高二数学寒假作业试题 理(十)

湖北省武汉市黄陂区2016-2017学年高二数学寒假作业试题 理(十)

一．填空题（共3小题）

1．已知实数x ，y 满足，则x 2+y 2的最大值为 ． 2．）设A=37+27C 35+47C 33+67C 3，B=17C 36+37C 34+57C 32

+1，则A ﹣B 的值为 ．

3．设α，β为两个不重合的平面，m ，n 为两条不重合的直线，给出下列四个命题： ①若m⊥n，m⊥α，n ⊄α则n∥α；

②若α⊥β，α∩β=m，n ⊂α，n⊥m，则n⊥β；

③若m⊥n，m∥α，n∥β，则α⊥β；

④若n ⊂α，m ⊂β，α与β相交且不垂直，则n 与m 不垂直．

其中所有真命题的序号是 ．

二．解答题（共3小题）

4．已知F 1，F 2是椭圆C +=1的左，右焦点，以线段F 1F 2为直径的圆与圆C 关于直线x+y ﹣2=0对称．

（l ）求圆C 的方程；

（2）过点P （m ，0）作圆C 的切线，求切线长的最小值以及相应的点P 的坐标．

5．已知某几何体的直观图（图1）与它的三视图（图2），其中俯视图为正三角形，其它两个视图是矩形，已知D是棱A1C1的中点．

（1）求证：BC1∥平面AB1D

（2）求二面角B1﹣AD﹣B的余弦值．

6．已知关于x的不等式对于a∈（1，+∞）恒成立，求实数x的取值范围．

家长签字：___________________

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寒假作业(十)参考答案

1．根据约束条件画出可行域，

而z=x2+y2，

表示可行域内点到原点距离OP的平方，

点P在黄色区域里运动时，点P跑到点C时OP最大

当在点C（2，3）时，z最大，最大值为22+32=13，

故答案为：13

2．∵，

取x=1，得47=37+C36+C35+C34+C33+C32+C3+1，

取x=﹣1，得27=37﹣C36+C35﹣C34+C33﹣C32+C3﹣1，

两式作和得37+C35+C33+C3=8256，

两式作差得C36+C34+C32+1=8128，

∴A﹣B=8256﹣8128=128．

故答案为：128．

3．若m⊥n，m⊥α，则n⊄α或n∥α，又由n⊄α则n∥α，故①为真命题；

若α⊥β，α∩β=m，n⊂α，n⊥m，则由面面垂直的性质定理我们易得到n⊥β，故②也为真命题；

若m⊥n，m∥α，则n与α可能平行也可能相交，再由n∥β，则α与β也可能平行也可能相交，故③为假命题；

若n⊂α，m⊂β，α与β相交且不垂直，当m，n中一条与交线平行，一条与交线垂直时，n⊥m，故④为假命题；

故答案为：①②

4．（1）由题意知，F1（﹣1，0），F2（1，0），线段F1F2的中点坐标为原点．

设点0关于直线x+y﹣2=0对称的点C坐标为（（x0，y0），则，

，

解得，即C（2，2），

半径为=1，

所以圆C的方程为：（x﹣2）2+（y﹣2）2=1；

（2）切线长：，

当|PC|最小时，切线长取得最小值，

当PC垂直于x轴，及点P位于（2，0）处时，|PC|min=2，

此时切线长取最小值．

5．（1）证明：由三视图可知：该几何体是一个正三棱柱，底面是高为的正三角形，三棱柱的高为h=3．

连接A1B交AB1于点E，连接DE，由矩形ABB1A1，可得A1E=EB．

又∵D是这个几何体的棱A1 C1的中点，∴ED是三角形A1BC1的中位线，∴ED∥BC1

∵BC1⊄平面AB1D，OD⊂平面AB1D，∴BC1∥平面AB1D．

（2）解：在平面ABC内作AN⊥AB，分别以AB，AN，AA1为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

则A（0，0，0），B1（2，0，3），D（，，3），B（2，0，0）．

∴=（2，0，3），=（，，3），．

设平面AB1D的法向量为=（a，b，c），

则，令a=1，得=（1，，﹣）．

同理平面ABD的法向量=（0，﹣6，）．

∴cos＜，＞=．

6．设a﹣1=t＞0，

则，

当且仅当t=1时取等号．

所以3≥|2x﹣1|+|x+1|，

（1）当时，有3≥3x，得；

（2）当时，有3≥﹣x+2，得；

（3）当x≤﹣1时，有3≥﹣3x，得x=﹣1．

综上实数x的取值范围为[﹣1，1]．