量子力学答案(第二版)苏汝铿第五章课后答案5.7-5#4
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1 2
（0） 基态是非简并的，能级为 E 11 ，本征函数为
0） （ 11 ＝ sin
2 a
x
a
sin
y
a
（0） 第一激发态是二重简并的，能级为 E 12 ，本征函数为
2 x 2 y sin a a a 2 x y 0） 2 （ sin 21 ＝ sin a a a 基态能级的一级修正等于 H 的平均值，即 4 a a x 2 y (1) (0) (0) E11 11 | H | 11 2 xy sin 2 sin dxdy来自百度文库 a 2 a 0 0 a a 4
3 3 n(n 1)(n 2) m,n3 3n 2 m,n1 3(n 1) 2 m,n1 (n 1)(n 2)(n 3) m,n3 3 ( 2 )
故
E
(2) n
m
H mn
2
En Em
2 30n2 30n 11 m3 4 8
H xy(0 x, y a) ，求基态能量和第一激发态的能量修正值。
解：能级和能量本征函数（在阱内，以下同）
（0） E n1n2
2
2 a
2
2ma 2
(n12 n2 2 ) （n1,n2 =1,2,3 ）
n1 x ny sin 2 a a
0） （ n n ＝ sin
2 1 2 a 2 a 2 1 2 a 2 2 [ a 2 ( a 2 )] a 8 2 2 8 2
2 a 2 a 2 1 2 ( 2 ) ( 2 ) 2 a 4 2
5.9
一个粒子处在二 维无限 深势阱 V ( x, y )
0 （0<x, y a） 中运动 ，现加 上微扰 （其他）
5.7 一维非简谐振子的哈密顿量为
H
p2 1 m 2 x 2 x 2m 2
3
为常数,若将 H x3 看成微扰,用微扰论求能量至二级修正,求能量本征函数至一级修
正。 解：由题意知
H0
p2 1 m 2 x 2 2m 2
则
1 H 0 n En n ， En (n ) 2
x 2 a H 2 (1 x ) a
a (0 x ) 2 a ( x a) 2
作用，求基态能量的一级修正值。
解：
基态波函数（零级近似）为
1( 0 )
1( 0 ) 0
∴能量一级修正为
2 sin x a a
x ( 0 a
x x ( a
解期望方程可得能级的一级修正为
（1） E 12 H H
4
a2
256 1024 a 2 a 2 (1 ) 4 81 4 81 4
2 1 2 a 2 a2 2 a/3 [( x x sin x sin x ) 0 a( x 2 2 a 2 2 a 4 a a 2 1 a 2 a2 2 a a sin x ) a / 2 ( x2 x sin x 2 cos x ) a/2] 2 a 2 2 a 4 a
)
0, )
0 ) E1( 1 ) 1 (* H
1
( 0 ) d x
2 a/2 x 2 2 a x 2 sin xdx 2 (1 )sin 2 xdx 0 a / 2 a a a a a a
a 2 a / 2 2 2 [ x(1 cos x)dx a (1 cos x)dx 2 0 a/2 a a a a 2 x(1 cos x)dx] a/2 a
2
而波函数的一级修
n
(1)
m
H nm m En En
n(n 1)(n 2) 3 3 (n 1)(n 2)(n 3) n 3 3n 2 n 1 3(n 1) 2 n 1 n3 3 3 3 2 2
5.8 一维无限深势阱（ 0 x a ）中的粒子，受到微扰
0） （ 12 ＝ sin
对于 ， 易算出 H 的矩阵元为
H H
4 256 H H a2 4 81
a2
在 , 子空间中， H 的矩阵元表示为
H
4
1 a2 1024 81 4
1024 81 4 1
由于 H x3 为奇宇称算符，故
(1) En n H n 0
又因为
xn
m 1 2 1 n n 1 ) n 1 n 1 ，其中 ( 2 2
m x3 n m x k k x l l x n H mn
k ,l
（0） 基态是非简并的，能级为 E 11 ，本征函数为
0） （ 11 ＝ sin
2 a
x
a
sin
y
a
（0） 第一激发态是二重简并的，能级为 E 12 ，本征函数为
2 x 2 y sin a a a 2 x y 0） 2 （ sin 21 ＝ sin a a a 基态能级的一级修正等于 H 的平均值，即 4 a a x 2 y (1) (0) (0) E11 11 | H | 11 2 xy sin 2 sin dxdy来自百度文库 a 2 a 0 0 a a 4
3 3 n(n 1)(n 2) m,n3 3n 2 m,n1 3(n 1) 2 m,n1 (n 1)(n 2)(n 3) m,n3 3 ( 2 )
故
E
(2) n
m
H mn
2
En Em
2 30n2 30n 11 m3 4 8
H xy(0 x, y a) ，求基态能量和第一激发态的能量修正值。
解：能级和能量本征函数（在阱内，以下同）
（0） E n1n2
2
2 a
2
2ma 2
(n12 n2 2 ) （n1,n2 =1,2,3 ）
n1 x ny sin 2 a a
0） （ n n ＝ sin
2 1 2 a 2 a 2 1 2 a 2 2 [ a 2 ( a 2 )] a 8 2 2 8 2
2 a 2 a 2 1 2 ( 2 ) ( 2 ) 2 a 4 2
5.9
一个粒子处在二 维无限 深势阱 V ( x, y )
0 （0<x, y a） 中运动 ，现加 上微扰 （其他）
5.7 一维非简谐振子的哈密顿量为
H
p2 1 m 2 x 2 x 2m 2
3
为常数,若将 H x3 看成微扰,用微扰论求能量至二级修正,求能量本征函数至一级修
正。 解：由题意知
H0
p2 1 m 2 x 2 2m 2
则
1 H 0 n En n ， En (n ) 2
x 2 a H 2 (1 x ) a
a (0 x ) 2 a ( x a) 2
作用，求基态能量的一级修正值。
解：
基态波函数（零级近似）为
1( 0 )
1( 0 ) 0
∴能量一级修正为
2 sin x a a
x ( 0 a
x x ( a
解期望方程可得能级的一级修正为
（1） E 12 H H
4
a2
256 1024 a 2 a 2 (1 ) 4 81 4 81 4
2 1 2 a 2 a2 2 a/3 [( x x sin x sin x ) 0 a( x 2 2 a 2 2 a 4 a a 2 1 a 2 a2 2 a a sin x ) a / 2 ( x2 x sin x 2 cos x ) a/2] 2 a 2 2 a 4 a
)
0, )
0 ) E1( 1 ) 1 (* H
1
( 0 ) d x
2 a/2 x 2 2 a x 2 sin xdx 2 (1 )sin 2 xdx 0 a / 2 a a a a a a
a 2 a / 2 2 2 [ x(1 cos x)dx a (1 cos x)dx 2 0 a/2 a a a a 2 x(1 cos x)dx] a/2 a
2
而波函数的一级修
n
(1)
m
H nm m En En
n(n 1)(n 2) 3 3 (n 1)(n 2)(n 3) n 3 3n 2 n 1 3(n 1) 2 n 1 n3 3 3 3 2 2
5.8 一维无限深势阱（ 0 x a ）中的粒子，受到微扰
0） （ 12 ＝ sin
对于 ， 易算出 H 的矩阵元为
H H
4 256 H H a2 4 81
a2
在 , 子空间中， H 的矩阵元表示为
H
4
1 a2 1024 81 4
1024 81 4 1
由于 H x3 为奇宇称算符，故
(1) En n H n 0
又因为
xn
m 1 2 1 n n 1 ) n 1 n 1 ，其中 ( 2 2
m x3 n m x k k x l l x n H mn
k ,l