余弦定理优秀课件
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余弦定理
[复习回顾]
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等。 a b c
sin A sin B sinC
用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？ ①两角和一边，②两边和其中一边的对角。
思考：如果在一个斜三角形中，已知两边及 这两边的夹角，能否用正弦定理解这个三角形， 为什么？
解：由余弦定理得：
a 2 b 2 c 2 42 52 62 1 (1) cos C 0 2ab 2 45 8 C是锐角
（2）由（ 1 ）知：C是锐角， 根据大边对大角， C是ABC中的最大角 ABC是锐角三角形
变式训练：
在△ABC中，若a 为（ ）
2
b c ，则△ABC的形状
例1：若已知b=8,c=3,A= 60 ,能求a吗？
2 2 2bccos A a c 解： b
2
82 32 283cos60 49 a 7
思考：余弦定理还有别的用途吗？ 若已知a,b,c,可以求什么？
余弦定理的变形：
2 c a cos A b 2bc 2 2 2 a c b cos B 2ac 2 2 2 cosC a b c 2ab
2 2
例2、在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6, 求A，B，C（精确到1 ）
分析：已知三边，求三个角，可用余弦定理的变形来 解决问题 2 2 2 2 2 2 解： c a b 10 6 7 0.725 cos A
A 44
2bc
2106
B 100
出发， 证得b
2
a2 c2 2accos B
[解析法]
y
(bcosC,bsinC)
证明：以CB所在的直 线为x轴，过C点垂直 ﹚ x 于CB的直线为y轴， (0，0) (a,0) 建立如图所示的坐标 系，则A、B、C三点 的坐标分别为： C (0, 0) B (a, 0) A(b cos C , b sin C )
B中： cosC 2
2 2 2
13 练习：在三角形ABC中，已知a=7,b=8,cosC= 14 ,
求最大角的余弦值
分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角 是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边, 找到最大角。
2 2 2abcosC c a b 解： 72 82 27813 9 14 c 3
CB
2 2 2 2
AB AC AB AC 2 AB AC
AB
2 2
A
B
2 2
A
Ａ、钝角三角形
Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形
Ｄ、不能确定
判断三角形的形状
2 c a 推论：cos A b 2bc 2 2
C
b A
2 2 2
a
B
提炼：设a是最长的边，则
2 2
c
2
△ABC是钝角三角形 b c a 0 △ABC是锐角三角形 b c a 0 △ABC是直角三角形 b c a 0
32
B 180 A B 5830
(2)角A会有两解吗？
2 2 2
练习：一钝角三角形的边长为连续自然数， 则这三边长为（ B ）
A、1，2，3 B、2，3，4 C、 3 ， 4 ， 5 D、 4 ， 5 ， 6 分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项 中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。 A、C显然不满足
3 4 1 ，所以C是钝角 4 223 2 2 2 D中：cosC 4 5 6 1 ，所以C是锐角， 245 8 因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形
在锐角三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,求a
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2 (cbcos A)2
b a
b sin
2
A
c
D
B
b cos A2bccos A b2c22bccos A
2
2A 2 2 c
2
2 2 2accos B a c 同理有： b
2 2
a = b + c -2 b cco sA b = a + c -2 a cco sB
2 2 2
2
y
﹚
(0，0) (a,0)
x
几何法
余弦定理作为勾股定理的 推广，考虑借助勾股定理来 证明余弦定理。
当角C为锐角时 A 当角C为钝角时 A c b B D
C
b
a
A
c
B
b
C
c
a D
C
a
B
[几何法]
2 2 2 2 2 2 a cos B c b 7 6 10 0.178 2ac 276
C 180 A B 36
练一练：
1、已知△ABC的三边为 求它的最大内角。 、2、1，
,b=2,c=1
变一变：
则最大内角为∠A
解：不妨设三角形的三边分别为a= 12+22- ( )2
a b c 不能，在正弦定理 sin A sin B sinC 中，已
知两边及这两边的夹角，正弦定理的任一等号两边 都有两个未知量。
那么，怎么解这个三角形呢？
[向量法]
学过向量之后，我们能用向量的方法 C 给予证明余弦定理。
已知AB,AC和它们的夹角A，求CB
CB AB AC 证明：
由余弦定理 若已知三边的比是 :2:1, 1 = -— cosA= 2 2×2×1 又怎么求？ ∴ A=120°
归纳：
（1）已知三边，求三个角 （2）已知两边和它们的夹角，求第三边， 进而还可求其它两个角。
利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状
c2 a2b22abcosC
同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个 等式成立的，课后请同学们自己证明。
余弦定理
2 2 2bccos A a b c 2 2 2 2accos B b a c 2 2 2 2abcosC c a b
2
用语言描述：三角形任何一边的平方等于 其它两边的平方和, 再减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍。
AC 2 AB AC
COS
A
即 a2 b2 c2 2bccos A 同理，从
AC BC BA 2 从 AB CBCA 出发，证得 c2 a2 b 2abcosC
2
则有：b是最大边，那么B 是最大角
2 2 2 2 2 2 a cos B c b 3 7 8 1 2ac 237 7
[小结]
（1）余弦定理适用于任何三角形 （2）余弦定理的作用：
a、已知三边，求三个角
b、已知两边及这两边的夹角，求第三边， 进而可求出其它两个角
c、判断三角形的形状
（3）由余弦定理可知：
A90 b 2 c 2 a 2 0 A90 b 2 c 2 wenku.baidu.com a 2 0 A 90 b 2 c 2 a 2 0
运用
正余弦定理在解三角形中能 解决哪些问题？
角边角 角角边 边边角
正弦定理
余弦定理
边角边
边边边
[数学运用]
例2、在三角形ABC中，已知a=2.730,b=3.696,C= 82 分析：已知两边和两边的夹角
28
,
解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到 1 ）
2 2 2abcosC c a b 解： 2.7302 3.6962 22.7303.696cos8228
2
c 4.297
2 2 2 2 2 2 c a b 3.696 4.297 2.730 cos A 0.7767 23.6964.297 2bc A 2 思考: (1)还可怎样求角A？
[解析法]
AB (b cosC a) (b sin C 0)
2 2
2 2 2
2
2
b cos C 2ab cosC a b sin C
2
a 2 b 2 2ab cosC 2 2 2 ∴c = a + b -2 a b co sC
同理：
(bcosC,bsinC)
[复习回顾]
正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对 角的正弦的比相等。 a b c
sin A sin B sinC
用正弦定理解三角形需要已知哪些条件？ ①两角和一边，②两边和其中一边的对角。
思考：如果在一个斜三角形中，已知两边及 这两边的夹角，能否用正弦定理解这个三角形， 为什么？
解：由余弦定理得：
a 2 b 2 c 2 42 52 62 1 (1) cos C 0 2ab 2 45 8 C是锐角
（2）由（ 1 ）知：C是锐角， 根据大边对大角， C是ABC中的最大角 ABC是锐角三角形
变式训练：
在△ABC中，若a 为（ ）
2
b c ，则△ABC的形状
例1：若已知b=8,c=3,A= 60 ,能求a吗？
2 2 2bccos A a c 解： b
2
82 32 283cos60 49 a 7
思考：余弦定理还有别的用途吗？ 若已知a,b,c,可以求什么？
余弦定理的变形：
2 c a cos A b 2bc 2 2 2 a c b cos B 2ac 2 2 2 cosC a b c 2ab
2 2
例2、在三角形ABC中，已知a=7,b=10,c=6, 求A，B，C（精确到1 ）
分析：已知三边，求三个角，可用余弦定理的变形来 解决问题 2 2 2 2 2 2 解： c a b 10 6 7 0.725 cos A
A 44
2bc
2106
B 100
出发， 证得b
2
a2 c2 2accos B
[解析法]
y
(bcosC,bsinC)
证明：以CB所在的直 线为x轴，过C点垂直 ﹚ x 于CB的直线为y轴， (0，0) (a,0) 建立如图所示的坐标 系，则A、B、C三点 的坐标分别为： C (0, 0) B (a, 0) A(b cos C , b sin C )
B中： cosC 2
2 2 2
13 练习：在三角形ABC中，已知a=7,b=8,cosC= 14 ,
求最大角的余弦值
分析：求最大角的余弦值，最主要的是判断哪个角 是最大角。由大边对大角，已知两边可求出第三边, 找到最大角。
2 2 2abcosC c a b 解： 72 82 27813 9 14 c 3
CB
2 2 2 2
AB AC AB AC 2 AB AC
AB
2 2
A
B
2 2
A
Ａ、钝角三角形
Ｃ、锐角三角形
Ｂ、直角三角形
Ｄ、不能确定
判断三角形的形状
2 c a 推论：cos A b 2bc 2 2
C
b A
2 2 2
a
B
提炼：设a是最长的边，则
2 2
c
2
△ABC是钝角三角形 b c a 0 △ABC是锐角三角形 b c a 0 △ABC是直角三角形 b c a 0
32
B 180 A B 5830
(2)角A会有两解吗？
2 2 2
练习：一钝角三角形的边长为连续自然数， 则这三边长为（ B ）
A、1，2，3 B、2，3，4 C、 3 ， 4 ， 5 D、 4 ， 5 ， 6 分析： 要看哪一组符合要求，只需检验哪一个选项 中的最大角是钝角，即该角的余弦值小于0。 A、C显然不满足
3 4 1 ，所以C是钝角 4 223 2 2 2 D中：cosC 4 5 6 1 ，所以C是锐角， 245 8 因此以4，5，6为三边长的三角形是锐角三角形
在锐角三角形ABC中，已知AB=c,AC=b和A,求a
C
a2 CD2 BD2
(bsin A)2 (cbcos A)2
b a
b sin
2
A
c
D
B
b cos A2bccos A b2c22bccos A
2
2A 2 2 c
2
2 2 2accos B a c 同理有： b
2 2
a = b + c -2 b cco sA b = a + c -2 a cco sB
2 2 2
2
y
﹚
(0，0) (a,0)
x
几何法
余弦定理作为勾股定理的 推广，考虑借助勾股定理来 证明余弦定理。
当角C为锐角时 A 当角C为钝角时 A c b B D
C
b
a
A
c
B
b
C
c
a D
C
a
B
[几何法]
2 2 2 2 2 2 a cos B c b 7 6 10 0.178 2ac 276
C 180 A B 36
练一练：
1、已知△ABC的三边为 求它的最大内角。 、2、1，
,b=2,c=1
变一变：
则最大内角为∠A
解：不妨设三角形的三边分别为a= 12+22- ( )2
a b c 不能，在正弦定理 sin A sin B sinC 中，已
知两边及这两边的夹角，正弦定理的任一等号两边 都有两个未知量。
那么，怎么解这个三角形呢？
[向量法]
学过向量之后，我们能用向量的方法 C 给予证明余弦定理。
已知AB,AC和它们的夹角A，求CB
CB AB AC 证明：
由余弦定理 若已知三边的比是 :2:1, 1 = -— cosA= 2 2×2×1 又怎么求？ ∴ A=120°
归纳：
（1）已知三边，求三个角 （2）已知两边和它们的夹角，求第三边， 进而还可求其它两个角。
利用余弦定理可以解决以下两类有关三角形的问题：
例3、在△ABC中,若a=4、b=5、c=6 （1)试判断角C是什么角？ （2）判断△ABC的形状
c2 a2b22abcosC
同样，对于钝角三角形及直角三角形，上面三个 等式成立的，课后请同学们自己证明。
余弦定理
2 2 2bccos A a b c 2 2 2 2accos B b a c 2 2 2 2abcosC c a b
2
用语言描述：三角形任何一边的平方等于 其它两边的平方和, 再减去这两边与它们夹 角的余弦的积的两倍。
AC 2 AB AC
COS
A
即 a2 b2 c2 2bccos A 同理，从
AC BC BA 2 从 AB CBCA 出发，证得 c2 a2 b 2abcosC
2
则有：b是最大边，那么B 是最大角
2 2 2 2 2 2 a cos B c b 3 7 8 1 2ac 237 7
[小结]
（1）余弦定理适用于任何三角形 （2）余弦定理的作用：
a、已知三边，求三个角
b、已知两边及这两边的夹角，求第三边， 进而可求出其它两个角
c、判断三角形的形状
（3）由余弦定理可知：
A90 b 2 c 2 a 2 0 A90 b 2 c 2 wenku.baidu.com a 2 0 A 90 b 2 c 2 a 2 0
运用
正余弦定理在解三角形中能 解决哪些问题？
角边角 角角边 边边角
正弦定理
余弦定理
边角边
边边边
[数学运用]
例2、在三角形ABC中，已知a=2.730,b=3.696,C= 82 分析：已知两边和两边的夹角
28
,
解这个三角形（边长保留四个有效数字，角度精确到 1 ）
2 2 2abcosC c a b 解： 2.7302 3.6962 22.7303.696cos8228
2
c 4.297
2 2 2 2 2 2 c a b 3.696 4.297 2.730 cos A 0.7767 23.6964.297 2bc A 2 思考: (1)还可怎样求角A？
[解析法]
AB (b cosC a) (b sin C 0)
2 2
2 2 2
2
2
b cos C 2ab cosC a b sin C
2
a 2 b 2 2ab cosC 2 2 2 ∴c = a + b -2 a b co sC
同理：
(bcosC,bsinC)