人教版必修五解三角形精选难题及其答案

人教版必修五“解三角形”精选难题及其答案
一、选择题（本大题共 12 小题，共 60.0 分）
1. 锐角
中，已知
，则
的取值范围是
A.
B.
C.
D.
2. 在
中，角
的对边分别为
，且满足
，则
的形状为
A. 等腰三角形
B. 直角三角形
C. 等边三角形
D. 等腰直角三角形
3. 在
中，
，则
的
值等于
A.
B.
C.
D.
4. 在
2. 解：因为
，
所以
，
所以
，即
，
因为
是三角形内角，
所以 ．
三角形为等腰三角形．
故选：A．
，且
．
故有
，化简可得
再由
可得
，
解得
．
7 / 19
． ， ．
． ．
24. 解： 由正弦定理
．
再由
，可得
，故有
，
即
．
再由
，可得
．
由于
．
再由
，可得
，
，
即
的取值范围为
．
25. 解： 又
，即
，
，
将
，利用正弦定理化简得：
，
，
在
中，
，又
，则
的面积为
，
由余弦定理
，则
26. 解：
中，
利用正弦定理可得
，又
得： ，
，且 ，
8.
的外接圆的圆心为 O，半径为 1，若
的面积为
A.
B.
C.
，且
，则
D. 1
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9. 在
中，若
A. 等边三角形 C. 直角三角形
10. 在
中，已知
，则
是
B. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形
分别为
的对边，则
为
A.
B. 1
C.
或 1 D.
11. 设锐角
的三内角 A、B、C 所对边的边长分别为 a、b、c，且
中，有正弦定理：
定值，这个定值就是
的外
接圆的直径 如图 2 所示，
中，已知
，点 M 在直线 EF 上从左到右运
动 点 M 不与 E、F 重合 ，对于 M 的每一个位置，记
的外接圆面积与
的外接圆面积的比值为 ，那么
A. 先变小再变大
B. 仅当 M 为线段 EF 的中点时， 取得最大值
C. 先变大再变小
，即
，
，
，即
，
．
再由
，利用基本不等式可得
，当且仅当
时，取等号，
此时，
为等边三角形，它的面积为
故
的面积的最大值为： ．
27. 解：
， ，
令
解得：
由于
的单调递增区间为：
和
Ⅱ 依题意：由
解得：
设函数 与
由于在同一坐标系内两函数在
内恒有两个不相等的交点．
因为：
所以：
根据函数的图象：
时，
所以：
28. 解：
，
，
，
．
由题知
，
，
，
．
．
29. 解：
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由
得
即
由余弦定理得
30. 本题满分为 12 分
解： 在
中，
由正弦定理可得：
，
，
，即
分
由 C 为三角形内角，
分
由 可知
分
分 ，
， ，
的取值范围为
分
【解析】
1. 解：由正弦定理可得，
， 为锐角三角形，
且
， ，
， ，
，
，
即
，
，由余弦定理可得：
． 故选：D．
是锐角，
由正弦定理得：
是锐角，
，
答案和解析
4. D
5. A
6. A
11. A 12. A
是角
的对边，且
故；
，且
的面积为 ，
根据
的面积
解得： ．
由余弦定理得
．
故得 c 的值为 ．
21. 本题满分为 14 分
解：
又
，
从而
分
由于
，
所以
分
பைடு நூலகம்，由正弦定理得
解法一：由余弦定理
得 因为
，所以
，即 分
故
的面积为
，而 ．
D. 是一个定值
5. 已知三角形 ABC 中，
边上的中线长为 3，当三角形 ABC 的面积最大
时，AB 的长为
A.
B.
C.
D.
6. 在
中，
分别为内角
所对的边， ，且满足
若点 O 是
外一点，
面积的最大值是
，平面四边形 OACB
A.
B.
C. 3
D.
7. 在
中，
，则使
有两解的 x 的范围是
A.
B.
C.
D.
分
解法二：由正弦定理，得
，
7. D
．
分 分
从而 又由 所以
分 知，
．
故
分
所以
的面积为
分
22. 解： 由已知，根据正弦定理，
得，
，即
．
由余弦定理得
．
又
．
所以 ．
，
，可得：
，
由
可知，
的取值范围
23. 解： 由于函数
，可得：
故函数的最小值为 ，最小正周期为
．
中，由于
，可得
再由向量
与
共线可得
再结合正弦定理可得
，
则 b 的取值范围为
A.
B.
C.
D.
12. 在
中，内角
所对边的长分别为
，且满足
，若
，则 的最大值为
A.
B. 3
C.
D. 9
二、填空题（本大题共 7 小题，共 35.0 分）
13. 设
的内角
所对的边分别为
且
，则角 A 的大小
为______ ；若
14. 在
中，
，则
的周长 l 的取值范围为______ ．
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26. 已知
分别为
的三个内角
求角 A 的大小；
求
的面积的最大值．
的对边， 且
27. 已知函数 Ⅰ当
Ⅱ 若方程
围．
时，求函数 在
． 的单调递增区间；
内恒有两个不相等的实数解，求实数 t 的取值范
28. 已知 A、B、C 是
的三个内角，向量
，且
； 求角 A； 若
，求 ．
29. 在
求 若
中，角 的值
的对边依次为
，外接圆半径为 1，且满足
，则
面积的最大值为______ ．
三、解答题（本大题共 11 小题，共 132.0 分）
20. 在锐角
中，
是角
的对边，且
．
求角 C 的大小；
若 ，且
的面积为 ，求 c 的值．
21. 在
中，角
的对边分别为
已知
．
求角 A 的大小；
若
，求
的面积．
22. 已知
中，内角
求角 C 的大小；
若边长
，求
所对的边分别为 ．
的周长最大值．
，且满足
23. 已知函数
求函数 已知
．
的最小值和最小正周期；
内角
的对边分别为
，且
与
共线，求 的值．
，若向量
24. 已知 求 求
中， 的外接圆半径和角 C 的值；
的取值范围．
25.
中，角
的对边分别是
且满足
，
求角 B 的大小；
若
的面积为为 且
，求 的值．
，
，可得：
，
由正弦定理可得，
，结合已知可先表示 ，然后由
为锐角三角形及
可求 B 的范围，再把所求的 bc 用
表示，利用
三角公式进行化简后，结合正弦函数的性质可求 bc 的范围，由余弦定理可得
，从而可求范围．
本题综合考查了正弦定理和面积公式及两角和与差的正弦、余弦公式及辅助角公式的综
合应用，解题的关键是熟练掌握基本公式并能灵活应用，属于中档题．
所对边的长分别为
已知
，则
______ ．
15. 已知
中，角 A、B、C 的对边分别是 a、b、c，若
，则
的形状是______ ．
16. 在
中，若
，则
的形状为______ ．
17. 在
中，角
的对边分别为
，若
，
且
，则
______ ．
18. 如果满足
______ ．
19. 已知
的三个内角
的三角形恰有一个，那么 k 的取值范围是
的对边分别是
，已知
，求边 c 的值．
30. 在
中，角
所对的边分别为
求角 C 的大小； 若 ，求 的取值范围．
，且满足：
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【答案】
1. D
2. A
8. B
9. B
13. ；
3. A 10. B
14.
15. 等腰三角形或直角三角形 16. 等腰三角形或直角三角形
17.
18.
或
19.
20. 解：