初中一次函数分段函数典例

识别分段函数,解决收费问题

定义：一般地，如果有实数a1，a2，a3……k1,k,2k3……b1,b2,b3……且a1≤a2≤a3……函数Y与自变量X之间存在

k1x+b1 x≤a1

y = k2x+b2 a1≤x≤a2 ①的函数解析式，则称该函数解析式为X的分段函数。

K3x+b3 a2≤x≤a3

…………

应该指出:(一), 函数解析式①这个整体只是一个函数,并非是Y=K1X+b1 Y=K2X+b2……等几个不同函数的简单组合,而k1x+b1,k2x+b2……是函数Y的几种不同的表达式.。所以上例中Y=｛这个整体只是一个函数，不能认为它是两个不同的函数，只能说110X和110×80%X是同一函数中的自变量X在两种不同取值范围内的不同表达式。

(二),由于k1,k2,k3……b1,b2,b3是实数,所以函数Y在X的某个范围内的特殊函数,如正比例

函数和常数函数。

(三),由于问题的不同，当然分段函数也可能在自变量某范围内不是一次函数而是其他形式的函数，在这里我们不予讨论。

(四), 一次函数的分段函数是简单的分段函数。

分段函数应用题

分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论。在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型。

收费问题与我们的生活息息相关,如水费问题、电费问题、话费问题等，这些收费问题往往根据不同的用量，采用不同的收费方式.以收费为题材的数学问题多以分段函数的形式出现在中考试题中，下面请看几例.

一、话费中的分段函数

例1 （四川广元）某移动公司采用分段计费的方法来计算话费，月通话时间x（分钟）与相应话费y（元）之间的函数图象如图1所示：

（１）月通话为100分钟时，应交话费元；

（２）当x≥100时，求y与x之间的函数关系式；

（3）月通话为280分钟时，应交话费多少元？

图1

分析：本题是一道和话费有关的分段函数问题，通过图象可观察到，在0到100分钟之间月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的正比例函数,当x≥100时, 月话费y(元)是月通话时间x(分钟)的一次函数.

解：（1）观察图象可知月通话为100分钟时，应交话费40元；

（2）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b

由图上知：x=100时,y=40；x=200时,时，y=60

则有

40100

60200

k b

k b

=+

⎧

⎨

=+

⎩

,解之得

1

5

20

k

b

⎧

=

⎪

⎨

⎪=

⎩

所求函数关系式为

1

20

5

y x

=+..

（3）把x=280代入关系式

1

20

5

y x

=+,得

1

2802076

5

y

∴=⨯+=

即月通话为280分钟时，应交话费76元．

二、水费中的分段函数

例2（广东）某自来水公司为了鼓励居民节约用水，采取了按月用水量分段收费办法，某户居民应交水费y(元)与用水量x(吨)的函数关系如图2.

(1)分别写出当0≤x≤15和x≥15时,y与x的函数关系式;

(2)若某户该月用水21吨,则应交水费多少元?

分析:本题是一道与收水费有关的分段函数问题.观察图象可知, 0≤x≤15时y是x 的正比例函数; x≥15时,y是x的一次函数.

解: (1)当0≤x ≤15时,设y =kx ,把x =15,y =27代入,得27=15k ,所以k =5

9

1527=,所以

y =

5

9

x ;当x ≥15时,设y =ax +b ,将x =15,y =27和x =20,y =39.5代入,得

⎩

⎨

⎧=+=+5.3920,

2715b a b a 解得a =2.5,b =-10.5

所以y =2.5x -10.5 图2 (2) 当该用户该月用21吨水时, 三、电费中分段函数

例3 (广东)今年以来，广东大部分地区的电力紧缺，电力公司为鼓励市民节约用电，采取按月用电量分段收费办法，若某户居民每月应交电费y （元）与用电量x （度）的函数图象是一条折线（如图3所示），根据图象解下列问题：

（1）分别写出当0≤x ≤100和x ≥100时，y 与x 的函数关系式； （2）利用函数关系式，说明电力公司采取的收费标准；

（3）若该用户某月用电62度，则应缴费多少元？若该用户某月缴费105元时，则该用户该月用了多少度电？

图3

分析:从函数图象上看图象分为两段,当0≤x ≤100时,电费y 是电量x 的正比例函数,当x ≥100时,y 是x 的一次函数,且函数图象经过点(100,65)和(130,89),设出相应的函数关系式,将点的坐标代入即可确定函数关系式,根据函数关系式可解决问题.

解: (1)设当0≤x ≤100时,函数关系式为y =kx ,将x =100,y =65代入,得k =0.65,所以y =0.65x ;

设当x ≥100时,函数关系式为y =a x +b,将x =100,y =65和x =130,y =89代入,得

⎩

⎨

⎧=+=+.89130,

65100b a b a 解得a=0.8,b=-15.所以y =0.8x -15