函数的幂级数展开式
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第五节 函数展开成幂级数
两类问题: 在收敛域内 求和
第十三章
和函数
展开
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒 ( Taylor ) 级数
复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式
若函数
该邻域内有 :
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
f ( x ) 0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n!
f
( n)
( x ) n ! an ;
1 f ( n ) (0) an n !
显然结论成立 .
二、函数展开成幂级数
展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数 f ( x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
都等于零，即
f ( n) (0) 0, n 0,1,2, ，
所以 f ( x) 在点 x 0 处的泰勒级数（即马克劳林级数）为 0 2 0 2 0 0x x x ． 2! n!
显然该级数在 (, ) 内收敛，且其和函数 s( x) 0 ，由此可见， 对任意 x 0 ，均有 f ( x) s( x) ．
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳Fra Baidu bibliotek级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim Rn ( x) 是否为 0.
n
第四步 当 0 R 时，判定幂级数
n 0
f ( n ) (0) n x 在点 x R 和 n!
唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
a0 f (0) a1 f (0)
f ( x) a1 2a2 x nan x n 1 ;
1 f (0) f ( x) 2!a2 n(n 1)an x n 2 ; a 2 2 !
n 0
f ( n ) (0) n f (0) 2 f ( n ) (0) n x f (0) f (0) x x x ， (13.4.6) n! 2! n!
称之为函数 f ( x) 的马克劳林级数， 记为 f ( x) ~
n 0
f ( n ) (0) n x ． (13.5.7) n!
令 S n 1 ( x)
k 0
n
n
f
(k )
( x0 ) ( x x0 ) k k!
f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
x U ( x0 )
定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是
x R 处的敛散性．
如果该幂级数在点 x R（或 x R ） 处收敛， 且 f ( x) 在点 x R 处左连续（或在点 x R 处右连续） ，则由幂级数和函数的连续性知 展开式
( ) ( x x0 ) n 1 ( 在 x 与 x0 之间) 其中 Rn ( x) (n 1) ! 称为拉格朗日余项 . f
( n 1)
若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f ( x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n! 为f (x) 的泰勒级数 .
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n n!
(13.5.4)
为函数 f ( x) 在点 x x0 处的泰勒级数，记为
f ( x) ~
n 0
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n ． n!
(13.5.5)
当 x0 0 时，幂级数 (13.5.4)为
此例表明函数 f ( x) 的泰勒级数并不都是收敛于函数 f ( x) 本身．
基于此原因，式（13.5.5）与式（13.5.7）中采用记号为“ ~ ”而 不是 “=” ， 只有当函数 f ( x) 的泰勒级数的收敛于 f ( x) 时， 才可将 “~ ” 换为“=” ，并称函数 f ( x) 可展开成幂级数．
那么，函数 f ( x) 具备什么条件时才可展开成幂级数？
定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: lim Rn ( x) 0 .
f ( n ) ( x0 ) n f ( x ) ( x x ) , x U ( x0 ) 证明: n! 0 n 0
函数 f ( x) 在点 x x0 处的泰勒级数（13.5.4）的收敛域记为 I0 ．
在其收敛域 I0 内， f ( x) 的泰勒级数的和函数是否一定等于 f ( x) ， 即 f ( x) 的泰勒级数是否一定收敛于 f ( x) ？答案是否定的．
x12 例如，可以证明函数 f ( x) e . x 0, 在点 x 0 处的任意阶导数 x0 0,
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
定义 13.5.1 如果函数 f ( x) 在点 x x0 处有任意阶导数，就称幂级数
n 0
f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) n ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 n! 2!
两类问题: 在收敛域内 求和
第十三章
和函数
展开
本节内容: 一、泰勒 ( Taylor ) 级数 二、函数展开成幂级数
一、泰勒 ( Taylor ) 级数
复习: f (x) 的 n 阶泰勒公式
若函数
该邻域内有 :
的某邻域内具有 n + 1 阶导数, 则在
f ( x ) 0 f ( x) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 2! (n) f ( x0 ) ( x x0 ) n Rn ( x) n!
f
( n)
( x ) n ! an ;
1 f ( n ) (0) an n !
显然结论成立 .
二、函数展开成幂级数
展开方法 直接展开法 — 利用泰勒公式 间接展开法 — 利用已知其级数展开式 的函数展开 1. 直接展开法
由泰勒级数理论可知, 函数 f ( x) 展开成幂级数的步
骤如下 :
都等于零，即
f ( n) (0) 0, n 0,1,2, ，
所以 f ( x) 在点 x 0 处的泰勒级数（即马克劳林级数）为 0 2 0 2 0 0x x x ． 2! n!
显然该级数在 (, ) 内收敛，且其和函数 s( x) 0 ，由此可见， 对任意 x 0 ，均有 f ( x) s( x) ．
第一步 求函数及其各阶导数在 x = 0 处的值 ; 第二步 写出麦克劳Fra Baidu bibliotek级数 , 并求出其收敛半径 R ;
第三步 判别在收敛区间(－R, R) 内 lim Rn ( x) 是否为 0.
n
第四步 当 0 R 时，判定幂级数
n 0
f ( n ) (0) n x 在点 x R 和 n!
唯一的 , 且与它的麦克劳林级数相同. 证: 设 f (x) 所展成的幂级数为 则
a0 f (0) a1 f (0)
f ( x) a1 2a2 x nan x n 1 ;
1 f (0) f ( x) 2!a2 n(n 1)an x n 2 ; a 2 2 !
n 0
f ( n ) (0) n f (0) 2 f ( n ) (0) n x f (0) f (0) x x x ， (13.4.6) n! 2! n!
称之为函数 f ( x) 的马克劳林级数， 记为 f ( x) ~
n 0
f ( n ) (0) n x ． (13.5.7) n!
令 S n 1 ( x)
k 0
n
n
f
(k )
( x0 ) ( x x0 ) k k!
f ( x) S n 1 ( x) Rn ( x)
n
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
x U ( x0 )
定理2. 若 f (x) 能展成 x 的幂级数, 则这种展开式是
x R 处的敛散性．
如果该幂级数在点 x R（或 x R ） 处收敛， 且 f ( x) 在点 x R 处左连续（或在点 x R 处右连续） ，则由幂级数和函数的连续性知 展开式
( ) ( x x0 ) n 1 ( 在 x 与 x0 之间) 其中 Rn ( x) (n 1) ! 称为拉格朗日余项 . f
( n 1)
若函数
的某邻域内具有任意阶导数, 则称
f ( x0 ) ( x x0 ) 2 f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) 2! f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n n! 为f (x) 的泰勒级数 .
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 )n n!
(13.5.4)
为函数 f ( x) 在点 x x0 处的泰勒级数，记为
f ( x) ~
n 0
f ( n ) ( x0 ) ( x x0 ) n ． n!
(13.5.5)
当 x0 0 时，幂级数 (13.5.4)为
此例表明函数 f ( x) 的泰勒级数并不都是收敛于函数 f ( x) 本身．
基于此原因，式（13.5.5）与式（13.5.7）中采用记号为“ ~ ”而 不是 “=” ， 只有当函数 f ( x) 的泰勒级数的收敛于 f ( x) 时， 才可将 “~ ” 换为“=” ，并称函数 f ( x) 可展开成幂级数．
那么，函数 f ( x) 具备什么条件时才可展开成幂级数？
定理1 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要 条件是 f (x) 的泰勒公式余项满足: lim Rn ( x) 0 .
f ( n ) ( x0 ) n f ( x ) ( x x ) , x U ( x0 ) 证明: n! 0 n 0
函数 f ( x) 在点 x x0 处的泰勒级数（13.5.4）的收敛域记为 I0 ．
在其收敛域 I0 内， f ( x) 的泰勒级数的和函数是否一定等于 f ( x) ， 即 f ( x) 的泰勒级数是否一定收敛于 f ( x) ？答案是否定的．
x12 例如，可以证明函数 f ( x) e . x 0, 在点 x 0 处的任意阶导数 x0 0,
当x0 = 0 时, 泰勒级数又称为麦克劳林级数 . 待解决的问题 :
1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？
2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
定义 13.5.1 如果函数 f ( x) 在点 x x0 处有任意阶导数，就称幂级数
n 0
f ( n ) ( x0 ) f ( x0 ) n ( x x0 ) f ( x0 ) f ( x0 )( x x0 ) ( x x0 ) 2 n! 2!