最新平行线分线段成比例及证明

小结
三条平行线截两条直线，所得的线段对应
成比例. （关键要能熟练地找出对应线段）
二、要熟悉该定理的几种基本图形
A
D
B
E
C
F
DA
BE
C
F
ab
A
D
L1
B
E
L2
C
F
L3
AB BE BC EF
基本图形：“A”字形
ab
AD
L1
B
（E）
L2
C
F
L3
AB BE BC EF
基本图形：“x”字形
结束语
谢谢大家聆听！！！
l1 //l2 //l3
，AB= a, BC= b,
A B
C
D E
F
l1 l2
l3
例 2 如图,△ABC中,DF//AC,DE//BC,AE=4,EC=2, BC=8.求BF和CF的长.
分析:运用平行线分线段成比例定理的推论分
别列出比例式求解.
A
解 ∵DE//BC
ADAE42 AB AC 6 3
D
平行线分线段成比例定理 三条平行线截两条直线,所得的线段对应成比例.
AB DE BC EF
上下全 上下全
平行线分线段成比例定理 : 三条平行线截两条
直线, 所得的线段对应成比例. AMD
上下全 上下全
BE
A (D)
C
F 平移
BE
平移
CF
DA
B NE
C
F
D
A
平移
(E) B
CF
! 注意:应用平行线分线段成比例定理得到的
24
l1∥l2∥l3
❖ 把这个定理运用于三角形中就得
到它的重要推论。
所以
AB DE BC EF
ab
A
D
L1
B
E
L2
C
F
L3
AB DE BC EF
基本图形：“A”字形
ab
AD
L1
B
（E）
L2
C
F
L3
AB DE BC EF
基本图形：“x”字形
ba
A
BE
L1
C
F
L2
D
G
L3
AB AE BC EF
求证A： DAEDE AB AC BC
AHale Waihona Puke Baidu
D
E
DE//BC EF//AB
AD AE AB AC
AE BF AC BC
DE=BF
B
F
C
AD AE DE AB AC BC
例1 已知：如图 l1 //l2 //l3 ，AB=3 ，DE=2 ，
EF=4。求BC。
AD BE
C
F
l1 l2
l3
练习：已知：如图， EF=c. 求DE。
比例式中,四条线段与两直线的交点位置无关!
推论
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的 延长线)所得的线段对应成比例.
l l
A
l1
l
l
E
D l1
D
E l2
A
l2
B
C
l3
B
C l3
ab
A
D
B
E
L1
L2
C
平行线等分线段定理：
两条直线被三条平行线所 截，如果在一直线上所截 得的线段相等，那么在另 一直线上所截得的线段也 相等。
F
L3
AB DE BC EF
平行线分线段成比例定理与平行线等分线段 定理有何联系？
AD
B
E
当 AB 1
A
D
BC
B
E
C
F
当 AB 1 BC
C
F
结论：后者是前者的一种特殊情况！
用平行于三角形一边且和其他两边相交的直线 截三角形,所截得的三角形的三边与原三角形 的三边对应成比例.
已知:如图,DE//BC,DE分别交AB、AC于点D、E
L1
BM E
L2
C
N
F
L3
如何理解定理结论中“所得线段对应成比例”呢？
❖ “对应”是数学的基本概念，】
A
D
L1
❖ 图1-1中，
❖ 在l1∥l2∥l3的条件下，可分别推 出如下结论之一：
BM E
L2
❖ （1）简称“上比下”等于“上 比下”
C
N
F
L3
❖ （2）简称“上比全”等于“上 比全”
❖ （3 简称“下比全”等于“下比全”因为
A
D
l1
AB BC DE EF
因为
BC AC
EF DF
（平行线分线段成 比例定理）。
BE FC
l2
l3
BC AC EF DF
AB BC AC DE EF DF
！
上下全 上下全
已知：如图， l1 //l2 //l3 ，AC=8，DE=2，EF=3，
求AB。
方法一 解：因为 l1 //l2 //l3
E
∵DF//AC
AD CF AB CB
BF
C
2CF,即CF16 BF8-168
38
3
33
例3 如图,△ABC中,DE//BC,EF//CD. 求证:AD是AB和AF的比例中项.
分析: 分别在△ABC及△ADC中利
用平行线分线段成比例定理的推论
A
证明 在 AB 中 , CDE,/A /B B A CC F
AD BE
C
F
l1
l2
l 3
AB BC
DE EF
（平行线分线段 成比例定理）。
设AB=X，则BC=8—X
X 2 8-X 3
X 16
5
即：AB 16
5
方法二 解：因为 l1 //l2 //l3
AB
AC
DE DF
（平行线分线段成 比例定理）。
即： AB 2
AB 16
8 23
5
一、平行线分线段成比例定理：
∵l1∥l2∥l3 ∴AM =DE MN=EF 在△ACN中，有 AB SABM
BC SBCM
AM SABM MN SBMN
∵BM∥CN ∴S△BCM= S△BMN ∴ AB AM
BC MN
亦即 A B D E BC EF
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线所得的 线段对应成比例
A
D
平行线分线段成比例及证 明
平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线所得的
A
线段对应成比例 如图
B
已知l1∥l2∥l3
求证 AB DE
C
BC EF
或 AB DE
AC DF
或
BC EF
AC DF
D
l1
E
l2
F
l3
定理的证明过A点作AN ∥ DF，交l2于M，交l3
于N 点，连接 BN 、CM（如图(1-2）
ADAE D
E
在 AD 中 , CEF/,A A /CD F D A AC EB
C
AB AD AD AF
∴AD2=AB•AF,即AD是AB和AF的比例中项
三 练习
已知：如图，l1
//l2
//l3
，
求证：
AB DE
BC。AC EF DF
证明：因为 l1 //l2 //l3
AB BC
DE EF
（平行线分线段成 比例定理）。