线面垂直习题精选
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创作编号:
GB8878185555334563BT9125XW
创作者: 凤呜大王*
线面垂直的证明中的找线技巧
◆
通过计算,运用勾股定理寻求线线垂直 1 如图1,在正方体
1111ABCD A B C D -中,M 为1CC 的中点,
AC 交BD 于点O ,求证:1A O ⊥平面MBD . 证明:连结MO ,1A M
,∵DB ⊥
1A A ,DB ⊥AC ,1A A
AC A =,
∴DB ⊥平面
11A ACC ,而1
AO ⊂平面11A ACC ∴DB ⊥1A O . 设正方体棱长为a ,则22132A O a =,2
234MO a =.
在Rt △11A C M 中,2
21
94
A M a =.∵22211A O MO A M +=,∴1
AO OM ⊥. ∵OM ∩DB =O ,∴ 1A O ⊥平面MBD . 评注:在证明垂直关系时,有时可以利用棱长、角度大小等数据,通过计算来证明.
◆
利用面面垂直寻求线面垂直
2 如图2,P 是△ABC 所在平面外的一点,且PA ⊥平面ABC ,平面PAC ⊥平面PBC .求证:BC ⊥平面PAC .
证明:在平面PAC 内作AD ⊥PC 交PC 于D .
因为平面PAC ⊥平面PBC ,且两平面交于PC ,
AD ⊂平面PAC ,且AD ⊥PC , 由面面垂直的性质,得AD ⊥平面PBC . 又∵BC ⊂
平面PBC ,∴AD ⊥BC .
∵PA ⊥平面ABC ,BC ⊂平面ABC ,∴PA ⊥BC . ∵AD ∩PA =A ,∴BC ⊥平面PAC .
(另外还可证BC 分别与相交直线AD ,AC 垂直,从而得到BC ⊥平面PAC ).
评注:已知条件是线面垂直和面面垂直,要证明两条直线垂直,应将两条直线中的一条纳入一个平面中,使另一条直线与该平面垂直,即从线面垂直得到线线垂直.在空间图形中,高一级的垂直关系中蕴含着低一级的垂直关系,通过本题可以看到,面面垂直⇒线面垂直⇒线线垂直.
一般来说,线线垂直或面面垂直都可转化为线面垂直来分析解决,其关系为:线线垂直
−−−→←−−−判定性质线面垂直−−−→←−−−判定性质
面面垂直.这三者之间的关系非常密切,可以互相转化,从前面推出后面是判定定理,而从后面推出前面是性质定理.同学们应当学会灵活应用这些定理证明问题.下面举例说明.
3 如图1所示,ABCD 为正方形,SA ⊥平面ABCD ,过A 且垂直于SC 的平面分别交SB SC SD
,,于E F G ,,.求证:AE SB ⊥,AG SD ⊥.
证明:∵SA ⊥平面ABCD , ∴SA BC ⊥.∵
AB BC ⊥,
∴BC ⊥平面SAB .又∵AE ⊂平面SAB ,∴BC AE ⊥.∵SC ⊥平面AEFG ,∴SC AE ⊥.∴AE ⊥平面SBC .∴AE SB ⊥.同理可证AG SD ⊥. 评注:本题欲证线线垂直,可转化为证线面垂直,在线线垂直与线面垂直的转化中,平面起到了关键作用,同学们应多注意考虑线和线所在平面的特征,从而顺利实现证明所需要的转化. 4 如图2,在三棱锥A-BCD 中,BC =AC ,AD =BD ,
作BE ⊥CD ,E为垂足,作AH ⊥BE 于H.求证:AH ⊥平面BCD . 证明:取AB 的中点F,连结CF ,DF . ∵AC
BC =,∴CF AB ⊥.
∵AD BD =,∴DF AB ⊥.
又CF DF F =,∴AB ⊥平面CDF . ∵CD ⊂平面CDF ,∴CD AB ⊥. 又CD BE ⊥,BE AB B =, ∴CD ⊥平面ABE ,CD AH ⊥.
∵AH CD ⊥,AH BE ⊥,CD BE E =,
∴ AH ⊥平面BCD .
评注:本题在运用判定定理证明线面垂直时,将问题转化为证明线线垂直;而证明线线垂直时,又转化为证明线面垂直.如此反复,直到证得结论.
5 如图3,AB 是圆O的直径,C是圆周上一点,PA ⊥平面ABC .若AE ⊥PC ,E为垂足,F是PB 上任意一点,求证:平面AEF ⊥平面PBC .
证明:∵AB 是圆O的直径,∴AC BC ⊥.
∵PA ⊥平面ABC ,BC
⊂平面ABC ,
∴PA BC ⊥.∴BC ⊥平面APC . ∵BC ⊂平面PBC ,
∴平面APC ⊥平面PBC .
∵AE ⊥PC ,平面APC ∩平面PBC =PC , ∴AE ⊥平面PBC .
∵AE ⊂平面AEF ,∴平面AEF ⊥平面PBC .
创作编号:
GB8878185555334563BT9125XW
创作者: 凤呜大王*
评注:证明两个平面垂直时,一般可先从现有的直线中寻找平面的垂线,即证线面垂直,而证线面垂直则需从已知条件出发寻找线线垂直的关系.
6. 空间四边形ABCD 中,若AB ⊥CD ,BC ⊥AD ,求证:AC ⊥BD
D
证明:过A 作AO ⊥平面BCD 于O
AB CD CD BO ⊥∴⊥, 同理BC ⊥DO ∴O 为△ABC 的垂心
于是BD CO BD AC ⊥⇒⊥
7. 证明:在正方体ABCD -A 1B 1C 1D 1中,A 1C ⊥平面BC 1D
A
C
证明:连结AC
BD AC ⊥
AC 为A 1C 在平面AC 上的射影
∴⊥⊥⎫
⎬⎭⇒⊥BD A C
A C BC A C BC D
11111同理可证平面
8. 如图,PA ⊥平面ABCD ,ABCD 是矩形,M 、N 分别是AB 、PC 的中点,求证:MN AB ⊥
C
. 证:取PD 中点E ,则
EN DC //
1
2
C
⇒EN AM //