数学人教版八年级下册四边形综合解题

四边形综合解题

一、 教学目标：

1、会从题目中抓住关键信息，结合图形，将已知信息在图上标记出来；

2、根据已知信息学会联想常用辅助线的方法；

3、根据已知信息分析所求结论的解决思路；

4、在解决问题的过程中，渗透数形结合的思想方法和德育教育。

二、 教学重点、难点：

重点：等腰三角形“三线合一”、全等三角形知识；

难点：数形结合的思想、截长补短方法。

三、教学手段：

通过引导学生分析题目，加强学生联想的思想，通过合情推理并引导学生“数形结合”，从而达到演绎推理。

四、教学过程：

1、 读已知条件，抓住关键信息并联想旧知识：

（1）“梯形ABCD, AD ∥BC ”.

AD 与BC 是梯形ABCD 的底. AD ∥BC 结合图形可以得到一些角

之间的关系: ∠BAD ＋∠ABC=180°,∠BCD ＋∠ADC=180°,

∠ADB=∠DBC.梯形的常用辅助线有:延长两腰;作一腰的平

行线;（过顶点）作底的垂线;平移一条对角线;腰上有中点

时可作梯形中位线或与另一腰的顶点连接并延长与一底的

延长线相交.

（2）“∠DCB=45°”结合（Ⅰ）易得∠ADC=135°

（3）“CD=2”应该跟计算线段的长度有关

（4）“BD ⊥CD ”∠BDC=90°,△BDC 是直角三角形,结合条件（1）、（2）可知∠ADB=∠DBC=45°,进一步可得DB=DC, △BDC 是等腰直角三角形, ∠DBC=∠DCB=45°, 等腰直角三角形与正方形关（绕斜边的中点旋转180°或沿斜边所在直线对称,与原三角形构成正方形）,直角边DC 绕直角顶点顺时针旋转90°与另一直角边DB 重合. 利用等腰三角形“三线合一”可看出等腰三角形的常用辅助线.结合（3）可得DB=2,BC=2

（5）“过点C 作CE ⊥AB 于E,交对角线BD 于F ” ∠BEC=90°, △BEC 、△BEF 是直角三角形,CE 与BD 相交形成两对对顶角∠BFE=∠DFC,∠EFD=∠CFB, △CDF 与△BEF 中可得∠FBE=∠DCF.

（6）“点G 为BC 的中点” 可得 BG=GC, 连接EG 后结合直角△BEC 可得EG= BG=GC=2

1BC 2、读所求结论，并进行合情推理：

“（1）求EG 的长”要求EG 的长,从读题的信息（6）中已得到解决

“（2）求证:CF=AB ＋AF”这是一个说明一条线段等于两条线段的和的问题.常规做法“截长补短”.如果截长就在CF 上①截CM=AB,证FM=AF,②截CM=AF,证FM=AB.若①截CM=AB （如图2）, 要证FM=AF,即证线段相等,证线段相等的方法有证两线段所在的三角形全等;可用在同一三角形的底角相等;可利用等量的性质;特殊的四边形的边角关系;……

若通过全等三角形,则需证△DAF ≌△DMF,由图可知DF=DF 要证边等,不可能用SSS,只能在SAS 、ASA 、AAS 中进行选择.若用SAS,还需DA=DM, ∠ADF=∠MDF.由（4）知,只须∠MDF=45°,则须∠MDC=45°,即须∠MDF=∠MDC =∠ADF=45°,要使∠MDC =∠ADF,这是证明角等的问题.证明角等的方法:通过证明三角形全等,等边对等角,平行,运用等量性质,特殊四边形的性质……. 若证明三角形全等,证△DAB ≌△DMC,由辅助线知CM=AB,由（4）知DB=DC,由（5）知∠FBE=∠DCF.于是问题得到解决.

3、 分析思路结构图：

4、 演绎推理并整理书写：

（1）

解 ∵ BD ⊥CD, ∠DCB=45°,

∴ ∠DBC=∠DCB=45°.

∴ DB=DC=2.

∴ 在Rt △BDC 中,BC=

∵ CE ⊥AB, 点G 为BC 的中点,

∴ EG=2

1BC=2

（2） 证明:在CF 上截CM=AB,连接DM

∵ CE ⊥AB, BD ⊥CD,

∴ ∠EBF ＋∠EFB =90°, ∠DFC ＋∠DCF =90°,

∵ ∠EFB =∠DFC,

∴ ∠EBF=∠DCF.

又∵ DB=DC, CM=AB,

∴ △DAB ≌△DMC （SAS ）.

∴DA=DM, ∠MDC =∠ADF,

∵AD∥BC, ∴∠ADF=∠DBC =45°,

∴∠MDC =45°.

∴∠MDF=∠DBC－∠MDC=90°－45°=45°.

∴∠MDF=∠ADB.

又∵DF=DF,

∴△DAF≌△DMF（SAS）.

∴FM=AF.

∴CF=CM＋FM=AB＋AF.

5、回顾并反思：

（1）本题第（1）小题中,运用了等角对等边,直角三角形两锐角的关系,勾股定理,直角三角形斜边的中线等于斜边的一半. 第（2）小题中,通过“截长”法添加辅助线,证两次三角形全等得到求证.运用了直角三角形两锐角的关系,对顶角相等,等量性质,全等三角形的性质,角之间的和差关系,平行线的性质等.

（2）从做题的过程和得到的结论中又得出的结论: ∠AFD=∠CFD.

（3）证明过程有需要删改的地方吗?我们发现,在得到DA=DM,结合∠MDF=∠ADB.若连接AM（如图3）,利用等腰三角形的“三线合一”可得:BD垂直平分AM,于是FA=FM.少证一次全等.

（4）由（3）引发对辅助线添法的思考.笔者认为:不同的视角会得到不同的辅助线,

①构造三角形全等的角度

若保持△DAB不变,根据“读题并分析”的信息,DB=DC, ∠EBF=∠DCF.可构造CM=AB或∠ADB=∠MDC或∠DAB=∠DMC.使得∆DAB≌∆DMC.进一步证明即可.其添辅助线后如图（2）.