数学建模,面试问题

基本内容

一、 问题重述

某单位在一次招聘过程中，组成了一个五人专家小组，对101名通过初试者进行了面试，各位专家对每位初试者进行了打分（见附表），请你运用数学建模方法解决下列问题：

（1）补齐表中缺失的数据,给出补缺的方法及理由。 （2）给出101名初试者的录取顺序。

（3）五位专家中哪位专家打分比较严格，哪位专家打分比较宽松。 （4）你认为哪些初试者应给予第二次面试的机会。 （5）如果第二次面试的专家小组只由其中的 3 位专家组成，你认为这个专家组应由哪 3位专家组成。

二、 模型假设

专家外出导致的数据缺失是一种完全随机缺失

专家打分公平公正公开，不受任何人际关系影响并且在整个过程中保持一致 用人单位对每一位专家打分的重视程度相同

三、 模型建立

统计学的思想是对随机事件的现象进行统计分析，将随机性归纳于可能的规律性中。而且也可以从差异中发现趋势。因为该题有着统计学的本质特征：数据的随机性，以及大量随机性中的差异性可以发现统一性的趋势。在该题我们将应用到统计中的统计数据分析和统计推断。将经收集好数据进行分析，得出及推断内中的趋势。

均值插补

根据辅助信息数据将样本分为若干组，使组内各单位的主要特征相似。然后分别介绍各组目标变量的均值，将各组均值作为组内所有缺失数据项的替补值。

8

101

1111

10

(x x )100i i i i i i x =====+÷∑∑；8

101

2221

10

(x x )100i i i i i i x =====+÷∑∑；57

101

3331

59

(x x )100i i i i i i x =====+÷∑∑

K-S 检验法原理：

K-S 检验是统计学中在对一组数据进行统计分析是所用到的一种方法。它是将需要做统计分析的数据和另一组标准数据进行对比，求得它和标准数据之间的偏差的方法。一般在K-S 检验中，先计算需要做比较的两组观察数据的累积分布函数，然后求这两个累积分布函数的差的绝对值中的最大值D 。最后通过查表以确定D 值是否落在所要求对应的置信区间内。若D 值落在了对应的置信区间内，说明被检测的数据满足要求。反之亦然。

为了更直观的说明专家所给分值服从正态分布，本文运用MATLAB 软件绘出了专家甲、乙、丙相对应所给分值的直方频率图、Q-Q 图（见 四、模型求解）。

区间估计模型：

区间估计指对总体中的一维参数θ，构造两个统计量：1∧

θ=),,,(211n X X X g 和2∧

θ=),,,(212n X X X g ，满足对于预先给定的很小的概率α，有

12ˆˆ()1P θθθα<<=-，这时，称区间12ˆˆ,θθ⎡⎤⎣⎦为θ的置信区间，称12ˆˆθθ和为置信限，概率α称为显著水平（或置信度），1α-称为置信水平（或置信概率）。

方差：

方差是各个数据与平均数之差的平方的平均数。在概率论和数理统计中，方差（英

文Variance ）用来度量随机变量和其数学期望（即均值）之间的偏离程度。在许多实际问题中，研究随机变量和均值之间的偏离程度有着很重要的意义。

1002

1111

()100i i s x x ==-÷∑ ；1002

2221

()100i i s x x ==-÷∑ ；100

23331

()100i i s x x ==-÷∑

四、 模型求解

1）补齐表中缺失的数据,给出补缺的方法及理由。

由SPSS 软件求解：

局部数据，其中专家甲9号数据未得出用00表示，其他专家同理。

图1

对专家甲的其他100个数据进行分析：

依次点选“分析”→“描述统计”→“探索”

得出结果：

描述

统计量标准误专家甲均值76.5500 1.28373

均值的95% 置信区

间下限74.0028 上限79.0972

5% 修整均值76.7556 中值78.0000

方差164.795

标准差12.83727 极小值51.00

极大值98.00

范围47.00

四分位距 24.00 偏度 -.165

.241 峰度

-1.323

.478

专家甲分布直方图 专家甲的标准Q-Q 图

如图表可知：

专家甲的置信区间在[74.0 79.0]，均值76.5，修正后的均值76.7均在置信区间内，所以可估计专家甲的缺失值为77。

同理得出专家乙的置信区间在[77.5 82.1]，均值79.8，修正后的均值80.1均在置信区间内，所以估计专家乙的缺失值为80。

专家丙的置信区间在[77.9 82.2]均值80.0修正后的均值80.1均在置信区间内，所以估计专家丙的缺失值为80。

（专家乙和专家丙的图表见附录）。

（恢复后的数据见附录）

2）给出101名初试者的录取顺序。

用excel 表格求每位参加面试人的总和，由总分的高低依次排序，其结果为：

表1

3）五位专家中哪位专家打分比较严格，哪位专家打分比较宽松。

由excel 可得出 分数区间图：

专家打分的均值与方差表

均值方差

专家甲76.55 163.150

专家乙79.86 130.581

专家丙80.08 115.622

专家丁79.26 131.181

专家戊79.98 118.76 再根据SPSS软件中的方差可推断出,对于所有的应聘者，专家打分的均值可以作为衡量专家打分的一个重要标准，在均值相同时，专家打分方差越大说明打分越严格。据图表中数据，我们可得出专家中依不严格到严格的顺序为：

丙→戊→乙→丁→甲

4）你认为哪些初试者应给予第二次面试的机会。

因为专家评分尺度不同，我们对面试者进行重新排名，先去掉5名专家中的最大值和最小值再求和，求平均数，表如下：

表2

序号总值平均数

19 284 94.67

51 272 90.67

39 268 89.33

64 268 89.33

69 264 88

47 263 87.67

87 263 87.67

82 262 87.33

5 261 87

53 261 87

4 259 86.33

66 259 86.33

77 259 86.33

16 258 86

40 258 86

91 258 86 100 258 86

86 256 85.33 101 255 85

8 254 84.67

15 253 84.33

18 252 84 45 252 84

97 252 84

50 251 83.67

22 249 83

84 249 83

14 248 82.67

43 248 82.67

63 248 82.67

67 248 82.67

72 248 82.67

11 247 82.33

49 247 82.33

98 247 82.33

33 246 82

37 245 81.67

42 245 81.67

80 245 81.67

1 244 81.33

32 244 81.33

79 244 81.33

95 244 81.33

10 243 81

56 243 81

76 243 81

29 241 80.33

38 241 80.33

9 240 80

41 240 80

81 240 80

12 239 79.67

31 239 79.67

35 239 79.67

36 238 79.33

58 238 79.33

78 238 79.33

30 237 79

34 237 79

73 237 79

24 235 78.33

75 235 78.33

70 234 78

71 234 78

88 234 78

3 232 77.33

25 232 77.33

46 231 77