南大复变函数与积分变换课件(PPT版)9.2 拉普拉斯变换的性质

2
已知
[1]
1 s
,
[ cos 2 t ]
s s 2
2 2
,
根据线性性质以及象函数的导数性质有
[ t cos
2 2
t]
1 2

6
d
2 2
[
1 s
2

s s 2
2 2
]
ds

2 ( s 24 s 32 ) s (s 4)
3 2 3
.
17
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 已知 拉 普 拉 斯 变 换
再由积分性质得
[ t sin 2 t d t ]
0 t
1 s

4s (s 4)
2 2

4 (s 4)
2 2
.
21
§9.2 Laplace 变换的性质 第 四、积分性质 九 章 2. 象函数的积分

P220
拉 性质 s F ( s ) d s [ t ] . 普 拉 一般地，有 斯 变 d ds s ss F ( s ) d s s 换
[ f ( t )] e
.
11
§9.2 Laplace 变换的性质 第 三、微分性质 九 ▲ 章 1. 导数的象函数 拉 性质 普 拉 证明 斯 变 换
P217 P217
[ f ( t ) ] sF ( s ) f ( 0 ) .
[ f ( t ) ]
0

f ( t ) e
st
st
dt

P216
3
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 拉 普 拉 斯 变 换
f ( t ) sin 2t sin 3t
[ f (t ) ] 1 2
1 2
(cos t cos 5t ) ,
(
[ cos t ]
[ cos 5 t ])
1 s s 2 2 2 s 1 s 25 12 s ( s 1) ( s 25)



f (t ) e
st
dt
sx
令 x t
e
s
0

f ( x) e
e
s
dx
F (s) .
7
§9.2 Laplace 变换的性质 第 二、延迟性质与位移性质 九 章 1. 延迟性质 拉 性质 设当 t < 0 时 f ( t ) 0 , 则对任一非负实数 有 普 s [ f ( t )] e F (s) . 拉 斯 变 注意 在延迟性质中专门强调了当 t < 0 时 f ( t ) 0 这一约定。 换 因此，本性质也可以直接表述为：
2
2
18
§9.2 Laplace 变换的性质 第 四、积分性质 九 章 1. 积分的象函数
t
P219 P219
F (s) . [ f (t ) d t ] 拉 性质 0 s 普 拉 证明 令 g ( t ) t f ( t ) d t , 则 g ( t ) f ( t ) 且 g ( 0 ) 0 , 0 斯 变 由微分性质有 换

sin t t
e st d s arccot s .
在上式中，如果令 s = 0，则有
0

sin t t
ds
π 2
.
启示 在 Laplace 变换及其性质中，如果取 s 为某些特定的值， 就可以用来求一些函数的广义积分。
利用拉氏变换 计算广义积分
23
§9.2 Laplace 变换的性质
0

e s t d f (t )
st
f (t ) e
0
s
0
f (t ) e
dt ,
ct 由 | f ( t ) | Me , 有 | f ( t ) e s t | Me ( Re s c ) t ,
st 因此当 Re s c 时，有 lim f ( t ) e 0 , t
2 2
.
4
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
解 F (s)
f (t )
1 s2
1

1 s1
,
1
[ F ( s )]
t
[
1 s2
]
1
[
1 s1
]
e
2t
e .
5
§9.2 Laplace 变换的性质 第 一、线性性质与相似性质 九 章 2. 相似性质(尺度性质) P217 拉 性质 普 拉 证明 斯 变 换
§9.2 Laplace 变换的性质
在下面给出的基本性质中， 所涉及到的函数的 Laplace
变换均假定存在，它们的增长指数均假定为 c。且
F (s) [ f (t ) ],
G (s) [ g(t ) ].
对于涉及到的一些运算(如求导、积分、极限及求和等) 的次序交换问题，均不另作说明。
2
§9.2 Laplace 变换的性质 第 一、线性性质与相似性质 九 章 1. 线性性质 P216 拉 普 拉 斯 变 换 证明 (略) 性质
ds
0
0
s


0
t f (t ) e
st
dt
n
[ t f ( t ) ];
同理可得 F ( n ) ( s ) ( 1 ) n
[ t f (t ) ].
15
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 已知 拉 普 拉 斯 变 换
P219 例9.8
[ sin t ]
0, t 2.
10
§9.2 Laplace 变换的性质 第 二、延迟性质与位移性质 九 章 2. 位移性质 P223 拉 性质 普 拉 证明 (略) 斯 变 t [ e cos 例如 换
t
t]
s1 ( s 1) 1 1 ( s 1) 1
2 2
.
[ e sin t ]
t 0
Laplace 变换的这一性质非常重要，可用来求解微分 方程(组)的初值问题。（ §9.4 将专门介绍） 13
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 利用导数的象函数性质来求解本题 拉 普 拉 斯 变 换 由
f ( 0 ) f ( 0 ) f [ f
(m ) (m 1)
部分基本性质汇总 第 九 [ a f ( t ) b g ( t )] 章 线性性质
拉 普 拉 斯 相似性质 变 换 延迟性质
1
a F (s) b G (s);
[ a F ( s ) b G ( s )] a f ( t ) b g ( t ) .
s [ f (a t ) ] F . a a 1
[ f (a t ) ]
0

f (a t ) e

st
dt
s a x
令 x at
1 a
1
0
f ( x) e
dx
s F . a a
6
§9.2 Laplace 变换的性质 第 二、延迟性质与位移性质 九 章 1. 延迟性质 P222
P222
拉 性质 设当 t < 0 时 f ( t ) 0 , 则对任一非负实数 有 普 s [ f ( t )] e F (s) . 拉 斯 st 变 证明 [ f (t ) ] f (t ) e d t 0 换
即得
[ f ( t ) ] sF ( s ) f ( 0 ) .
12
§9.2 Laplace 变换的性质 第 三、微分性质 九 ▲ 章 1. 导数的象函数
[ f ( t ) ] sF ( s ) f ( 0 ) ; 性质 拉 普 一般地，有 拉 斯 (n) n n1 n2 (n1) [f ( t )] s F ( s ) s f (0) s f ( 0 ) f (0) . 变 换 (k ) (k ) 其中， f ( 0 ) 应理解为 lim f ( t ) .
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
§9.2 Laplace 变换的性质
一、线性性质与相似性质 二、延迟性质与位移性质 三、微分性质 四、积分性质 五、周期函数的像函数 六、卷积与卷积定理
1
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
m
[1]
s
m 1
.
14
§9.2 Laplace 变换的性质 第 三、微分性质 九 章 2. 象函数的导数
P218
拉 性质 F ( s ) [ t f ( t ) ] ; 普 一般地，有 F ( n ) ( s ) ( 1 ) n [ t n f ( t ) ] . 拉 斯 证明 由 F ( s ) f ( t ) e s t d t 有 变 0 换 d st st F ( s ) f (t ) e d t [ f (t ) e ]d t
n次
f (t )

[
f (t ) t
n
].
证明 (略)
22
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
P220 例9.10
解 已知
[ sin t ]
sin t t
1 s 1
2
,
1
根据象函数的积分性质有
d s arccot s .
[
]
s

1 s
2
即 0
[ g ( t ) ] s G ( s ) g ( 0 ) s G ( s ) ,
1

G (s)
t
1 s
[ g ( t ) ]
1 s
[ f (t ) ],
即得
[ f (t ) d t ]
0
1 s
F (s) .
19
§9.2 Laplace 变换的性质 第 四、积分性质 九 章 1. 积分的象函数
[ sin 2 t ]
2 s 2
2 2
,
根据位移性质有
[e
3t
sin 2 t ]
2 (s 3) 4
2
,
再由象函数的导数性质有
[te
3t
sin 2 t ]
d 2 2 d s (s 3) 4
4 (s 3) .

[( s 3 ) 4 ]

s
2 2
,
根据象函数的导数性质有
[ t sin t ]
d ds
[

s
2 2
]

2 s (s )
2 2 2
.
16
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 拉 普 拉 斯 变 换
P219 例9.9
t cos t
2 2
1 2
t ( 1 cos 2 t ) ,
F (s); [ f (t ) d t ] 拉 性质 0 s 普 拉 一般地，有 斯 变 换
t
1
20
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 拉 普 拉 斯 变 换
解 已知
[ sin 2 t ]
2 s 2
2 2
,
根据微分性质有
d 2 4s , [ t sin 2 t ] 2 2 2 2 ds s 2 (s 4)
P218 例9.7
(0) 0
以及
f
(m )
(t ) m !
有
(t ) ]
m
[ m!]
m 1
s F (s) s
f (0) s
m
m2
f ( 0 ) f
m
(m 1)
(0)
s
m
[ f (t ) ] s
[t
],
m!
故有
[t
mBaidu Nhomakorabea
]
1 s
m
[ m!]
m! s
方法一 先充零再平移
,
[sin t ]
1 s 1
2
根据延迟性质有
[ sin( t π 2 [ sin( t π 2
1 s 1
2
)]
1 s 1
2

π 2
sin( t
s
π 2
) u( t
π 2
)
e
.
方法二 先平移再充零
)]
[ cos t ]
( s) .
sin( t
[ f (t ) u(t ) ] e
s
F (s) .
可见，在利用本性质求逆变换时应为：
1
[e
s
F ( s ) ] f (t ) u(t ) .
8
§9.2 Laplace 变换的性质 第 九 章 解 方法一 已知 拉 普 拉 斯 变 换 方法二
P222 例9.12
π 2
) u( t )
两种方法为什么会得到不同的结果？ 9
§9.2 Laplace 变换的性质 第 例 设 F ( s ) 1 e 2 s , 求 1 [ F ( s ) ] . P223 例9.13 修改 s1 九 章 1 1 [ ] e t u ( t ) , 根据延迟性质有 解 由于 s1 拉 普 1 t2 拉 [ F (s) ] e u(t 2) 斯 变 e t 2 , t 2 , 换