展开点称为原点，函数在原点处的幂级数展开也称为泰勒级数或麦克劳林级数。
二、泰勒级数和麦克劳林级数如果$f(z)$在$z_0$处有$n$阶导数，则可以将其展开为$n$阶泰勒级数：其中，$f^{(n)}(z_0)$表示$f(z)$在$z_0$处的$n$阶导数，$o$表示小量，$N$表示级数展开的阶数。
特别地，当$z_0=0$时，展开点称为原点，此时泰勒级数化为麦克劳林级数：三、幂级数收敛条件幂级数的收敛半径$\rho$可以通过以下公式得到：$\rho = \dfrac{1}{\limsup\limits_{n \rightarrow \infty} \sqrt[n]{|a_n|}}$当幂级数的收敛半径$\rho = 0$时，级数在$z=z_0$处不一定收敛；当$\rho=+\infty$时，级数在任何复数$z$处都收敛；当$0 < \rho < +\infty$时，级数在展开点$z_0$的半径为$\rho$的圆盘内收敛，在其外部则不一定收敛。
本文部分内容参考自百度百科。
10.4 函数的幂级数展开式
内具有各阶导数， 则 f ( x) 在该邻域内能展开
成泰勒级数的充要条件是 f ( x) 的泰勒公式的 余项满足
lim Rn ( x) 0
n
(3)
其中
1） f（n（ ） Rn ( x) ( x x0 )n1 (n 1)!
定理2 若 f ( x) 能展开成 x 的幂级数，则此展 开式是唯一的，且与它的麦克劳林级数相同．
x ( , )
用同样的展开方法，我们可以得到另一
个重要的展开式
m
m(m 1) 2 (1 x) 1 m x x 2! m(m 1) (m n 1) n x ( 1 x 1) n!
从上述讨论不难看出，直接展开法较繁， 多数使用下面的间接展开方法。
1 n! 且其收敛半径为 R lim n 1 (n 1)!
考虑余项
e Rn ( x) x n1 (n 1)!
的极限，因
e lim Rn ( x) lim x n 1 n n ( n 1)!
x x lim e 0 n (n 1)!
10.4.4 小结
1. 泰勒级数
函数展开成泰勒级数的充要条件
2. 函数展开成幂级数的方法
直接展开法
间接展开法
π ( x) sin( x n ) 2
时，f ( n ) (0) (1) k ，其中 k 0 , 1, 2 ,
可得级数
1 3 1 5 1 n 1 x x x (1) x 2 n1 3! 5! (2n 1)!
其收敛半径为R . 考虑余项
1 x n 1 xn ( ) n x 6 n 0 3 6(1 ) 6 n 0 3 3 1
常见函数的幂级数展开
常见函数的幂级数展开1. 指数函数 (Exponential Function)定义指数函数是指以常数e为底数的幂函数，通常表示为e^x。
其中e是一个常数，约等于2.71828。
用途指数函数在数学、物理、工程等领域中广泛应用。
它的幂级数展开形式可以用于近似计算指数函数的值，特别是当指数函数无法直接计算时。
工作方式指数函数的幂级数展开中，每一项的系数都是x的幂次与常数e的幂次之比。
通过将幂级数的前n项相加，可以近似计算指数函数的值。
指数函数的幂级数展开如下所示：e^x = 1 + x/1! + x^2/2! + x^3/3! + … + x^n/n! + …其中n!表示n的阶乘（n的所有正整数乘积），定义为n! = n * (n-1) * (n-2) * … * 2 * 1。
通过增加幂级数的项数，可以获得更精确的结果。
然而，幂级数展开通常在x的绝对值较小的范围内有效，当x的绝对值较大时，需要使用其他方法来计算指数函数的值。
指数函数的幂级数展开可以通过计算机程序来实现，例如使用Python编写以下代码：import mathdef exponential_series(x, n):result = 0for i in range(n):result += x**i / math.factorial(i)return resultx = 2.0n = 10print(exponential_series(x, n))上述代码计算了指数函数e^2的近似值，使用了前10项的幂级数展开。
2. 正弦函数 (Sine Function)定义正弦函数是一个周期函数，常用于描述周期性的波动现象。
它的幂级数展开可以用于近似计算正弦函数的值。
用途正弦函数在物理、工程等领域中广泛应用，例如描述振动、波动、电磁波等现象。
通过正弦函数的幂级数展开，可以计算正弦函数在给定角度处的近似值。
工作方式正弦函数的幂级数展开中，每一项的系数都与角度的幂次相关。
函数的幂级数展开
y
6
4
2
对任何实数 x, 都有 e| x| n 1 lim | x | 0, n ( n 1)!
因而 lim Rn ( x ) 0.
n
y ex
(n 2)
(n 0)
1 2
(n 3)
1
O
2
x
由定理 14.11 得到
1 1 2 e 1 x x 1! 2!
§2 函数的幂级数展开
由泰勒公式知道, 可以将满足一定条件的 函数表示为一个多项式与一个余项的和 . 如 果能将一个满足适当条件的函数在某个区间 上表示成一个幂级数, 就为函数的研究提供 了一种新的方法.
一、泰勒级数
二、初等函数的幂级数展开式
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一、泰勒级数
在第六章§3的泰勒定理中曾指出, 若函数f在点x0 的某邻域内存在直至n+1阶的连续导数, 则 f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n Rn ( x ), (1) n! 这里为 Rn ( x )拉格朗日型余项
这是泰勒公式带来的重要结论.
再进一步, 设函数 f 在x x0 处存在任意阶导数, 就 可以由函数 f 得到一个幂级数
f ( x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! ( n) f ( x0 ) ( x x0 )n , n!
1 x ( n1) Rn ( x ) f ( t )( x t )n dt , n! 0
1 Rn ( x ) f ( n1) ( ) x n1 , 在 0 与 x 之间, ( n 1)!
幂级数展开的通用公式
幂级数展开的通用公式在数学领域中，幂级数是一种重要的数学工具，被广泛应用于各个领域，包括微积分、物理学、工程学等。
幂级数的展开是将一个函数表示为一列无限级数的形式，可以通过幂级数的通用公式来实现。
本文将介绍幂级数的基本概念、通用公式以及具体的应用案例。
一、幂级数的基本概念幂级数是一种形如 f(x) = a₀ + a₁x + a₂x² + a₃x³ + ... 的级数，其中a₀, a₁, a₂, a₃, ... 是常数系数，被称为幂级数的系数。
x 是变量，表示幂级数的自变量。
对于每个给定的 x 值，幂级数可以收敛或发散。
幂级数的收敛性需要通过一些数学方法判断，例如比值测试、根值测试等。
如果幂级数在某个区间内对于所有 x 值都收敛，那么该幂级数在该区间内是收敛的。
二、幂级数展开的通用公式幂级数可以通过通用公式进行展开。
幂级数展开的通用公式可以表示为：f(x) = Σ(aₙ * (x - c)ⁿ)在通用公式中，aₙ 是幂级数的系数，(x - c) 是幂级数的基，n 是指数。
幂级数展开的通用公式表达了幂级数的每一项，通过不同的系数和指数可以获得不同的幂级数展开形式。
三、幂级数展开的应用案例幂级数展开在实际问题中有广泛的应用。
以下是一些常见的应用案例：1. 泰勒级数展开：泰勒级数展开是将一个函数在某个特定点处展开成幂级数的形式。
通过将函数进行幂级数展开，可以将复杂的函数近似表示为简单的幂级数形式，从而方便进行计算。
例如，将函数 sin(x) 展开成泰勒级数可以得到它的近似值。
2. 函数逼近：幂级数展开可以用于函数逼近问题。
通过选择合适的系数和指数，可以将一个给定的函数逼近成一个幂级数。
这对于需要近似计算的函数，在一定精度要求下可以提供快速的计算解决方案。
3. 物理学应用：幂级数展开在物理学中有广泛的应用。
例如，电磁场的势能可以通过幂级数展开来进行描述和计算。
这种展开可以帮助解决复杂的物理问题，并为物理学家提供更好的理解和预测能力。
常用的幂级数展开式
常用的幂级数展开式幂级数展开式是数学中常用的一种表达式形式，它可以将一个函数表示为一系列幂函数的和的形式。
常用的幂级数展开式包括泰勒级数、麦克劳林级数和洛朗级数等。
泰勒级数是将一个可导函数展开成一系列无限次可导函数的和的形式。
其表达式为：$$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}}{n!}(x-a)^n$$其中$f^{(n)}$表示$f$的$n$阶导数，$a$是展开点。
泰勒级数具有很好的逼近性质，因为它是在展开点处的无限阶导数的展开。
麦克劳林级数是泰勒级数的一种特殊情形，即展开点$a=0$的情况。
其表达式为：$$ f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n $$洛朗级数是将一个函数在一个圆环内展开成带有负幂次的幂函数的和的形式。
其表达式为：$$ f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}a_n(z-z_0)^n $$其中$z_0$是展开点，$a_n$是展开系数。
洛朗级数可以用于分析包括孤立奇点在内的复变函数的性质。
除了上述三种常用的幂级数展开式外，还有一些特殊的幂级数，如勒让德级数、傅立叶级数和庞加莱级数等。
这些级数在物理学、工程学、数学等领域中具有重要的应用。
在实际应用中，人们常常需要根据需要选择适当的幂级数展开式，并确定展开点和展开系数，以尽可能准确地描述函数的性质和行为。
例如，在微积分和物理学中，通过泰勒级数展开可以求得一个函数在某一点的导数和高阶导数，从而可以了解函数在该点的特征。
而在信号处理、图像处理等领域，则广泛应用傅里叶级数展开来描述信号的频域特性。
因此，深入理解各种幂级数展开式及其应用，对于数学和应用学科的学习都具有重要的意义。
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k 0
n
n
f
(k )
( x0 ) ( x x0 ) k k!
f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
x U ( x0 )
定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是
n 0
f ( n ) (0) n f (0) 2 f ( n ) (0) n x f (0) f (0) x x x ， (13.4.6) n! 2! n!
称之为函数 f ( x) 的马克劳林级数， 记为 f ( x) ~
n 0
f ( n ) (0) n x ． (13.5.7) n!
唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
a0 f (0) a1 f (0)
f ( x) a1 2a2 x nan x n 1 ;
1 f (0) f ( x) 2!a2 n(n 1)an x n 2 ; a 2 2 !
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n n!
(13.5.4)
为函数 f ( x) 在点 x x0 处的泰勒级数，记为
f ( x) ~
n 0
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n 0 时，幂级数 (13.5.4)为
( ) ( x x0 ) n 1 ( 在 x 与 x0 之间) 其中 Rn ( x) (n 1) ! 称为拉格朗日余项 . f
( n 1)
若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f ( x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n! 为f (x) 的泰勒级数 .
第五节 函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求和
第十三章
和函数
展开
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒 ( Taylor ) 级数
复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式
若函数
该邻域内有 :
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
f ( x ) 0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n!
都等于零，即
f ( n) (0) 0, n 0,1,2, ，
所以 f ( x) 在点 x 0 处的泰勒级数（即马克劳林级数）为 0 2 0 2 0 0x x x ． 2! n!
显然该级数在 (, ) 内收敛，且其和函数 s( x) 0 ，由此可见， 对任意 x 0 ，均有 f ( x) s( x) ．
f
( n)
( x ) n ! an ;
1 f ( n ) (0) an n !
显然结论成立 .
二、函数展开成幂级数
展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数 f ( x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳林级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim Rn ( x) 是否为 0.
n
第四步 当 0 R 时，判定幂级数
n 0
f ( n ) (0) n x 在点 x R 和 n!
x R 处的敛散性．
如果该幂级数在点 x R（或 x R ） 处收敛， 且 f ( x) 在点 x R 处左连续（或在点 x R 处右连续） ，则由幂级数和函数的连续性知 展开式
函数 f ( x) 在点 x x0 处的泰勒级数（13.5.4）的收敛域记为 I0 ．
在其收敛域 I0 内， f ( x) 的泰勒级数的和函数是否一定等于 f ( x) ， 即 f ( x) 的泰勒级数是否一定收敛于 f ( x) ？答案是否定的．
x12 例如，可以证明函数 f ( x) e . x 0, 在点 x 0 处的任意阶导数 x0 0,
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
定义 13.5.1 如果函数 f ( x) 在点 x x0 处有任意阶导数，就称幂级数
n 0
f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) n ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 n! 2!
此例表明函数 f ( x) 的泰勒级数并不都是收敛于函数 f ( x) 本身．
基于此原因，式（13.5.5）与式（13.5.7）中采用记号为“ ~ ”而 不是 “=” ， 只有当函数 f ( x) 的泰勒级数的收敛于 f ( x) 时， 才可将 “~ ” 换为“=” ，并称函数 f ( x) 可展开成幂级数．
那么，函数 f ( x) 具备什么条件时才可展开成幂级数？
定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: lim Rn ( x) 0 .
f ( n ) ( x0 ) n f ( x ) ( x x ) , x U ( x0 ) 证明: n! 0 n 0