2019-2020学年山东省泰安市新泰一中高二上学期第二次质量检测考试数学试题(解析版)
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7．已知点M是抛物线 上的一点，F为抛物线的焦点，点A在圆 上，则 的最小值为（）
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】过 作准线的垂线，垂足为 ，由 ，因此先求 的最小值，由此可知当 共线时取得最小值．
【详解】
如图， 是抛物线的准线，过 作 ，垂足为 ，则 ， ，
易知当 共线，即 时， 取得最小值，由已知 ，圆半径为 ，准线为 ，
不妨设S5=1，由 ，可得S10=5．∴（5-1）2=1×（S15-5），解得S15=21，则 = ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等比数列的前n项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．设向量 ， ， ，其中 为坐标原点， ，若 三点共线，则 的最小值为（ ）.
A．4B．6C．8D．9
（2）将直线方程和抛物线方程联立成方程组求出点B的坐标，再抛物线的焦点弦公式可求得AB的长.
【详解】
解：（1）由题可知 ，准线l的方程为 ，
设A，B在准线上的投影分别为 ，准线与 轴交于点 ，则 ，
因为F是AC的中点，所以 ,
所以点A的横坐标为3，
当 时， ，由于点A在第一象限，
所以点A的坐标为 ，
设直线AB的倾斜角为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
（2）直线AB的方程为 ，
由 ，得 ，
解得 ，
所以点B的横坐标为 ，
所以
【点睛】
此题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，考查数学转化思想，属于中档题.
20．如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC， ，AD＝CD＝ ，O是AC的中点，E是BD的中点．
12．已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的方程为 B． 的离心率为
C．曲线 经过 的一个焦点D．直线 与 有两个公共点
【答案】AC
【解析】根据题意得到双曲线 的方程，结合双曲线的性质逐一判断即可.
【详解】
对于选项A：由已知 ，可得 ，从而设所求双曲线方程为 ，又由双曲线 过点 ，从而 ，即 ，从而选项A正确；
即 ， 正确；
当 时， 没有最小值， 错误；
， 正确；
， 正确.
故选：
【点睛】
本题考查了数列的通项公式，前 项和，意在考查学生对数列公式方法的灵活运用.
11．下列说法正确的有（）
A．不等式 的解集是
B．“ ， ”是“ ”成立的充分条件
C．命题 ， ，则 ，
D．“ ”是“ ”的必要条件
【答案】ABD
【解析】解分式不等式判断A，根据充分条件、必要条件的定义判断B、D，根据命题的否定判断C．
（1）证明：DO⊥底面ABC；
（2）求二面角D-AE-C的余弦值．
【答案】（1）见解析；
（2） .
【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到 ，在根据面面垂直的性质定理，证得 平面 .
（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面 和平面 的法向量，计算出二面角 的余弦值.
【详解】
（1）证明：∵AD＝CD＝ ，O是AC的中点，
【详解】
取BC的中点D，连接D1F1，F1D,
∴D1B∥DF1,
∴∠DF1A或其补角就是BD1与AF1所成角,
设BC＝CA＝CC1＝2，则AD ，AF1 ，DF1 ,
在△DF1A中，由余弦定理得cos∠DF1A ，
故选B．
【点睛】
本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
D. ， ，故正确.
故选：CD.
【点睛】
本题考查作差法判断不等式是否成立，作差法是判断不等式成立与否的重要方法，要牢记.
10．已知 为等差数列，其前 项和为 ，且 ，则以下结论正确的是（）.
A． B． 最小C． D．
【答案】ACD
【解析】化简 得到 ， 时， 没有最小值，再计算 ， ，得到答案.
【详解】
则 ，
相减得：
，即
【点睛】
用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
14．数列 满足 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】由首项，利用递推公式求出第二、三、四、五项，可得 是周期为4的数列，从而可得结论.
【详解】
由 ， ，
得 ， ， ， ，
∴ 是周期为4的数列，
因为 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.
【答案】C
【解析】向量 ， ， ，其中 为坐标原点， ，
∴ ， ，
∵ 三点共线，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
当且仅当 ， 取等号，故 的最小值为8，故选C.
点睛：本题主要考查了向量平行的坐标运算以及基本不等式的应用，三点共线等价于两个向量共线，由其可得 ，然后运用基本不等式；基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
2019-2020学年山东省泰安市新泰一中高二上学期第二次质量检测考试数学试题
一、单选题
1．准线方程为 的抛物线的标准方程为（）
Aห้องสมุดไป่ตู้ B． C． D．
【答案】B
【解析】【详解】试题分析：由题意得，抛物线 ，可得 ，
且开口向左，其准线方程为 .
故选B．
【考点】抛物线的几何性质．
2．在平行六面体 中，M为 与 的交点，若 , ，则与 相等的向量是（）
故 ,化简得 ,
故 .因为 ,故解得
故选：A
【点睛】
本题主要考查表达点的坐标代入双曲线方程进行化简求离心率的方法,属于中等题型.
二、多选题
9．如果 ，那么下列不等式正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】利用作差法逐一判断即可.
【详解】
解：
A. ，故错误；
B. ，当 时， ，故错误；
C. ，故正确；
【详解】
由 得 ， ， ，A正确；
时一定有 ，但 时不一定有 成立，如 ，满足 ，但 ，因此“ ， ”是“ ”成立的充分条件，B正确；
命题 ， ，则 ， ，C错误；
不能推出 ，但 时一定有 成立，“ ”是“ ”的必要条件，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，解题时需根据选项涉及的知识点对选项进行判断，如本题需要掌握解分式不等式，充分条件与必要条件的概念，命题的否定等知识，本题属于中档题．
【答案】
【解析】由关于x的不等式 的解集是 ，得 ，从而可求出a的取值范围，再由 的条件得 ≥ ，解出a的取值范围，再求交集可得结果.
【详解】
【点睛】
此题考查了一元二次不等式的解与判别式的关系，双曲线的标准方程和离心率，考查了命题的真假判断，属于基础题.
18．已知数列 的前 项和 ，数列 为等比数列，且满足 ， .
【答案】
【解析】通过用向量的数量积转化求解距离即可
【详解】
解：在直角坐标系中，已知 ， ，现沿 轴将坐标平面折成 的二面角后， 在平面 上的射影为 ，作 轴，交 轴于点 ，
所以 ,
所以
，
所以 ,
故答案为：
【点睛】
此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题.
四、解答题
17．已知命题 关于x的不等式 的解集是 ；命题 双曲线 的离心率不小于 ．若命题p和q都是真命题，求实数a的取值范围．
19．过抛物线 的焦点F的直线交地物线于点A．B（其中点A在第一象限），交其准线l于点C，同时点F是AC的中点
（1）求直线AB的倾斜角；
（2）求线段AB的长．
【答案】（1） ，（2）
【解析】（1）由点F是AC的中点，结合抛物线的定义可得点A的坐标，由此可得直线的AB斜率，从而可求出直线AB的倾斜角；
则 即
令 ，则 ，所以 ．
同理可得平面AEC的一个法向量 ．
．
因为二面角D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为 ．
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
21．为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第 年需要付出的超市维护和工人工资等费用为 万元，已知 为等差数列，相关信息如图所示.
∴DO⊥AC．
∵ 平面DAC⊥底面ABC，平面DAC∩底面ABC＝AC，
∴DO⊥底面ABC．
（2）解：由条件易知DO⊥BO，BO⊥AC．
OA＝OC＝OD＝2，OB＝
如图，以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴建立空间直角坐标系．
则 ， ， ，
， ，
， ， ．
设平面ADE的一个法向量为 ，
三、填空题
13．过点 的等轴双曲线的标准方程为__________．
【答案】
【解析】设双曲线方程为 ，代入已知点的坐标可得结论．
【详解】
设双曲线方程为 ，因为双曲线过点 ，所以 ，即 ，
所以双曲线方程为 ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查求双曲线的标准方程，对于已知渐近线方程为 的双曲线方程可直接设为 ，结合其他条件求得 即可．
所以 的最小值是 ，所以当 是线段 与圆的交点时， 取得最小值 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线上点到焦点与到圆上点距离和的最小值问题，解题关键是利用抛物线的定义把抛物线上的点到焦点的距离转化到到准线的距离，到圆上点的距离转化为到圆心的距离，从而利用三点共线得最小值．再确定圆上动点位置求得最小值．考查了转化与化归思想．
8．已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆交渐近 于点 （ 在第一象限）， 交双曲线左支于 ，若 是线段 的中点，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】画图分析,先算得 的坐标,再代入双曲线方程化简即可得离心率.
【详解】
画出图像,连接 ,则 ,故 ,又直线 的斜率为 ,故 ,又 ,所以 ,又 在双曲线 上,
【解析】 解得 故选A
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若 ，则 =（ ）
A． B． C．17D．5
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10（各项不为0）成等比数列，即可得出．
【详解】
由等比数列的性质可得：S5，S10-S5，S15-S10（各项不为0）成等比数列，
6．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A或其补角就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据空间向量的线性运算，用 作基底表示 即可得解.
【详解】
根据空间向量的线性运算可知
因为 , ，
则
即 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.
3．在R上定义运算 ，若 成立，则x的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
对于选项B：由双曲线方程可知 ， ， ，从而离心率为 ，所以B选项错误；
对于选项C：双曲线的右焦点坐标为 ，满足 ，从而选项C正确；
对于选项D：联立 ，整理，得 ，由 ，知直线与双曲线 只有一个交点，选项D错误.
故选AC
【点睛】
本题考查双曲线的标准方程及简单的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查推理能力与运算能力.
15．若 中， ， ， ， ，则 的值=_____．
【答案】
【解析】利用向量的垂直与数量积的关系计算．
【详解】
由已知得 ， ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查向量的数量积，掌握数量积的性质是解题关键：两个非零向量 ，
16．在一直角坐标系中，已知 ， ，现沿x轴将坐标平面折成 的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为__________．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）先根据和项与通项公式求数列 通项公式，再根据等比数列定义求 的通项公式；（2）根据错位相减法求数列 的前n项和.
【详解】
（1）因为数列 的前n项和 ，所以当 时， ；当 时， ；所以
因为 ，所以公比 ,
(2)设数列 的前n项和为 ，
A．2B．3C．4D．5
【答案】C
【解析】过 作准线的垂线，垂足为 ，由 ，因此先求 的最小值，由此可知当 共线时取得最小值．
【详解】
如图， 是抛物线的准线，过 作 ，垂足为 ，则 ， ，
易知当 共线，即 时， 取得最小值，由已知 ，圆半径为 ，准线为 ，
不妨设S5=1，由 ，可得S10=5．∴（5-1）2=1×（S15-5），解得S15=21，则 = ．
故选：B．
【点睛】
本题考查了等比数列的前n项和的性质、方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．设向量 ， ， ，其中 为坐标原点， ，若 三点共线，则 的最小值为（ ）.
A．4B．6C．8D．9
（2）将直线方程和抛物线方程联立成方程组求出点B的坐标，再抛物线的焦点弦公式可求得AB的长.
【详解】
解：（1）由题可知 ，准线l的方程为 ，
设A，B在准线上的投影分别为 ，准线与 轴交于点 ，则 ，
因为F是AC的中点，所以 ,
所以点A的横坐标为3，
当 时， ，由于点A在第一象限，
所以点A的坐标为 ，
设直线AB的倾斜角为 ，则 ，
因为 ，所以 ，
（2）直线AB的方程为 ，
由 ，得 ，
解得 ，
所以点B的横坐标为 ，
所以
【点睛】
此题考查抛物线的定义及其应用，抛物线的几何性质，过焦点的弦的弦长关系，考查数学转化思想，属于中档题.
20．如图，四面体ABCD中，平面DAC⊥底面ABC， ，AD＝CD＝ ，O是AC的中点，E是BD的中点．
12．已知双曲线 过点 且渐近线为 ，则下列结论正确的是（ ）
A． 的方程为 B． 的离心率为
C．曲线 经过 的一个焦点D．直线 与 有两个公共点
【答案】AC
【解析】根据题意得到双曲线 的方程，结合双曲线的性质逐一判断即可.
【详解】
对于选项A：由已知 ，可得 ，从而设所求双曲线方程为 ，又由双曲线 过点 ，从而 ，即 ，从而选项A正确；
即 ， 正确；
当 时， 没有最小值， 错误；
， 正确；
， 正确.
故选：
【点睛】
本题考查了数列的通项公式，前 项和，意在考查学生对数列公式方法的灵活运用.
11．下列说法正确的有（）
A．不等式 的解集是
B．“ ， ”是“ ”成立的充分条件
C．命题 ， ，则 ，
D．“ ”是“ ”的必要条件
【答案】ABD
【解析】解分式不等式判断A，根据充分条件、必要条件的定义判断B、D，根据命题的否定判断C．
（1）证明：DO⊥底面ABC；
（2）求二面角D-AE-C的余弦值．
【答案】（1）见解析；
（2） .
【解析】（1）根据等腰三角形的性质得到 ，在根据面面垂直的性质定理，证得 平面 .
（2）以 为坐标原点建立空间直角坐标系，利用平面 和平面 的法向量，计算出二面角 的余弦值.
【详解】
（1）证明：∵AD＝CD＝ ，O是AC的中点，
【详解】
取BC的中点D，连接D1F1，F1D,
∴D1B∥DF1,
∴∠DF1A或其补角就是BD1与AF1所成角,
设BC＝CA＝CC1＝2，则AD ，AF1 ，DF1 ,
在△DF1A中，由余弦定理得cos∠DF1A ，
故选B．
【点睛】
本小题主要考查异面直线所成的角，考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力，属于基础题．
D. ， ，故正确.
故选：CD.
【点睛】
本题考查作差法判断不等式是否成立，作差法是判断不等式成立与否的重要方法，要牢记.
10．已知 为等差数列，其前 项和为 ，且 ，则以下结论正确的是（）.
A． B． 最小C． D．
【答案】ACD
【解析】化简 得到 ， 时， 没有最小值，再计算 ， ，得到答案.
【详解】
则 ，
相减得：
，即
【点睛】
用错位相减法求和应注意的问题(1)要善于识别题目类型，特别是等比数列公比为负数的情形；(2)在写出“ ”与“ ”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”以便下一步准确写出“ ”的表达式；(3)在应用错位相减法求和时，若等比数列的公比为参数，应分公比等于1和不等于1两种情况求解.
14．数列 满足 ， ，则 ______.
【答案】
【解析】由首项，利用递推公式求出第二、三、四、五项，可得 是周期为4的数列，从而可得结论.
【详解】
由 ， ，
得 ， ， ， ，
∴ 是周期为4的数列，
因为 ，
所以 .
故答案为： .
【点睛】
本题主要考查利用递推关系求数列中的项，属于简单题.利用递推关系求数列中的项常见思路为：（1）项的序号较小时，逐步递推求出即可；（2）项的序数较大时，考虑证明数列是等差、等比数列，或者是周期数列.
【答案】C
【解析】向量 ， ， ，其中 为坐标原点， ，
∴ ， ，
∵ 三点共线，
∴ ，
∴ ，解得 ，
∴ ，
当且仅当 ， 取等号，故 的最小值为8，故选C.
点睛：本题主要考查了向量平行的坐标运算以及基本不等式的应用，三点共线等价于两个向量共线，由其可得 ，然后运用基本不等式；基本不等式求最值应注意的问题(1)使用基本不等式求最值，其失误的真正原因是对其前提“一正、二定、三相等”的忽视．要利用基本不等式求最值，这三个条件缺一不可．(2)在运用基本不等式时，要特别注意“拆”“拼”“凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”“定”“等”的条件．
2019-2020学年山东省泰安市新泰一中高二上学期第二次质量检测考试数学试题
一、单选题
1．准线方程为 的抛物线的标准方程为（）
Aห้องสมุดไป่ตู้ B． C． D．
【答案】B
【解析】【详解】试题分析：由题意得，抛物线 ，可得 ，
且开口向左，其准线方程为 .
故选B．
【考点】抛物线的几何性质．
2．在平行六面体 中，M为 与 的交点，若 , ，则与 相等的向量是（）
故 ,化简得 ,
故 .因为 ,故解得
故选：A
【点睛】
本题主要考查表达点的坐标代入双曲线方程进行化简求离心率的方法,属于中等题型.
二、多选题
9．如果 ，那么下列不等式正确的是（）
A． B． C． D．
【答案】CD
【解析】利用作差法逐一判断即可.
【详解】
解：
A. ，故错误；
B. ，当 时， ，故错误；
C. ，故正确；
【详解】
由 得 ， ， ，A正确；
时一定有 ，但 时不一定有 成立，如 ，满足 ，但 ，因此“ ， ”是“ ”成立的充分条件，B正确；
命题 ， ，则 ， ，C错误；
不能推出 ，但 时一定有 成立，“ ”是“ ”的必要条件，D正确．
故选：ABD．
【点睛】
本题考查命题的真假判断，解题时需根据选项涉及的知识点对选项进行判断，如本题需要掌握解分式不等式，充分条件与必要条件的概念，命题的否定等知识，本题属于中档题．
【答案】
【解析】由关于x的不等式 的解集是 ，得 ，从而可求出a的取值范围，再由 的条件得 ≥ ，解出a的取值范围，再求交集可得结果.
【详解】
【点睛】
此题考查了一元二次不等式的解与判别式的关系，双曲线的标准方程和离心率，考查了命题的真假判断，属于基础题.
18．已知数列 的前 项和 ，数列 为等比数列，且满足 ， .
【答案】
【解析】通过用向量的数量积转化求解距离即可
【详解】
解：在直角坐标系中，已知 ， ，现沿 轴将坐标平面折成 的二面角后， 在平面 上的射影为 ，作 轴，交 轴于点 ，
所以 ,
所以
，
所以 ,
故答案为：
【点睛】
此题考查与二面角有关的立体几何综合题，考查了数形结合的思想，属于中档题.
四、解答题
17．已知命题 关于x的不等式 的解集是 ；命题 双曲线 的离心率不小于 ．若命题p和q都是真命题，求实数a的取值范围．
19．过抛物线 的焦点F的直线交地物线于点A．B（其中点A在第一象限），交其准线l于点C，同时点F是AC的中点
（1）求直线AB的倾斜角；
（2）求线段AB的长．
【答案】（1） ，（2）
【解析】（1）由点F是AC的中点，结合抛物线的定义可得点A的坐标，由此可得直线的AB斜率，从而可求出直线AB的倾斜角；
则 即
令 ，则 ，所以 ．
同理可得平面AEC的一个法向量 ．
．
因为二面角D-AE-C的平面角为锐角,所以二面角D-AE-C的余弦值为 ．
【点睛】
本小题主要考查线面垂直的证明，考查利用空间向量法求二面角的余弦值，考查空间想象能力和逻辑推理能力，属于中档题.
21．为鼓励应届毕业大学生自主创业，国家对应届毕业大学生创业贷款有贴息优惠政策，现有应届毕业大学生甲贷款开小型超市，初期投入为72万元，经营后每年的总收入为50万元，该公司第 年需要付出的超市维护和工人工资等费用为 万元，已知 为等差数列，相关信息如图所示.
∴DO⊥AC．
∵ 平面DAC⊥底面ABC，平面DAC∩底面ABC＝AC，
∴DO⊥底面ABC．
（2）解：由条件易知DO⊥BO，BO⊥AC．
OA＝OC＝OD＝2，OB＝
如图，以点O为坐标原点，OA为x轴，OB为y轴，OC为z轴建立空间直角坐标系．
则 ， ， ，
， ，
， ， ．
设平面ADE的一个法向量为 ，
三、填空题
13．过点 的等轴双曲线的标准方程为__________．
【答案】
【解析】设双曲线方程为 ，代入已知点的坐标可得结论．
【详解】
设双曲线方程为 ，因为双曲线过点 ，所以 ，即 ，
所以双曲线方程为 ，即 ．
故答案为： ．
【点睛】
本题考查求双曲线的标准方程，对于已知渐近线方程为 的双曲线方程可直接设为 ，结合其他条件求得 即可．
所以 的最小值是 ，所以当 是线段 与圆的交点时， 取得最小值 ．
故选：C．
【点睛】
本题考查抛物线上点到焦点与到圆上点距离和的最小值问题，解题关键是利用抛物线的定义把抛物线上的点到焦点的距离转化到到准线的距离，到圆上点的距离转化为到圆心的距离，从而利用三点共线得最小值．再确定圆上动点位置求得最小值．考查了转化与化归思想．
8．已知 、 分别是双曲线 的左、右焦点，以 为直径的圆交渐近 于点 （ 在第一象限）， 交双曲线左支于 ，若 是线段 的中点，则该双曲线的离心率为( )
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】画图分析,先算得 的坐标,再代入双曲线方程化简即可得离心率.
【详解】
画出图像,连接 ,则 ,故 ,又直线 的斜率为 ,故 ,又 ,所以 ,又 在双曲线 上,
【解析】 解得 故选A
4．设等比数列{an}的前n项和为Sn，若 ，则 =（ ）
A． B． C．17D．5
【答案】B
【解析】由等比数列的性质可得：S5，S10﹣S5，S15﹣S10（各项不为0）成等比数列，即可得出．
【详解】
由等比数列的性质可得：S5，S10-S5，S15-S10（各项不为0）成等比数列，
6．如图，A1B1C1—ABC是直三棱柱，∠BCA=90°，点D1、F1分别是A1B1、A1C1的中点，若BC=CA=CC1，则BD1与AF1所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】先取BC的中点D，连接D1F1，F1D，将BD1平移到F1D，则∠DF1A或其补角就是异面直线BD1与AF1所成角，在△DF1A中利用余弦定理求出此角即可．
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】根据空间向量的线性运算，用 作基底表示 即可得解.
【详解】
根据空间向量的线性运算可知
因为 , ，
则
即 ，
故选：D.
【点睛】
本题考查了空间向量的线性运算，用基底表示向量，属于基础题.
3．在R上定义运算 ，若 成立，则x的取值范围是( )
A． B．
C． D．
【答案】A
对于选项B：由双曲线方程可知 ， ， ，从而离心率为 ，所以B选项错误；
对于选项C：双曲线的右焦点坐标为 ，满足 ，从而选项C正确；
对于选项D：联立 ，整理，得 ，由 ，知直线与双曲线 只有一个交点，选项D错误.
故选AC
【点睛】
本题考查双曲线的标准方程及简单的几何性质，考查直线与双曲线的位置关系，考查推理能力与运算能力.
15．若 中， ， ， ， ，则 的值=_____．
【答案】
【解析】利用向量的垂直与数量积的关系计算．
【详解】
由已知得 ， ， ，
因为 ，所以 ，解得 ，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查向量的数量积，掌握数量积的性质是解题关键：两个非零向量 ，
16．在一直角坐标系中，已知 ， ，现沿x轴将坐标平面折成 的二面角，则折叠后A，B两点间的距离为__________．
（1）求数列 的通项公式；
（2）求数列 的前 项和.
【答案】（1） ；（2） .
【解析】（1）先根据和项与通项公式求数列 通项公式，再根据等比数列定义求 的通项公式；（2）根据错位相减法求数列 的前n项和.
【详解】
（1）因为数列 的前n项和 ，所以当 时， ；当 时， ；所以
因为 ，所以公比 ,
(2)设数列 的前n项和为 ，