《平面直角坐标系中几何综合题》
平面直角坐标系的综合问题解决
平面直角坐标系的综合问题解决平面直角坐标系是解决许多几何问题的基本工具之一。
它由两条互相垂直的坐标轴组成，通常以x轴和y轴表示。
本文将介绍平面直角坐标系及其在解决综合问题中的应用。
一、平面直角坐标系的基本原理平面直角坐标系由两条相互垂直的坐标轴组成。
x轴（横轴）与y轴（纵轴）的交点是原点O，任意一点P的坐标用(x, y)表示，其中x表示点P在x轴上的投影，y表示点P在y轴上的投影。
根据坐标系的性质，我们可以计算两点之间的距离、计算角度等。
二、直线方程的表示方法利用平面直角坐标系，我们可以将直线的方程表示为一般式、点斜式和截距式等形式。
1. 一般式：Ax + By + C = 0。
其中A、B、C为常数。
2. 点斜式：y - y1 = k(x - x1)。
其中（x1，y1）为直线上一点的坐标，k为直线的斜率。
3. 截距式：x/a + y/b = 1。
其中a和b分别表示x轴和y轴上的截距。
根据给定的问题所需，我们可以选择合适的直线方程形式。
三、解决坐标系下的综合问题1. 距离问题：给定平面上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），我们可以利用勾股定理计算点A和点B之间的距离。
距离公式：AB = √((x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2)2. 直线问题：给定平面上的两点A（x1，y1）和B（x2，y2），我们可以通过求斜率来确定连线AB是否为直线，以及判断直线的倾斜方向。
斜率公式：k = (y2 - y1) / (x2 - x1)若k > 0，直线向右上倾斜；若k < 0，直线向右下倾斜；若k = 0，直线水平；若k不存在，直线垂直于x轴。
3. 图形问题：利用平面直角坐标系，我们可以绘制各种图形，并通过计算面积和周长等属性来解决相关问题。
- 矩形面积公式：S = ab，其中a和b分别表示矩形的长度和宽度。
- 圆形面积公式：S = πr^2，其中r表示圆的半径。
- 三角形面积公式：S = 1/2 * 底边长 * 高，其中底边长为短边，高为两点之间的垂直距离。
平面直角坐标系练习题及答案
平面直角坐标系练习题及答案6.1.2 平面直角坐标系基础过关作业1.点 P(3,2) 在第一象限。
2.如图，矩形 ABCD 中，A(-4,1)，B(2,1)，C(2,3)，则点D 的坐标为(-4,3)。
3.以点 M(-3,0) 为圆心，以5为半径画圆，分别交 x 轴的正半轴，负半轴于 P、Q 两点，则点 P 的坐标为(4,0)，点 Q 的坐标为(-2,0)。
4.点 M(-3,5) 关于 x 轴的对称点 M1 的坐标是(-3,-5)；关于y 轴的对称点 M2 的坐标是(3,5)。
5.已知 x 轴上的点 P 到 y 轴的距离为3，则点 P 的坐标为(C) (0,3) 或 (0,-3)。
6.在平面直角坐标系中，点(-1,m2+1) 一定在第二象限。
7.在直角坐标系中，点 P(2x-6,x-5) 在第四象限中，则 x 的取值范围是(B) -3<x<5.8.如图，在所给的坐标系中描出下列各点的位置：A(-4,4)、B(-2,2)、C(3,-3)、D(5,-5)、E(-3,3)、F(0,0)。
这些点没有明显的关系。
综合创新作业9.(综合题) 在如图所示的平面直角坐标系中描出 A(2,3)、B(-3,-2)、C(4,1) 三点，并用线段将 A、B、C 三点依次连接起来，其面积为 12.5.10.如图，是儿童乐园平面图。
建立适当的平面直角坐标系，各娱乐设施的坐标为：滑梯(5,5)、秋千(2,2)、跷跷板(-3,-3)、摇摆(0,0)。
11.(创新题) 在平面直角坐标系中，画出点 A(0,2)、B(-1,0)，过点 A 作直线 L1 ∥x轴，过点 B 作 L2 ∥y轴，分析 L1、L2上点的坐标特点，由此，可以总结出在平面直角坐标系中，如果一条直线平行于 x 轴，那么这条直线上的点的 y 坐标相等；如果一条直线平行于 y 轴，那么这条直线上的点的 x 坐标相等。
12.(1) 已知点 P1(a,3) 与 P2(-2,-3) 关于原点对称，则a=2.(2) 在一次科学探测活动中，探测人员发现一目标在如图所示的阴影区域内，则目标的坐标可能是(D) (-2,-800)。
八年级坐标与几何综合题(压轴题)
（1）2701, 直线AB; y=x-b分别与x轴y轴交于A(6,0), B两点, 过点B的直线交x 轴负半轴于C,（2）OB；OC=3: 1。
（3）求直线BC的解析式。
直线EF: y=kx—k（k≠0）.交AB于E, 交BC 于F, 交x轴于D, 是否存在这样的直线EF使得S△EBD=S△FBD?若存在求出k的值, 若不存在, 说明理由。
如图2,P为A点右侧x轴上的一动点, 以P为直角顶点 BP为腰, 在第一象限内作等腰直角三角形△BPQ, 连接QA并延长交y 轴于点K 当P点运动时, K点的位置是否发生变化？如果不变求出它的坐标, 如果变化, 说明理由。
X（1）2702, 如图, 在平面直角坐标系中, 一次函数y=x+7与X轴, Y轴分别交与点A,C.点B为x轴正半轴上一点, 且△ＡＢＣ的面积为70。
（2）求直线BC的解析式。
动点P从A 出发沿线段AB向点B以每秒2个单位的速度运动, 同时点Q从点C出发沿射线CO以每秒1个单位的速度匀速运动, 当点P停止运动时点Q也停止运动。
连接PO,PC,设△ＡＢＣ的面积为S, 点P,Q的运动时间为t(秒), 求S与t的函数关系式, 并直接写出自变量的取值范围。
在（2）的条件下, 在直线BC上是否存在点D, 连接DP,DO.使得△DPQ是以PQ为直角边的等腰直角三角形, 若存在求出t值, 若不存在, 说明理由。
2703.在平面直角坐标系中, 直线y=x-4与X轴, Y轴分别交于A, D两点, AB⊥AD, 交y轴于点B 。
（1）求直线AB 的解析式。
（2）点P 为X 轴上一动点, PC ⊥PB, 交直线AD 于点C, 设 △PAC 的面积为S, 点P 的横坐标为t, 求S 与t 的函数关系式, 并写出自变量t 的取值范围。
（3）在（2）的条件下, 当S=2.5时, 求t 的值。
2704, 在平面直角坐标系中, 正比例函数y=x 的图像上有一点P （点P 在第一象限）, 点A 为Ｙ轴上的一动点, ＰＢ⊥ＰＡ, 交Ｘ轴正半轴与点Ｂ, ＰＨ⊥Ｘ轴。
平面直角坐标系与几何图形的综合(解析版)
【期末复习】浙教版八年级上册提分专题：平面直角坐标系与几何图形的综合各问题归纳总结若点()11y x A ，、()22y x B ，、()b a P ，问题一：若点P 在x 轴上，则b=0； 若点P 在y 轴上，则a=0；若点P 在第一象限，则a ＞0，b ＞0； 若点P 在第二象限，则a ＜0，b ＞0； 若点P 在第三象限，则a ＜0，b ＜0； 若点P 在第四象限，则a ＞0，b ＜0；问题二：若点A 、B 在同一水平线上，则21y y =； 若点A 、B 在同一竖直线上，则21x x =； 若点P 在第一、三象限角平分线上，则b a =；若点P 在第二、四象限角平分线上，则b a -=；问题三：点()b a P ，关于x 轴对称的点P 1坐标为()b a P -，1； 点()b a P ，关于y 轴对称的点P 2坐标为()b a P ，-2；点()b a P ，关于原点对称的点P 3坐标为()b a P --，3； 问题四：点的平移口诀“左减右加，上加下减”； 问题五：线段AB 的中点公式：⎪⎭⎫⎝⎛++222121y y x x ，；若点A 、B 在同一水平线上，则AB=21x x -；若点A 、B 在同一竖直线上，则AB=21y y -；若点A 、B 所在直线是倾斜的，则AB=()()221221y y x x AB -+-=（两点间距离公式）问题六：点()b a P ，到x 轴的距离=|b|；点()b a P ，到y 轴的距离=|a|；问题七：割补法，优先分割，然后才是补全 问题八：周期型：①判断周期数（一般3到4个）；②总数÷周期数=整周期……余数（余数是谁就和每周期的第几个规律一样） 注意横纵坐标的规律可能不同。
【类题训练】1．如图，A （8，0），B （0，6），以点A 为圆心，AC 长为半径画弧，交y 轴正半轴于点B ，则点C 的坐标为（ ）A ．（10，0）B ．（0，10）C ．（﹣2，0）D ．（0，﹣2）【分析】根据勾股定理求出AB ，根据坐标与图形性质解答即可． 【解答】解：由题意得，OB ＝6，OA ＝8， ∴AB ＝＝10，则AC ＝10， ∴OC ＝AC ﹣OA ＝2， ∴点C 坐标为（﹣2，0）， 故选：C ．2．在平面直角坐标系中，点A 的坐标为（﹣1，3），点B 的坐标为（5，3），则线段AB 上任意一点的坐标可表示为（ ）A．（3，x）（﹣1≤x≤5）B．（x，3）（﹣1≤x≤5）C．（3，x）（﹣5≤x≤1）D．（x，3）（﹣5≤x≤1）【分析】根据A、B两点纵坐标相等，可确定AB与x轴平行，即可求解．【解答】解：∵点A的坐标为（﹣1，3），点B的坐标为（5，3），A、B两点纵坐标都为3，∴AB∥x轴，∴线段AB上任意一点的坐标可表示为（x，3）（﹣1≤x≤5），故选：B．3．如图，在四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，下列说法中正确的是（）A．点A与点D的纵坐标相同B．点A与点B的横坐标相同C．点A与点C的纵坐标相同D．点B与点D的横坐标相同【分析】根据与x轴平行的直线上点的坐标特征计算判断．【解答】解：∵平行四边形ABCD中，AD∥BC∥x轴，∴点A与D的纵坐标相同，点B与C的纵坐标相同．故选：A．4．如图，已知∠AOB＝30°，∠AOC＝60°，∠AOD＝90°，∠AOE＝120°，∠AOF＝150°，若点B可表示为点B（2，30），点C可表示为点C（1，60），点E可表示为点E（3，120），点F可表示为点F（4，150），点B 可表示为点B（2，30），则D点可表示为（）A．D（0，90）B．D（90，0）C．D（90，5）D．D（5，90）【分析】根据题干得出规律，从而得出答案．【解答】解：根据题意知：横坐标表示长度，纵坐标表示角度，从而得出D点可表示为（5，90），故选：D．5．在平面直角坐标系中，若A（m+3，m﹣1），B（1﹣m，3﹣m），且直线AB∥x轴，则m的值是（）A．﹣1B．1C．2D．3【分析】根据平行于x轴的直线上的点的纵坐标相等，建立方程求解即可求得答案．【解答】解：∵直线AB∥x轴，∴m﹣1＝3﹣m，解得：m＝2，故选：C．6．如图，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆组成一条平滑的曲线，点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒个单位长度，则第2022秒时，点P的坐标是（）A．（2021，0）B．（2022，﹣1）C．（2021，﹣1）D．（2022，0）【分析】利用坐标与图形的关系，结合路程问题求解．【解答】解：一个半圆的周长是π，速度是每秒，所以走一个半圆需要2秒，2022秒正好可以走1011个半圆，故选：D．7．如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），B（3，1），C（3，3），D（1，3），动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿AB﹣BC﹣CD﹣DA﹣AB﹣…路线运动，当运动到2022秒时，点P的坐标为（）A．（1，1）B．（3，1）C．（3，3）D．（1，3）【分析】利用路程找规律，看最后的路脚点，再求解．【解答】解：由题意得：四边形ABCD是正方形，且边长是2，点P运动一周需要8秒，2022÷8商252余6，结果到点D处，故坐标为（1，3），故选：D．8．如图，在平面直角坐标系中，三角形ABC三个顶点A、B、C的坐标A（0，4），B（﹣1，b），C（2，c），BC 经过原点O，且CD⊥AB，垂足为点D，则AB•CD的值为（）A．10B．11C．12D．14【分析】AB•CD可以联想到△ABC的面积公式，根据S△ABO+S△ACO＝S△ABC即可求解．【解答】解：∵A（0，4），∴OA＝4，∵B（﹣1，b），C（2，c），∴点B，C到y轴的距离分别为1，2，∵S△ABO+S△ACO＝S△ABC，∴×4×1+×4×2＝×AB•CD，∴AB•CD＝12，故答案为：C．9．如图，在平面直角坐标系中，A，B，C三点坐标分别为（0，a），（0，3﹣a），（1，2），且点A在点B的下方，连接AC，BC，若在AB，BC，AC若所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，那么a的取值范围是（）A．﹣1＜a≤0B．﹣1≤a≤1C．1≤a＜2D．0＜a≤1【分析】根据题意得出除了点C外，其它三个横纵坐标为整数的点落在所围区域的边界上，即线段AB上，从而求出a的取值范围．【解答】解：∵点A（0，a），点B（0，3﹣a），且A在B的下方，∴a＜3﹣a，解得：a＜1.5，若在AB，BC，AC所围成区域内（含边界），横坐标和纵坐标都为整数的点的个数为5个，∵点A，B，C的坐标分别是（0，a），（0，3﹣a），（1，2），∴区域内部（不含边界）没有横纵坐标都为整数的点，∴已知的5个横纵坐标都为整数的点都在区域的边界上，∵点C（1，2）的横纵坐标都为整数且在区域的边界上，∴其他的4个都在线段AB上，∴3≤3﹣a＜4．解得：﹣1＜a≤0，故选：A．10．如图，在平面直角坐标系中，OABC是正方形，点A的坐标是（4，0），点P为边AB上一点，∠CPB＝60°，沿CP折叠正方形，折叠后，点B落在平面内点B′处，则B′点的坐标为（）A．（2，2）B．（，）C．（2，）D．（，）【分析】过点B′作B′D⊥OC，因为∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4，所以∠B′CD＝30°，B′D＝2，根据勾股定理得DC＝2，故OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）．【解答】解：过点B′作B′D⊥OC∵∠CPB＝60°，CB′＝OC＝OA＝4∴∠B′CD＝30°，B′D＝2根据勾股定理得DC＝2∴OD＝4﹣2，即B′点的坐标为（2，）故选：C．11．如图，在x轴，y轴上分别截取OA，OB，使OA＝OB，再分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P．若点P的坐标为（a，2a﹣3），则a的值为．【分析】根据作图方法可知点P在∠BOA的角平分线上，由角平分线的性质可知点P到x轴和y轴的距离相等，可得关于a的方程，求解即可．【解答】解：∵OA＝OB，分别以点A，B为圆心，以大于AB长为半径画弧，两弧交于点P，∴点P在∠BOA的角平分线上，∴点P到x轴和y轴的距离相等，又∵点P的坐标为（a，2a﹣3），∴a＝2a﹣3，∴a＝3．故答案为：3．12．如图，△ABC中，点A的坐标为（0，1），点C的坐标为（4，3），如果要使△ABD与△ABC全等，那么点D的坐标是．【分析】因为△ABD与△ABC有一条公共边AB，故本题应从点D在AB的上边、点D在AB的下边两种情况入手进行讨论，计算即可得出答案．【解答】解：△ABD与△ABC有一条公共边AB，当点D在AB的下边时，点D有两种情况：①坐标是（4，﹣1）；②坐标为（﹣1，﹣1）；当点D在AB的上边时，坐标为（﹣1，3）；点D的坐标是（4，﹣1）或（﹣1，3）或（﹣1，﹣1）．13．教材上曾让同学们探索过线段的中点坐标：在平面直角坐标系中，有两点A（x1，y1）、B（x2，y2），所连线段AB的中点是M，则M的坐标为（，），如：点A（1，2）、点B（3，6），则线段AB的中点M 的坐标为（，），即M（2，4）．利用以上结论解决问题：平面直角坐标系中，若E（a﹣1，a），F（b，a﹣b），线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，则4a+b的值等于．【分析】根据中点坐标公式求出点G的坐标，根据线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，得到点G的横坐标等于0，纵坐标的绝对值为1，列出方程组求解即可．【解答】解：根据题意得：G（，），∵线段EF的中点G恰好位于y轴上，且到x轴的距离是1，∴，解得：4a+b＝4或0．故答案为：4或0．14．在平面直角坐标系xOy中，对于任意两点P1（x1，y1）与P2（x2，y2）的“非常距离”给出如下定义：若|x1﹣x2|≥|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|x1﹣x2|；若|x1﹣x2|＜|y1﹣y2|，则点P1与点P2的“非常距离”为|y1﹣y2|，例如：点P1（1，2），点P2（3，5），因为|1﹣3|＜|2﹣5|，所以点P1与点P2的“非常距离”为|2﹣5|＝3，也就是图中线段P1Q与线段P2Q长度的较大值（点Q为垂直于y轴的直线P1Q与垂直于x轴的直线P2Q的交点）．已知点，B为y轴上的一个动点．（1）若点A与点B的“非常距离”为2，写出一个满足条件的点B的坐标；（2）直接写出点A与点B的“非常距离”的最小值．【分析】（1）根据点B位于y轴上，可以设点B的坐标为（0，y）．由“非常距离”的定义可以确定|0﹣y|＝2，据此可以求得y的值；（2）设点B的坐标为（0，y）．因为|﹣﹣0|≥|0﹣y|，所以点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝．【解答】解：（1）∵B为y轴上的一个动点，∴设点B的坐标为（0，y）．∵|﹣﹣0|＝≠4，∴|0﹣y|＝2，解得y＝2或y＝﹣2；∴点B的坐标是（0，2）或（0，﹣2）；故答案为：（0，2）或（0，﹣2）；（2）∵|﹣﹣0|≥|0﹣y|，∴点A与点B的“非常距离”最小值为|﹣﹣0|＝；∴点A与点B的“非常距离”的最小值为．故答案为：．15．如图，在平面直角坐标系中，已知三点的坐标分别为A（0，4），B（2，0），C（2，5），连接AB，AC，BC．（1）求AC，AB的长；（2）∠CAB是直角吗？请说明理由．【分析】（1 ）过点A作AH⊥BC于点H，再利用勾股定理求解即可；（2 ）利用勾股定理的逆定理即可得出结论．【解答】解：（1）如图，∵A（0，4），B（2，0），C（2，5），∴OA＝4，OB＝2，BC＝5，过点A作AH⊥BC于点H，∴BH＝OA＝4，AH＝OB＝2，∴CH＝BC﹣BH＝5﹣4＝1，在Rt△OAB中，AB＝，在Rt△ACH中，AC＝；（2）∠CAB是直角，理由：由（1）得，AC＝，AB＝2，BC＝5，∵，∴AC2+AB2＝BC2，∴∠CAB是直角．16．对于某些三角形或四边形，我们可以直接用面积公式或者用割补法来求它们的面积．下面我们再研究一种求某些三角形或四边形面积的新方法：如图1，2所示，分别过三角形或四边形的顶点A，C作水平线的铅垂线l1，l2，l1，l2之间的距离d叫做水平宽；如图1所示，过点B作水平线的铅垂线交AC于点D，称线段BD的长叫做这个三角形的铅垂高；如图2所示，分别过四边形的顶点B，D作水平线l3，l4，l3，l4之间的距离h叫做四边形的铅垂高．【结论提炼】容易证明：“三角形的面积等于水平宽与铅垂高乘积的一半”，即“S＝dh”【结论应用】为了便于计算水平宽和铅垂高，我们不妨借助平面直角坐标系．已知：如图3，点A（﹣5，2），B（5，0），C（0，5），则△ABC的水平宽为10，铅垂高为，所以△ABC 面积的大小为．【再探新知】三角形的面积可以用“水平宽与铅垂高乘积的一半”来求，那四边形的面积是不是也可以这样求呢？带着这个问题，我们进行如下探索：（1）在图4所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（4，1），D（﹣2，﹣4）四个点，得到四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是；用其它的方法进行计算得到其面积的大小是，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积．（填“适合”或“不适合”）（2）在图5所示的平面直角坐标系中，取A（﹣5，2），B（1，5），C（4，2），D（﹣2，﹣3）四个点，得到了四边形ABCD．运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小是，用其它的方法进行计算得到面积的大小是，由此发现：用“S＝dh”这一方法对求图5中四边形的面积．（“适合”或“不适合”）（3）在图6所示的平面直角坐标系中，取A（﹣4，2），B（1，5），C（5，1），D（﹣1，﹣5）四个点，得到了四边形ABCD．通过计算发现：用“S＝dh”这一方法对求图6中四边形的面积．（填“适合”或“不适合”）【归纳总结】我们经历上面的探索过程，通过猜想、归纳，验证，便可得到：当四边形满足某些条件时，可以用“S＝dh”来求面积．那么，可以用“S＝dh”来求面积的四边形应满足的条件是：．【分析】【结论应用】直接代入公式即可；【再探新知】（1）求出水平宽，铅垂高，代入公式求出面积，再利用矩形面积减去周围四个三角形面积可得答案；（2）（3）与（1）同理；【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积．【解答】解：【结论应用】由图形知，铅垂高为4，S△ABC＝＝20，故答案为：4，20；【再探新知】（1）∵四边形ABCD的水平宽为8，铅垂高为9，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝37.5，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积不合适，故答案为：36，37.5，不合适；（2）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为8，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为36，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为8×9﹣＝36，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，故答案为：36，36，合适；（3）∵四边形ABCD的水平宽为9，铅垂高为10，∴运用“水平宽与铅垂高乘积的一半”进行计算得到四边形ABCD面积的大小为45，利用四边形ABCD所在的矩形面积减去周围四个三角形面积为10×9﹣＝45，∴用“S＝dh”这一方法对求图4中四边形的面积，合适，故答案为：合适；【归纳总结】当四边形满足一条对角线等于水平宽或铅垂高时，四边形可以用“S＝dh”来求面积，故答案为：一条对角线等于水平宽或铅垂高．17．如图所示，在平面直角坐标系中，P（2，2），（1）点A在x的正半轴运动，点B在y的正半轴上，且P A＝PB，①求证：P A⊥PB；②求OA+OB的值；（2）点A在x的正半轴运动，点B在y的负半轴上，且P A＝PB，③求OA﹣OB的值；④点A的坐标为（8，0），求点B的坐标．【分析】（1）①过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，根据点P的坐标可得PE＝PF＝2，然后利用“HL”证明Rt△APE和Rt△BPF全等，根据全等三角形对应角相等可得∠APE＝∠BPF，然后求出∠APB＝∠EPF＝90°，再根据垂直的定义证明；②根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出OA、OB，然后列出方程整理即可得解；（2）③根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，再表示出PE、PF，然后列出方程整理即可得解；④求出AE的长度，再根据全等三角形对应边相等可得AE＝BF，然后求出OB，再写出点B的坐标即可．【解答】（1）①证明：如图1，过点P作PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∵P（2，2），∴PE＝PF＝2，在Rt△APE和Rt△BPF中，，∴Rt△APE≌Rt△BPF（HL），∴∠APE＝∠BPF，∴∠APB＝∠APE+∠BPE＝∠BPF+∠BPE＝∠EPF＝90°，∴P A⊥PB；②解：∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴BF＝AE，∵OA＝OE+AE，OB＝OF﹣BF，∴OA+OB＝OE+AE+OF﹣BF＝OE+OF＝2+2＝4；（2）解：③如图2，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF，∵AE＝OA﹣OE＝OA﹣2，BF＝OB+OF＝OB+2，∴OA﹣2＝OB+2，∴OA﹣OB＝4；④∵PE＝PF＝2，PE⊥x轴于E，作PF⊥y轴于F，∴四边形OEPF是正方形，∴OE＝OF＝2，∵A（8，0），∴OA＝8，∴AE＝OA﹣OE＝8﹣2＝6，∵Rt△APE≌Rt△BPF，∴AE＝BF＝6，∴OB＝BF﹣OF＝6﹣2＝4，∴点B的坐标为（0，﹣4）．18．如图，在平面直角坐标系xOy中，点B（1，0），点C（5，0），以BC为边在x轴的上方作正方形ABCD，点M（﹣5，0），N（0，5）．（1）点A的坐标为；点D的坐标为；（2）将正方形ABCD向左平移m个单位，得到正方形A'B'C'D'，记正方形A'B'C'D'与△OMN重叠的区域（不含边界）为W：①当m＝3时，区域内整点（横，纵坐标都是整数）的个数为；②若区域W内恰好有3个整点，请直接写出m的取值范围．【分析】（1）先求出正方形的边长为BC＝4，再求点的坐标即可；（2）①画出正方形A'B'C'D'，结合图形求解即可；②在△OMN中共有6个整数点，在平移正方形ABCD，找到恰好有3个整数解的情况即可．【解答】解：（1）∵点B（1，0），点C（5，0），∴BC＝4，∵四边形ABCD是正方形，∴A（1，4），D（5，4），故答案为：（1，4），（5，4）；（2）①如图：共有3个，故答案为：3；②在△OMN中共有6个整数点，分别是（﹣1，1），（﹣1，2），（﹣1，3），（﹣2，1），（﹣2，2），（﹣3，1），∵区域W内恰好有3个整点，∴2＜m≤3或6≤m＜7．19．类比学习是知识内化的有效途径，认真读题是正确审题的第一步：对于平面直角坐标系xOy中的点P（a，b），若点P'的坐标为（其中k为常数，且k≠0），则称点P'为点P的“k系好友点”；例如：P（1，2）的“3系好友点”为即．请完成下列各题．（1）点P（﹣3，1）的“2系好友点”P'的坐标为．（2）若点P在y轴的正半轴上，点P的“k系好友点”为P'点，若在三角形OPP'中，pp′＝3OP，求k的值．（3）已知点A（x，y）在第四象限，且满足xy＝﹣8；点A是点B（m，n）的“﹣2系好友点”，求m﹣2n的值．【分析】（1）根据“k系好友点”的定义列式计算求解；（2）设P（0，t）（t＞0），根据定义得点P′（kt，t），则PP′＝|kt|＝3OP＝3t，即可求解；（3）点A是点B（m，n）的“﹣2系好有点”，可得点A（m﹣2n，n﹣），由xy＝﹣8得到（m﹣2n）2＝16，即可求解．【解答】解：（1）点P（﹣3，1），根据“k系好友点”的求法可知，k＝2，∵﹣3+2×1＝﹣1，1+＝﹣，∴P′的坐标为（﹣1，﹣），故答案为（﹣1，﹣）；（2）设P（0，t）其中t＞0，根据“k系好友点”的求法可知，P′（kt，t），∴PP'∥x轴，∴PP'＝|kt|，又∵OP＝t，PP'＝3OP，∴|kt|＝3t，∴k＝±3；（3）∵B（m，n）的﹣3系好有点A为（m﹣2n，n﹣），∴x＝m﹣2n，y＝n﹣，又∵xy＝﹣8，∴（m﹣2n）•（n﹣）＝﹣8，∴m﹣2n＝±4，∵点A在第四象限，∴x＞0，即m﹣2n＝4．20．如图，在以点O为原点的平面直角坐标系中点A，B的坐标分别为（a，0），（a，b），点C在y轴上，且BC∥x轴，a，b满足|a﹣3|+＝0．点P从原点出发，以每秒2个单位长度的速度沿着O﹣A﹣B﹣C﹣O的路线运动（回到O为止）．（1）直接写出点A，B，C的坐标；（2）当点P运动3秒时，连接PC，PO，求出点P的坐标，并直接写出∠CPO，∠BCP，∠AOP之间满足的数量关系；（3）点P运动t秒后（t≠0），是否存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【分析】（1）利用绝对值和二次根式的非负性即可求得；（2）当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，根据AO＝3，即可得点P在线段AB上且AP＝3，写出P 的坐标即可；作PE∥AO．利用平行线的性质证明即可；（3）由t≠0得点P可能运动到AB或BC或OC上．再分类讨论列出一元一次方程解得t即可．【解答】解：（1）∵|a﹣3|+＝0且|a﹣3|≥0，≥0，∴|a﹣3|＝0，＝0，∴a＝3，b＝4，∴A（3，0），B（3，4），C（0，4）；（2）如图，当P运动3秒时，点P运动了6个单位长度，∵AO＝3，∴点P运动3秒时，点P在线段AB上，且AP＝3，∴点P的坐标是（3，3）；如图，作PE∥AO．∵CB∥AO，PE∥AO，∴CB∥PE，∴∠BCP＝∠EPC，∠AOP＝∠EPO，∴∠CPO＝∠BCP+∠AOP；（3）存在．∵t≠0，∴点P可能运动到AB或BC或OC上．①当点P运动到AB上时，2t≤7，∵0＜t≤，P A＝2t﹣OA＝2t﹣3，∴2t﹣3＝t，解得：t＝2，∴P A＝2×2﹣3＝1，∴点P的坐标为（3，1）；②当点P运动到BC上时，7≤2t≤10，即≤t≤5，∵点P到x轴的距离为4，∴t＝4，解得t＝8，∵≤t≤5，∴此种情况不符合题意；③当点P运动到OC上时，10≤2t≤14，即5≤t≤7，∵PO＝OA+AB+BC+OC﹣2t＝14﹣2t，∴14﹣2t＝t，解得：t＝，∴PO＝﹣2×+14＝，∴点P的坐标为（0，）．综上所述，点P运动t秒后，存在点P到x轴的距离为t个单位长度的情况，点P的坐标为（3，1）或（0，）．。
几何综合题(与圆相关)
图3N MF EBC ABAC EFM N P图2图1A图3D A图2图1几何综合题：与圆相关1．已知Rt △ABC 中，∠ACB =90°，CA =CB ，有一圆心角为45°半径长等于CA 的扇形CEF 绕点C 旋转，直线CE 、CF 分别与直线AB 交于M 、N 。
（1）如图1，当AM =BN 时，将△ACM 沿CM 折叠，点A 落在EF 的中点P 处，再将△BCN 沿CN 折叠，点B 也恰好落在点P 处，此时，PM =AM ，PN =BN ，△PMN 的形状是 ，线段AM 、BN 、MN 之间的数量关系是 。
（2）如图2，当扇形CEF 绕点C 在∠ACB 内部旋转时，线段AM 、MN 、BN 之间的数量关系是 ，试证明你的结论。
（3）当扇形CEF 绕点C 旋转到图3的位置时，线段MN 、AM 、BN 之间的数量关系是 ，试证明你的结论。
2．李明同学在学习正多边形和圆时，发现了以下一些有趣的结论：若P 是正多边形外接圆上一点，将P 与正多边形相邻三个顶点连结，这三条线段之间有一些特殊的数量关系。
（1）如图1，若P 是正△ABC 外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PC ，则PB +PC 与PA 之间的数量关系是 ；（2）如图2，若P 是正方形ABCD 的外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PD ，则PB +PD 与PA 之间的数量关系是 ，试证明你的结论；（3）如图3，若点P 是正六边形ABCDEF 外接圆的弧BC 上一点，连PA 、PB 、PF ，则PB +PF 与PA 之间的数量关系是 。
3．小明学习了垂径定理后，作了下面的探究，请你根据题目要求帮小明完成探图3C 图2图1图3图1究。
（1）更换定理的题设和结论，可以得到许多真命题，如图1在⊙O 中，C 是弧AB 的中点，直线CD ⊥AB 于点E ，则AE =BE ，请你证明此结论；（2）从圆上任一点出发的两条弦所组成折线，称为该圆的一条折弦，如图2中PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，C 为劣弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE =PE +PB ，证明此结论；（3）如图3，PA 、PB 组成⊙O 的一条折弦，若C 是优弧AB 的中点，直线CD ⊥PA 于点E ，则AE 、PE 与PB 之间存在怎样的数量关系？写出并证明你的结论。
初中七年级数学《平面直角坐标系中几何综合题》
七年级下学期期末备考之《平面直角坐标系中几何综合题》一．解答题（共17小题）1．（春•玉环县期中）如图在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），（﹣1，2）．且|2a+b+1|+=0．（1）求a、b的值；（2）①在y轴的正半轴上存在一点M，使S△COM=S△ABC，求点M的坐标．（标注：三角形ABC的面积表示为S△ABC）②在坐标轴的其他位置是否存在点M，使S△COM=S△ABC仍成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标．2．（春•汕头校级期中）如图，在下面直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（3，c）三点，其中a、b、c满足关系式：|a﹣2|+（b﹣3）2+=0．（1）求a、b、c的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在负整数m，使四边形ABOP的面积不小于△AOP面积的两倍？若存在，求出所有满足条件的点P的坐标，若不存在，请说明理由．3．（春•鄂城区期中）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（a，0），B（b，0），且a、b满足a=+﹣1，现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，CD．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABDC．（2）在y轴上是否存在一点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．4．（春•富顺县校级期末）在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，0），C（﹣1，2）（见图1），且|2a+b+1|+=0（1）求a、b的值；（2）①在x轴的正半轴上存在一点M，使△COM的面积=△ABC的面积，求出点M的坐标；②在坐标轴的其它位置是否存在点M，使△COM的面积=△ABC的面积仍然成立？若存在，请直接写出符合条件的点M的坐标；（3）如图2，过点C作CD⊥y轴交y轴于点D，点P为线段CD延长线上的一动点，连接OP，OE平分∠AOP，OF⊥OE．当点P运动时，的值是否会改变？若不变，求其值；若改变，说明理由．5．（春•泰兴市校级期末）已知：如图①，直线MN⊥直线PQ，垂足为O，点A在射线OP 上，点B在射线OQ上（A、B不与O点重合），点C在射线ON上且OC=2，过点C作直线l∥PQ，点D在点C的左边且CD=3．（1）直接写出△BCD的面积．（2）如图②，若AC⊥BC，作∠CBA的平分线交OC于E，交AC于F，求证：∠CEF=∠CFE．（3）如图③，若∠ADC=∠DAC，点B在射线OQ上运动，∠ACB的平分线交DA的延长线于点H，在点B运动过程中的值是否变化？若不变，求出其值；若变化，求出变化范围．6．（春•江岸区期末）如图1，在平面直角坐标系中，A（a，0），B（b，3），C（4，0），且满足（a+b）2+|a﹣b+6|=0，线段AB交y轴于F点．（1）求点A、B的坐标．（2）点D为y轴正半轴上一点，若ED∥AB，且AM，DM分别平分∠CAB，∠ODE，如图2，求∠AMD的度数．（3）如图3，（也可以利用图1）①求点F的坐标；②点P为坐标轴上一点，若△ABP的三角形和△ABC的面积相等？若存在，求出P点坐标．7．（春•黄陂区期末）在直角坐标系中，已知点A、B的坐标是（a，0）（b，0），a，b满足方程组，c为y轴正半轴上一点，且S△ABC=6．（1）求A、B、C三点的坐标；（2）是否存在点P（t，t），使S△PAB=S△ABC？若存在，请求出P点坐标；若不存在，请说明理由；（3）若M是AC的中点，N是BC上一点，CN=2BN，连AN、BM相交于点D，求四边形CMDN的面积是．8．（春•海珠区期末）在平面直角坐标系中，点A（a，b）是第四象限内一点，AB⊥y轴于B，且B（0，b）是y轴负半轴上一点，b2=16，S△AOB=12．（1）求点A和点B的坐标；（2）如图1，点D为线段OA（端点除外）上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E，交直线AB于F，∠EOD、∠AFD的平分线相交于N，求∠ONF的度数．（3）如图2，点D为线段OA（端点除外）上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x轴正半轴于E，交直线AB于F，∠EOD，∠AFD的平分线相交于点N．若记∠ODF=α，请用α的式子表示∠ONF的大小，并说明理由．9．（春•黄梅县校级期中）如图，在下面的直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，4）三点，其中a，b满足关系式．（1）求a，b的值；（2）如果在第二象限内有一点P（m，），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．（春•通州区校级期中）在如图直角坐标系中，已知A（0，a），B（b，0），C（b，c）三点，其中a、b、c满足关系式+（b﹣3）2=0，（c﹣4）2≤0．（1）求a、b、c的值；（2）如果点P（m，n）在第二象限，四边形CBOP的面积为y，请你用含m，n的式子表示y；（3）如果点P在第二象限坐标轴的夹角平分线上，并且y=2S四边形CBOA，求P点的坐标．11．（春•鄂州校级期中）如图，A、B两点坐标分别为A（a，4），B（b，0），且a，b满足（a﹣2b+8）2+=0，E是y轴正半轴上一点．（1）求A、B两点坐标；（2）若C为y轴上一点且S△AOC=S△AOB，求C点的坐标；（3）过B作BD∥y轴，∠DBF=∠DBA，∠EOF=∠EOA，求∠F与∠A间的数量关系．12．（春•东湖区期中）如图，平面直角坐标系中A（﹣1，0），B（3，0），现同时将A、B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到A、B的对应点C、D，连接AC、BD（1）直接写出C、D的坐标：C D及四边形ABCD的面积：（2）在y轴负半轴上是否存在点M，连接MA、MB使得S△MAB＞S四边形ABCD？若存在，求出M点纵坐标的取值范围；若不存在说明理由（3）点P为线段BD上一动点，连PC、PO，当点P在BD上移动（不含端点）现给出①的值不变，②的值不变，其中有且只有一个正确，请你找出这个结论并求其值．13．（春•台州月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（0，α），B（b，α），且α、b满足（a﹣2）2+|b﹣4|=0，现同时将点A，B分别向下平移2个单位，再向左平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C，D，连接AC，BD，AB．（1）求点C，D的坐标及四边形ABDC的面积S四边形ABCD（2）在y轴上是否存在一点M，连接MC，MD，使S△MCD=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点M的坐标，若不存在，试说明理由．（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PA，PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）的值是否发生变化，并说明理由．14．（春•海安县月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标分别为（﹣1，0），（3，0），（0，2），图中的线段BD是由线段AC平移得到．（1）线段AC经过怎样的平移可得到线段BD，所得四边形是什么图形，并求出所得的四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在y轴上是否存在点P，连接PA，PB，使S△PAB=S四边形ABDC？若存在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由；（3）点P是线段BD上的一个动点，连接PC、PO，当点P在BD上移动时（不与B，D重合）给出下列结论：①的值不变；②的值不变，其中有且只有一个是正确的，请你找出这个结论并求其值．15．（春•武汉月考）已知，在平面直角坐标系中，点A（0，m），点B（n，0），m、n满足（m﹣3）2=﹣；（1）求A、B的坐标；（2）如图1，E为第二象限内直线AB上一点，且满足S△AOE=S△AOB，求E的坐标．（3）如图2，平移线段BA至OC，B与O是对应点，A与C对应，连AC．E为BA的延长线上一动点，连EO．OF平分∠COE，AF平分∠EAC，OF交AF于F点．若∠ABO+∠OEB=α，请在图2中将图形补充完整，并求∠F（用含α的式子表示）．16．（2013秋•江岸区校级月考）如图，已知点A（﹣m，n），B（0，m），且m、n满足+（n﹣5）2=0，点C在y轴上，将△ABC沿y轴折叠，使点A落在点D处．（1）写出D点坐标并求A、D两点间的距离；（2）若EF平分∠AED，若∠ACF﹣∠AEF=20°，求∠EFB的度数；（3）过点C作QH平行于AB交x轴于点H，点Q在HC的延长线上，AB交x轴于点R，CP、RP分别平分∠BCQ和∠ARX，当点C在y轴上运动时，∠CPR的度数是否发生变化？若不变，求其度数；若变化，求其变化范围．17．（2013春•武汉校级月考）如图，在平面直角坐标系中，点A，B的坐标分别为A（﹣1，0）、B（3，0）．现同时将点A，B分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A，B的对应点C、D，连接AC，BD．（1）直接写出点C、D的坐标，求四边形ABDC的面积S四边形ABDC；（2）在坐标轴上是否存在一点P，使S△PAC=S四边形ABDC？若存在这样一点，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由．（3）如图3，在线段CO上取一点G，使OG=3CG，在线段OB上取一点F，使OF=2BF，CF与BG交于点H，求四边形OGHF的面积S四边形OGHF．。
七(下)培优训练(三)平面直角坐标系综合问题(压轴题)
培优训练三：平面直角坐标系（压轴题）一、坐标与面积：【例1】如图，在平面直角坐标中,A (0，1)，B (２，0）,C (2，１.５). (1)求△AB Ｃ的面积;（2)如果在第二象限内有一点Ｐ(a ，0.5），试用a 的式子表示四边形ＡBOP 的面积;(3)在(2）的条件下，是否存在这样的点P ，使四边形ＡＢOP 的面积与△ＡB Ｃ的面积相等?若存在，求出点P 的坐标，若不存在,请说明理由．yxPOCBA【例2】在平面直角坐标系中,已知A （-3,0)，B （－2，－2),将线段AB 平移至线段CD .图1y xDO CB A图2y xDOCB AyxOBAyxOBA(1）如图1,直接写出图中相等的线段,平行的线段；(2）如图2，若线段ＡB 移动到ＣD ,C 、D 两点恰好都在坐标轴上，求C 、D 的坐标;（3）若点C 在y 轴的正半轴上,点Ｄ在第一象限内，且Ｓ△ＡCD =5,求Ｃ、D 的坐标；(4）在y 轴上是否存在一点P ,使线段AB 平移至线段PQ 时，由A 、B 、Ｐ、Q 构成的四边形是平行四边形面积为１０，若存在,求出P 、Ｑ的坐标,若不存在,说明理由;【例3】如图，△ＡＢC 的三个顶点位置分别是A (1，０)，B (-2，３),C (－3,0）.（1)求△ＡBC 的面积；（2)若把△AB Ｃ向下平移2个单位长度,再向右平移3个单位长度,得到△A B C ''',请你在图中画出△A B C '''； （3）若点Ａ、Ｃ的位置不变,当点P 在y 轴上什么位置时，使2ACPABCS S=；(4)若点B 、Ｃ的位置不变,当点Ｑ在x 轴上什么位置时,使2BCQABCS S=．【例４】如图1,在平面直角坐标系中,A (a ，0）,C (ｂ,２），且满足2(2)20a b ++-=，过C 作CB ⊥x 轴于Ｂ.（1）求三角形ABC 的面积;（２)若过Ｂ作BD ∥AC 交y 轴于Ｄ,且AE ,D Ｅ分别平分∠ＣA Ｂ,∠ODB ，如图2,求∠ＡE Ｄ的度数；(３）在y 轴上是否存在点P ,使得三角形ABC 和三角形A ＣP 的面积相等,若存在,求出P 点坐标;若不存在，请说明理由.【例５】如图,在平面直角坐标系中，四边形AB ＣD 各顶点的坐标分别是Ａ(0，0)，Ｂ（７，0）,C （９，５）,D （2,７)(1)在坐标系中,画出此四边形; (２)求此四边形的面积;（3)在坐标轴上，你能否找一个点P ，使S △ＰBC =50， 若能,求出P 点坐标,若不能，说明理由.【例6】如图,Ａ点坐标为(－２， 0）, B 点坐标为（0， －3). (１)作图，将△ＡＢＯ沿ｘ轴正方向平移4个单位, 得到△ＤEF , 延长ED 交y 轴于Ｃ点, 过Ｏ点作O Ｇ⊥C Ｅ， 垂足为G ;（2) 在(1)的条件下, 求证: ∠C ＯG =∠E ＤF ； （3)求运动过程中线段A Ｂ扫过的图形的面积．【例7】在平面直角坐标系中,点B （0,４)，Ｃ(-5,4），点A 是ｘ轴负半轴上一点，Ｓ四边形A ＯBC =24.图1yxHOFEDAC B（1)线段B Ｃ的长为 ,点Ａ的坐标为 ；(2）如图１，EA 平分∠CAO ,DA 平分∠CA Ｈ,ＣF ⊥A Ｅ点Ｆ，试给出∠ＥCF 与∠ＤAH 之间满足的数量关系式,并说明理由;(3)若点P 是在直线C Ｂ与直线AO 之间的一点,连接BP 、OP ，BN 平分CBP ∠，ＯＮ平分AOP ∠,ＢN 交ON 于Ｎ，请依题意画出图形,给出BPO ∠与BNO ∠之间满足的数量关系式,并说明理由. 【例８】在平面直角坐标系中,ＯＡ＝４,O Ｃ=8,四边形ＡＢC Ｏ是平行四边形．A(-2,0)B(0,-3)y x 0（1）求点B 的坐标及的面积ABCO S 四边形；(2)若点P 从点Ｃ以2单位长度／秒的速度沿ＣO 方向移动,同时点Q 从点O 以1单位长度/秒的速度沿OA 方向移动，设移动的时间为t 秒,△AQ Ｂ与△ＢPC 的面积分别记为AQB S ∆，BPC S ∆，是否存在某个时间,使AQB S ∆＝3OQBPS 四边形，若存在，求出t 的值,若不存在，试说明理由；(３）在（2）的条件下,四边形Q ＢPO 的面积是否发生变化,若不变，求出并证明你的结论，若变化,求出变化的范围.【例9】如图,在平面直角坐标系中，点A ，Ｂ的坐标分别为（－1，0)，(3,０）,现同时将点Ａ,B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位,分别得到点Ａ,B 的对应点Ｃ,D 连结AC ,B Ｄ. (1)求点C ,D 的坐标及四边形ABD Ｃ的面积S 四边形ABDC ；（2)在ｙ轴上是否存在一点P ,连结P A ,PB ，使S △ＰＡB =S △明理由；(3)若点Ｑ自O 点以0.5个单位/s 的速度在线段ＡＢ上移动,运动到Ｂ点就停止，设移动的时间为t 秒,(1)是否是否存在一个时刻,使得梯形CDQB 的面积是四边形ABCD 面积的三分之一？(4）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积等于△ACO 面积的二分之一?【例10】在直角坐标系中,△ＡB Ｃ的顶点A (—2，0）,B （2，4),C (5，0）． (1）求△ＡＢC 的面积(2)点D 为ｙ负半轴上一动点，连BD 交x 轴于E ，是否存在点D 使得ADE BCE S S ∆∆=?若存在，请求出点D 的坐标;若不存在，请说明理由.（3）点F （5,n ）是第一象限内一点,，连ＢF ，CF ,G 是ｘ轴上一点，若△ABG 的面积等于四边形ABDC 的面积，则点G 的坐标为 （用含n 的式子表示）二、坐标与几何：【例1】如图,已知A （0,ａ），B （０，b)，C （m ，b)且(a －4)2＋|ｂ+３|=0,S △ABC ＝１4. （1）求Ｃ点坐标（2)作DE ⊥ＤC,交y 轴于Ｅ点,EF 为∠AED 的平分线，且∠DF Ｅ=900.求证：FD 平分∠ADO;(3)E 在y 轴负半轴上运动时，连E Ｃ,点Ｐ为A Ｃ延长线上一点，EM 平分∠AEC,且ＰM ⊥ＥM,PN ⊥x 轴于Ｎ点，PQ 平分∠ＡＰＮ，交ｘ轴于Ｑ点,则E 在运动过程中,错误!的大小是否发生变化,若不变，求出其值．【例2】如图，在平面直角坐标系中,已知点A(-5,0),B(5.0)，D(2,7)， (1)求Ｃ点的坐标；（２)动点P 从B 点出发以每秒1个单位的速度沿ＢA 方向运动，同时动点Ｑ从C 点出发也以每秒1位的速度沿ｙ轴正半轴方向运动（当P 点运动到A 点时,两点都停止运动)。
函数与几何综合问题专练2023中考真题分类汇编(共25题)(解析版)
专题32函数与几何综合问题（25题）一、填空题1．（2023·四川眉山·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点B 的坐标为()86-，，过点B 分别作x 轴、y 轴的垂线，垂足分别为点C 、点A ，直线26y x =--与AB 交于点D ．与y 轴交于点E ．动点M 在线段BC 上，动点N 在直线26y x =--上，若AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，则点M 的坐标为【答案】()8,6M -或28,3M ⎛⎫- ⎪⎝⎭【分析】如图，由AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，可得N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，可得N 是圆H 与直线26y x =--的交点，当,M B 重合时，符合题意，可得()8,6M -，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，证明MNK NAJ ≌，设(),26N x x --，可得MK NJ x ==-，266212KN AJ x x ==---=--，而8KJ AB ==，则2128x x ---=，再解方程可得答案．【详解】解：如图，∵AMN 是以点N 为直角顶点的等腰直角三角形，∴N 在以AM 为直径的圆H 上，MN AN =，∴N 是圆H 与直线26y x =--的交点，当,M B 重合时，∵()8,6B -，则()4,3H -，∴4MH AH NH ===，符合题意，∴()8,6M -，当N 在AM 的上方时，如图，过N 作NJ y ⊥轴于J ，延长MB 交BJ 于K ，则90NJA MKN ∠=∠=︒，8JK AB ==，∴90NAJ ANJ ∠+∠=︒，【答案】392【分析】作出点()32C -，，作CD 直角三角形求得1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，利用待定系数法求得直线DG y ⊥轴于点G ，此时35BH +【详解】解：∵直线123y x =-+则2CP =，3OP =，∵CFP AFD ∠=∠，∴FCP FAD ∠=∠，∴tan tan FCP FAD ∠=∠，∴PF OB PC OA=，即226PF =，∴23PF =，则1103F ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，设直线CD 的解析式为y kx =+则321103k b k b +=-⎧⎪⎨+=⎪⎩，解得311k b =⎧⎨=-⎩∴直线CD 的解析式为3y x =联立，311123y x y x =-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，解得⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩即3971010D ⎛⎫ ⎪⎝⎭，；过点D 作DG y ⊥轴于点G ，②如图2，直线BM过AC中点，直线BM解析式为1522y x=-+，AC中点坐标为910a=；③如图3，直线CM过AB中点，AB中点坐标为()3,0，5⑤如图5，直线ME ∥AC ，MN CO ∥，则EMN ACO∽∴12BE AB =，又4AB =，∴22BE =，∵53222BN =-=<，∴不成立；⑥如图6，直线ME ∥BC ，同理可得12AE AB =，∴22AE =，222NE =-，tan tan MEN CBO ∠∠=，∴155222a =-，解得212a +=；综上所述，910a =或225+或212+．【点睛】本题考查了二次函数的综合问题，解直角三角形，相似三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识，并分类讨论是解题的关键．二、解答题4．（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，在平面直角坐标系中，ABCD Y 的顶点B ，C 在x 轴上，D(1)求点B 的坐标；(2)若:2:1OD OC =，直线y x b =-+分别交x DC 延长线于点N ，求tan MND ∠的值；(3)在（2）的条件下，点P 在y 轴上，在直线存在，请直接写出等腰三角形的个数和其中两个点【答案】(1)()4,0B -(2)1tan 3MND ∠=(3)存在，等腰三角形的个数是8个，1652Q ⎛- ⎝【分析】（1）解方程得到OB ，OC 的长，从而得到点（2）由:2:1OD OC =，2OC =，得4OD =线y x b =-+中，求得b 的值，从而得到直线的解析式，进而求得点45FEO ∠=︒．过点C 作CH EN ⊥于H ，过点::2:1DO OC NK CK ==，进而得到2NK CK =EC CK =，由211EC OC OE =-=-=可得CK 得到22cos EK EN KEN ==∠，在Rt ECH △中，322NH EN EH =-=，最终可得结果tan MND ∠（3）分PN PQ =，PN NQ =，PQ NQ =三大类求解，共有【详解】（1）解方程2680x x -+=，得14x =OB OC > ，（3）解：由（2）知：直线EF 解析式为设()0,P p ，(),1Q q q -+，①当5PN QN ==时，()()2223025p -+--=，()23q -+解得6p =-或2p =，6522q +=或∴1652524,22Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2652Q ⎛+ ⎝如图，11PQ N 、12PQ N 、21P Q N ；②当5PQ QN ==时，由①知：1652524,22Q ⎛⎫-- ⎪ ⎪⎝⎭，2652,2Q ⎛+ ⎝；③当5PN PQ ==时，由①知：()10,6P -，()20,2P ，当()10,6P -时，()()22061q q -+-+-解得13q =（舍去），24q =，∴()34,3Q -，如图，当()20,2P 时，()()220215q q -++-=解得13q =（舍去），24q =-，综上，等腰三角形的个数是8个，符合题意的Q 坐标为16525,2Q ⎛- ⎝【点睛】本题考查了一次函数的图像与性质，一次函数与平行四边形，等腰三角形的综合问题，数形结合思想是解题的关键．5．（2023·湖南·统考中考真题）如图，点使得DBC CAB ∠=∠，点E 是弦AC 上一动点（不与点交BC 的延长线于点N ，交O 于点M (1)BD 是O 的切线吗？请作出你的判断并给出证明；(2)记BDC ABC ADB ，，的面积分别为(3)若O 的半径为1，设FM x =，FE 自变量x 的取值范围．【答案】(1)BD 是O 的切线，证明见解析(2)152+∴在Rt OFM △中，2OF OM =∴211BF BO OF x =+=+-，AF2②若a c=，则A、B关于y轴对称，以综上，以A，B，C，D为顶点的四边形能构成正方形，此时【点睛】本题主要考查了二次函数的综合应用、正方形的性质等知识点，解题的关键是利用分类讨论的思想解决问题．(1)当45QPB ∠=︒时，求四边形(2)当点P 在线段AB 上移动时，设【答案】(1)438+(2)23234312x S x =++【分析】（1）连接BD 、可得PBQ 为等腰直角三角形，则 四边形ABCD 为菱形，∠PB x=，23BQ=，PBQ(1)求点,A B 的坐标；(2)随着点E 在线段BC 上运动．①EDA ∠的大小是否发生变化？请说明理由；②线段BF 的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由；(3)当线段DE 的中点在该二次函数的因象的对称轴上时，【答案】(1)()20A ，，()13B ，；∵()2313y x =--+，∴抛物线对称轴为1x =，即1ON =，∵将线段AB 绕点A 按顺时针方向旋转∵2OA OB AC BC ====，∴四边形OACB 是菱形，∴BC OA ∥，∵DH BN ⊥，AN BN ⊥，∴DH BC OA ∥∥，∴MBE MHD ∠∠=，MEB MDH ∠∠=∵DE 的中点为点M ，∴MD ME =，∴MBE MHD ≌，∴DH BE =，∵90ANM ∠=︒，∴1809090MBE ANM ∠∠=︒-︒=︒=，∵DE 的中点为点M ，DAE 是等边三角形，∴AM DE ⊥，∴90AME ∠=︒，∴180BME NMA ∠∠+=︒，∴BME NAM ∠∠=，(1)求点,,D E C 的坐标；(2)F 是线段OE 上一点()OF EF <，连接,AF DF ①求证：DFC △是直角三角形；②DFC ∠的平分线FK 交线段DC 于点,K P 是直线坐标．【答案】(1)(3,1)C ，(0,2)D ，(6,0)E (2)①证明见解析，②点P 的坐标为(1,3)或(7,3【分析】（1）根据一次函数与坐标轴的交点及一次函数与二次函数的交点求解即可；（2）①设(,0),F m 然后利用勾股定理求解，m-①抛物线231y x x =-++交y 轴于点A ，当0x =时，1,y =．(0,1),A ∴1OA ∴=,在Rt AOF 中，90AOF ∠=︒，由勾股定理得222AF OA OF +=，设(,0),F m ,OF m ∴=221AF m ∴=+，(6,0),E ．6,OE ∴=6EF OE OF m ∴=-=-，2221,AF EF += 221(6)21,m m ∴++-=122,4m m ∴==，,OF EF < 2,m ∴=2OF ∴=，(2,0)F ∴．(0,2),D 2OD ∴=，OD OF ∴=．DOF ∴ 是等腰直角三角形，45OFD ∴∠=︒．过点C 作CG x ⊥轴，垂足为G ．(3,1),C 1,3CG OG ∴==，1,GF OG OF =-= ,CG GF ∴=CGF ∴ 是等腰直角三角形，45,GFC ∴∠︒=90,DFC ∴∠=︒DFC ∴ 是直角三角形．②FK 平分,90,DFC DFC ∠∠=︒(1)BP 的长为__________，CM 的长为_________(2)求y 关于x 的函数解析式，并写出自变量x 的取值范围．(3)当四边形PQMN 是轴对称图形时，直接写出x 【答案】(1)()4x -；x(2)()(241216024162x x y x x ⎧-+⎪=⎨-+<≤⎪⎩(3)43x =或83x =【分析】（1）根据正方形中心对称的性质得出OM ANP CQM ≌即可；（2）分02x <≤，2<两种情况分别画出图形，根据正方形的面积，以及平行四边形的性质即可求解；（3）根据（2）的图形，分类讨论即可求解．【详解】（1）解：依题意，1AP x x =⨯=()cm ，则∵四边形ABCD 是正方形，∴,90AD BC DAB ∠=∠=︒∥，∵点O 是正方形对角线的中点，∴,OM OP OQ ON ==，则四边形PQMN 是平行四边形，∴MQ PN =，MQ NP ∥∴PNQ MQN ∠=∠，又AD BC ∥，∴ANQ CQN ∠=∠，∴ANP MQC ∠=∠，在,ANP CQM 中，ANP MQC NAP QCM NP MQ ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩，∴ANP CQM ≌，∴()cm MC AP x ==故答案为：()4x -；x ．（2）解：当02x <≤时，点Q 在BC 上，由（1）可得ANP CQM ≌，同理可得PBQ MDN ≌，∵4,2,PB x QB x MC x =-==，42QC x =-，则222MCQ BPQy AB S S =-- ()()164242x x x x =--⨯--241216x x =-+；当24x <≤时，如图所示，则AP x =，224AN CQ x CB x ==-=-，()244PN AP AN x x x =-=--=-+，∴()44416y x x =-+⨯=-+；综上所述，()()2412160241624x x x y x x ⎧-+<≤⎪=⎨-+<≤⎪⎩；当四边形PQMN 是菱形时，则∴()()2242x x x -+=解得：0x =（舍去）②如图所示，当PB =424x x -=-，解得x 当四边形PQMN 是菱形时，则综上所述，当四边形【点睛】本题考查了正方形的性质，动点问题，全等三角形的性质与判定，矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的性质，轴对称图形，熟练掌握以上知识是解题的关键．(1)当旋转角COF ∠为多少度时，OE OF =；（直接写出结果，不要求写解答过程）(2)若点(4,3)A ，求FC 的长；(3)如图3，对角线AC 交y 轴于点M ，交直线y x =于点N ，连接FN ，将OFN △1S 与2S ，设12S S S =-，AN n =，求S 关于n 的函数表达式．【答案】(1)22.5︒(2)154FC =(3)212S n =【分析】（1）根据正方形的性质及直角三角形全等的判定及性质得出AOG ∠=45EOG ∠=︒，即可求解；（2）过点A 作AP x ⊥轴，根据勾股定理及点的坐标得出5OA =，再由相似三角形的判定和性质求解即可；（3）根据正方形的性质及四点共圆条件得出O 、C 、F 、N 四点共圆，再由圆周角定理及等腰直角三角形的判定和性质得出FN ON =，90FNO ∠=︒，过点N 作GQ BC ⊥于点G ，交OA 于点形的判定和性质得出,CG OQ CO QG ==，结合图形分别表示出1S ，2S ，得出（2）过点A 作AP x ⊥轴，如图所示：∵(4,3)A ，∴3,4AP OP ==，∴5OA =，∵正方形OABC ，∴5OC OA ==，90C ∠=∴90C APO ∠∠==︒，∵AOP COF ∠∠=，∴OCF OPA ∽ ，∴OC FC OP AP=即543FC =，∴154FC =；（3）∵正方形OABC ，∵BC OA ∥，∴GQ OA ⊥，∵90FNO ∠=︒，∴1290∠∠+=︒，∵1390∠∠+=︒，∴23∠∠=，∴(AAS)FGN NQO ≌ ∴,GN OQ FG QN ==，∵GQ BC ⊥，FCO COQ ∠∠=∴四边形COQG 为矩形，∴,CG OQ CO QG ==，∴(211S S ON OQ ===(1)直接写出结果；b =_____，c =_____，点A 的坐标为_____，tan ABC ∠=______(2)如图1，当2PCB OCA ∠=∠时，求点P 的坐标；(3)如图2，点D 在y 轴负半轴上，OD OB =，点Q 为抛物线上一点，90QBD ∠=︒，点的边,DQ DB 上的动点，QE DF =，记BE Q F +的最小值为m ．①求m 的值；②设PCB 的面积为S ，若214S m k =-，请直接写出k 的取值范围．【答案】(1)32，2，()1,0-，12(2)()2,3（3）解：①如图2，作DH ⊥∵90BQD BDQ ︒∠+∠=，HDF ∠∴QD HDF ∠=∠，∵QE DF =，DH BQ =，∴(SAS)BQE HDF ≌，∴BE FH =，∴BE QF FH QF QH +=+≥，∴Q ，F ，H 共线时，BE Q F +②如图3，作PT y ∥轴，交设22,1T a a ⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，,P a ⎛ ⎝则21132222S a a ⎛=-+++ ⎝∴04S <≤，∴21044m k <-≤，∴0174k <-≤，∴1317k ≤<．【点睛】本题考查用待定系数法求函数解析式、二次函数与几何综合、二次函数与(1)直接判断AOB 的形状：AOB 是_________三角形；(2)求证：AOE BOD △≌△；(3)直线EA 交x 轴于点(,0),2C t t >．将经过B ，C 两点的抛物线21y ax =物线2y ．①若直线EA 与抛物线1y 有唯一交点，求t 的值；②若抛物线2y 的顶点P 在直线EA 上，求t 的值；③将抛物线2y 再向下平移，22(1)t -个单位，得到抛物线3y ．若点D 在抛物线【答案】(1)等腰直角三角形(2)详见解析(3)①3t =；②6t =；③126,55D ⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】（1）由(0,2),(2,0)A B 得到2OA OB ==，又由90AOB ∠=︒，即可得到结论；（2）由90EOD ∠=︒，90AOB ∠=︒得到AOE BOD ∠=∠，又有AO OB =AOE BOD △≌△；（3）①求出直线AC 的解析式和抛物线1y 的解析式，联立得()23x t -+22(3)43(3)0t t t ∆=+-⨯=-=即可得到t 的值；∵90EOD ∠=︒，90AOB ∠=︒，AOB AOD DOE ∴∠-∠=∠-∠AOE BOD ∴∠=∠，∵,AO OB OD OE ==，(SAS)AOE BOD ∴△≌△；（3）①设直线AC 的解析式为(0,2),(,0)A C t ，∴90EMO OND ∠=∠=︒，90DOE ∠=︒ ，∴EOM MEO EOM NOD ∠+∠=∠+∠∴MEO NOD ∠=∠，∵OD OE =，∴(AAS)ODN EOM ≌，∴,ON EM DN OM ==，∵OE 的解析式为2y x =-，∴设22EM OM m ==,∴DN OM m ==，EM x ⊥ 轴,∴OA EM ∥,∴~CAO CEM ，::OC CM OA EM ∴=,22t t m m∴=+,1t m t ∴=-,∴2221t EM ON OM m t ====-，DN 2,11t t D t t ⎛⎫∴ ⎪--⎝⎭, 抛物线2y 再向下平移22(1)t -个单位，得到抛物线2222(2)y x t x(1)求S 关于x 的函数解析式；(2)当x 取何值时，S 的值最大？请求出最大值．【答案】(1)23232S x x =-+(2)当2x =时，S 的最大值为23∵顶点A 的坐标为()2,23，∴()222234OA =+=，2OG =，∴1cos 2OG AOG AO ∠==，①如图②，当边E F ''与AB 相交于点M 、边G H ''与BC 相交于点N ，且矩形E F G H ''''与菱形为五边形时，试用含有t 的式子表示S ，并直接写出t 的取值范围：②当2311334t ≤≤时，求S 的取值范围（直接写出结果即可）．【答案】(1)()3,2，33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭(2)①332t <≤；②3316S ≤≤【分析】（1）根据矩形及菱形的性质可进行求解；（2）①由题意易得3,1EF E F EH E H ''''====，然后可得60ABO ∠=︒，则有32EM =，进而根据割补∵四边形ABCD 是菱形，且(3,0),(0,1),(2A B D ∴()()2230012AB AD ==-+-=，AC BD ⊥∴2AC =，∴()3,2C ，故答案为()3,2，33,2⎛⎫- ⎪⎝⎭；（2）解：①∵点10,2E ⎛⎫ ⎪⎝⎭，点13,2F ⎛⎫- ⎪⎝⎭，点∴矩形EFGH 中，EF x ∥轴，EH x ⊥轴，EF ∴矩形E F G H ''''中，E F x ''∥轴，E H x ''⊥轴，由点()3,0A ，点()0,1B ，得3,1OA OB ==．在Rt ABO △中，tan 3OA ABO OB ∠==，得ABO ∠在Rt BME △中，由1tan 60,12EM EB EB =⋅︒=-此时面积S 最大，最大值为133S =⨯=当1134t =时，矩形E F G H ''''和菱形ABCD 由（1）可知B 、D 之间的水平距离为23，则有点由①可知：60D B ∠=∠=︒，(1)求CE的长和y关于x的函数表达式．(2)当PH PN<，且长度分别等于PH，PN，a的三条线段组成的三角形与(3)延长PN交半圆O于点Q，当1534NQ x=-时，求【答案】(1)165CE=，25412y x=-+(2)1615或2740或6041(3)17 8【分析】（1）如图1，连接OD，根据切线的性质得出出165CE=；证明四边形APMC是平行四边形，得出MN（2）根据BCE三边之比为3:4:5，可分为三种情况．当:3:4PH PN=时，分别列出比例式，进而即可求解．∵CD 切半圆O 于点D ，∴OD CE ⊥．∵32OA =，1AC =，∴52OC =，∴2CD =．∵BE CE ⊥，∴OD BE ∥，∴CD CO CE CB=，即5224CE =，∴165CE =．∵MN CB ∥，∴四边形APMC 是平行四边形，∴sin 1sin PH PH CM PA ===∠∵MN ME BC CE =，则90AQB AGQ ∠=∠=︒，∴QAB BQG ∠=∠．∵1534NQ x =-，PN y =。
中考数学重难点专题12 一次函数与几何综合问题(学生版)
中考数学复习重难点与压轴题型专项突围训练（全国通用版）专题12一次函数与几何综合问题【典型例题】1．（2022·四川成都·九年级期末）如图，在平面直角坐标系中，点A，B分别在x轴，y轴正半轴上，AO＝2BO，点C（3，0）（A点在C点的左侧），连接AB，过点A作AB的垂线，过点C作x轴的垂线，两条垂线交于点D，已知△ABO△△DAC，直线BD交x轴于点E．(1)求直线AD的解析式；(2)直线AD有一点F，设点F的横坐标为t，若△ACF与△ADE相似，求t的值；(3)如图2，在直线AD上找一点G，直线BD上找一点P，直线CD上找一点Q，使得四边形AQPG是菱形，求出G点的坐标．【专题训练】一、选择题1．（2022·山东龙口·七年级期末）对于函数y=-3x+1，下列结论正确的是（）A．它的图象必经过点(1，3)B．y的值随x值的增大而增大C．当x＞0时，y＜0D．它的图象与x轴的交点坐标为(13，0)2．（2022·江苏溧阳·八年级期末）如图，直线122y x=-+与x轴、y轴交于A、B两点，在y轴上有一点C(0，4)，动点M从A点发以每秒1个单位的速度沿x轴向左移动．当动到△COM与△AOB全等时，移的时间t是（）A．2B．4C．2或4D．2或63．（2022·陕西·辋川乡初级中学八年级期末）数学课上，老师提出问题：“一次函数的图象经过点A（3，2），B（-1，-6），由此可求得哪些结论？”小明思考后求得下列4个结论：①该函数表达式为y=2x-4；②该一次函数的函数值随自变量的增大而增大：③点P（2a，4a-4）在该函数图象上；④直线AB与坐标轴围成的三角形的面积为8．其中错误的结论是（）A．1个B．2个C．3个D．4个4．（2022·江苏启东·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，O为原点，点A，C，E的坐标分别为（0，4），（8，0），（8，2），点P，Q是OC边上的两个动点，且PQ＝2，要使四边形APQE的周长最小，则点P的坐标为（）A．（2，0）B．（3，0）C．（4，0）D．（5，0）二、填空题5．（2022·江苏滨湖·八年级期末）如图，直线y＝﹣43x+8与坐标轴分别交于A、B两点，P是AB的中点，则OP的长为_____．6．（2021·山东济阳·八年级期中）如图，一次函数y ＝x ＋2的图像与坐标轴分别交于A ，B 两点，点P ，C 分别是线段AB ，OB 上的点，且△OPC ＝45°，PC ＝PO ，则点P 的坐标为______．7．（2021·湖北阳新·模拟预测）如图，直线AB 的解析式为y ＝﹣x +b 分别与x ，y 轴交于A ，B 两点，点A的坐标为（3，0），过点B 的直线交x 轴负半轴于点C ，且31OB OC ：：，在x 轴上方存在点D ，使以点A ，B ，D 为顶点的三角形与△ABC 全等，则点D 的坐标为_____．8．（2022·山东龙口·七年级期末）正方形A 1B 1C 1O ，A 2B 2C 2C 1，A 3B 3C 3C 2，…按如图所示放置，点A 1，A 2，A 3，和点C 1，C 2，C 3，…，分别在直线y ＝kx +b （k ＞0）和x 轴上，已知点B 1，B 2，B 3，B 4的坐标分别为(1，1)，(3，2)，(7，4)，(15，8)，则Bn 的坐标为_____三、解答题9．（2022·江苏海州·八年级期末）已知直线l 1经过点A （3，2）和点B （0，5），直线l 2：y ＝2x ﹣4经过点A 且与y 轴相交于点C ．(1)求直线l 1的函数表达式；(2)已知点M 在直线l 1上，过点M 作MN //y 轴，交直线l 2于点N ．若MN ＝6，请求出点M 的横坐标．10．（2022·广西·桂林市雁山中学九年级期末）如图，已知一次函数y＝kx+b的图象与x轴，y轴分别相交于A，B两点，且与反比例函数y＝mx在第一象限的图象交于点C，CD垂直于x轴，垂足为D．如果OA＝OB＝OD＝1，求：(1)点A、B、C的坐标；(2)这个反比例函数的表达式；(3)这个一次函数的表达式．11．（2022·江苏溧阳·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中长方形AOBC的顶点A、B坐标分别为(0，8)、(10，0)，点D是BC上一点，将△ACD沿直线AD翻折，使得点C落在OB上的点E处，点F是直线AD 与x轴的交点，连接CF．(1)点C坐标为____________；(2)求直线AD的函数表达式_______________________；(3)点P是直线AD上的一点，当△CFP是直角三角形时，请你直接写出点P的坐标．。
七年级下册数学培优训练 平面直角坐标系综合问题(压轴题)
培优训练三：平面直角坐标系（压轴题）一、坐标与面积：【例1】如图，在平面直角坐标中，A(0，1)，B(2，0)，C（2，1.5）．（1）求△ABC的面积；（2）如果在第二象限内有一点P（a，0.5），试用a的式子表示四边形ABOP的面积；（3）在（2）的条件下，是否存在这样的点P，使四边形ABOP的面积与△ABC的面积相等？若存在，求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．【例2】在平面直角坐标系中，已知A（-3，0），B（-2，-2），将线段AB平移至线段CD.图2（1）如图1，直接写出图中相等的线段，平行的线段；（2）如图2，若线段AB移动到CD，C、D两点恰好都在坐标轴上，求C、D的坐标；（3）若点C在y轴的正半轴上，点D在第一象限内，且S△ACD=5，求C、D的坐标；（4）在y轴上是否存在一点P，使线段AB平移至线段PQ时，由A、B、P、Q构成的四边形是平行四边形面积为10，若存在，求出P、Q的坐标，若不存在，说明理由；【例3】如图，△ABC 的三个顶点位置分别是A （1，0），B （－2，3），C （－3，0）．（1）求△ABC 的面积；（2）若把△ABC 向下平移2个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到△A B C '''，请你在图中画出△A B C '''； （3）若点A 、C 的位置不变，当点P 在y 轴上什么位置时，使2ACPABCS S=；（4）若点B 、C 的位置不变，当点Q 在x 轴上什么位置时，使2BCQABCS S=．【例4】如图1，在平面直角坐标系中，A （a ，0），C （b ，2），且满足2(2)0a ++=，过C 作CB ⊥x 轴于B ．（1）求三角形ABC 的面积；（2）若过B 作BD ∥AC 交y 轴于D ，且AE ，DE 分别平分∠CAB ，∠ODB ，如图2，求∠AED 的度数；（3）在y 轴上是否存在点P ，使得三角形ABC 和三角形ACP 的面积相等，若存在，求出P 点坐标；若不存在，请说明理由．【例5】如图，在平面直角坐标系中，四边形ABCD 各顶点的坐标分别是A （0，0），B （7，0），C （9，5），D （2，7）（1）在坐标系中，画出此四边形； （2）求此四边形的面积；（3）在坐标轴上，你能否找一个点P ，使S △PBC =50， 若能，求出P 点坐标，若不能，说明理由．【例6】如图，A 点坐标为（－2， 0）， B 点坐标为（0， －3）. (1)作图，将△ABO 沿x 轴正方向平移4个单位， 得到△DEF ， 延长ED 交y 轴于C 点， 过O 点作OG ⊥CE ， 垂足为G ；(2) 在(1)的条件下， 求证: ∠COG ＝∠EDF ； （3）求运动过程中线段AB 扫过的图形的面积．【例7】在平面直角坐标系中，点B （0，4），C （-5，4），点A 是x 轴负半轴上一点，S 四边形AOBC=24.（1）线段BC 的长为 ，点A 的坐标为 ；（2）如图1，EA 平分∠CAO ，DA 平分∠CAH ，CF ⊥AE 点F ，试给出∠ECF 与∠DAH 之间满足的数量关系式，并说明理由；（3）若点P 是在直线CB 与直线AO 之间的一点，连接BP 、OP ，BN 平分CBP ∠，ON 平分AOP ∠，BN 交ON于N ，请依题意画出图形，给出BPO ∠与BNO ∠之间满足的数量关系式，并说明理由.A(-2,0)B(0,-3)y x【例8】在平面直角坐标系中，OA ＝4，OC ＝8，四边形ABCO 是平行四边形．（1）求点B 的坐标及的面积ABCO S 四边形；（2）若点P 从点C 以2单位长度/秒的速度沿CO 方向移动，同时点Q 从点O 以1单位长度/秒的速度沿OA 方向移动，设移动的时间为t 秒，△AQB 与△BPC 的面积分别记为AQB S ∆，BPC S ∆，是否存在某个时间，使AQB S ∆＝3OQBPS 四边形，若存在，求出t 的值，若不存在，试说明理由；（3）在（2）的条件下，四边形QBPO 的面积是否发生变化，若不变，求出并证明你的结论，若变化，求出变化的范围．【例9】如图，在平面直角坐标系中，点A ，B 的坐标分别为（－1，0），（3，0），现同时将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位，分别得到点A ，B 的对应点C ，D 连结AC ，BD ． (1)求点C ，D 的坐标及四边形ABDC 的面积S 四边形ABDC ；（2）在y 轴上是否存在一点P ，连结P A ，PB ，使S △P AB ＝S △试说明理由；（3）若点Q 自O 点以0.5个单位/s 的速度在线段AB 上移动，运动到B 点就停止，设移动的时间为t 秒，（1）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积是四边形ABCD 面积的三分之一？（4）是否是否存在一个时刻，使得梯形CDQB 的面积等于△ACO 面积的二分之一？【例10】在直角坐标系中，△ABC 的顶点A （—2，0），B （2，4），C （5（1）求△ABC 的面积（2）点D 为y 负半轴上一动点，连BD 交x 轴于E ，是否存在点D 使得ADE BCE S S ∆∆=？若存在，请求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．（3）点F （5，n ）是第一象限内一点，，连BF ，CF ，G 是x 轴上一点，若△ABG 的面积等于四边形ABDC 的面积，则点G 的坐标为 （用含n 的式子表示）【例1】如图，已知A(0，a)，B （0，b ），C （m ，b ）且（a －4）＋|b ＋3|＝0，S △ABC ＝14. （1）求C 点坐标（2）作DE ⊥DC ，交y 轴于E 点，EF 为∠AED 的平分线，且∠DFE ＝900.求证：FD 平分∠ADO ；（3）E 在y 轴负半轴上运动时，连EC ，点P 为AC 延长线上一点，EM 平分∠AEC ，且PM ⊥EM ，PN ⊥x 轴于N 点，PQ 平分∠APN ，交x 轴于Q 点，则E 在运动过程中，∠MPQ∠ECA 的大小是否发生变化，若不变，求出其值.【例2】如图，在平面直角坐标系中，已知点A （-5,0），B （5.0），D （2，7）， （1）求C 点的坐标；（2）动点P 从B 点出发以每秒1个单位的速度沿BA 方向运动，同时动点Q 从C 点出发也以每秒1位的速度沿y 轴正半轴方向运动（当P 点运动到A 点时，两点都停止运动）。
【初三数学】代数几何综合题(含答案)(共15页)
代数几何综合题代数几何综合题是初中数学中覆盖面最广、综合笥最强的题型，近几年的中考试题很多以代数几何综合题的形式出现，其命题的主要结合点是方程与几何、函数与几何等，解代数几何综合题最常用的数学方法是数形结合，由形导数，以数促形。
例1、如图，已知平面直角坐标系中三点A （2，0），B （0，2），P （x ，0）()x <0，连结BP ，过P 点作PC PB ⊥交过点A 的直线a 于点C （2，y ） （1）求y 与x 之间的函数关系式；（2）当x 取最大整数时，求BC 与PA 的交点Q 的坐标。
解：（1） PC PB BO PO ⊥⊥,∴∠+∠=︒∠+∠=︒∴∠=∠CPA OPB PBO OPB CPA PBO 9090, A （2，0），C （2，y ）在直线a 上 ∴∠=∠=︒BOP PAC 90∴∆∆BOP PAC ~∴=PO AC BOPA，∴=+||||||x y x 22， x y x y x<<∴=-0022，，∴=-+y x x 122（2） x <0，∴x 的最大整数值为-1 ,当x =-1时，y =-32，∴=CA 32BO a BOQ CAQ OQ AQ BOCA//~,，∴∴=∆∆ 设Q 点坐标为()m ，0，则AQ m =-2∴-=∴=m m m 223287，Q 点坐标为()870，说明:利用数形结合起来的思想，考查了相似三角形的判定及应用。
关键是搞清楚用坐标表示的数与线段的长度的关系。
练习1．如图，从⊙O 外一点A 作⊙O 的切线AB 、AC ，切点分别为B 、C ，⊙O 的直径BD 为6，连结CD 、AO.(1)求证：CD ∥AO ；（3分）(2)设CD ＝x ，AO ＝y ，求y 与x 之间的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；（3分） (3)若AO ＋CD ＝11，求AB 的长。
（4分）B2．如图，A、B两点的坐标分别是(x1，0)、(x2，O)，其中x1、x2是关于x的方程x2+2x+m-3=O 的两根，且x1<0<x2．(1)求m的取值范围；(2)设点C在y轴的正半轴上，∠ACB=90°，∠CAB=30°，求m的值；(3)在上述条件下，若点D在第二象限，△DAB≌△CBA，求出直线AD的函数解析式.3．一张矩形纸片OABC 平放在平面直角坐标系内，O 为原点，点A 在x 的正半轴上，点C 在y 轴的正半轴上，OA ＝5，OC ＝4。
2023年中考数学高频考点专题训练-- 二次函数与动态几何问题
2023年中考数学高频考点专题训练--二次函数与动态几何问题一、综合题1．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y=ax2+bx+3经过A(﹣3，0)、B(1，0)两点，其顶点为D，连接AD，点P是线段AD上一个动点（不与A、D重合）．（1）求抛物线的函数解析式，并写出顶点D的坐标；（2）如图1，过点P作PE⊥y轴于点E，连接AE．求⊥PAE面积S的最大值；（3）如图2，抛物线上是否存在一点Q，使得四边形OAPQ为平行四边形？若存在求出Q点坐标，若不存在请说明理由．2．如图（1），在平面直角坐标系中，点A、C分别在y轴和x轴上，AB⊥x轴，cosB= 35．点P从B点出发，以1cm/s的速度沿边BA匀速运动，点Q从点A出发，沿线段AO−OC−CB匀速运动．点P与点Q同时出发，其中一点到达终点，另一点也随之停止运动．设点P运动的时间为t （s），⊥BPQ的面积为S（cm2），已知S与t之间的函数关系如图（2）中的曲线段OE、线段EF与曲线段FG．（1）点Q的运动速度为cm/s，点B的坐标为；（2）求曲线FG段的函数解析式；（3）当t为何值时，⊥BPQ的面积是四边形OABC的面积的1 10？3．如图，抛物线y＝ax2﹣2ax+c的图象经过点C（0，﹣2），顶点D的坐标为（1，﹣83），与x轴交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式；（2）连接AC，E为直线AC上一点，当⊥AOC⊥⊥AEB时，求点E的坐标和AEAB的值．（3）点F（0，y）是y轴上一动点，当y为何值时，√55FC+BF的值最小．并求出这个最小值．4．如图，在矩形ABCD中，AB=8cm，BC=6cm，动点E从点A出发．以2cm/s的速度沿射线AD 方向运动，以AE为底边，在AD的右侧作等腰直角角形AEF，当点F落在射线BC上时，点E停止运动，设⊥AEF与矩形ABCD重叠部分的面积为S，运动的时间为t（s）．（1）当t为何值时，点F落在射线BC上；（2）当线段CD将⊥AEF的面积二等分时，求t的值；（3）求S与t的函数关系式；（4）当S=17时，求t的值．5．如图，直线l：y＝﹣12x+1与x轴、y轴分别交于点B、C，经过B、C两点的抛物线y＝x2+bx+c与x轴的另一个交点为A．（1）求该抛物线的解析式；（2）若点P在直线l下方的抛物线上，过点P作PD⊥x轴交l于点D，PE⊥y轴交l于点E，求PD+PE的最大值；（3）设F为直线l上的点，以A、B、P、F为顶点的四边形能否构成平行四边形？若能，求出点F的坐标；若不能，请说明理由．6．已知函数y= {x2+nx+n，(x≥n)−12x2+n2x+n2，(x<n)（n为常数）（1）当n=5，①点P(4，b)在此函数图象上，求b的值②求此函数的最大值（2）已知线段AB的两个端点坐标分别为4(2，2)、B(4，2)，当此函数的图象与线段AB只有一个交点时，直接写出n的取值范围.（3）当此函数图象上有4个点到x轴的距离等于4时，求n的取值范围.7．如图，抛物线y=﹣x2+bx+c经过点A(﹣3，0)，点C(0，3)，点D为二次函数的顶点，DE为二次函数的对称轴，点E在x轴上．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）在抛物线A、C两点之间有一点F，使⊥FAC的面积最大，求F点坐标；（3）直线DE上是否存在点P到直线AD的距离与到x轴的距离相等？若存在，请求出点P，若不存在，请说明理由．8．已知二次函数y=ax2+bx﹣2的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点A的坐标为（4，0），且当x=﹣2和x=5时二次函数的函数值y相等．（1）求实数a、b的值；（2）如图1，动点E、F同时从A点出发，其中点E以每秒2个单位长度的速度沿AB边向终点B运动，点F以每秒√5个单位长度的速度沿射线AC方向运动．当点E停止运动时，点F随之停止运动．设运动时间为t秒．连接EF，将⊥AEF沿EF翻折，使点A落在点D处，得到⊥DEF．①是否存在某一时刻t，使得⊥DCF为直角三角形？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．②设⊥DEF与⊥ABC重叠部分的面积为S，求S关于t的函数关系式；9．如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+bx+c与两坐标轴分别交于点A、B、C，直线y＝﹣45x+4经过点B，与y轴交点为D，M（3，﹣4）是抛物线的顶点．（1）求抛物线的解析式．（2）已知点N在对称轴上，且AN+DN的值最小．求点N的坐标．（3）在（2）的条件下，若点E与点C关于对称轴对称，请你画出⊥EMN并求它的面积．（4）在（2）的条件下，在坐标平面内是否存在点P，使以A、B、N、P为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．10．如图，二次函数y=﹣x2+bx+c的图象经过A（1，0），B（0，﹣3）两点．（1）求这个抛物线的解析式及顶点坐标；（2）设该二次函数的对称轴与x轴交于点C，连接BA、BC，求⊥ABC的面积．（3）在抛物线的对称轴上是否存在一点P，使得O、B、C、P四点为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出P点坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，已知抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0）经过A（﹣1，0），B（4，0），C（0，2）三点.（1）求这条抛物线的解析式；（2）E为抛物线上一动点，是否存在点E，使以A、B、E为顶点的三角形与⊥COB相似？若存在，试求出点E的坐标；若不存在，请说明理由；（3）若将直线BC平移，使其经过点A，且与抛物线相交于点D，连接BD，试求出⊥BDA的度数.12．抛物线y=ax2+bx+2交x轴于A(1,0)、B(3,0)两点，交y轴于点C，点P为线段BC下方抛物线上一动点，连接BP,CP.（1）求抛物线解析式；（2）在点P移动过程中，ΔBPC的面积是否存在最大值？若存在，求出最大面积及点P的坐标，若不存在，请说明理由；（3）设点D为CB上不与端点重合的一动点，过点D作线段BC的垂线，交抛物线于点E，若ΔDCE与ΔBOC相似，请直接写出点E的坐标.13．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，抛物线y=ax2﹣2ax+ 32与x轴交于点A、B（点A在点B的左侧），抛物线的顶点为C，直线AC交y轴于点D，D为AC的中点．（1）如图1，求抛物线的顶点坐标；（2）如图2，点P为抛物线对称轴右侧上的一动点，过点P作PQ⊥AC于点Q，设点P的横坐标为t，点Q的横坐标为m，求m与t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，如图3，连接AP，过点C作CE⊥AP于点E，连接BE、CE分别交PQ 于F、G两点，当点F是PG中点时，求点P的坐标．14．如图，长方形OABC的OA边在x轴的正半轴上，OC在y轴的正半轴上，抛物线y=ax2+bx经过点B（1，4）和点E（3，0）两点．（1）求抛物线的解析式；（2）若点D在线段OC上，且BD⊥DE，BD=DE，求D点的坐标；（3）在条件（2）下，在抛物线的对称轴上找一点M，使得⊥BDM的周长为最小，并求⊥BDM 周长的最小值及此时点M的坐标；（4）在条件（2）下，从B点到E点这段抛物线的图象上，是否存在一个点P，使得⊥PAD的面积最大？若存在，请求出⊥PAD面积的最大值及此时P点的坐标；若不存在，请说明理由．15．如图，抛物线L:y=12x2−54x−3与x轴正半轴交于点A，与y轴交于点B.（1）求直线AB的解析式及抛物线顶点坐标；（2）如图1，点P为第四象限且在对称轴右侧抛物线上一动点，过点P作PC⊥x轴，垂足为C，PC交AB于点D，求PD+BD的最大值，并求出此时点P的坐标；（3）如图2，将抛物线L:y=12x2−54x−3向右平移得到抛物线L′，直线AB与抛物线L′交于M，N两点，若点A是线段MN的中点，求抛物线L′的解析式.16．如图，抛物线y＝﹣13x2﹣13x+c与x轴交于A，B两点，且点B的坐标为（3，0），与y轴交于点C，连接AC，BC，点P是抛物线上在第二象限内的一个动点，点P的横坐标为a，过点P作x轴的垂线，交AC于点Q.（1）求A，C两点的坐标.（2）请用含a的代数式表示线段PQ的长，并求出a为何值时PQ取得最大值.（3）试探究在点P运动的过程中，是否存在这样的点Q，使得以B，C，Q为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，请写出此时点Q的坐标；若不存在，请说明理由.答案解析部分1．【答案】（1）解：∵抛物线y ＝ax 2+bx+3经过A （﹣3，0）、B （1，0）两点，∴{9a −3b +3=0a +b +3=0 ，得{a =−1b =−2，∴抛物线解析式为y ＝﹣x 2﹣2x+3＝﹣（x+1）2+4， ∴抛物线的顶点坐标为（﹣1，4），即该抛物线的解析式为y ＝﹣x 2﹣2x+3，顶点D 的坐标为（﹣1，4） （2）解：设直线AD 的函数解析式为y ＝kx+m ， {−3k +m =0−k +m =4，得{k =2m =6， ∴直线AD 的函数解析式为y ＝2x+6，∵点P 是线段AD 上一个动点（不与A 、D 重合）， ∴设点P 的坐标为（p ，2p+6）， ∴S ⊥PAE ＝−p⋅(2p+6)2＝﹣（p+32）2+94，∵﹣3＜p ＜﹣1，∴当p ＝﹣32时，S ⊥PAE 取得最大值，此时S ⊥PAE ＝94，即⊥PAE 面积S 的最大值是94；（3）解：抛物线上存在一点Q ，使得四边形OAPQ 为平行四边形， ∵四边形OAPQ 为平行四边形，点Q 在抛物线上， ∴OA ＝PQ ， ∵点A （﹣3，0）， ∴OA ＝3， ∴PQ ＝3，∵直线AD 为y ＝2x+6，点P 在线段AD 上，点Q 在抛物线y ＝﹣x 2﹣2x+3上， ∴设点P 的坐标为（p ，2p+6），点Q （q ，﹣q 2﹣2q+3）， ∴{q −p =32p +6=−q 2−2q +3， 解得，{p =−5+√7q =−2+√7或{p =−5−√7q =−2−√7（舍去），当q ＝﹣2+√7时，﹣q 2﹣2q+3＝2√7﹣4， 即点Q 的坐标为（﹣2+√7，2√7﹣4）．2．【答案】（1）4；（18，8）（2）解： 如图过点Q 作QM⊥AB 于点M ，过点B 作BG⊥x 轴于点G∴四边形AOGB 是矩形 ∴AO=BG=8，AB=OG=18 CG=18-12=6 ∴BC=√82+62=10 ∴AO+CO+BC=30 BP=t ，BQ=30-4t∴QM=45（30-4t ）=24-165t∴S ⊥PBQ =12t (24−165t )=−85t 2+12t∴ 曲线FG 段的函数解析式 S=−85t 2+12t （5≤t≤7.5）；（3）解： ∵S 梯形ABCO =(12+18)×82=120∵ ⊥BPQ 的面积是四边形OABC 的面积的 110∴⊥BPQ 的面积等于120÷=12 当t ＞2时，点F （5，20）∴直线EF 的函数解析式为：S=4t ， 当S=12时，4t=12 解之：t=3，当S=12时， −85t 2+12t =12解之：t 1=15+√1054，t 2=15−√1054∵5≤t≤7.5 ∴t =15+√1054综上所述，当t=3或t =15+√1054时， ⊥BPQ 的面积是四边形OABC 的面积的 110。
全等三角形与平面直角坐标系综合题
全等三角形与平面直角坐标系综合题一、引言全等三角形是高中数学中重要的概念之一，它涉及到平面几何和坐标系的知识。
在平面直角坐标系中，我们可以通过坐标点的变换来判断两个三角形是否全等。
本文将深入探讨全等三角形的性质以及与平面直角坐标系的综合应用。
二、全等三角形的性质全等三角形是指两个三角形的所有对应的角相等，对应的边长相等。
在平面几何中，我们可以通过以下三种情况来判断两个三角形是否全等：2.1 SSS判据若两个三角形的三边分别相等，则这两个三角形全等。
这是最直观的判断方式，通过测量三边的长度即可确定。
2.2 SAS判据若两个三角形的一边和与其相对的两个角分别相等，则这两个三角形全等。
这种判据常用于实际问题中，通过测量一边的长度和两个角的大小即可确定。
2.3 ASA判据若两个三角形的两个角和与其相对的一边分别相等，则这两个三角形全等。
这种判据常用于实际问题中，通过测量两个角的大小和一边的长度即可确定。
三、平面直角坐标系的基本概念平面直角坐标系是指在平面上引入两个互相垂直的坐标轴，通过坐标点的位置来描述平面上的点。
在平面直角坐标系中，我们可以使用坐标点的变换来判断两个三角形是否全等。
3.1 坐标点的表示在平面直角坐标系中，我们使用有序数对(x, y)来表示一个点的位置，其中x表示横坐标，y表示纵坐标。
例如，点A的坐标为(2, 3)，表示A点在横坐标为2，纵坐标为3的位置。
3.2 坐标点的变换在平面直角坐标系中，我们可以通过平移、旋转和缩放等操作来对坐标点进行变换。
这些变换操作可以帮助我们判断两个三角形是否全等。
3.2.1 平移变换平移变换是指将一个点沿着指定的方向和距离移动。
在平面直角坐标系中，我们可以通过给坐标点的横坐标和纵坐标分别加上相同的常数来实现平移变换。
3.2.2 旋转变换旋转变换是指将一个点绕着指定的中心点按照一定的角度旋转。
在平面直角坐标系中，我们可以通过给坐标点的横坐标和纵坐标分别乘以旋转矩阵来实现旋转变换。
2018年中考数学选择填空压轴题专题3函数的几何综合问题
专题03函数的几何综合问题例1.如图，在平面直角坐标系中，直线 l : y= W3x — #与x 轴交于点B i ,以OB 为边长作等边三角 形A l OB |，过点A i 作A i B 2平行于x 轴，交直线l 于点B2 ,以A i B 2为边长作等边三角形 A 2A 1B 2，过点A 2 作A 2B 3平行于x 轴，交直线l 于点B 3 ,以A 2B 3为边长作等边三角形 A3A2B3 ,…，则点A 2017的横坐标同类题型1.1如图，直线l ： y= x+1交y 轴-于点A i ,在x 轴正方向上取点B i ,使OB = OA ；过点B i 作A 2B i ，x 轴，交l 于点A 2 ,在x 轴正方向上取点B 2 ,使B i B 2=B 1A 2 ;过点 也彳^。
改，x 轴，交l 于点A 3 ,在 x 轴正方向上取点B 3 ,使B 2B3=E 2A 3 ；…记△ 0AB i 面积为S 1, △ B]A 2B 2面积为S 2 ,△ B 2A 3B 3面积为S3 ,…则S 2017等于 ( )同类题型1.2如图，已知直线| ： y= W3 x,过点A (0, 1)作y 轴的垂线交直线l 于点B,过点B 作直 3 线l 的垂线交y 轴于点A 1 ;过点A 1作y 轴的垂线交直线l 于点B 1 ,过点B 1作直线l 的垂线交y 轴于点 A2 ;…；按此作法继续下去，则点 A 4的坐标为( )A. (0, 128)B. (0, 256)C. (0, 512)D. (0, 1024)八 c4030 A. 24031B. 2C. 240324033D. 2同类题型1.3如图，在平面直角坐标系中，直线 l : y= g 3 x+1交x 轴于点B,交y 轴于点A,过点A 作AB1 LAB 交x 轴于点M ,过点'彳^B1A 1，x 轴交直线l 于点A 2…依次作下去，则点 牛 的横坐标为例2.高速公路上依次有 3个标志点A 、R C,甲、乙两车分别从 A C 两点同时出发，匀速行驶，甲车从-B-C,乙车从 OB-A,甲、乙两车离 B 的距离y 1、V2 (千米)与行驶时间 x (小时)之间的函数关 系图象如图所示.观察图象，给出下列结论：① A C 之间的路程为690千米；②乙车比甲车每小时快30千米；③4.5小时两车相遇；④点 E 的坐标为(7, 180),「其中正确的有 号都填在横线上).2「千羽450同类题型2.1甲、乙两辆汽车沿同一路线从 A 地前往B 地，甲车以a 千米/时的速度匀速行驶，途中出现 故障后停车维修，修好后以 2a 千米/时的速度继续行驶；乙车在甲车出发 2小时后匀速前往 B 地，比甲车 早30分钟到达.到达 B 地后，乙车按原速度返回 A 地，甲车以2a 千米/时的速度返回 A 地.设甲、乙两 车与A 地相距s (千米)，甲车离开 A 地的时间为t (小时)，s 与t 之间的函数图象如图所示.下列说法：①a=40；②甲车维修所用时间为 1小时；③两车在途中第二次相遇时 相距40千米，其中不正确的个数为一…一、- 7 . 一、，(1) a=40, n^ 1； (2)乙的速度是 80km/h ； (3)甲比乙迟-h 到达B 地;240t 的值为5.25 ;④当t = 3时，两车 ( ) C. 2个D. 3个甲车比乙车早行驶 2h,并且甲车的函数图象.则下列结论：(把所有正确结论的序并以各自的速度匀速行驶, y (km)与时间x (h)50km.正确的个数是C. 3D. 4同类题型2.3甲、乙两人从科技馆出发， 沿相同的路线分别以不同的速度匀速跑向极地馆, 程后，乙开始出发，当乙超出甲 150米时，乙停在此地等候甲，两人相遇后乙又继续以原来的速度跑向极1例3.如图，已知动点P 在函数y= — (x>0)的图象上运动，PML x 轴于点 MPN! y 轴于点N,线段2xPM PN 分别与直线 AB ： y=—x+ 1交于点E, F,则AF. BE 的值为6,,点D 在AB 的右侧，△ OA 丽△BCDTB 是等腰直角三角形，/ OAB= / BCD= 90 ,若函数y= - (x>0)的 x甲先跑一段路 地馆.如图是甲、乙两人在跑步的全过程中经过的路程下列四种说法：①甲的速度为 1.5米/秒；②a=750； 相遇时乙跑了 375米.其中正确的个数是 y (米)与甲出发的时间 x (秒)的函数图象.则 ③乙在途中等候甲 100秒；④乙出发后第一次与甲 疝眯900C.D.「4 个A. 4B. 2C. 1同类题型3.1如图,，一 一 一一 3 ,,一 ,，，， ，」在反比例函数y=法的图象上有一动点A,连接 AO 并延长交图象的另一支于点 B,在第二象限内有一点 C,满足AC= BC 当点A 运动时，点C 始终在函数 k ....... ................... y=x 的图象上运动,若tan/CABC. — 9D. — 12A 在x 轴的正半轴上，点B 在第一象限，点C 在线段AB 上,A. 1个B. 2个150A=2,则k 的值为同类题型3.2如图，在平面直角坐标系中，点一 6图象经过点 D,则^ OABW △ BCD 勺面积之差为( A. 12 B . 6 C. 3 D . 2一 .一 ................. .. ................ ......................... . . 1 一 9同类题型3.3如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线y = kx (k>0)分别交反比例函数y= -和丫= - x x在第一象限的图象于点 A, B,过点B 作BDLx 轴于点D,交y=1的图象于点C,连结AC.若△ABB 等x例4.如图，一次函,数y = x+b 的图象与反比例函数y= k 的图象交于点 A (3, 6)与点B,且与 x.... ___ k ............. ................................... ...............................................点C,右点P 是反比例函数y= -图象上的一个动点，作直线 AP 与x 轴、y 轴分别交于点 M N,x2同类题型4.2方程x 2 +3x —1 = 0的根可视为函数y=x+3的图象与函数....... 一 .、一一 2 .......... ............ ........ ....那么用此方法可推断出方程 x 2 +2x- 1=0的实数根x o 所在的范围是( )2 2例5.在平面直角坐标系 xOy 中，抛物线y= —x +2mx- m - 1父y 轴于点为A,顶点为D,对称轴与 x 轴交于点H.当抛物线顶点 D 在第二象限时，如果/ ADH / AHO 则m=.y 轴交于连结BNA. b> 2 2 , 9B. bv 2C. b<3D. 2 V2<b<1 . ................... ...... y=;的图象交点的横坐标,A. - 1<x 0 <0B. 0<xo <1C. 1<xo <2D. 2<xo <3A取值范围为AP1 ,点在函数y= x 的图象下万,同类题型5.1已知抛物线y= 4x 2 +1具有如下性质：该抛物线上任意一点到定点 F (0, 2)的距离与到12x 轴的距离始终相等，如图，点M 的坐标为(木，3), P 是抛物线丫= 4x 2 +1上一个动点，则4 PMF周长的最小值是()A. 3B. 4C. 5D. 6同类题型5.2抛物线y=ax2+bx+3 (aw0)经过点A(—1, 0), B( 2 , 0),且与y 轴相交于点C.设点D 是所求抛物线第一象限上一点，且在对称轴的右侧，点AOCf 似时，求点 D 的坐标.同类题型5.3小明家的洗手盆上装有一种抬启式水龙头(如图 1),完全开启后，水流路线呈抛物线，把手端点A,出水口 B 和落水点C 恰好在同一直线上，点 A 至出水管BD 的距离为12cm,洗手盆及水龙头的相 关数据如图2所示，现用高10.2cm 的圆柱型水杯去接水，若水流所在抛物线经过点 D 和杯子上底面中心 E, 则点E 到洗手盆内侧的距离 EH 为 cm.E 在线段 AC 上，且 DEL AG 当△ DCE^A图1图2参考答案例1 .如图，在平面直角坐标系中，直线l ：y= W3x—率与x轴交于点B i ,以OB为边长作等边三角形々0耳，过点A1作A1B2平行于x轴，交直线l于点B2 ,以A1B2为边长作等边三角形A2A l B2，过点为作A2B3平行于x轴，交直线l于点B3 ,以A2B3为边长作等边三角形A3A2B3 ,…，则点A2017的横坐标是.Bi ,可得Bi (1, 0), D (0,—・•.OB =1, / OB D= 30 ,1一1如图所不，过A1作A1Al OB于A,则OA= 2。
2021-2022学年度沪教版七年级数学第二学期第十五章平面直角坐标系综合练习试题(含详细解析)
七年级数学第二学期第十五章平面直角坐标系综合练习考试时间：90分钟；命题人：数学教研组考生注意：1、本卷分第I 卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。
第I 卷（选择题 30分）一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）1、已知A （3，﹣2），B （1，0），把线段AB 平移至线段CD ，其中点A 、B 分别对应点C 、D ，若C （5，x ），D （y ，0），则x ＋y 的值是（ ）A ．﹣1B ．0C ．1D ．22、在平面直角坐标系中，点()4,1A -关于原点对称的点的坐标是（ ）A ．()41-,B ．()4,1C ．()4,1-D ．()4,1--3、点（a ，﹣3）关于原点的对称点是（2，﹣b ），则a ＋b ＝（ ）A ．5B ．﹣5C ．1D ．﹣14、如图，ABC 的顶点坐标为()3,6A -，()4,3B -，()1,3C -，若将ABC 绕点C 按顺时针方向旋转90°，再向左平移2个单位长度，得到A B C '''，则点A 的对应点A '的坐标是（ ）．A ．()0,5B ．()4,3C ．()2,5D ．()4,55、如图所示，在平面直角坐标系中，半径均为1个单位长度的半圆O 1、O 2、O 3，…组成一条平滑的曲线，点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度，则第2021秒时，点P 的坐标是（ ）A ．（2020，0）B ．（2021，1）C ．（2021，0）D ．（2022，﹣1）6、已知点A （a +9，2a +6）在y 轴上，a 的值为（ ）A ．﹣9B ．9C ．3D ．﹣37、已知点(),21P a a +在一、三象限的角平分线上，则a 的值为( )A ．1-B ．0C ．1D ．28、在△ABC 中，AB ＝AC ，点B ，点C 在直角坐标系中的坐标分别是（2，0），（﹣2，0），则点A 的坐标可能是（ ）A ．（0，2）B ．（0，0）C ．（2，﹣2）D ．（﹣2，2）9、点P 在第二象限内，P 点到x 、y 轴的距离分别是4、3，则点P 的坐标为（ ）A ．（－4，3）B ．（－3，－4）C ．（－3，4）D ．（3，－4）10、在平面直角坐标系中，点(4,5)P 关于x 轴对称的点的坐标是（ ）A ．()4,5-B ．(4,5)--C ．(4,5)-D ．(4,5)第Ⅱ卷（非选择题 70分）二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）1、在平面直角坐标系内，点A （a ，﹣3）与点B （1，b ）关于原点对称，则a +b 的值_________．2、若点()1,23M a b +-与点()21,1N a b +-关于原点对称，则a b -=_________．3、已知点A （a ，﹣3）是点B （﹣2，b ）关于原点O 的对称点，则a +b ＝_____．4、如图，直角坐标平面xoy 内，动点P 按图中箭头所示方向依次运动，第1次从点（-1，0）运动到点（0，1），第2次运动到点（1，0），第3次运动到点（2，-2），…按这样的运动规律，动点P 第2022次运动到点的坐标是_____．5、点A 的坐标为（5，－3），点A 关于y 轴的对称点为点B ，则点B 的坐标是__________．三、解答题（10小题，每小题5分，共计50分）1、如图，在平面直角坐标系中，ABC 的三个顶点都在格点上，点A 的坐标为()2,4，请回答下列问题．（1）画出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，并写出点1C 的坐标（___，___）的长最小时，点P坐标为______；（2）点P是x轴上一点，当PB PC（3）点M是直线BC上一点，则AM的最小值为______．2、在平面直角坐标系xoy中，A，B，C如图所示：请用无刻度直尺作图（仅保留作图痕迹，无需证明）．（1）如图1，在BC上找一点P，使∠BAP＝45°；（2）如图2，作△ABC的高BH．3、如图，在平面直角坐标系中有一个△ABC ，顶点A （－1，3），B （2，0），C （－3，－1）．（1）画出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 1B 1C 1（不写画法）；点A 关于x 轴对称的点坐标为_______；点B 关于y 轴对称的点坐标为_______；（2）若网格上的每个小正方形的边长为1，则△ABC 的面积是_______．4、如图，在平面直角坐标系中，已知ABC 的三个顶点都在网格的格点上．（1）在图中作出ABC 关于x 轴对称的111A B C △，并写出点B 的对应点1B 的坐标；（2）在图中作出ABC 关于y 轴对称的222A B C △，并写出点B 的对应点2B 的坐标．5、如图，在平面直角坐标系中，A （-1，5），B （-1，0），C （-4，3）．（1）作出△ABC 关于y 轴的对称图形△A 'B 'C '；（2）写出点A '，B '，C '的坐标；（3）在y 轴上找一点P ，使PA +PC 的长最短．6、如图所示，在平面直角坐标系中，已知(0,1)A ，(2,0)B ，(4,3)C ．（1）在平面直角坐标系中画出ABC ，并求出ABC 的面积；（2）在（1）的条件下，把ABC 先关于y 轴对称得到A B C '''，再向下平移3个单位得到A B C ''''''△，则A B C ''''''△中的坐标分别为A ''( )，B ''( )，C ''( )；（直接写出坐标）（3）已知P 为x 轴上一点，若ABP △的面积为4，求点P 的坐标．7、如图，在平面直角坐标系中，直线l 是第一、三象限的角平分线．实验与探究：（1）观察图，易知A (0，2)关于直线l 的对称点A '的坐标为(2，0)，请在图中分别标明B (5，3)、C (﹣2，5)关于直线l 的对称点B '、C '的位置，并写出他们的坐标：B ' ，C ' ；归纳与发现：（2）结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：坐标平面内任一点P (a ，b )关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P '的坐标为 （不必证明）；运用与拓广：（3）已知两点D (1，﹣3)、E (﹣3，﹣4)，试在直线l 上确定一点Q ，使点Q 到D 、E 两点的距离之和最小．8、如图1，A （﹣2，6），C （6，2），AB ⊥y 轴于点B ，CD ⊥x 轴于点D ．（1）求证：△AOB ≌△COD ；（2）如图2，连接AC ，BD 交于点P ，求证：点P 为AC 中点；（3）如图3，点E 为第一象限内一点，点F 为y 轴正半轴上一点，连接AF ，EF ．EF ⊥CE 且EF ＝CE ，点G 为AF 中点．连接EG ，EO ，求证：∠OEG ＝45°．9、在平面直角坐标系中，ABC 的顶点坐标是(2,4)A 、(1,0)B 、(3,1)C ．（1）画出ABC 绕点B 逆时针旋转90︒的11A BC ；（2）画出ABC 关于点O 的中心对称图形222A B C △；（3）11A BC 可由222A B C △绕点M 旋转得，请写出点M 的坐标：________．10、如图，方格图中每个小正方形的边长为1，点A ，B ，C 都是格点．（1）画出△ABC 关于直线MN 对称的111A B C △．（2）若B 为坐标原点，请写出1A 、1B 、1C 的坐标，并直接写出1AA 的长度．．（3）如图2，A ，C 是直线同侧固定的点，D 是直线MN 上的一个动点，在直线MN 上画出点D ，使AD DC +最小．（保留作图痕迹）-参考答案-一、单选题1、C【分析】由对应点坐标确定平移方向，再由平移得出x ，y 的值，即可计算x +y ．【详解】∵A （3，﹣2），B （1，0）平移后的对应点C （5，x ），D （y ，0），∴平移方法为向右平移2个单位，∴x ＝﹣2，y ＝3，∴x +y ＝1，故选：C ．【点睛】本题考查坐标的平移，掌握点坐标平移的性质是解题的关键，点坐标平移：横坐标左减右加，纵坐标下减上加．2、A【分析】关于原点成中心对称的两个点的坐标规律：横坐标与纵坐标都互为相反数，根据原理直接作答即可.【详解】解：点()4,1A -关于原点对称的点的坐标是：4,1,故选A【点睛】本题考查的是关于原点成中心对称的两个点的坐标规律，掌握“关于原点成中心对称的两个点的坐标规律：横坐标与纵坐标都互为相反数”是解题的关键.3、B【分析】根据关于原点对称的点的坐标特证构造方程-b ＝3，a ＝−2，再解方程即可得到a 、b 的值，进而可算出答案．【详解】解：∵点（a ，﹣3）关于原点的对称点是（2，﹣b ），∴−b ＝3，a ＝−2，解得：b ＝-3，a ＝−2，则235a b +=--=-，故选择B ．【点睛】本题主要考查了关于原点对称的点的坐标：掌握关于原点对称的特征，两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P （x ，y ）关于原点O 的对称点是P ′（−x ，−y ）．关键是利用对称性质构造方程．4、A【分析】画出旋转平移后的图形即可解决问题．【详解】解：旋转，平移后的图形如图所示，()0,5A '，故选：A【点睛】本题考查坐标与图形变化−旋转，解题的关键是理解题意，学会利用图象法解决问题．5、C【分析】根据图象可得移动4次图象完成一个循环，从而可得出点P 的坐标．【详解】解：半径为1个单位长度的半圆的周长为12⨯2π×1＝π， ∵点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，速度为每秒2π个单位长度， ∴点P 每秒走12个半圆，当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为1秒时，点P 的坐标为（1，1）， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为2秒时，点P 的坐标为（2，0）， 当点P 从原点O 出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为3秒时，点P 的坐标为（3，﹣1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为4秒时，点P的坐标为（4，0），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为5秒时，点P的坐标为（5，1），当点P从原点O出发，沿这条曲线向右运动，运动时间为6秒时，点P的坐标为（6，0），…，∵2021÷4＝505余1，∴P的坐标是（2021，1），故选：C．【点睛】此题考查了点的规律变化，解答本题的关键是仔细观察图象，得到点的变化规律，解决问题．6、A【分析】根据y轴上点的横坐标为0列式计算即可得解．【详解】解：∵点A（a+9，2a+6）在y轴上，∴a+9=0，解得：a=-9，故选：A．【点睛】本题考查了点的坐标，熟记y轴上点的横坐标为0是解题的关键．7、A【分析】根据平面直角坐标系一三象限角平分线上点的特征是横纵坐标相等列式计算即可；∵点(),21P a a +在一、三象限的角平分线上，∴21a a =+，∴1a =-；故选A ．【点睛】本题主要考查了一三象限角平分线上点的特征，准确分析计算是解题的关键．8、A【分析】由题意可知BO ＝CO ，又AB ＝AC ，得点A 在y 轴上，即可求解．【详解】解：由题意可知BO ＝CO ，∵又AB ＝AC ，∴AO ⊥BC ，∴点A 在y 轴上，∴选项A 符合题意，B 选项三点共线，不能构成三角形，不符合题意；选项C 、D 都不在y 轴上，不符合题意；故选：A ．【点睛】本题考查了平面直角坐标系点的特征，解题关键是分析出点A 的位置．9、C点P 到x 、y 轴的距离分别是4、3，表明点P 的纵坐标、横坐标的绝对值分别为4与3，再由点P 在第二象限即可确定点P 的坐标．【详解】∵P 点到x 、y 轴的距离分别是4、3，∴点P 的纵坐标绝对值为4、横坐标的绝对值为3，∵点P 在第二象限内，∴点P 的坐标为（－3，4），故选：C ．【点睛】本题考查了平面直角坐标系中点所在象限的特点，点到的坐标轴的距离，确定点的坐标，掌握这些知识是关键．要注意：点到x 、y 轴的距离是此点的纵坐标、横坐标的绝对值，而非横坐标、纵坐标的绝对值．10、C【分析】根据若两点关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数，即可求解【详解】解：点(4,5)P 关于x 轴对称的点的坐标是()4,5-故选：C【点睛】本题主要考查了平面直角坐标系内点关于坐标轴对称的特征，熟练掌握若两点关于x 轴对称，横坐标不变，纵坐标互为相反数；若两点关于y 轴对称，横坐标互为相反数，纵坐标不变是解题的关键．二、填空题1、2【分析】根据点关于原点对称的坐标特点即可完成．【详解】∵点A （a ，﹣3）与点B （1，b ）关于原点对称∴13a b ，∴132a b +=-+=故答案为：2【点睛】本题考查了平面直角坐标系中关于原点对称的点的坐标特征，即横、纵坐标均互为相反数，求代数式的值；掌握这个特征是关键．2、2-【分析】利用原点对称的点的坐标特征可知：M 点和N 点的横坐标之和与纵坐标之和都为0，得到关于a 、b 的二元一次方程组，解方程求出a 、b 的值，进而求出-a b ．【详解】 M 和N 点关于原点对称，12102310a a b b +++=⎧∴⎨-+-=⎩ 解得：2343a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ 24233a b ∴-=--=-， 故答案为：2-．【点睛】本题主要是考察了关于原点对称的点的特征，熟练掌握关于原点对称的点的横坐标之和与纵坐标之和都为0，是解决此类题的关键．3、5【分析】根据关于原点对称的点的特点可得a，b的值，相加即可．【详解】解：∵点A（a，﹣3）是点B（﹣2，b）关于原点O的对称点，∴a＝2，b＝3，∴a+b＝5．故答案为5．【点睛】本题考查了关于原点对称的点的特点，掌握“关于原点对称的两个点，横坐标、纵坐标分别互为相反数”是解题的关键．4、（2021，0）【分析】由图中点的坐标可得：每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，用2022除以4，再由商和余数的情况确定运动后点的坐标．【详解】由图中点的坐标可得：每4次运动为一个循环组循环，并且每一个循环组向右运动4个单位，∵2022÷4=505余2，∴第2022次运动为第505循环组的第2次运动，-+⨯+=，纵坐标为0，横坐标为1505422021∴点P运动第2022次的坐标为（2021，0）．故答案为：（2021，0）．【点睛】考查了点的坐标规律，解题关键是观察点的坐标变化，并寻找规律．5、（－5，－3）【分析】关于y 轴对称的点的特征：纵坐标不变，横坐标变为原来的相反数，据此可以求出B 点坐标．【详解】 解： 点A 的坐标为（5，－3），关于y 轴对称的对称点B 的坐标为（－5，－3）．故答案为：（－5，－3）．【点睛】本题考察直角坐标系、关于y 轴对称的点的特征，是基础考点，掌握相关知识是解题的关键．三、解答题1、（1）5，-3；（2）（135，0）；（3 【分析】（1）利用关于x 轴对称的点的坐标特征写出A 1、B 1、C 1的坐标，然后描点即可；（2）连接BC 1交x 轴于点P ，利用两点之间线段最短可判断P 点满足条件，利用待定系数法求得直线BC 1的解析式，即可求解；（3）利用割补法求得△ABC 的面积，利用两点之间的距离公式求得BC 的长，再利用面积法即可求解．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1为所作，点C 1的坐标为（5，-3）；故答案为：5，-3；（2）如图，点P为所作．设直线BC1的解析式为y=kx+b，∵点C1的坐标为（5，-3），点B的坐标为（1，2），∴532k bk b+=-⎧⎨+=⎩，解得：54134kb⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，∴直线BC1的解析式为y=54-x+134，当y=0时，x=135，∴点P的坐标为（135，0）；故答案为：（135，0）；（3）根据垂线段最短，当AM垂直BC时，垂线段AM取得最小值，△ABC的面积为2×4-12×2×1-12×4×1-12×3×1=72；BC=∵12×AM =72，∴AM ．． 【点睛】本题考查了作图-轴对称变换：几何图形都可看作是由点组成，我们在画一个图形的轴对称图形时，也是先从确定一些特殊的对称点开始的．也考查了最短路径问题．注意：关于x 轴对称的点，横坐标相同，纵坐标互为相反数．2、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）过点B 作MQ ∥x 轴，过点A 作AM ⊥MQ 于点M ，过点N 作NQ ⊥MQ 于点Q ，连接BN ，连接AN 交BC 于点P ，则∠BAP =45°，先证得△ABM ≌△BNQ ，可得AB =BN ，∠ABM =∠BNQ ，从而得到∠ABN =90°，即可求解；（2）在x 轴负半轴取点Q ，使OQ =2，连接BQ 交AC 于点H ，则BH 即为△ABC 的高．过点B 作BG ⊥x 轴于点G ，过点A 作AD ⊥x 轴于点D ，则AD =GQ =1，CD =BG =6，∠ADC =∠BGQ =90°，先证得△ACD ≌△QBG ，从而得到∠ACD =∠QBG ，进而得到∠CHQ =90°，即可求解．【详解】解：（1）如图，过点B 作MQ ∥x 轴，过点A 作AM ⊥MQ 于点M ，过点N 作NQ ⊥MQ 于点Q ，连接BN ，连接AN 交BC 于点P ，则∠BAP =45°，如图所示，点P 即为所求，理由如下：根据题意得：AM=BQ=5，BM=QN=3，∠AMB=∠BQN=90°，∴△ABM≌△BNQ，∴AB=BN，∠ABM=∠BNQ，∴∠BAP=∠BNP，∵∠NBQ+∠BNQ=90°，∴∠ABM+∠BNQ=90°，∴∠ABN=90°，∴∠BAP=∠BNP=45°；（2）如图，在x轴负半轴取点Q，使OQ=2，连接BQ交AC于点H，则BH即为△ABC的高．理由如下：过点B作BG⊥x轴于点G，过点A作AD⊥x轴于点D，则AD=GQ=1，CD=BG=6，∠ADC=∠BGQ=90°，∴△ACD≌△QBG，∴∠ACD=∠QBG，∵∠QBG+∠BQG=90°，∴∠ACD+∠BQG=90°，∴∠CHQ=90°，∴BH⊥AC，即BH为△ABC的高．【点睛】本题主要考查了图形与坐标，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键．3、（1）图见解析，（－1，－3），（－2，0）；（2）9【分析】（1）根据题意直接利用关于坐标轴对称点的性质得出各对应点位置即可；（2）由题意利用△ABC所在矩形面积减去周围三角形面积进行计算进而得出答案．【详解】解：（1）如图，△A 1B 1C 1即为所作，点A 关于x 轴对称的点坐标为 （－1，－3）；点B 关于y 轴对称的点坐标为：（－2，0）；故答案为：（－1，－3），（－2，0）；（2）△ABC 的面积是：4×5－12×2×4－12×3×3－12×1×5＝9．故答案为：9．【点睛】本题主要考查轴对称变换以及求三角形面积-补全法，根据题意得出对应点位置是解题的关键．4、（1）111A B C △为所求，图形见详解，点B 1（-5，-1）；（2）222A B C △为所求，图形见详解，点B 2（5，1）．【分析】（1）根据ABC 关于x 轴对称的111A B C △，求出A 1（-6，-6），B 1（-5，-1），C 1（-1，-6），然后在平面直角坐标系中描点，顺次连接A 1B 1， B 1C 1，C 1A 1即可；（2）根据ABC 关于y 轴对称的222A B C △，求出A 2（6，6），点B 2（5，1），点C 2（1，6）， 然后在平面直角坐标系中描点，顺次连接A 2B 2， B 2C 2，C 2A 2即可．【详解】解：（1）根据点在平面直角坐标系中的位置，△ABC 三点坐标分别为A （-6，6），B （-5，1），C （-1，6）， ABC 关于x 轴对称的111A B C △，关于x 轴对称点的特征是横坐标不变，纵坐标互为相反数，∴111A B C △中点A 1（-6，-6），点B 1（-5，-1），点C 1（-1，-6），在平面直角坐标系中描点A 1（-6，-6），B 1（-5，-1），C 1（-1，-6），顺次连接A 1B 1， B 1C 1，C 1A 1，则111A B C △为所求，点B 1（-5，-1）；（2）∵ABC 关于y 轴对称的222A B C △，∴点的坐标特征是横坐标互为相反数，纵坐标不变，∵△ABC 三点坐标分别为A （-6，6），B （-5，1），C （-1，6），∴222A B C △中点A 2（6，6），点B 2（5，1），点C 2（1，6），在平面直角坐标系中描点A 2（6，6），B 2（5，1），C 2（1，6），顺次连接A 2B 2， B 2C 2，C 2A 2，则222A B C △为所求，点B 2（5，1）．【点睛】本题考查在平面直角坐标系中画称轴对称的图形，掌握画图方法，先求坐标，描点，顺次连接是解题关键．5、（1）见解析；（2）A′（1，5），B′（1，0），C′（4，3）；（3）见解析【分析】（1）分别作出点A、B、C关于y轴的对称点，再收尾顺次连接即可得；（2）根据△A'B'C'各顶点的位置，写出其坐标即可；（3）连接PC，则PC=PC′，根据两点之间线段最短，可得PA+PC的值最小．【详解】解：（1）如图所示，△A′B′C′为所求作；（2）由图可得，A ′（1，5），B ′（1，0），C ′（4，3）；（3）如图所示，连接AC ′，交y 轴于点P ，则点P 即为所求作．【点睛】本题主要考查了利用轴对称变换作图以及最短距离的问题，解题时注意：凡是涉及最短距离的问题，一般要考虑线段的性质定理，运用轴对称变换来解决，多数情况要作点关于某直线的对称点．关于y 轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数．6、（1）见解析，4；（2）0，-2，-2，-3，-4，0；（3）()10,0或()6,0-．【分析】（1）先画出△ABC ，然后再利用割补法求△ABC 得面积即可；（2）先作出A B C ''''''△，然后结合图形确定所求点的坐标即可；（3）先求出PB 的长，然后分P 在B 的左侧和右侧两种情况解答即可．【详解】解：（1）画出ABC 如图所示： ABC 的面积是：111341224234222⨯-⨯⨯-⨯⨯-⨯⨯=； （2）作出A B C ''''''△如图所示，则A ''(0，-2)，B ''( -2，-3)，C ''(-4，0)故填：0，-2，-2，-3，-4，0；（3）∵P 为x 轴上一点，ABP △的面积为4，∴8BP =，∴当P 在B 的右侧时，横坐标为：2810+=当P 在B 的左侧时，横坐标为286-=-，故P 点坐标为：()10,0或()6,0-．【点睛】本题主要考查了轴对称、三角形的平移、三角形的面积以及平面直角坐标系中点的坐标等知识点，根据题意画出图形成为解答本题的关键．7、（1）(3，5)，(5，﹣2)；（2）(b ，a )；（3）Q （-3，-3）【分析】（1）根据点关于直线对称的定义，作出B 、C 两点关于直线l 的对称点B ′、C ′，写出坐标即可．（2）通过观察即可得出对称结论．（3）作点E 关于直线l 的对称点E ′（﹣4，﹣3），连接DE ′交直线l 于Q ，此时QE +QD 的值最小．【详解】解：（1）B （5，3）、C （﹣2，5）关于直线l 的对称点B ′、C ′的位置如图所示．B ′（3，5），C ′（5，﹣2）．故答案为B ′（3，5），C ′（5，﹣2）．（2）由（1）可知点P （a ，b ）关于第一、三象限的角平分线l 的对称点P ′的坐标为P ′（b ，a ）．（3）作点E 关于直线l 的对称点E ′（﹣4，﹣3），连接DE ′交直线l 于Q ，∵两点之间线段最短∴此时QE +QD 的值最小，由图象可知Q 点坐标为（-3，-3）．【点睛】本题考查了坐标系中的轴对称变化，点()P a b ，关于第一、三象限角平分线对称的点的坐标为()b a ，；关于第二、四象限角平分线对称的点的坐标为(b -，)a -.8、（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析【分析】（1）根据SAS 即可证明AOB COD ≅△△；（2）过点C 作CH x ∥轴，交BD 于点H ，得出AB CH OD ∥∥，由平行线的性质得BAP HCP ∠=∠，由CD x ⊥轴得90DCH ODC ∠=∠=︒，由AOB COD ≅△△得OB OD =，故可得45ODB ∠=︒，从而得出45CHD CDH ∠=∠=︒，推出CH CD AB ==，根据AAS 证明ABP CHP ≅，得出AP CP =即可得证；（3）延长EG 到M ，使GM GE =，连接AM ，OM ，延长EF 交AO 于点J ，根据SAS 证明AGM FGE ≅，得出AM EF =，AMG GEF ∠=∠，故AM EJ ∥，由平行线的性质得出MAO AJE ∠=∠，进而推出MAO ECO ∠=∠，根据SAS 证明MAO ECO ≅，故OM OE =，AOM EOC ∠=∠，即可证明45OEG ∠=︒．【详解】（1）AB y ⊥轴于点B ，CD x ⊥轴于点D ，90ABO CDO ∴∠=∠=︒，(2,6)A -，()6,2C ，2AB CD ∴==，6OB OD ==，()AOB COD SAS ∴≅；（2）如图2，过点C 作CH x ∥轴，交BD 于点H ，AB CH OD ∴∥∥，BAP HCP ∴∠=∠，CD x ⊥轴，90DCH ODC ∴∠=∠=︒，AOB COD ≅，OB OD ∴=，45ODB ∴∠=︒，45CHD ODB ∠=∠=︒，904545CDH ∠=︒-︒=︒，CH CD AB ∴==，在ABP △与CHP 中，APB CPH BAP HCP AB CH ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩， ()ABP CHP AAS ∴≅，AP CP ∴=，即点P 为AC 中点；（3）如图3，延长EG 到M ，使GM GE =，连接AM ，OM ，延长EF 交AO 于点J ， AG GF =，AGE FGE ∠=∠，GM GE =，()AGM FGE SAS ∴≅，AM EF ∴=，AMG GEF ∠=∠，AM EJ ∴∥，MAO AJE ∴∠=∠，EF EC =，AM EC ∴=，90AOC CEJ ∠=∠=︒，180AJE EJO ∴∠+∠=︒，180EJO ECO ∠+=︒，AJE ECO ∴∠=∠，MAO ECO ∴∠=∠，AO CO =，()MAO ECO SAS ∴≅，∴OM OE =，AOM EOC ∠=∠，90MOE AOC ∴∠=∠=︒，45MEO ∴∠=︒，即45OEG ∠=︒．【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质，利用做辅助线作全等三角形是解决本题的关键．9、（1）画图见解析；（2）画图见解析；（3）0,1.M【分析】（1）分别确定,,A B C 绕B 逆时针旋转90︒后的对应点11,,,A B C 再顺次连接11,,,A B C 从而可得答案；（2）分别确定,,A B C 关于原点对称的对称点222,,,A B C 再顺次连接222,,,A B C 从而可得答案；（3）如图，由2,B B ；12,C C 是旋转对应点，则2,B B 到旋转中心的距离相等，12,C C 到旋转中心的距离相等，可得线段212,BB C C 的垂直平分线的交点即为旋转中心M ，再根据M 在坐标系内的位置写出其坐标即可.【详解】解：（1）如图，11A BC 是所求作的三角形，（2）如图，222A B C △是所求作的三角形；（3）如图，2,B B ；12,C C 是旋转对应点，∴ 2,B B 到旋转中心的距离相等，12,C C 到旋转中心的距离相等，则线段212,BB C C 的垂直平分线的交点即为旋转中心M ，其坐标为：0,1.M【点睛】本题考查的是旋转作图，中心对称的作图，确定旋转中心，掌握旋转的性质是解本题的关键.10、（1）画图见解析；（2）1115,1,0,0,2,2A B C ，110AA =；（3）画图见解析【分析】（1）分别确定,,A B C 关于MN 对称的对称点111,,,A B C 再顺次连接111,,,A B C 从而可得答案；（2）根据111,,A B C 在坐标系内的位置直接写其坐标与1AA 的长度即可；（3）先确定C 关于MN 的对称点1C ，再连接1,AC 交MN 于,D 则11,AD CD AD C D AC 从而可得答案.【详解】解：（1）如图1，111A B C △是所求作的三角形，（2）如图1，B 为坐标原点，则1115,1,0,0,2,2.A B C110.AA（3）如图2，点D 即为所求作的点.【点睛】本题考查的是画轴对称图形，建立坐标系，用根据点的位置确定点的坐标，轴对称的性质，掌握“利用轴对称的性质得到两条线段和取最小值时点的位置”是解本题的关键.。
2020年中考总复习-二次函数与几何综合练习(含答案)
2020中考总复习-二次函数与几何综合1．在平面直角坐标系中，抛物线y =﹣12x 2+bx +c 与x 轴交于点A ，B ，与y 轴交于点C ，直线y =x +4经过A ，C 两点．（1）求抛物线的解析式；（2）在AC 上方的抛物线上有一动点P ．①如图1，当点P 运动到某位置时，以AP ，AO 为邻边的平行四边形第四个顶点恰好也在抛物线上，求出此时点P 的坐标；②如图2，过点O ，P 的直线y =kx 交AC 于点E ，若PE ：OE =3：8，求k 的值．2．如图在平面直角坐标系中顶点为点M 的抛物线是由抛物线23y x =-向右平移1个单位得到的，它与y 轴负半轴交于点A ，点B 在抛物线上，且横坐标为3．()1写出以M 为顶点的抛物线解析式．()2连接AB ，AM ，BM ，求tan ABM ∠；()3点P 是顶点为M 的抛物线上一点，且位于对称轴的右侧，设PO 与x 正半轴的夹角为α，当ABM α=∠时，求点P 坐标．3．如图，直线y ＝﹣x +3与x 轴、y 轴分别交于B 、C 两点，经过B 、C 两点的抛物线y ＝x 2+bx +c 与x 轴的另一个交点为A ，顶点为P ．（1）求该抛物线的解析式；（2）当0＜x ＜3时，在抛物线上求一点E ，使△CBE 的面积有最大值；（3）在该抛物线的对称轴上是否存在点M ，使以C 、P 、M 为顶点的三角形为等腰三角形？若存在，请写出所符合条件的点M 的坐标；若不存在，请说明理由．4．如图，二次函数23y x x m =-++的图象与x 轴的一个交点为()4,0B ，另一个交点为A ，且与y 轴相交于C 点()1求m 的值及C 点坐标；()2在直线BC 上方的抛物线上是否存在一点M ，使得它与B ，C 两点构成的三角形面积最大，若存在，求出此时M 点坐标；若不存在，请简要说明理由()3P 为抛物线上一点，它关于直线BC 的对称点为Q①当四边形PBQC 为菱形时，求点P 的坐标；②点P 的横坐标为(04)t t <<，当t 为何值时，四边形PBQC 的面积最大，请说明理由．5．已知抛物线y =mx 2+2mx +m -1和直线y =mx +m -1，且m ≠0．（1）求抛物线的顶点坐标；（2）试说明抛物线与直线有两个交点；（3）已知点T （t ，0），且-1≤t ≤1，过点T 作x 轴的垂线，与抛物线交于点P ，与直线交于点Q ，当0＜m ≤3时，求线段PQ 长的最大值．6．如图，在平面直角坐标系xOy 中，以直线52x =为对称轴的抛物线2y ax bx c =++与直线():0l y kx m k =+>交于()1,1A ，B 两点，与y 轴交于()0,5C ，直线l 与y 轴交于点D . （1）求抛物线的函数表达式；（2）设直线l 与抛物线的对称轴的交点为F ，G 是抛物线上位于对称轴右侧的一点，若34AF FB =，且BCG ∆与BCD ∆的面积相等，求点G 的坐标；（3）若在x 轴上有且只有一点P ，使90APB ∠=︒，求k 的值.7．在平面直角坐标系中，直线2y x =+与x 轴交于点A ，与y 轴交于点B ，抛物线()20y ax bx c a =++<经过点A 、B ．(1)求a 、b 满足的关系式及c 的值．(2)当0x <时，若()20y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，求a 的取值范围． (3)如图，当1a =-时，在抛物线上是否存在点P ，使PAB ∆的面积为1？若存在，请求出符合条件的所有点P 的坐标；若不存在，请说明理由．8．如图，已知抛物线y =13x 2+bx +c 经过△ABC 的三个顶点，其中点A （0，1），点B （﹣9，10），AC ∥x 轴，点P 是直线AC 下方抛物线上的动点．（1）求抛物线的解析式；（2）过点P 且与y 轴平行的直线l 与直线AB 、AC 分别交于点E 、F ，当四边形AECP 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上是否存在点Q ，使得以C 、P 、Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，若存在，求出点Q 的坐标，若不存在，请说明理由．9．如图，抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于点(1,0)A -，点(3,0)B ，与y 轴交于点C ，且过点(2,3)D -．点P 、Q 是抛物线2y ax bx c =++上的动点．(1)求抛物线的解析式；(2)当点P 在直线OD 下方时，求POD ∆面积的最大值．(3)直线OQ 与线段BC 相交于点E ，当OBE ∆与ABC ∆相似时，求点Q 的坐标．10．如图，已知抛物线经过点A （﹣1，0），B （4，0），C （0，2）三点，点D 与点C 关于x 轴对称，点P 是x 轴上的一个动点，设点P 的坐标为（m ，0），过点P 做x 轴的垂线l 交抛物线于点Q ，交直线BD 于点M ．（1）求该抛物线所表示的二次函数的表达式；（2）已知点F （0，12），当点P 在x 轴上运动时，试求m 为何值时，四边形DMQF 是平行四边形？ （3）点P 在线段AB 运动过程中，是否存在点Q ，使得以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似？若存在，求出点Q 的坐标；若不存在，请说明理由．11．如图，抛物线2y ax bx 2=+-的对称轴是直线x 1=，与x 轴交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，点A 的坐标为()2,0-，点P 为抛物线上的一个动点，过点P 作PD x ⊥轴于点D ，交直线BC 于点E ．()1求抛物线解析式；()2若点P 在第一象限内，当OD 4PE =时，求四边形POBE 的面积；()3在()2的条件下，若点M 为直线BC 上一点，点N 为平面直角坐标系内一点，是否存在这样的点M 和点N ，使得以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点N 的坐标；若不存在，请说明理由．12．如图1，已知抛物线y =﹣x 2+bx +c 与x 轴交于A （﹣1，0），B （3，0）两点，与y 轴交于C 点，点P 是抛物线上在第一象限内的一个动点，且点P 的横坐标为t ．（1）求抛物线的表达式；（2）设抛物线的对称轴为l，l与x轴的交点为D．在直线l上是否存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．（3）如图2，连接BC，PB，PC，设△PBC的面积为S．①求S关于t的函数表达式；②求P点到直线BC的距离的最大值，并求出此时点P的坐标．13．如图，一次函数1y=x+22分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．14．如图，抛物线y＝ax2+bx﹣1(a≠0)交x轴于A，B(1，0)两点，交y轴于点C，一次函数y＝x+3的图象交坐标轴于A，D两点，E为直线AD上一点，作EF⊥x轴，交抛物线于点F(1)求抛物线的解析式；(2)若点F位于直线AD的下方，请问线段EF是否有最大值？若有，求出最大值并求出点E的坐标；若没有，请说明理由；(3)在平面直角坐标系内存在点G，使得G，E，D，C为顶点的四边形为菱形，请直接写出点G的坐标．15．在平面直角坐标系中，O为原点，抛物线2(0)y ax x a=≠经过点3)A-，对称轴为直线l，点O关于直线l的对称点为点B.过点A作直线//AC x轴，交y轴于点C.（Ⅰ）求该抛物线的解析式及对称轴；（Ⅱ）点P在y轴上，当PA PB+的值最小时，求点P的坐标；（Ⅲ）抛物线上是否存在点Q，使得13AOC AOQS S∆∆=，若存在，求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由.16．如图1，抛物线的顶点A 的坐标为（1，4），抛物线与x 轴相交于B 、C 两点，与y 轴交于点E （0，3）．（1）求抛物线的表达式；（2）已知点F （0，﹣3），在抛物线的对称轴上是否存在一点G ，使得EG +FG 最小，如果存在，求出点G 的坐标；如果不存在，请说明理由．（3）如图2，连接AB ，若点P 是线段OE 上的一动点，过点P 作线段AB 的垂线，分别与线段AB 、抛物线相交于点M 、N （点M 、N 都在抛物线对称轴的右侧），当MN 最大时，求△PON 的面积．17．如图，在平面直角坐标系中，二次函数2y ax bx c =++交x 轴于点()4,0A -、()2,0B ，交y 轴于点()0,6C ，在y 轴上有一点()0,2E -，连接AE .（1）求二次函数的表达式；（2）若点D 为抛物线在x 轴负半轴上方的一个动点，求ADE ∆面积的最大值；（3）抛物线对称轴上是否存在点P ，使AEP ∆为等腰三角形，若存在，请直接写出所有P 点的坐标，若不存在请说明理由.18．若二次函数2y ax bx c =++的图象与x 轴分别交于点(3,0)A 、(0,2)B -，且过点(2,2)C -. （1）求二次函数表达式；（2）若点P 为抛物线上第一象限内的点，且4PAB S ∆=,求点P 的坐标；（3）在抛物线上（AB 下方）是否存在点M ，使ABO ABM ∠=∠？若存在，求出点M 到y 轴的距离；若不存在，请说明理由.19．如图，顶点为A1）的抛物线经过坐标原点O，与x轴交于点B．（1）求抛物线对应的二次函数的表达式；（2）过B作OA的平行线交y轴于点C，交抛物线于点D，求证：△OCD≌△OAB；（3）在x轴上找一点P，使得△PCD的周长最小，求出P点的坐标．20．如图，已知抛物线y=﹣14x2﹣12x+2与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C（1）求点A，B，C的坐标；（2）点E是此抛物线上的点，点F是其对称轴上的点，求以A，B，E，F为顶点的平行四边形的面积；（3）此抛物线的对称轴上是否存在点M，使得△ACM是等腰三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．21．如图，已知直线y＝﹣2x+4分别交x轴、y轴于点A、B．抛物线过A、B两点，点P是线段AB 上一动点，过点P作PC⊥x轴于点C，交抛物线于点D．（1）如图1，设抛物线顶点为M，且M的坐标是（12，92），对称轴交AB于点N．①求抛物线的解析式；②是否存在点P，使四边形MNPD为菱形？并说明理由；（2）是否存在这样的点D，使得四边形BOAD的面积最大？若存在，求出此时点D的坐标；若不存在，请说明理由．22．如图，抛物线y =12x 2+bx +c 与直线y =12x +3交于A ，B 两点，交x 轴于C 、D 两点，连接AC 、BC ，已知A （0，3），C （﹣3，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线对称轴l 上找一点M ，使|MB ﹣MD |的值最大，并求出这个最大值；（3）点P 为y 轴右侧抛物线上一动点，连接P A ，过点P 作PQ ⊥P A 交y 轴于点Q ，问：是否存在点P 使得以A ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似？若存在，请求出所有符合条件的点P 的坐标；若不存在，请说明理由．23．如图，在平面直角坐标系xOy 中，一次函数y =x 与二次函数2y x bx =+的图象相交于O 、A 两点，点A （3，3），点M 为抛物线的顶点．（1）求二次函数的表达式；（2）长度为的线段PQ 在线段OA （不包括端点）上滑动，分别过点P 、Q 作x 轴的垂线交抛物线于点P 1、Q 1，求四边形PQQ 1P 1面积的最大值；（3）直线OA 上是否存在点E ，使得点E 关于直线MA 的对称点F 满足S △AOF =S △AOM ？若存在，求出点E 的坐标；若不存在，请说明理由．24．抛物线y =﹣x 2+bx +c 经过点A 、B 、C ，已知A （﹣1，0），C （0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）如图1，P 为线段BC 上一点，过点P 作y 轴平行线，交抛物线于点D ，当△BDC 的面积最大时，求点P 的坐标；（3）如图2，抛物线顶点为E ，EF ⊥x 轴于F 点，M （m ，0）是x 轴上一动点，N 是线段EF 上一点，若∠MNC =90°，请指出实数m 的变化范围，并说明理由．25．如图，抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于A 、B 两点（A 在B 的左侧），与y 轴交于点N ，过A 点的直线l ：y kx n =+与y 轴交于点C ，与抛物线2y x bx c =-++的另一个交点为D ，已知(1,0)(5,6)--，，P点为抛物线2A D﹣上一动点（不与A、D重合）．y x bx c=++（1）求抛物线和直线l的解析式；PF y轴交直线（2）当点P在直线l上方的抛物线上时，过P点作PE∥x轴交直线l于点E，作//+的最大值；l于点F，求PE PF（3）设M为直线l上的点，探究是否存在点M，使得以点N、C，M、P为顶点的四边形为平行四边形？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．参考答案1．解：（1）∵直线y =x +4经过A ，C 两点，∴A 点坐标是（﹣4，0），点C 坐标是（0，4），又∵抛物线过A ，C 两点，∴21(4)4024b c c ⎧-⨯--+=⎪⎨⎪=⎩，解得：14b c =-⎧⎨=⎩， ∴抛物线的解析式为2142y x x =--+． （2）①如图1∵2142y x x =--+， ∴抛物线的对称轴是直线x =﹣1．∵以AP ，AO 为邻边的平行四边形的第四个顶点Q 恰好也在抛物线上，∴PQ ∥AO ，PQ =AO =4．∵P ，Q 都在抛物线上，∴P ，Q 关于直线x =﹣1对称，∴P 点的横坐标是﹣3，∴当x =﹣3时，215(3)(3)422y =----+=×， ∴P 点的坐标是53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭； ②过P 点作PF ∥OC 交AC 于点F ，∵PF ∥OC ，∴△PEF ∽△OEC ，∴PE PF OE OC=． 又∵3,48PE OE OC ==， ∴3PF 2=，设点F （x ，x +4）， ∴2134(4)22x x x ⎛⎫--+-+= ⎪⎝⎭， 化简得：x 2+4x +3=0，解得：x 1=﹣1，x 2=﹣3．当x =﹣1时，92y =；当x =﹣3时，52y =， 即P 点坐标是91,2⎛⎫- ⎪⎝⎭或53,2⎛⎫- ⎪⎝⎭． 又∵点P 在直线y =kx 上，∴9k 2=-或56k =-．2．解：()1抛物线2y x 3=-向右平移一个单位后得到的函数解析式为2y (x 1)3=--， 顶点()M 1,3-，令x 0=，则2y (01)32=--=-，点()A 0,2-，x 3=时，2y (31)3431=--=-=，点()B 3,1；()2过点B 作BE AO ⊥于E ，过点M 作MF AO ⊥于M ，EB EA 3==Q ，EAB EBA 45∠∠∴==o ，同理可求FAM FMA 45∠∠==o ，ABE ∴V ∽AMF V ，AMAF1AB AE 3∴==，又BAM 18045290∠=-⨯=o o o Q ，AM1tan ABM AB 3∠∴==；()3过点P 作PH x ⊥轴于H ，22y (x 1)3x 2x 2=--=--Q ，∴设点()2P x,x 2x 2--，①点P 在x 轴的上方时，2x 2x 21x 3--=，整理得，23x 7x 60--=，解得12x (3=-舍去），2x 3=， ∴点P 的坐标为()3,1；②点P 在x 轴下方时，()2x 2x 21x 3---=，整理得，23x 5x 60--=，解得1x =舍去），2x =，x =时，21x 2x 23--=-=，∴点P 的坐标为.综上所述，点P 的坐标为()3,1或. 3．解：（1）y ＝﹣x +3，令y ＝0，则x ＝3，令x ＝0，则y ＝3， 故点B 、C 的坐标为（3，0）、（0，3），将点B 、C 的坐标代入y ＝x 2+bx +c 并解得：b ＝﹣4， 故抛物线的表达式为：y ＝x 2﹣4x +3，令y ＝0，则x ＝1或3，故点A （1，0），点P （2，﹣1）； （2）过点E 作EH ∥y 轴交BC 于点H ，设点E （x ，x 2﹣4x +3），则点H （x ，﹣x +3）S △CBE ＝12HE ×OB ＝12×3×（﹣x +3﹣x 2+4x ﹣3）＝32（﹣x 2+3x ）， ∵﹣32＜0，当x ＝32时，S △CBE 有最大值，点E （32，﹣34）；（3）点C （0，3）、点P （2，﹣1），设点M （2，m ），CP 2＝4+16＝20，CM 2＝4+（m ﹣3）2＝m 2﹣6m +13，PM 2＝m 2+2m +1， ①当CM ＝CP 时，20＝m 2﹣6m +13，解得：m ＝7或﹣1（舍去m ＝﹣1）； ②当CP ＝PM 时，同理可得：m ＝﹣1±2√5； ③当CM ＝PM 时，同理可得：m ＝32；故点M 坐标为：（2，7）或（2，﹣1+2√5 ＝）或（2，﹣1﹣2√5）或（2，32）． 4．解：（1）将B （4，0）代入23y x x m =-++，解得，m =4，∴二次函数解析式为234y x x =-++，令x =0，得y =4， ∴C （0，4）；（2）存在，理由：∵B （4，0），C （0，4），∴直线BC 解析式为y =﹣x +4，当直线BC 向上平移b 单位后和抛物线只有一个公共点时，△MBC 面积最大，∴24{34y x by x x =-++=-++，∴24(2)16t --+， ∴△=16﹣4b =0，∴b =4，∴26x y =⎧⎨=⎩，∴M （2，6）；（3）①如图，∵点P 在抛物线上，∴设P （m ，234m m -++），当四边形PBQC 是菱形时，点P 在线段BC 的垂直平分线上，∵B （4，0），C （0，4），∴线段BC 的垂直平分线的解析式为y =x ， ∴m =234m m -++，∴m =1±，∴P （1+，1+）或P （11；②如图，设点P （t ，234t t -++），过点P 作y 轴的平行线l ，过点C 作l 的垂线， ∵点D 在直线BC 上，∴D （t ，﹣t +4），∵PD =234t t -++﹣（﹣t +4）=24t t -+，BE +CF =4，∴S四边形PBQC =2S△PDC=2（S△PCD+S△BD）=2（12PD×CF+12PD×BE）=4PD=224164(2)16t t t-+--+∵0＜t＜4，∴当t=2时，S四边形PBQC最大=16．5．解：（1）∵y=mx2+2mx+m-1=m（x+1）2-1，∴抛物线的顶点坐标为（-1，-1）．（2）由y=mx2+2mx+m-1和y=mx+m-1可得：mx2+2mx+m-1=mx+m-1，mx2+mx=0，mx（x+1）=0，∵m≠0，∴x1=0，x2=-1．∴抛物线与直线有两个交点．（3）由（2）可得：抛物线与直线交于（-1，-1）和（0，m-1）两点，点P的坐标为（t，mt2+2mt+m-1），点Q的坐标为（t，mt+m-1）．①如图1，当-1≤t ≤0时，PQ =2Q P y y mt mt -=--=211()24m t m -++． ∵m ＞0， 当12t =-时，PQ 有最大值，且最大值为14m ． ∵0＜m ≤3，∴14m ≤34，即PQ 的最大值为34． ②如图2，当0＜t ≤1时，PQ =2P Q y y mt mt -=+=211()24m t m +-． ∵m ＞0，∴当t =1时，PQ 有最大值，且最大值为2m ． ∵0＜m ≤3，∴0＜2m ≤6，即PQ 的最大值为6． 综上所述，PQ 的最大值为6．6．解：（1）由题可得：5,225, 1.b a c a b c ⎧-=⎪⎪=⎨⎪++=⎪⎩解得1a =，5b =-，5c =. ∴二次函数解析式为：255y x x =-+.（2）作AM x ⊥轴，BN x ⊥轴，垂足分别为,M N ，则34AF MQ FB QN ==.32MQ =Q ，2NQ ∴=，911,24B ⎛⎫⎪⎝⎭， 1,91,24k m k m +=⎧⎪∴⎨+=⎪⎩，解得1,21,2k m ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，1122t y x ∴=+，102D ，⎛⎫ ⎪⎝⎭. 同理，152BC y x =-+. BCD BCG S S ∆∆=Q ，∴①//DG BC （G 在BC 下方），1122DG y x =-+， 2115522x x x ∴-+=-+，即22990x x -+=，123,32x x ∴==.52x >Q ，3x ∴=，()3,1G ∴-. ②G 在BC 上方时，直线23G G 与1DG 关于BC 对称.1211922G G y x ∴=-+，21195522x x x ∴-+=-+，22990x x ∴--=.52x >Q，x ∴=G ∴. 综上所述，点G 坐标为()13,1G -；2G.（3）由题意可得：1k m +=.1m k ∴=-，11y kx k ∴=+-，2155kx k x x ∴+-=-+，即()2540x k x k -+++=.11x ∴=，24x k =+，()24,31B k k k ∴+++.设AB 的中点为'O ，P Q 点有且只有一个，∴以AB 为直径的圆与x 轴只有一个交点，且P 为切点.OP x ∴⊥轴，P ∴为MN 的中点，5,02k P +⎛⎫∴ ⎪⎝⎭. AMP PNB ∆∆Q ∽，AM PNPM BN∴=，••AM BN PN PM ∴=， ()2551314122k k k k k ++⎛⎫⎛⎫∴⨯++=+-- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，即23650k k +-=，960∆=>.0k >Q ，1k ∴==-+7．解：(1)2y x =+，令0x =，则2y =，令0y =，则2x =-， 故点A 、B 的坐标分别为()2,0-、()0,2，则2c =，则函数表达式为：22y ax bx =++，将点A 坐标代入上式并整理得：21b a =+；(2)当0x <时，若()20y ax bx c a =++<的函数值随x 的增大而增大，则函数对称轴02bx a=-≥，而21b a =+， 即：2102a a +-≥，解得：12a ≥-，故：a 的取值范围为：102a -≤<； (3)当1a =-时，二次函数表达式为：22y x x =--+，过点P 作直线l AB P ，作PQ y P 轴交BA 于点Q ，作PH AB ⊥于点H ，∵OA OB =，∴45BAO PQH ∠=∠=︒，11122PAB S AB PH PQ ∆=⨯⨯=⨯=，则1P Q y y -=，在直线AB 下方作直线m ，使直线m 和l 与直线AB 等距离，则直线m 与抛物线两个交点坐标，分别与点AB 组成的三角形的面积也为1， 故：1P Q y y -=，设点()2,2P x x x --+，则点(),2Q x x +，即：2221x x x --+--=±，解得：1x =-或1-故点()1,2P -或 ()1-+或(1--.8．解：(1)将A (0，1)，B (9，10)代入函数解析式得：13×81＋9b ＋c ＝10，c ＝1，解得b ＝−2，c ＝1， 所以抛物线的解析式y ＝13x 2−2x ＋1； (2)∵AC ∥x 轴，A (0，1)， ∴13x 2−2x ＋1＝1，解得x 1＝6，x 2＝0(舍)，即C 点坐标为(6，1)， ∵点A (0，1)，点B (9，10)，∴直线AB 的解析式为y ＝x ＋1，设P (m ，13m 2−2m ＋1)，∴E (m ，m ＋1)， ∴PE ＝m ＋1−(13m 2−2m ＋1)＝−13m 2＋3m . ∵AC ⊥PE ，AC ＝6， ∴S 四边形AECP ＝S △AEC ＋S △APC ＝12AC ⋅EF ＋12AC ⋅PF ＝12AC ⋅(EF ＋PF )＝12AC ⋅EP ＝12×6(−13m 2＋3m )＝−m 2＋9m. ∵0<m <6，∴当m ＝92时，四边形AECP 的面积最大值是814，此时P (9524 ，)； (3)∵y ＝13x 2−2x ＋1＝13(x −3)2−2， P (3，−2)，PF ＝y F −y p ＝3，CF ＝x F −x C ＝3， ∴PF ＝CF ，∴∠PCF ＝45∘，同理可得∠EAF ＝45∘，∴∠PCF ＝∠EAF ，∴在直线AC 上存在满足条件的点Q ，设Q (t ，1)且AB ＝，AC ＝6，CP ＝ ∵以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似， ①当△CPQ ∽△ABC 时，CQ :AC ＝CP :AB ，(6−t):6＝，解得t ＝4，所以Q (4，1)； ②当△CQP ∽△ABC 时，CQ :AB ＝CP :AC ，(6−t):6，解得t ＝−3，所以Q (−3，1).综上所述：当点P 为抛物线的顶点时，在直线AC 上存在点Q ，使得以C ，P ，Q 为顶点的三角形与△ABC 相似，Q 点的坐标为(4，1)或(−3，1).9．解：(1)函数的表达式为：(1)(3)y a x x =+-，将点D 坐标代入上式并解得：1a =，故抛物线的表达式为：223y x x =--…①；(2)设直线PD 与y 轴交于点G ，设点()2,23P m m m --，将点P 、D 的坐标代入一次函数表达式：y sx t =+并解得，直线PD 的表达式为：32y mx m =--，则32OG m =+，()12POD D P S OG x x ∆=⨯-1(32)(2)2m m =+-2132m m =-++， ∵10-<，故POD S ∆有最大值，当14m =时，其最大值为4916； (3)∵3OB OC ==，∴45OCB OBC ︒∠=∠=，∵ABC OBE ∠=∠，故OBE ∆与ABC ∆相似时，分为两种情况：①当ACB BOQ ∠=∠时，4AB =，BC =，AC =， 过点A 作AH ⊥BC 与点H ，1122ABC S AH BC AB OC ∆=⨯⨯=⨯，解得：AH =，∴CH 则tan 2ACB ∠=，则直线OQ 的表达式为： 2 y x =-…②，联立①②并解得：x =，故点Q -或(；②BAC BOQ ∠=∠时，3tan 3tan 1OC BAC BOQ OA ∠====∠， 则直线OQ 的表达式为： 3 y x =-…③，联立①③并解得：x =故点Q 或；综上，点Q -或(或或． 10．解：（1）由抛物线过点A （-1，0）、B （4，0）可设解析式为y =a （x +1）（x -4）， 将点C （0，2）代入，得：-4a =2， 解得：a =-12， 则抛物线解析式为y =-12（x +1）（x -4）=-12x 2+32x +2； （2）由题意知点D 坐标为（0，-2）， 设直线BD 解析式为y =kx +b ，将B （4，0）、D （0，-2）代入，得：402k b b +⎧⎨-⎩＝＝，解得：122k b ⎧⎪⎨⎪-⎩＝＝， ∴直线BD 解析式为y =12x -2， ∵QM ⊥x 轴，P （m ，0），∴Q （m ，-12m 2+32m +2）、M （m ，12m -2）， 则QM =-12m 2+32m +2-（12m -2）=-12m 2+m +4，∵F （0，12）、D （0，-2），∴DF =52， ∵QM ∥DF ， ∴当-12m 2+m +4=52时，四边形DMQF 是平行四边形， 解得：m =-1（舍）或m =3，即m =3时，四边形DMQF 是平行四边形； （3）如图所示：∵QM ∥DF ， ∴∠ODB =∠QMB ， 分以下两种情况：①当∠DOB =∠MBQ =90°时，△DOB ∽△MBQ ，则21=42DO MB OB BQ ==， ∵∠MBQ =90°， ∴∠MBP +∠PBQ =90°， ∵∠MPB =∠BPQ =90°， ∴∠MBP +∠BMP =90°， ∴∠BMP =∠PBQ ， ∴△MBQ ∽△BPQ ，∴BM BP BQ PQ=，即214132222m m m -=-++，解得：m 1=3、m 2=4，当m =4时，点P 、Q 、M 均与点B 重合，不能构成三角形，舍去， ∴m =3，点Q 的坐标为（3，2）；②当∠BQM =90°时，此时点Q 与点A 重合，△BOD ∽△BQM ′， 此时m =-1，点Q 的坐标为（-1，0）；综上，点Q 的坐标为（3，2）或（-1，0）时，以点B 、Q 、M 为顶点的三角形与△BOD 相似．11．解：()1Q 抛物线2y ax bx 2=+-的对称轴是直线x 1=，()A 20-，在抛物线上， 2b 12a(2)220a b ⎧-=⎪∴⎨⎪---=⎩，解得：1412a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩，抛物线解析式为211y x x 242=--； ()2令211y x x 2042=--=，解得：1x 2=-，2x 4=，当x 0=时，=-y2，()B 40∴，，()C 02-，，设BC 的解析式为y kx b =+，则402k b b +=⎧⎨=-⎩，解得：122k b ⎧=⎪⎨⎪=-⎩，1y x 22∴=-，设()D m 0，，DP //y Q 轴，1E m m 22⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，，211P m m m 242⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，OD 4PE =Q ，2111m 4m m 2m 2422⎛⎫∴=---+ ⎪⎝⎭，m 5∴=或m 0(=舍去）， ()D 50，∴，7P 54⎛⎫ ⎪⎝⎭，，1E 52⎛⎫⎪⎝⎭，，∴S 四边形POBE OPD EBD 171133S S 5124228=-=⨯⨯-⨯⨯=V V ； ()3存在，设1M n n 22⎛⎫- ⎪⎝⎭，， ①以BD 为对角线，如图1，Q 四边形BNDM 是菱形，MN ∴垂直平分BD ，1n 42∴=+， 91M 24⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，M Q ，N 关于x 轴对称，91N 24⎛⎫∴- ⎪⎝⎭，；②以BD 为边，如图2，Q 四边形BNDM 是菱形，MN //BD ∴，MN BD MD 1===，过M 作MH x ⊥轴于H ，222MH DH DM ∴+=，即2221(n 2)(n 5)12-+-=，1n 4(∴=不合题意），2n 5.6=，4N 4.65⎛⎫∴ ⎪⎝⎭，，同理221(n 2)(4n)12-+-=，1n 4∴=+不合题意，舍去），2n 4=，N 5⎛∴ ⎝， ③以BD 为边，如图3，过M 作MH x ⊥轴于H ，222MH BH BM ∴+=，即2221(n 2)(n 4)12-+-=，1n 4∴=+2n 4=-不合题意，舍去），N 5⎛∴ ⎝，综上所述，当91N 24⎛⎫- ⎪⎝⎭，或44.65⎛⎫ ⎪⎝⎭，或5⎛⎝或5⎛+ ⎝，以点B ，D ，M ，N 为顶点的四边形是菱形．12．解：（1）将A （﹣1，0）、B （3，0）代入y =﹣x 2+bx +c ，得10930b c b c -++=⎧⎨-++=⎩，解得：23b c =⎧⎨=⎩，∴抛物线的表达式为y =﹣x 2+2x +3；（2）在图1中，连接PC，交抛物线对称轴l于点E，∵抛物线y=﹣x2+bx+c与x轴交于A（﹣1，0），B（3，0）两点，∴抛物线的对称轴为直线x=1，当t=2时，点C、P关于直线l对称，此时存在点M，使得四边形CDPM是平行四边形，∵抛物线的表达式为y=﹣x2+2x+3，∴点C的坐标为（0，3），点P的坐标为（2，3），∴点M的坐标为（1，6）；当t≠2时，不存在，理由如下：若四边形CDPM是平行四边形，则CE=PE，∵点C的横坐标为0，点E的横坐标为0，∴点P的横坐标t=1×2﹣0=2，又∵t≠2，∴不存在；（3）①在图2中，过点P作PF∥y轴，交BC于点F．设直线BC的解析式为y=mx+n（m≠0），将B（3，0）、C（0，3）代入y=mx+n，得303m nn+=⎧⎨=⎩，解得：13mn=-⎧⎨=⎩，∴直线BC的解析式为y=﹣x+3，∵点P的坐标为（t，﹣t2+2t+3），∴点F的坐标为（t，﹣t+3），∴PF=﹣t2+2t+3﹣（﹣t+3）=﹣t2+3t，∴S=12PF•OB=﹣32t2+92t=﹣32（t﹣32）2+278；②∵﹣32＜0，∴当t=32时，S取最大值，最大值为278．∵点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，3），∴线段BC=，∴P点到直线BC278=，此时点P的坐标为（32，154）．13．解：（1）∵1y=x+22-分别交y轴、x轴于A、B两点，∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）．将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=72．∴抛物线解析式为：y=﹣x2+72x+2．（2）如图1，设MN 交x 轴于点E ，则E （t ，0），BE =4﹣t ． ∵OA 21tan ABO OB 42∠===， ∴ME =BE •tan ∠ABO =（4﹣t ）×12=2﹣12t ． 又∵N 点在抛物线上，且x N =t ，∴y N =﹣t 2+72t +2． ∴()222N 1MN y ME t t 22t t 4t=t 2+42=-=-++--=-+--（）． ∴当t =2时，MN 有最大值4．（3）由（2）可知，A （0，2），M （2，1），N （2，5）． 如图2，以A 、M 、N 、D 为顶点作平行四边形，D 点的可能位置有三种情形．（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，从而D为（0，6）或D（0，﹣2）．（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程为y=12x+6；由D2（0，﹣2），M（2，1）D2M的方程为y=32x﹣2．由两方程联立解得D为（4，4）．综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）．14．解：(1)将y＝0代入y＝x+3，得x＝﹣3．∴点A的坐标为(﹣3，0)．设抛物线的解析式为y＝a(x﹣x1)(x﹣x2)，点A的坐标为(﹣3，0)，点B的坐标为(1，0)，∴y＝a(x+3)(x﹣1)．∵点C的坐标为(0，﹣1)，∴﹣3a＝﹣1，得a＝13，∴抛物线的解析式为y＝13x2+23x﹣1；(2)设点E的坐标为(m，m+3)，线段EF的长度为y，则点F的坐标为(m，13m2+23m﹣1)∴y＝(m+3)﹣( 13m2+23m﹣1)＝﹣13m2+13m+4即y＝-13(m﹣12) 2+4912，此时点E的坐标为(12，72)；(3)点G的坐标为(2，1)，(﹣，﹣﹣1)，，﹣1)，(﹣4，3)．理由：①如图1，当四边形CGDE为菱形时．∴EG垂直平分CD∴点E的纵坐标y＝132-+＝1，将y＝1带入y＝x+3，得x＝﹣2．∵EG关于y轴对称，∴点G的坐标为(2，1)；②如图2，当四边形CDEG为菱形时，以点D为圆心，DC的长为半径作圆，交AD于点E，可得DC＝DE，构造菱形CDEG设点E的坐标为(n，n+3)，点D的坐标为(0，3)∴DE∵DE＝DC＝4，4，解得n1＝﹣，n2＝．∴点E的坐标为(﹣，﹣+3)或，+3)将点E向下平移4个单位长度可得点G，点G的坐标为(﹣，﹣﹣1)(如图2)或，﹣1)(如图3)③如图4，“四边形CDGE为菱形时，以点C为圆心，以CD的长为半径作圆，交直线AD于点E，设点E的坐标为(k，k+3)，点C的坐标为(0，﹣1)．∴EC∵EC＝CD＝4，∴2k2+8k+16＝16，解得k1＝0(舍去)，k2＝﹣4．∴点E的坐标为(﹣4，﹣1)将点E上移1个单位长度得点G．∴点G的坐标为(﹣4，3)．综上所述，点G的坐标为(2，1)，(﹣，﹣﹣1)，，﹣1)，(﹣4，3)．15．解：（Ⅰ）∵2(0) y ax x a=≠经过点3)A-，∴23a-=⨯-，解得12a=，∴抛物线的解析式为212y x x=，∵22bxa=-==∴抛物线的对称轴为直线x=.（Ⅱ）∵点(0,0)O，对称轴为x=，∴点O关于对称轴的对称点B点坐标为.作点B关于轴的对称点1B，得1(B-，设直线AB1的解析式为y kx b=+，把点3)A-，点1(B-代入得3bb⎧-=+⎪⎨=-+⎪⎩，解得94kb⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩∴94y x=-.∴直线94y x=-与y轴的交点即为P点.令0x =得9y 4=-，∵P 点坐标为9(0,)4-.（Ⅲ）∵3)A -，//AC x 轴，∴AC =，3OC =，∴11322AOC S OC AC ∆=⋅=⋅=又∵13AOC AOQ S S ∆∆=，∴3AOQ AOC S S ∆∆==.设Q 点坐标为21(,)2m m ， 如图情况一，作QR CA ⊥，交CA 延长线于点R ，∵AOQ AOC AQR OCRQ S S S S ∆∆∆=--=梯形∴(211113332222m m m ⎛⎫⋅++-- ⎪ ⎪⎭⎝2132m ⎛⎫+= ⎪ ⎪⎝⎭化简整理得2180m --=，解得1m =2m =-.如图情况二，作QN AC ⊥，交AC 延长线于点N ，交x 轴于点M ，∵AOQ AQN QMO OMNA S S S S ∆∆∆=--=梯形，∴221111m)3()2222m m m ⎛⎫⎛⎫--+--- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭3()2m m --=，化简整理得2180m --=，解得1m =2m =-，∴Q 点坐标为或(-，∴抛物线上存在点Q ，使得13AOC AOQ S S ∆∆=.16．解：(1)设抛物线的表达式为：y ＝a (x ﹣1)2+4， 把(0，3)代入得：3＝a (0﹣1)2+4， a ＝﹣1，∴抛物线的表达式为：y ＝﹣(x ﹣1)2+4＝﹣x 2+2x +3；(2)存在，如图1，作E 关于对称轴的对称点E '，连接E 'F 交对称轴于G ，此时EG +FG 的值最小． ∵E (0，3)，∴E '(2，3)，设EF 的解析式为y =k ′x +b ′，把F (0，﹣3)，E '(2，3)分别代入，得332b k b ''-=+'=⎧⎨⎩，解得33k b =⎧⎨=-''⎩，所以E 'F 的解析式为：y ＝3x ﹣3， 当x ＝1时，y ＝3×1﹣3＝0，∴G (1，0)； (3)如图2．设AB 的解析式为y =k ″x +b ″，把A (1，4)，B (3，0)分别代入，得403k b k b ''''''''=+⎧⎨=+⎩，解得26k b ''''=-⎧⎨=⎩，所以AB 的解析式为：y ＝﹣2x +6， 过N 作NH ⊥x 轴于H ，交AB 于Q ，设N (m ，﹣m 2+2m +3)，则Q (m ，﹣2m +6)，(1＜m ＜3)， ∴NQ ＝(﹣m 2+2m +3)﹣(﹣2m +6)＝﹣m 2+4m ﹣3， ∵AD ∥NH ，∴∠DAB ＝∠NQM ，∵∠ADB ＝∠QMN ＝90°，∴△QMN ∽△ADB ，∴QN AB MN BD =，∴2m 4m 3MN -+-=∴MN =(m ﹣2)2Q 0， ∴当m ＝2时，MN 有最大值；过N 作NG ⊥y 轴于G ，∵∠GPN ＝∠ABD ，∠NGP ＝∠ADB ＝90°，∴△NGP ∽△ADB ， ∴PG BD 21NG AD 42===，∴PG 12=NG 12=m ， ∴OP ＝OG ﹣PG ＝﹣m 2+2m +312-m ＝﹣m 232+m +3， ∴S △PON 12=OP •GN 12=(﹣m 232+m +3)•m ， 当m ＝2时，S △PON 12=⨯2(﹣4+3+3)＝2．17．解：（1）∵二次函数y =ax 2+bx +c 经过点A （﹣4，0）、B （2，0），C （0，6），∴16404206a b c a b c c -+=⎧⎪++=⎨⎪=⎩，解得：34326a b c ⎧=-⎪⎪⎪=-⎨⎪=⎪⎪⎩，所以二次函数的解析式为：y =233642x x --+； （2）由A （﹣4，0），E （0，﹣2），可求AE 所在直线解析式为y =122x --， 过点D 作DN ⊥x 轴，交AE 于点F ，交x 轴于点G ，过点E 作EH ⊥DF ，垂足为H ，如图，设D （m ，233642m m --+），则点F （m ，122m --）， ∴DF =233642m m --+﹣（122m --）=2384m m --+， ∴S △ADE =S △ADF +S △EDF =12×DF ×AG +12DF ×EH =12×DF ×AG +12×DF ×EH =12×4×DF =2×（2384m m --+） =23250233m -++（）， ∴当m =23-时，△ADE 的面积取得最大值为503． （3）y =233642x x --+的对称轴为x =﹣1，设P （﹣1，n ），又E （0，﹣2），A （﹣4，0），可求P A PE ，AE =，分三种情况讨论：当P A =PE n =1，此时P （﹣1，1）；当P A =AE =，解得：n =，此时点P 坐标为（﹣1，）；当PE =AE =，解得：n =﹣2，此时点P 坐标为：（﹣1，﹣2）．综上所述：P 点的坐标为：（﹣1，1），（﹣1，），（﹣1，﹣2）． 18．解：（l ）因为抛物线2y ax bx c =++过点(0,2)-，∴2c =-，又因为抛物线过点(3,0)，(2,2)-∴93204222a b a b +-=⎧⎨+-=-⎩解，得2343a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=-⎪⎩所以，抛物线表达式为224233y x x =-- （2）连接PO ，设点224,233P m m m ⎛⎫-- ⎪⎝⎭. 则PAB POA AOB POB S S S S ∆∆∆∆=+-21241132********m m m ⎛⎫=⨯⋅--+⨯⨯-⨯⋅ ⎪⎝⎭ 23m m =-由题意得234m m -= ∴4m =或1m =-（舍） ∴224102333m m --=∴点P 的坐标为104,3⎛⎫⎪⎝⎭.（3）设直线AB 的表达式为y kx n =+，因直线AB 过点(3,0)A 、(0,2)B -，∴302k n n +=⎧⎨=-⎩解，得232k n ⎧=⎪⎨⎪=-⎩所以AB 的表达式为223y x =- 设存在点M 满足题意，点M 的坐标为224,233t t t ⎛⎫-- ⎪⎝⎭，过点M 作ME y ⊥轴，垂足为E ，作MD x ⊥轴交AB 于点D ，则D 的坐标为2,23t t ⎛⎫- ⎪⎝⎭，2223MD t t =-+，22433BE t t =-+.又MD y P 轴 ∴ABO MDB ∠=∠ 又∵ABO ABM ∠=∠ ∴MDB ABM ∠=∠。
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训练十三《平面直角坐标系》动点专题
解题技巧：
数轴上的动点问题离不开数轴上两点之间的距离。
为了便于初一年级学生对这类问题的分析，不妨先明确以下几个问题：
1.数轴上两点间的距离，即为这两点所对应的坐标差的绝对值，也即用右边的数减去左边的数的差。
即数轴上两点间的距离=右边点表示的数一左边点表示的数。
2.点在数轴上运动时，由于数轴向右的方向为正方向，因此向右运动的速
度看作正速度，而向作运动的速度看作负速度。
这样在起点的基础上加上点的运动路程就可以直接得到运动后点的坐标。
即一个点表示的数为a，向左运动b个
单位后表示的数为a-b；向右运动b个单位后所表示的数为a+b。
—：亍分析，点_
在数轴上运动形成的路径可看作数轴上线段的和差关系。
4.平面直角坐标系中求面积，往往需要转化成长方形、三角形、梯形等有面积公式的标准图形；高一般是非坐标轴顶点坐标A（a,b ）中| a|或| b|，底是坐标轴或者平行于坐标轴两点的距离，求法参见1.
解答题（共17小题）
1.如图，在下面直角坐标系中，已知A （0，a），B （b，0），C （3，c）三点，其中a、b、
2 , ______
c满足关系式：|a-2|+ （b - 3）「.=0.
（1 ）求a、b、c的值；
（2）如果在第二象限内有一点P （m，丄），请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
2
2.
如图，在平面直角坐标系中，点 A , B 的坐标分别为 A ( a ,
0), B ( b , 0),且a 、b 满
足a=
+ : - 1,现同时将点A , B 分别向上平移2个单位，再向右平移1个单位,
分别得到点A , B 的对应点C , D ，连接AC , BD , CD . (1)求点C , D 的坐标及四边形 ABDC 的面积S 四边形ABDC .
(2) 在y 轴上是否存在一点 P ,连接PA , PB ,使S ^PAB =S 四边形ABDC ? 若存在这样一点， 求出点P 的坐标；若不存在，试说明理由.
(3) 点P 是线段BD 上的一个动点，连接 PC , PO ,当点P 在BD 上移动时(不与 B , D 重
3. 已知：如图 ①，直线MN 丄直线PQ ，垂足为O ,点A 在射线OP 上，点B 在射线OQ 上(A 、B 不与O 点重合)，点C 在射线ON 上且OC=2，过点C 作直线I // PQ ,点D 在点 C 的左边且CD=3 .
(1 )直接写出△ BCD 的面积.
(2)如图②，若AC 丄BC ,作/ CBA 的平分线交 OC 于E,交AC 于F,求证：/ CEF= / CFE .
(3)如图③，若/ ADC= / DAC ，点B 在射线OQ 上运动，/ ACB 的平分线交 DA 的延长
合)
Z DCP +Z BOP ZCPO
的值是否发生变化，并说明理由.
线于点H ，在点B 运动过程中 化范围.
4.如图1在平面直角坐标系中， A (a , 0), B ( b , 3), C ( 4, 0),且满足(a+b ) +|a
-b+6|=0，线段AB 交y 轴于F 点.
(1) 求点A 、B 的坐标.
(2 )点D 为y 轴正半轴上一点，若 图2,求/ AMD 的度数. (3)如图3,(也可以利用图 ① 求点F 的坐标；
② 点P 为坐标轴上一点， 若厶
ABP 的三角形和△ ABC 的面积
相等？若存在，求出
* 2且+b 二—5
5. 在直角坐标系中，已知点A 、B 的坐标是(a , 0) ( b , 0), a, b 满足方程组* ,
3a - 2b= - 11
X.
c 为y 轴正半轴上一点，且 S A ABC =6 . (1 )求A 、B 、C 三点的坐标；
(2)是否存在点P (t , t ),使S A p A B =gs A ABC ?若存在，请求出 P 点坐标；若不存在，请
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说明理由；
團)
ED // AB ，且 AM , DM 分别平分/ CAB ，/ ODE ，如 1)
D
P 点坐标..
(3)若M是AC的中点，N是BC上一点,
CN=2BN , CMDN的面积是 _______________ .
6.在平面直角坐标系中，点A (a, b)是第四象限内一点，AB丄y轴于B，且B (0, b)
2
是y轴负半轴上一点，b =16, AOB=12 .
(1)求点A和点B的坐标；
(2)如图1,点D为线段OA (端点除外)上某一点，过点D作AO垂线交x轴于E,交直线
AB于F,/ EOD、/ AFD的平分线相交于N，求/ ONF的度数.
(3)如图2,点D为线段OA (端点除外)上某一点，当点D在线段上运动时，过点D作直线EF交x轴正半轴于E,交直线AB于F,/ EOD, / AFD的平分线相交于点N .若记 / ODF= a,请用a的式子
表示/ ONF的大小，并说明理由.
门1K
7.如图，在下面的直角坐标系中，已知 A (0, a), B (b, 0), C (b, 4)三点，其中a , b
(1)求a, b 的值；
(2)如果在第二象限内有一点P ( m,)，请用含m的式子表示四边形ABOP的面积；
3
(3)在(2)的条件下，是否存在点P,使四边形ABOP的面积与△ ABC的面积相等？若
存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由.
& 在如图直角坐标系中，已知 A (0, a), B (b, 0), C (b, c)三点，其中a、b、c满足
2 2 关系式+ ( b - 3) =0, (c-4) 切.
(1 )求a、b、c的值；
)如果点P (m, n)在第二象限，四边形CBOP的面积为y，请你用含m, n的式子表示y; (3)如果点P在第二象限坐标轴的夹角平分线上，并且y=2S四边形CBOA，求P点的坐标.
___________
2
4
9.如图，A、B两点坐标分别为A( a, 4),B(b, 0),且a , b满足(a- 2b+8) +二-七-[=0,
E是y轴正半轴上一点.
(1 )求A、B两点坐标;
(2)若C为y轴上一点且Ss oc= S A AOB ,求C点的坐标;
5
(3过B 作BD // y 轴，/ DBF=—/ DBA , / EOF=：/ EOA ,求/ F 与/ A 间的数量关系.
2 _____ ___
10.已知，在平面直角坐标系中， 点A (0, m )，点B ( n, 0), m 、n 满足(m - 3)=-、一 -; (1 )求A 、B 的坐标;
(2) 如图1，E 为第二象限内直线 AB 上一点，且满足 S ^AOE 「S A AOB ，求E 的坐标.
3
(3) 如图2,平移线段 BA 至OC , B 与O 是对应点，A 与C 对应，连AC . E 为BA 的延 长线上一动点，连 EO . OF 平分/ COE , AF 平分/ EAC , OF 交AF 于F 点•若
/ ABO+ / OEB= a,请在图2中将图形补充完整，并求/ F (用含a 的式子表示).
11 .如图，已知点 A (- m , n ) , B (0, m ),且m 、n 满足石疋+
(n - 5) 2
=0,点C 在y
轴上，将△ ABC 沿y 轴折叠，使点 A 落在点D 处. (1) 写出D 点坐标并求A 、D 两点间的距离；
(2) 若 EF 平分/ AED ，若/ ACF -/ AEF=20 ° 求/ EFB 的度数；
(3) 过点C 作QH 平行于AB 交x 轴于点H ，点Q 在HC 的延长线上，AB 交x 轴于点R , 12.如图，在平面直角坐标系中，点 A , B 的坐标分别为 A (- 1 , 0 )、B ( 3, 0).现同时 将点A ，B 分别向上平移2个单位，再向右平移 1个单位，分别得到点 A ，B 的对应点C 、 D ，连接 AC ，BD .
(1) 直接写出点 C 、D 的坐标，求四边形
ABDC 的面积S 四边形ABDC ； (2)
在坐标轴上是否存在一点 P ,使S ^PAC =」S 四边形ABDC ?若存在这
样一点，求出点 P 的
4
坐标；若不存在，试说明理由.
(3) 如图3,在线段 CO 上取一点 G ,使OG=3CG ，在线段 0B 上取一点F ，使OF=2BF , CF 与BG 交于点H ，求四边形 OGHF 的面积S 四边形
OGHF .
图
1
CP 、RP 分别平分/ BCQ 和/ ARX ，当点C 在y 轴上运动时，/ CPR 的度数是否发生变化?
图
1 o。