正弦定理和余弦定理课件PPT人教版
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[分析] 根据 x 的范围，比较 x2＋x＋1，x2－1 及 2x＋1 的 大小，确定出最大边，再利用余弦定理计算．
[解析] ∵x>1，∴(x2＋x＋1)－(x2－1)＝x＋2>0， (x2＋x＋1)－(2x＋1)＝x2－x＝x(x－1)>0. ∴x2＋x＋1 是三角形中的最大边． 该边所对的角是最大角，设此最大角为 A， 则 cosA＝x2－12＋2x22－x＋1122x－＋x12＋x＋12＝－12， ∵0°<A<180°， ∴A＝120°， 即三角形的最大角为 120°.
课堂典例讲练
思路方法技巧
已知两边和夹角解三角形
在△ABC 中，边 a、b、c 所对的角分别为 A、
B、C，b＝3，c＝5，A＝120°，则 a＝( )
A．7
B. 19
C．49
D．19
[答案] A
[解析] a2＝b2＋c2－2bccosA＝9＋25－2×3×5cos120°＝ 49，∴a＝7.
[点评] 已知两边及其夹角解三角形时，先用余弦定理求 出第三边，再用正弦定理求其它角，或用余弦定理求其它角．
建模应用引路
判断三角形的形状
在 △ ABC 中 ， 若 b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC，试判断△ABC 的形状．
[分析] 思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关 系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系．
[解析] 解法一：∵b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC， ∴利用正弦定理可得 sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sinB·sinC·cosB·cosC， ∵sinBsinC≠0，∴sinB·sinC＝cosBcosC， ∴cos(B＋C)＝0，∴cosA＝0， ∵0<A<π，∴A＝2π，∴△ABC 为直角三角形．
在△ABC 中，sinA B C＝
，则△ABC 是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
[答案] C
[解析] 由正弦定理，得 a b c＝
B C＝
设 a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，由于 c>b>a，故角 C 是△ABC 中最大的角，
因为 cosC＝b2＋2aa2b－c2＝5k22＋×53kk×2－3k7k2 ＝－12<0， 所以 C>90°，即△ABC 为钝角三角形
新课引入
问题：在△ABC 中，AC＝2，BC＝ 3，C＝30°，能否直接利 用正弦定理求得 AB?
[答案] 不能直接利用正弦定理求得 AB. 为了解决上面的问题，本节我们将学习另一个很重要的定理 ——余弦定理.
自主预习
1.余弦定理 在三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2＝__b_2_＋__c_2－__2_b_c_c_o_s_A__， b2＝_c_2_＋__a_2_－__2_a_cc_o_s_B__，c2＝__a_2＋__b_2_－__2_a_b_c_o_s_C___.
边长为 5、7、8 的三角形中，最大角与最小角的和是________．
[答案] 120°
[解析] 设中间角为 θ，由于 8>7>5，故 θ 的对边的长为 7， 由余弦定理，得 cosθ＝522＋×852×－872＝12.所以 θ＝60°，故另外两角和 为 180°－60°＝120°.
3．余弦定理与勾股定理的关系 在△ABC 中，由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC，若角 C ＝90°，则 cosC＝0，于是 c2＝a2＋b2－2a·b·0＝a2＋b2，这说明勾 股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广． 规律：设 c 是△ABC 中最大的边(或 C 是△ABC 中最大的角)， 则 a2＋b2<c2⇔△ABC 是钝角三角形，且角 C 为钝角； a2＋b2＝c2⇔△ABC 是直角三角形，且角 C 为直角； a2＋b2>c2⇔△ABC 是锐角三角形，且角 C 为锐角．
第一章
解三角形
第一章
1．1 正弦定理和余弦定理
第一章
第 2 课时 余弦定理
温故知新
在△ABC 中，AC＝2，BC＝ 3，A＝60°，则 AB＝________.
[答案] 1
[解析] 由正弦定理，得sBinCA＝sAinCB， ∴ 33＝si2nB，∴sinB＝1，
2 ∴B＝90°.∴C＝30°，∴AB＝1.
(1)在△ABC 中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则 AC 等于________．
[答案] 13
[解析] 由条件已知三角形的两边及其夹角，故可以直接利用 余弦定理求得边 AC，即 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝16＋9－ 2×4×3×12＝13.
∴AC＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ13.
(2)解答新课引入中的问题．
已知△ABC 中，a＝1，b＝1，C＝120°，则边 c＝________.
[答案] 3 [解析] 由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋1－ 2×1×1×(－12)＝3，∴c＝ 3.
已知三边解三角形
在△ABC 中：(1)a＝3，b＝4，c＝ 37，求最 大角；
(2)a:b:c＝1: 3:2，求 A、B、C. [解析] (1)∵ 37>4>3，边 c 最大，则角 C 最大， 又 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝322＋×432×－437＝－12. ∴最大角 C＝120°.
(2)由于 a:b:c＝1: 3:2， 可设 a＝x，b＝ 3x，c＝2x. 由余弦定理的推论，得 cosA＝b2＋2cb2c－a2 ＝32x×2＋43xx2×－2xx2＝ 23，故 A＝30°. 同理可求得 cosB＝12，cosC＝0，所以 B＝60°，C＝90°.
已知三角形的三边长分别为 x2＋x＋1，x2－1 和 2x＋ 1(x>1)，求这个三角形的最大角．
[解析] 由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝4＋ 3－2×2× 3× 23＝1，∴AB＝1.
2．余弦定理的推论
b2＋c2－a2
根据余弦定理，可以得到以下推论：cosA＝_____2_b_c__，cosB
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
＝____2_a_c___，cosC＝____2_a_b___.
[解析] ∵x>1，∴(x2＋x＋1)－(x2－1)＝x＋2>0， (x2＋x＋1)－(2x＋1)＝x2－x＝x(x－1)>0. ∴x2＋x＋1 是三角形中的最大边． 该边所对的角是最大角，设此最大角为 A， 则 cosA＝x2－12＋2x22－x＋1122x－＋x12＋x＋12＝－12， ∵0°<A<180°， ∴A＝120°， 即三角形的最大角为 120°.
课堂典例讲练
思路方法技巧
已知两边和夹角解三角形
在△ABC 中，边 a、b、c 所对的角分别为 A、
B、C，b＝3，c＝5，A＝120°，则 a＝( )
A．7
B. 19
C．49
D．19
[答案] A
[解析] a2＝b2＋c2－2bccosA＝9＋25－2×3×5cos120°＝ 49，∴a＝7.
[点评] 已知两边及其夹角解三角形时，先用余弦定理求 出第三边，再用正弦定理求其它角，或用余弦定理求其它角．
建模应用引路
判断三角形的形状
在 △ ABC 中 ， 若 b2sin2C ＋ c2sin2B ＝ 2bccosBcosC，试判断△ABC 的形状．
[分析] 思路一，利用正弦定理将已知等式化为角的关 系；思路二，利用余弦定理将已知等式化为边的关系．
[解析] 解法一：∵b2sin2C＋c2sin2B＝2bccosBcosC， ∴利用正弦定理可得 sin2Bsin2C＋sin2Csin2B＝2sinB·sinC·cosB·cosC， ∵sinBsinC≠0，∴sinB·sinC＝cosBcosC， ∴cos(B＋C)＝0，∴cosA＝0， ∵0<A<π，∴A＝2π，∴△ABC 为直角三角形．
在△ABC 中，sinA B C＝
，则△ABC 是( )
A．锐角三角形
B．直角三角形
C．钝角三角形
D．无法确定
[答案] C
[解析] 由正弦定理，得 a b c＝
B C＝
设 a＝3k，b＝5k，c＝7k(k>0)，由于 c>b>a，故角 C 是△ABC 中最大的角，
因为 cosC＝b2＋2aa2b－c2＝5k22＋×53kk×2－3k7k2 ＝－12<0， 所以 C>90°，即△ABC 为钝角三角形
新课引入
问题：在△ABC 中，AC＝2，BC＝ 3，C＝30°，能否直接利 用正弦定理求得 AB?
[答案] 不能直接利用正弦定理求得 AB. 为了解决上面的问题，本节我们将学习另一个很重要的定理 ——余弦定理.
自主预习
1.余弦定理 在三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这 两边与它们夹角的余弦的积的两倍，即 a2＝__b_2_＋__c_2－__2_b_c_c_o_s_A__， b2＝_c_2_＋__a_2_－__2_a_cc_o_s_B__，c2＝__a_2＋__b_2_－__2_a_b_c_o_s_C___.
边长为 5、7、8 的三角形中，最大角与最小角的和是________．
[答案] 120°
[解析] 设中间角为 θ，由于 8>7>5，故 θ 的对边的长为 7， 由余弦定理，得 cosθ＝522＋×852×－872＝12.所以 θ＝60°，故另外两角和 为 180°－60°＝120°.
3．余弦定理与勾股定理的关系 在△ABC 中，由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC，若角 C ＝90°，则 cosC＝0，于是 c2＝a2＋b2－2a·b·0＝a2＋b2，这说明勾 股定理是余弦定理的特例，余弦定理是勾股定理的推广． 规律：设 c 是△ABC 中最大的边(或 C 是△ABC 中最大的角)， 则 a2＋b2<c2⇔△ABC 是钝角三角形，且角 C 为钝角； a2＋b2＝c2⇔△ABC 是直角三角形，且角 C 为直角； a2＋b2>c2⇔△ABC 是锐角三角形，且角 C 为锐角．
第一章
解三角形
第一章
1．1 正弦定理和余弦定理
第一章
第 2 课时 余弦定理
温故知新
在△ABC 中，AC＝2，BC＝ 3，A＝60°，则 AB＝________.
[答案] 1
[解析] 由正弦定理，得sBinCA＝sAinCB， ∴ 33＝si2nB，∴sinB＝1，
2 ∴B＝90°.∴C＝30°，∴AB＝1.
(1)在△ABC 中，AB＝4，BC＝3，B＝60°，则 AC 等于________．
[答案] 13
[解析] 由条件已知三角形的两边及其夹角，故可以直接利用 余弦定理求得边 AC，即 AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcosB＝16＋9－ 2×4×3×12＝13.
∴AC＝ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ13.
(2)解答新课引入中的问题．
已知△ABC 中，a＝1，b＝1，C＝120°，则边 c＝________.
[答案] 3 [解析] 由余弦定理，得 c2＝a2＋b2－2abcosC＝1＋1－ 2×1×1×(－12)＝3，∴c＝ 3.
已知三边解三角形
在△ABC 中：(1)a＝3，b＝4，c＝ 37，求最 大角；
(2)a:b:c＝1: 3:2，求 A、B、C. [解析] (1)∵ 37>4>3，边 c 最大，则角 C 最大， 又 cosC＝a2＋2ba2b－c2＝322＋×432×－437＝－12. ∴最大角 C＝120°.
(2)由于 a:b:c＝1: 3:2， 可设 a＝x，b＝ 3x，c＝2x. 由余弦定理的推论，得 cosA＝b2＋2cb2c－a2 ＝32x×2＋43xx2×－2xx2＝ 23，故 A＝30°. 同理可求得 cosB＝12，cosC＝0，所以 B＝60°，C＝90°.
已知三角形的三边长分别为 x2＋x＋1，x2－1 和 2x＋ 1(x>1)，求这个三角形的最大角．
[解析] 由余弦定理，得 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcosC＝4＋ 3－2×2× 3× 23＝1，∴AB＝1.
2．余弦定理的推论
b2＋c2－a2
根据余弦定理，可以得到以下推论：cosA＝_____2_b_c__，cosB
a2＋c2－b2
a2＋b2－c2
＝____2_a_c___，cosC＝____2_a_b___.