数列中an及Sn的关系

课题
浅谈数列中a n 与S n 的递推公式的应用
对于任意一个数列，当定义数列的前n 项和通常用S n 表示时，记作S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，此时通项
公式a n ＝⎩⎨⎧
S 1，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2
．
而对于不同的题目中的a n 与S n 的递推关系，在解题时又应该从哪些方向去灵活应用a n ＝S n －S n －
1
(n ≥2)去解决不同类型的问题呢？
我们将从下面三个角度去探索在各类考试中出现的a n 与S n 相关的问题：
归纳起来常见的角度有：
角度一：直观运用已知的S n ，求a n ；
角度二：客观运用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，求与a n ，S n 有关的结论； 角度三：a n 与S n 的延伸应用．
角度一：直观运用已知的S n ，求a n
方法：已知S n 求a n 的三个步骤(此时S n 为关于n 的代数式)： (1)先利用a 1＝S 1求出a 1；
(2)用n －1替换S n 中的n 得到一个新的关系，利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)便可求出当n ≥2时a n 的表达式；
(3)对n ＝1时的结果进行检验，看是否符合n ≥2时a n 的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n ＝1与n ≥2两段来写．
同时，在部分题目中需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义，对“和的式子”有本质的认识，这样才能更好的运用S n 求解．如：a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n ＝2n －1，其中a 1＋2a 2＋3a 3＋…＋na n 表示数列{na n }的前n 项和．
1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－2n ＋2，则数列{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －3 B ．a n ＝2n ＋3
C ．a n ＝⎩⎨⎧ 1，n ＝12n －3，n ≥2
D ．a n ＝⎩⎨⎧
1，n ＝1
2n ＋3，n ≥2
【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3．当n ＝1时，a 1＝S 1＝1，不满足上式． 【答案】C
2．(2015·河北石家庄一中月考)数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1) ·3n +1＋3(n ∈N *)，则数列的通项公式a n ＝ ．
【解析】当n ≥2时，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2) ·3n ＋3；则用已知等式减去上式得(2n －1)·a n ＝(2n －1)·3n ，得a n ＝3n ；当n ＝1时，a 1＝3，满足上式；故a n ＝3n ．
【答案】a n ＝3n
3．(2015·天津一中月考)已知{a n }的前n 项和为S n ，且满足log 2(S n ＋1)＝n ＋1，则a n ＝ ． 【解析】由已知得S n ＋1＝2n ＋1，则S n ＝2n ＋1－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1－1－2n ＋1＝2n ；
当n ＝1时，a 1＝S 1＝3，不满足上式；故a n ＝⎩⎨⎧
3，n ＝12n ，n ≥2
．
【答案】a n ＝⎩
⎨⎧
3，n ＝1
2n ，n ≥2
4．(2015·四川成都树德期中)已知{a n }是一个公差大于0的等差数列，且满足a 3a 5＝45，a 2＋a 6＝14．
(1)求{a n }的通项公式； (2)若数列{b n }满足：
b 12＋b 2
2
2＋…＋
b n
2n
＝a n ＋1(n ∈N *)，求{b n }的前n 项和．
【解】(1)设等差数列{a n }的公差为d ，则d ＞0， 由a 2＋a 6＝14，可得a 4＝7
由a 3a 5＝45，得(7－d )(7＋d )＝45，解得d ＝2 或d ＝－2(舍) ∴a n ＝a 4＋(n －4)d ＝7＋2(n －4)，即a n ＝2n －1．
(2)令c n ＝
b n
2n
，则c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n ＝a n ＋1＝2n ①
当n ≥2时，c 1＋c 2＋c 3＋…＋c n －1＝2(n －1) ②
由①－②得，c n ＝2，
当n ＝1时，c 1＝2，满足上式；
则c n ＝2(n ∈N *)，即
b n
2
n ＝2，∴b n ＝2n ＋1，
故数列{b n }是首项为4，公比为2得等比数列， ∴数列{b n }的前n 项和S n ＝4(1－2n )
1－2＝2n ＋2－4．
此类题目中，已知条件往往是一个关于a n 与S n 的等式，问题则是求解与a n ，S n 有关联的结论．那么我们需要通过对所求问题进行客观分析后，判定最后的结果中是保留a n ，还是S n ．那么，主要从两个方
向利用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)：
方向一：若所求问题是与a n 相关的结论，那么用S n －S n －1＝a n (n ≥2)消去等式中所有S n 与S n －1，保留项数a n ，在进行整理求解；
1．(2015·广州潮州月考)数列{a n }的前n 项和记为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ≥1，n ∈N *)，则数列的通项公式是 ．
【解析】当n ≥2时，a n ＝2S n －1＋1，两式相减得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)，即a n ＋1－a n ＝2a n ，得a n
＋1
＝3a n ；当n ＝1时，a 2＝3，则a 2＝3a 1，满足上式；故{a n }是首项为1，公比为3得等比数列，∴a n
＝3n －1．
【答案】a n ＝3n －1
2．数列{a n }的前n 项和为S n ，若a n ＋1＝－4S n ＋1，a 1＝1． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝na n ，求数列{b n }的前n 项和T n ．
【解】(1)当n ≥2时，a n ＝－4S n －1＋1，又a n ＋1＝－4S n ＋1，
∴a n ＋1－a n ＝－4a n ，即
a n ＋1
a n
＝－3(n ≥2)， 又a 2＝－4a 1＋1＝－3，a 1＝1，
∴数列{a n }是首项为a 1＝1，公比为q ＝－3的等比数列， ∴a n ＝(－3)n －1．
(2)由(1)可得b n ＝n ·(－3)n －1，
T n ＝1·(－3)0＋2·(－3)1＋3·(－3)2＋…＋(n －1)·(－3)n －2＋n ·(－3)n －1，
－3T n ＝1·(－3)1＋2·(－3)2＋…＋(n －2)·(－3)n －2＋(n －1)·(－3)n －1＋n (－3)n ， ∴4T n ＝1＋(－3)1＋(－3)2＋…＋(－3)n －1－n ·(－3)n ， 所以，T n ＝1－(4n ＋1)(－3)n
16
．
方向二：若所求问题是与S n 相关的结论，那么用a n ＝S n －S n －1(n ≥2)消去等式中所有项数a n ，保留
S n 与S n －1，在进行整理求解．
1．已知数列{a n }的前n 项和为S n 且满足a n ＋2S n ·S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1
2
．
(1)求证：⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫1S n 是等差数列；
(2)求a n 的表达式．
【解】(1)证明：∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，又a n ＝－2S n ·S n －1，
∴S n －1－S n ＝2S n ·S n －1，S n ≠0．
因此1S n －1S n －1
＝2(n ≥2)．
故由等差数列的定义知⎩⎪⎨⎪
⎧⎭
⎪⎬⎪⎫1S n 是以1S 1＝1a 1
＝2为首项，2为公差的等差数列．
(2)由(1)知1S n ＝1
S 1＋(n －1)d ＝2＋(n －1)×2＝2n ，即S n ＝1
2n ．
当n ≥2时，a n ＝－2S n ·S n －1＝－1
2n (n －1)，
又∵a 1＝1
2
，不适合上式．
∴a n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
12，n ＝1，
－1
2n (n －1)，n ≥2.
2．(2015·江西名校联盟调考)已知正项数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n －2S n a n ＋1＝0． (1)求数列{S n }的通项公式；
(2)求证：1S 1＋1S 2＋…＋1S n
＞2(S n+1－1)．(提示：1
n ＞
2
n ＋1＋n
)
【解】(1)∵a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，由a 2n －2S n a n ＋1＝0，
得(S n －S n －1)2－2S n (S n －S n －1)＋1＝0，整理得S 2n －S 2
n －1＝1．
当n ＝1时，a 21－2S 1a 1＋1＝0，且a 1＞0，解得a 1＝1， 故由等差数列的定义知{S 2n }是以1为首项，1为公差的等差数列． ∴S 2n ＝n ，则S n ＝n ．
(2)由(1)知1S n ＝1n ＝22n ＞2n ＋1＋n
＝2(n ＋1－n )，
∴1S 1＋1S 2＋…＋1
S n ＞2(2－1)＋2(3－2)＋…＋2(n ＋1－n )＝2(n ＋1－1)
即1S 1＋1S 2
＋…＋1
S n
＞2(S n ＋1－1) ．
【总结】此类题目往往伴随着等差、等比数列的判定，所以需要对数列的判定方法熟练掌握．
解此类题目中不仅需要深刻理解“数列的前n 项和”的实际意义，还需要对a n ＝⎩⎨⎧
S 1，n ＝1，
S n －S n －1，n ≥2
关
系式的形式结构很熟练的掌握，这样才能在题目中对已知等式灵活地变换．
当然在解决问题的时候仍然需要从求谁的角度出发分析，确定等式的变换方向． 方向一：关于双重前n 项和
此类题目中一般出现“数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ”的条件，在解答时需要确定清楚求的是与a n ，S n ，T n 中谁相关的问题，确定已知等式的运用方向．但一般是求解最底层的a n ．
1．(2015·湖北武汉质检)设数列{a n }的前n 现和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，
n ∈N *．
(1)求a 1的值；
(2)求数列{a n }的通项公式．
【解】(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1，且T 1＝S 1＝a 1，解得a 1＝1，
(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1 ∴S n ＝2S n －1＋2n －1 ① 则S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1 ② 由②－①，得a n ＋1＝2a n ＋2，
∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即
a n ＋1＋2
a n ＋2
＝2(n ≥2)，
易求得，a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 2＋2
a 1＋2
＝2，
∴数列{a n ＋2}是首项为3，公比为2的等比数列，
∴a n ＋2＝3·2n －1，则a n ＝3·2n －1－2(n ∈N *)．
2．(2015·安徽滁州期末联考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，且2T n ＝4S n
－(n 2＋n )，n ∈N *．
(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列；
(2)设b n ＝
n ＋1
a n ＋1
，证明：b 1＋b 2＋…＋b n ＜3． 【解】(1)当n ＝1时，2T 1＝4S 1－2，且T 1＝S 1＝a 1，解得a 1＝1，
当n ＝2时，2T 2＝2(a 1＋a 1＋a 2)＝4(a 1＋a 2)－6，解得a 2＝3， 当n ≥2时，2T n －1＝4S n －1－[(n －1)2＋(n －1)]
∴2S n ＝2T n －2T n －1＝4S n －(n 2＋n )－4S n －1＋[(n －1)2＋(n －1)] 整理得S n ＝2S n －1＋n ① 则S n ＋1＝2S n ＋n ＋1 ② 由②－①，得a n ＋1＝2a n ＋1， ∴a n ＋1＋1＝2(a n ＋1)，即
a n ＋1＋1
a n ＋1
＝2(n ≥2)，
显然a 2＋1
a 1＋1
＝2，
∴数列{a n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列，
(2)由(1)知，a n ＋1＝2n ，则b n ＝
n ＋1
2n
．
则b 1＋b 2＋…＋b n ＝22＋322＋423…＋n ＋1
2n ，
令T n ＝22＋322＋423…＋n ＋1
2
n ，①
则12T n ＝ 222＋323＋424…＋n 2n ＋n ＋1
2n ＋1，② 由①－②，得12T n ＝1＋122＋123＋124…＋12n －n ＋12n ＋1
＝1＋122(1－1
2n －1)1－
12－n ＋12n ＋1＝32－n ＋32n ＋1＜3
2
则T n ＜3，即b 1＋b 2＋…＋b n ＜3． 方向二：已知等式在整理过程中需要因式分解
此类问题大多数时候会伴随“各项均为正数的数列{a n }”这样的条件，运用在因式分解后对因式进行符号的判定，对因式进行的取舍．
1．(2015·山东青岛一模)各项均为正数的数列{a n }满足a 2n ＝4S n －2a n －1(n ∈N *)，其中S n 为{a n }的前n 项和．
(1)求a 1，a 2的值； (2)求数列{a n }的通项公式．
【解】(1)当n ＝1时，T 1＝2S 1－1；又T 1＝S 1＝a 1，则a 1＝2a 1－1，解得a 1＝1；
(2)当n ≥2时，S n ＝T n －T n －1＝(2S n －n 2)－[2S n －1－(n －1)2]＝2S n －2S n －1－2n ＋1， 整理得S n ＝2S n －1＋2n －1 ① ∴S n ＋1＝2S n ＋2n ＋1 ② 由②－①，得a n ＋1＝2a n ＋2 ∴a n ＋1＋2＝2(a n ＋2)，即a n ＋1＋2
a n ＋2
＝2(n ≥2)
又T 2＝2S 2－4；得a 2＝4
当n ＝1时，a 1＋2＝3，a 2＋2＝6，则a 1＋2
a 2＋2
＝2，
∴数列{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列． 则a n ＋2＝3·2n －1，所以a n ＝3·2n －1－2．
2．已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且S n ＝a n (a n ＋1)
2
，n ∈N *．
(1)求证：数列{a n }是等差数列；
(2)设b n ＝1
2S n
，T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ，求T n ．
【解】(1)由已知得，当n ＝1时，a 1＝S 1＝
a 1(a 1＋1)
2
(a n ＞0)，∴a 1＝1．
当n ≥2时，由⎩⎨⎧
2S n ＝a 2
n ＋a n ，2S n －1＝a 2
n －1＋a n －1
得2a n ＝a 2n ＋a n －a 2
n －1－a n －1． 即(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0，
∵a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝1(n ≥2)．
所以数列{a n }是以1为首项，1为公差的等差数列． (2)由(1)可得a n ＝n ，S n ＝
n (n ＋1)
2，b n ＝12S n ＝1n (n ＋1)＝1n －1
n ＋1
．
∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n ＝1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝1－1n ＋1＝n
n ＋1．
方向三：需对已知等式变形后，再求解
1．(2015·江西五校联考)已知正项数列{a n }中，其前n 项和为S n ，且a n ＝2
S n －1． (1)求数列{a n }的通项公式； (2)设b n ＝
1
a n ·a n+1，T n =
b 1
＋b 2＋b 3＋…＋b n ，求T n ．
【解】(1)由已知得，4S n ＝(a n ＋1)2．
当n ≥2时，4S n －1＝(a n －1＋1)2，
则4S n －4S n －1＝(a n ＋1)2－(a n －1＋1)2，整理得 (a n －1)2－(a n －1＋1)2＝0， ∴(a n －a n －1－2)(a n ＋a n －1)＝0 又a n ＞0，则a n －a n －1＝2，
当n ＝1时，4S 1＝(a 1＋1)2，得a 1＝1； 故数列{a n }是首项为1，公差为2的等差数列； ∴a n ＝2n －1．
(2)由(1)可得b n ＝1a n ·a n+1＝12n －1×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2n －1－12n ＋1，
∴T n ＝1b 1＋1b 2＋1b 3＋…＋1
b n
＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2n －1－12n ＋1
＝12⎝
⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝
n 2n ＋1． 2．(2015·浙江温州中学月考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，已知a 1＝2，a 2＝8，S n ＋1＋4S n －1＝5S n (n ≥2)，T n 是数列{log 2a n }的前n 项和．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求T n ．
【解】(1)当n ≥2时，S n ＋1＋4S n －1＝5S n ，
∴S n ＋1－S n ＝4(S n －S n －1)，即a n ＋1＝4a n ， 当n ＝1时，a 2＝4a 1；
故数列{a n }是以2为首项，4为公比的等比数列． ∴a n ＝2·4n －1＝22n －1．
(2)由(1)可知log 2a n ＝log 222n －1＝2n －1， ∴T n ＝log 2a 1＋log 2a 2＋log 2a 3＋…＋log 2a n
＝1＋3＋5＋…＋2n －1 ＝
n (1＋2n －1)
2
＝n 2．
3．(2015·江西三县联考)已知数列{a n }的各项均为正数，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3
＋…＋a n ＋1，C (n )=a 3＋a 4＋…＋a n ＋2，其中n ∈N *．
(1)若a 1＝1，a 2＝5，且对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )依次组成等差数列，求数列{a n }的通项公式；
(2) a 1＝1，对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )依次组成公比为q 的等比数列，求数列{a n }的前n 项和A n ．
【解】(1)∵任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )依次组成等差数列，
∴B (n )－A (n )＝C (n )－B (n )，
则a n ＋1－a 1＝a n ＋2－a 2，即a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝4， 故数列{a n }是首项为1，公差为4的等差数列； ∴a n ＝1＋(n －1)×4＝4n －3．
(2)若对任意n ∈N *，三个数A (n )，B (n )，C (n )依次组成公比为q 的等比数列， ∴B (n )＝qA (n )，C (n )＝qB (n )， 则C (n )－B (n )＝q [B (n )－A (n )]，
得a n ＋2－a 2＝q (a n ＋1－a 1)，即a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1， 当n ＝1时，由B (1)＝qA (1)，可得a 2＝qa 1； 则a n ＋2－qa n ＋1＝a 2－qa 1＝0，又a n ＞0，则
a n ＋2a n ＋1＝a 2
a 1
＝q ， 故数列{a n }是以1为首项，q 为公比的等比数列．
∴A n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
n ，q ＝1，1－q n
1－q
，q ≠1.
4．(2015·辽宁沈阳诊断考试)设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝10，a n ＋1＝9S n ＋10． (1)求证：{lg a n }是等差数列；
(2)设T n 是数列⎩⎪⎨
⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫3(lg a n )(lg a n ＋1)的前n 项和，求T n ； (3)求使T n ＞1
4(m 2－5m )对所有的n ∈N *恒成立的整数m 的取值集合．
【解】(1)证明：当n ≥2时，a n ＝9S n －1＋10，
∴a n ＋1－a n ＝9(S n －S n －1)，则a n ＋1＝10a n ，即a n ＋1
a n
＝10， 当n ＝1时，a 2＝9a 1＋10＝100，则
a 2
a 1
＝10， 故数列{a n }是以10为首项，10为公比的等比数列． ∴a n ＝10n ，则lg a n ＝n ， ∴lg a n ＋1－lg a n ＝n ＋1－n ＝1，
故数列{lg a n }是首项为1，公差为1的等差数列．
(2)解：由(1)知3(lg a n )(lg a n ＋1)＝3n n ＋1＝3⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
n －1n ＋1，
∴T n ＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝3⎝ ⎛
⎭⎪⎫1－1n ＋1＝
3n n ＋1． (3)∵T n ＝
3n n ＋1＝3－3
n ＋1
， ∴当n ＝1时，T n 取最小值3
2
．
依题意有32＞14
(m 2
－5m )，解得－1＜m ＜6，
故整数m 的取值集合为{0,1,2,3,4,5}．
1．(2015·江苏扬州外国语中学模拟)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n －3，则数列{a n }的通项公式为 ．
【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －3－2n －1＋3＝2n －1．当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1，不满足上式．
【答案】a n ＝⎩⎨⎧
－1，n ＝12n －1，n ≥2
2．(2015·辽宁沈阳二中月考)已知数列{a n }满足a 1＋a 2
2
＋…＋
a n
n
＝a 2n －1，求数列{a n }的通项公式． 【解】当n ≥2时，a 1＋
a 2
2
＋…＋
a n －1
n －1
＝a 2n －2－1 由已知等式减去上式，得a n
n
＝a 2n －1－a 2n －2＋1＝(a 2－1)a 2n －2， ∴a n ＝n (a 2－1)a 2n －2，
当n ＝1时，a 1＝a 2－1，满足上式； ∴a n ＝n (a 2－1)a 2n －2．
3．(2015·安徽江淮十校联考)已知函数f (x )是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x ，y 都有f (x ·y )= f (x )＋f (y )，若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足f (S n ＋2)－f (a n )= f (3)(n ∈N *)，则a n 为( )
A ．2n －1
B ．n
C ．2n －1
D ．⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1
【解析】由f (x ·y )= f (x )＋f (y )，f (S n ＋2)－f (a n )= f (3)，得S n ＋2＝3a n ，S n －1＋2＝3a n －1(n ≥2)，两
式相减得2a n ＝3a n －1；当n ＝1时，S 1＋2＝3a 1＝a 1＋2，则a 1＝1．所以数列{a n }是首项为1，公比为3
2
的
等比数列．
【答案】a n ＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫32n －1
4．(2015·辽宁鞍山二中期中)设数列{a n }是等差数列，数列{b n }的前n 项和S n 满足S n ＝3
2(b n －1)，
且a 2＝b 1，a 5＝b 2．
(1)求数列{a n }和{b n }的通项公式；
(2)设c n ＝a n ·b n ，T n 为{c n }的前n 项和，求T n ． 【解】(1)当n ≥2时，S n －1＝3
2
(b n －1－1)，
则b n ＝S n －S n －1＝32(b n －1)－3
2(b n －1－1)，整理得b n ＝3b n －1，
当n ＝1时，b 1＝3
2(b 1－1)，解得b 1＝3；
故数列{b n }是以3为首项，3为公比的等比数列． ∴b n ＝3n ，
设等差数列{a n }的公差为d ，由a 2＝b 1＝3，a 5＝b 2＝9，
则⎩⎨⎧
a 1＋d ＝3，a 1
＋4d ＝3，解得d ＝2，a 1＝1，∴a n ＝2n －1，
∴a n ＝2n －1，b n ＝3n ．
(2)由(1)知c n ＝a n ·b n ＝(2n －1)·3n ，
∴T n ＝3＋3·32＋5·33＋…＋(2n －1)·3n ，①
3T n ＝ 32＋3·33＋5·34＋…＋(2n －3)·3n ＋(2n －1)·3n ＋1，② 由①－②，得
－2T n ＝3＋2(32＋33＋…＋3n )－(2n －1)·3n ＋1
＝3＋2×32(1－3 n －1)1－3－(2n －1)·3n ＋1＝(2－2n )·3n ＋1－6，
∴T n ＝(n －1) 3n ＋1＋3．
5．在数列{a n }中，已知a 1＝1，a n ＝2(a n －1＋a n －2＋…＋a 2＋a 1) (n ≥2，n ∈N *)，则数列的通项公式是 ．
【解析】由已知n ≥2时，a n ＝2S n －1 ①；当n ≥3时，a n －1＝2S n －2 ②
①－②整理得a n a n －1＝3 (n ≥3)，∴a n ＝⎩⎨⎧
1， n ＝1，
2×3n －2， n ≥2.
【答案】a n ＝⎩
⎨⎧
1， n ＝1，
2×3n －2
， n ≥2. 6．(2015·广东桂城摸底)已知各项均为正数的数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 2n ＋a n ＝2S n ． (1)求a 1；
(2)求数列{a n }的通项公式；
(3)若b n ＝1
a 2n (n ∈N *)，T n ＝
b 1＋b 2＋…＋b n ，求证：T n ＜53．⎝ ⎛⎭
⎪⎫提示：1n 2＜2⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2n －1－12n ＋1
【解】(1)当n ＝1时，a 21＋a 1＝2S 1，且a n ＞0，得a 1＝1；
(2)当n ≥2时，a 2n －1＋a n －1＝2S n －1 ①；且a 2
n ＋a n ＝2S n ②；
由②－①，得(a n ＋a n －1)(a n －a n －1－1)＝0， 又a n ＞0，则a n －a n －1＝1，
故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列； ∴a n ＝n ．
(3)证明：由(2)知，b n ＝
1
a 2n ＝1
n
2，
当n ＝1时，b 1＝1＜5
3
，不等式成立；
当n ≥2时，1n 2＜1n 2－
14
＝44n 2－1＝2⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2n －1－12n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋…＋b n ＝1＋122＋132＋…＋1n 2＜1＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋15－1
7…＋12n －1－12n ＋1＜1＋23＝5
3
， ∴T n ＜53
7．(2015·大连双基测试)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________． 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1，当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1，因此a n ＝
⎩
⎨
⎧
4，n ＝1，
2n ＋1，n ≥2. 【答案】⎩⎨⎧
4，n ＝12n ＋1，n ≥2
8．(2014·烟台一模)已知数列{a n }前n 项和为S n ，首项为a 1，且1
2，a n ，S n 成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)数列{b n }满足b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)，求数列⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫1b n 的前n 项和．
【解】(1)∵12，a n ，S n 成等差数列，∴2a n ＝S n ＋1
2
，
当n ＝1时，2a 1＝S 1＋12，∴a 1＝12，
当n ≥2时，S n ＝2a n －12，S n －1＝2a n －1－1
2，
两式相减得：a n ＝S n －S n －1＝2a n －2a n －1，∴
a n
a n －1
＝2， 所以数列{a n }是首项为12，公比为2的等比数列，即a n ＝1
2
×2n －1＝2n －2．
(2)∵b n ＝(log 2a 2n ＋1)×(log 2a 2n ＋3)＝(log 222n ＋1－2)×(log 222n ＋3－2)＝(2n －1)(2n ＋1)， ∴1
b n ＝12n －1×12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2n －1－12n ＋1，
∴数列⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪
⎫1b n 的前n 项和
T n ＝
1
b 1
＋
1
b 2
＋
1
b 3
＋…＋
1
b n ＝12⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2n －1－12n ＋1＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12n ＋1＝
n
2n ＋1
．
9．(2014·山西四校联考)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，S n ＝2a n －n ，则a n ＝________． 【解析】当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2a n －n －2a n －1＋(n －1)，即a n ＝2a n －1＋1，∴a n ＋1＝2(a n －1
＋1)，
∴数列{a n ＋1}是首项为a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，∴a n ＋1＝2·2n －1＝2n ，∴a n ＝2n －1．
【答案】2n －1
10．(2014·湖南卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n
2
，n ∈N *．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设b n ＝2a n ＋(－1)n a n ，求数列{b n }的前2n 项和． 【解】(1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝
n 2＋n
2
－
n －1
2
＋n －1
2
＝n ．
又a 1＝1满足上式，故数列{a n }的通项公式为a n ＝n ． (2)由(1)知，b n ＝2n ＋(－1)n n ，记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ， 则T 2n ＝(21＋22＋…＋22n )＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．
记A ＝21
＋22
＋ (22)
，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝21－22n
1－2
＝22n ＋1－2，
B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n ．
故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2．
11．已知数列{a n }是各项均为正数的等比数列，a 3＝4，{a n }的前3项和为7． (1)求数列{a n }的通项公式；
(2)若a 1b 1＋a 2b 2＋…＋a n b n ＝(2n －3)2n ＋3，设数列{b n }的前n 项和为S n ，求证：1S 1＋1S 2＋…＋1
S n
≤2
－1n
．
【解】(1)设数列{a n }的公比为q ，由已知得q >0，且⎩⎨⎧ a 1q 2＝4，a 1＋a 1q ＋4＝7，∴⎩
⎨⎧
a 1＝1，
q ＝2.
∴数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －1．
(2)【证明】当n ＝1时，a 1b 1＝1，且a 1＝1，解得b 1＝1．
当n ≥2时，a n b n ＝(2n －3)2n ＋3－(2n －2－3)2n －1－3＝(2n －1)·2n －1．
∵a n ＝2n －1，∴当n ≥2时，b n ＝2n －1． ∵b 1＝1＝2×1－1满足b n ＝2n －1， ∴数列{b n }的通项公式为b n ＝2n －1(n ∈N *)． ∴数列{b n }是首项为1，公差为2的等差数列． ∴S n ＝n 2．
∴当n ＝1时，1S 1＝1＝2－1
1
．
当n ≥2时，1
S n ＝1
n 2＜1n (n －1)＝1n －1－1
n
．
∴1S 1＋1S 2＋…＋1S n ≤2－11＋11－12＋…＋1n －1－1n ＝2－1n ． 12．设数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＝S n
n
＋2 (n －1) (n ∈N *)． (1)求证：数列{a n }为等差数列，并分别写出a n 和S n 关于n 的表达式；
(2)是否存在自然数n ，使得S 1＋S 22＋S 33＋…＋S n
n －(n －1)2＝2 013？若存在，求出n 的值；若不存在，
请说明理由．
【解】(1)由a n ＝S n n
＋2(n －1)，得S n ＝na n －2n (n －1) (n ∈N *)．
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝na n －(n －1)a n －1－4(n －1)，即a n －a n －1＝4， 故数列{a n }是以1为首项，以4为公差的等差数列． 于是，a n ＝4n －3，S n ＝
a 1＋a n n
2
＝2n 2－n (n ∈N *)．
(2)由S n ＝na n －2n (n －1)，得S n
n
＝2n －1 (n ∈N *)，
又S 1＋S 22＋S 33＋…＋S n
n －(n －1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n －1)－(n －1)2＝n 2－(n －1)2＝2n －1．
令2n －1＝2 013，得n ＝1 007，即存在满足条件的自然数n ＝1 007．
1．已知S n 为正项数列{a n }的前n 项和，且满足S n ＝12a 2n ＋12a n (n ∈N *
)． (1)求a 1，a 2，a 3，a 4的值； (2)求数列{a n }的通项公式．
【解】(1)由S n ＝12a 2n ＋12a n ，可得a 1
＝12a 21＋1
2a 1
，解得a 1＝1； S 2＝a 1＋a 2＝12a 22＋12
a 2，解得a 2＝2；同理，a 3＝3，a 4＝4．
(2)S n ＝12a 2n ＋1
2a n
，①
当n ≥2时，S n －1＝12a 2n －1＋1
2a n －1，②
①－②得(a n －a n －1－1)(a n ＋a n －1)＝0． 由于a n ＋a n －1≠0，所以a n －a n －1＝1， 又由(1)知a 1＝1，
故数列{a n }是首项为1，公差为1的等差数列，故a n ＝n ．
2．在数列{a n }中，a 1＝－5，a 2＝－2，记A (n )＝a 1＋a 2＋…＋a n ，B (n )＝a 2＋a 3＋…＋a n ＋1，C (n )＝a 3＋a 4＋…＋a n ＋2(n ∈N *)，若对于任意n ∈N *，A (n )，B (n )，C (n )成等差数列．
(1)求数列{a n }的通项公式； (2)求数列{|a n |}的前n 项和．
【解】(1)根据题意A (n )，B (n )，C (n )成等差数列，∴A (n )＋C (n )＝2B (n )，
整理得a n ＋2－a n ＋1＝a 2－a 1＝－2＋5＝3， ∴数列{a n }是首项为－5，公差为3的等差数列， ∴a n ＝－5＋3(n －1)＝3n －8．
(2)|a n |＝⎩⎨⎧
－3n ＋8，n ≤2，
3n －8，n ≥3，
记数列{|a n |}的前n 项和为S n ．
当n ≤2时，S n ＝
n 5＋8－3n
2＝－3n 22＋132
n ；
当n ≥3时，S n ＝7＋
n －2
1＋3n －82＝3n 22－13
2
n ＋14，
综上，S n
＝⎩⎪⎨⎪⎧
－32n 2
＋13
2
n ，n ≤2，32n 2
－13
2n ＋14，n ≥3.
3．(2014·广东卷)设各项均为正数的数列{a n } 的前n 项和为S n ，且 S n 满足 S 2n －(n 2
＋n －3)S n －
3(n 2＋n )＝0，n ∈N *．
(1)求a 1 的值；
(2)求数列{a n } 的通项公式；
(3)证明：对一切正整数n ，有
1
a 1
a 1＋1＋
1
a 2a 2＋1＋…＋
1
a n a n ＋1<1
3
．
【解】(1)由题意知，S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *
．
令n ＝1，有S 21－(12＋1－3)S 1－3×(12
＋1)＝0，
可得S 21＋S 1－6＝0，解得S 1＝－3或2，即a 1＝－3或2， 又a n 为正数，所以a 1＝2．
(2)由S 2n －(n 2＋n －3)S n －3(n 2＋n )＝0，n ∈N *可得，
(S n ＋3)(S n －n 2－n )＝0，则S n ＝n 2＋n 或S n ＝－3， 又数列{a n }的各项均为正数，
∴S n ＝n 2＋n ，S n －1＝(n －1)2＋(n －1)，
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n －[(n －1)2＋(n －1)]＝2n ． 又a 1＝2＝2×1，所以a n ＝2n ． (3)证明：当n ＝1时，1a 1
a 1＋1＝12×3＝16＜1
3成立；
当n ≥2时，1
a n a n ＋1
＝
12n 2n ＋1
＜1
2n －1
2n ＋1＝12⎝ ⎛⎭
⎪⎫1
2n －1－12n ＋1，
∴
1
a 1a 1＋1
＋
1
a 2
a 2＋1
＋…＋
1
a n a n ＋1
＜16＋12⎣⎢⎡⎦
⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫13－15＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2n －1－12n ＋1
＝16＋12⎝ ⎛⎭⎪⎫1
3－12n ＋1＜16＋16＝13
． 所以对一切正整数n ，有
1
a 1
a 1＋1＋
1
a 2a 2＋1＋…＋
1
a n a n ＋1＜1
3
．。