2017新课标全国卷1理科数学试题及答案

2017年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学
本试卷5页，23小题，满分150分。

考试用时120分钟。

注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。

用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。

将条形码横贴
在答题卡右上角"条形码粘贴处"。

2 .作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目选项的
答案信息点涂黑；如需要改动,用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。

答案不
能答在试卷上。

3•非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；
不准使用铅笔和涂改液。

不按以上要求作答无效。

4.考生必须保证答题卡的整洁・考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有
一项是符合题目要求的。

1 .已知集合A={x\x<l} , 8={x\ 3X<1},则
A . Al
B = {x|x<0} B . = R
C. AUB = {x\x>l} D . A\ B = 0
2.如图，正方形ABCD内的图形来自中国占代的A极图.正方形内切圆中的黑色部分和白色
部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概
率是
D • pm
4 •记S ■为等差数列g ｝的前刀项和•若①+ 6=24『S 6 = 48，贝!)｛%｝的公差为
5 •函数/(X )在(Y>,2D )单调递减，且为奇函数•若/(1) = -1 ,则满足
-1</(X -2)<1的x 的取值范围是
D • [1,3]
C. -
D.- 2 4
3.设有下面四个命题
Pi :若复数z 满足一w R ，则z w R ; z
P 2 :若复数乙满足eR ，则z w R ；
Pi :若复数S Z 2满足ZD w R ，则Zi = Z 2 ；
:若复数z w R I 贝(I W E R ・
其中的真命题为
c • P"P,
A • [-2,2]
B - [-14]
C . [0.4]
6」+却（心展开式中.询系数为
A . 15
B . 20
C . 30
D . 35
7•某多面体的三视图如图所示，其中正视图和左视图都由正方形和等腰直角三角形组成，正方形的边长为2 ,俯视图为等腰直角三角形•该多面体的各个面中有若干个是梯形,这些梯形的面积之和为
A . 10
B . 12
C . 14
D . 16
8 .右面程序框图是为了求出满足3=201000的最小偶数n,另吆在V＞和口两个
空白框中,可以分别填入
A . A>1 000 和
B . A>1 000 和n=n+2
D . A<1 000 和n^rn-2
9 .已知曲线G :尸cos x, C 2 :戶sin （2“+年）,则下面结论正确的是
A .把G 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变,再把得到的曲线向右平 移?个
单位长度，得到曲线Q
6
B •把G 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平 移吉
个单位长度，得到曲线G
C .把G 上各点的横坐标缩短到原来的扌倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平 移?个
单位长度，得到曲线C
6
D .把G 上各点的横坐标缩短到原来的+倍,纵坐标不变，再把得到的曲线向左平 移*个单
位长度，得到曲线C2
12
10 .已知F 为抛物线C: /=4x 的焦点，过F 作两条互相垂直的直线人,，直线人与
U 交于4 3两点,直线厶与C 交于D 、F 两点，则\AB\^\DE\的最小值为
A . 16
B . 14
C ・ 12
D . 10 11 .设》为正数，且2' = 3' = 5：,贝I 」
A . 2x<3y<Sz
D • 3/<2A <5Z
12 .几位大学生响应国家的创业号召，开发了一款应用软件•为激发大家学习数学的兴
趣，他们推出了''解数学题获取软件激活码〃的活动•这款软件的激活码为下面数学 问C ・ 3y<Sz<2x
B . Sz<2x<3y
题的答案:已知数列 1 , 1,2 , 1,2,4,1,2,4,8 , 1,2,4,8 , 16 ,, 其中第一项是2° ,接下来的两项是2° , 21,再接下来的三项是2。

，2】，22 ,依此类推•求满足如下条件的最小整数/V： A>100且该数列的前/V项和为2的整数幕•那么该款软憫激活码是
A . 440
B . 330
C ・ 220
D . 110
二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13 .已知向量a , 〃的夹角为60° , |a|=2 , |h| = l ,贝0| a+2b|= _ ・
fx+2y <1
14 .设x, y满足约束条件2-1 ,贝!lz = 3x-2y的最小值为_________________ ・
[x-y<0
15 .已知双曲线C: 4-^ = 1 (^>0, b>0)的右顶点为A ,以&为圆心，b为半径
做圆A ,區M与双曲线U的条渐近线交丁M、N两点。

若厶MAN^Z。

,则U的离心率为_________________ O
16 .如图，圆形纸片的圆心为0,半径为5 cm ,该纸片上的等边三角形力宛的中心为
Q D、E、F为圆O上的点，^DBC, -ECA , -FAB分别是以BC, CA ,处为底边的等腰三角形。

沿虚线剪开后，分别以BC, CA .朋为折痕折起二1ECA , △ Qg,使得Q、E、F重合，得到三棱锥。

当二力处的边长变化时，所得三棱锥体积 (单位：cm3)的最大值为_______________________________ 。

三、解答题：共70分。

解答应写岀文字说明、证E月过程或演算步骤。

第题为必考题，每
个试题考生都必须作答。

第22、23题为选考题，考生根据要求作答。

(-)必考题：共60分。

17. (12 分)
二ABC的内角A,B, U的对边分别为b, c.已知乙/I比的面积为-^―
3sm A
(i )求sin空inC
(2 )若6cos£tosC=l , a=3 ,求的周长.
18. ( 12 分)
如图，在四棱锥PMS中,AB//CD,且ZBAP = ZCDP = 90。

・
(1 )证明：平面少3丄平面PAD;
(2 )若PA=PD=AB=DC, ZAPD = 90°,求二面角A-PB-C的余弦值.
19. （12 分）
为了监控某种零件的一条生产线的生产过程”检验员每天从该生产线上随机抽取 16个零件，并测量其尺寸(单位:cm).根据长期生产经验，可以认为这条生产线正 常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布Ng) •
(1 )假设生产状态正常，记X 表示一天内抽取的16个零件中其尺寸在
(“-36“ +3b)之外的零件数，求P(X>1)及X 的数学期望；
(2 )—天内抽检零件中，如果出现了尺寸在5-36〃 + 3b)之外的零件，就认 为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程逬行检 查.
(i )试说明上述监控生产过程方法的合理性；
(“)下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸：
9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92
9.98 10.04 10.26 9.91
10.13 10.02 9.22 10.04 10.05 9.95
16 经计算得—w 工兀=9.97 ,
用样本平均数元作为"的估计值〃，用样本标准差$作为/的估计值& ,利用估 计值判断是否需对当天的生产过程进行检查？剔除(力-37〃+ 3另之外的数据，用剩 下的数据估计"和”(精确到0.01).
附：若随机变量Z 服从正态分布N (“，夕厂则
P(//-3cr<Z <//4-3CT ) = 0.997 4 ,
-16T 2)2 -0.212 ,其中兀为抽取的第i 个零件的尺
寸，i = l,2,・・・
0.997 416 = 0.959 2 , >/0^008 « 0.09 •
20. ( 12 分)
已知椭圆 C\ 匚 + 養=1 ( a>b>0 )，四点 A ( 1,1) , ft ( 04 ) f A(-l,
cr Ir
y ) 4 ( 1 ,芈)中恰有三点在椭圆U 上.
(i)求U 的方程；
(2 )设直线/不经过尺点旦与U 相交于力，3两点•若直线兀力与直线A3的斜率的 和为-1 ,证明：/过定点.
21. （12 分）
已知函数*羽=关2”+2 - 2) e r - x
(1)讨论/(切的单调性；
(2 )若f{x)有两个零点，求a 的取值范围.
(-)选考题：共10分。

请考生在第22、23题中任选一题作答。

如果多做，则按所 做的第一题计分。

22 •［选修4一4 :坐标系与参数方程］(10分)
数方程为
为参如
(1)若^=-1 #求u 与/的交点坐标；
(2)若U 上的点到/的距离的最大值为庐，求a ・
在直角坐标系“0中,曲线U 的参数方程为{；二爲&
(0为参数)，直线/的参
23 .［选修4-5 :不等式选讲］(10分)
已知函数f( X)="+”+4 ,久x)= I X+i 丨+ I 41 I ・
(1)当时，求不等式f( x) >g(x)的解集；
(2 )若不等式f(x) >g(x)的解集包含［-1 , 1］,求a的取值范围.
2017年新课标1理数答案
l.A 2.B 3.B 4.C 5.D 6.C 7.B 8.D 9.D 10.A 11.D 12. A
13. 2扌 14. -515. —16. 4屈
3
g:⑴由题设得*讣盒，即扣讪=金
cin A
由宓定理得严Csxn,亦故smBsmC 肓.
(2)由题设及(1)得cos B cosC-smsmC = -^,,即cos(B + C) = -*・
所脑心牛故T・由题设得严m从盘，即心8・由余弦定理得，+云一加=9 #即e + c），—3bc = 9 f得b + c = y/^.
故AABC的周长为3 +辰.
18解：(i )由已知ZBAP = ZCDP = 90° f ^ABrAP. CD丄PD.
由于AB\\CD t故ABlPD,从而力3丄平面PAD.
又人B u平面PAB t所以平面少3丄平面PAD.
（2）在平面PAD内做PF丄A£> r垂足为F ,
由（1）可知，MB丄平面PAD，故A〃丄PF ■可得PF丄平面ABCD.
以F为坐标原点,M的方向为x轴正方向;|A^|为单位长，建立如图所示的空间直角坐标系F-xyz .
所以PC = (-^丄一当)，cS = (72,0,0),熾=(当,0,_刍)，罚= (0,1,0).
设w = (x, y, Z)是平面PCB 的法向量f 则
W/f = (0,-l,-72).
设加=(x, y\ z)是平面P4B 的法向量,则
则 COS 〈儿〃2 > =
所以二面角A-PB-C 的余弦值为-普・
由(i )及已知可得A (¥
.0,0) , P(0,0,
19.【解】(1 )抽取的一个零件的尺寸在(“-3b,“ + 3b)之内的概率为0.9974 ,从而 零件的尺寸在(“-3b,“ +3cr)之外的概率为0.0026 ,故X ~3(16.0.0026) •因此
P(X X1) = 1 — F(X = 0) = 1 — 0.9974 = 0.0408 ・
X 的数学期望为EX = 16 x 0.0026 = 0.0416・
(2) (i)如果生产状态正常，f 零件尺寸在(“-36〃 +3b)之外的概率只有
0.0026 ,-天内抽取的i6个零件中,出现尺寸在36 “ + 3b)之外的零件的概率 只有0.0408 ,发生的概率很小•因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这 —天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程逬行检查,可见上述监控 生产过程的方法是合理的.
(ii)由7 = 9.97,5*0.212，得“的估计值为A = 9.97 , <7的估计值为& = 0.212 ,
过融行检查.
剔除(“-3&,〃 + 3&)之外的数据9・22 ,剩下数据的平均数为 丄(16x9.97-9.22) = 10.02 ,因此“的估计值为 10.02.
剩下数据的样本方差为—(1591.134 - 9.222-15xl0.022)* 0.008 , 因此cr 的估计值为70^08〜0.09・
20. ( 12分)解：
(1)由于出，巴两点关于y 轴对称，故由题设知U 经过4 ,巴两点.
由样本
可以看出有一个零件的尺寸在(〃-3&" + 3另之夕卜，因此需对当天的生产
16
1=
1 = 16X 0.2122+16X 9.97
2 "591.134 ,剔除(〃-3&力+ 3&)之外的数据9.22
又由存存存為知，C 不纟她点乩所以点k 在C±.
故G 的方程为兰+y —1・
4
（2）设直线⑥1与直线A3的斜率分别为h, kz,
如果/与x 轴垂直，设/: x=t,由题设知心0 , S.\t\<2 ,可得A , 3的坐标分别为（t, 孚,仁，一俘）•
则h + R 严亚手2-也手乞"1 ,得心2 ,不符合题设・
由题设可知△■16(4/ - 〃F +1) > 0 •
设虫(&〃). , yi)，贝 0^+^=--^- # xixz=4，
^~^ 4L +1 * +1
而屮=口+上二
■ X 、 x 2
kx. + /n -1 kx^ + m 一 1 2 灿 £ + (
,n ~ 1)(召 + x 2)
由题设心+人=一1 ,故（2点+ 1）心¥,+ （〃7 — 1）（兀+壬）=0 • b 2 = l
因此、 ，解得 (4k : + l)x 2 + 8bfLi + 4/fi 2 -4 = 0
当且仅当心1时，,欲使/：〉一罟5 <即>，+—警(-2), 所以/过定点(2,-1)
21 •解:(1) /(X)的定义域为(Y ),P ),
f\x) = 2ae 2x + (a - 2)e x 一 1 = {ae x 一 \)(2e x +1),
(i )若aSO ,则f\x) <0 ,所以/(x)在(YO ,3)单调递减
(ii )若a>0 ,贝I 」由/'(x) = 0彳耳x = -lna ・
当 xw (YO,_lna)时，f\x) < 0 ;当 xw(-lna,*o)时，f\x) > 0，所以/(x)在
(Y,_lna)单调递减，在(_lna,*o)单调递增.
(2) ( i )若心0 ,由(1 )知，/(x)至多有一个零点.
(ii )若。

>0 ,由(1)知，当x = -lna 时，/⑴取得最小值，最小值为
/(- In a) = 1 — 丄 + In a ・
①当0 = 1时，由于/(-liia) = 0 ,故/(X )只有一个零点;
②当*(1,乜)时，由于1 一丄+ lnd>0，即f(-\na)>0，故/(X )没有零点; a
又/(一2)=血7 + (a-2)e~2 + 2 >-2e~2 + 2>0 ,故/(x)在(Yo,-lna)有一个零点.
Z1>M" — 4
即旳)乔rr+(〃I) -Shn 4p +1
解得―
/n + 1 2
+ lna <0 # 即 f(-\na)<0. ③当6/G (0,l)时
设正整数〃。

满足//0>111(--1),则 a
/(/io) = e"°(ae"。

+a-2)-n 0> e"。

-/?0 > 2"。

-//0 > 0.
由于 lii(- 一 1) > 一 in a ,因此/'(x)在(一 In a, +oo)有一个零点. a
综上,a 的取值范围为(0.1)・
22•［选修4-4 :坐标系与参数方程］(10分)
解：⑴曲线C 的普通方程为y+r =!.
当° = 一1时，直线/的普通方程为X + 4.V - 3 = 0・
从而C •与/的交点坐标为(3.0) , (-孕)・
(2)直线/的普通方程为“十4〉・一“ —4 = 0 r 故C 上的点(3cos/sm&)到/的距离为 当“7时，d 的最大值为幣•由题设得幣5 ,所如8 ,
当2时’〃的最大值为芳•由题歸游=庐，所以宀6・ 综上，a = 8或。

=一16“ 23•［选修4-5 :不等式选讲］(10分)
当xv-l 时,①式化为亍一3兀一4<0 ；无解；
当-1<X <1时，①式化为x 2-x-2<0，从而一；
当x>l 时，①式化为X 2+X -4<0 ,从而1V 虫已乎7・
由:解得伫 洽+y" V =o 21
X- ---- 25
24
v =— • 25
d _ 13cosO + 4sm&-a-41
V17
解：(i )当4 = 1时，不等式/(x)ng(x)等价Tx2-x+|x+l| + |x-l 1-4^0.®所以/(x)>g(x)的解集为｛x\-l<x<仔・
(2)当XG［-1,1］时，g(x) = 2・
所以/(x) > g(x)的解集包含［-1.1］,等价于当xe［-l,l］时f(x)n2・
又/(x)在［-1,1］的最小值必为/(-I)与/⑴之一，所以/(-1)»2且/(1)^2 ,得-!<«<!.
所以a的取值范围为［-11］.。