关于城市房价问题的数学模型

关于城市房价问题的数学模型
2011上海第二工业大学数学建模竞赛
承诺书
我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则.
我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。

我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。

我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。

如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。

我们参赛选择的题号是（从A/B/C中选择一项填写）： B
我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：
所属学校（请填写完整的全名）：上海第二工业大学
参赛队员(打印并签名) ：1. 汪剑
2. 侯珏
3. 黄荣蓉
指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：
日期： 2011 年 5 月 6 日
关于城市房价问题的数学模型
摘要
作为一名在校大学生，在面临激烈就业竞争的同时，我们还要面对一个牵扯到我们幸福的问题，那就是住房。

为什么会出现蜗居的现象，最主要的原因就是房价。

房价，目前看来虽然离我们在校大学生还很遥远，但是，我们迟早有一天会走出校园，步入社会，所以也不得不去提前面对住房问题。

房地产业，其运行状态不仅影响着我国国民经济的发展速度和水平，更关系到居民的生活质量以及社会治安的稳定，因此，房价问题无疑是人们维持生计的头等大事。

同时。

房价也是房地产市场的最重要和最直接的反映，由于房价的变化是非常复杂的经济问题，并且经济、自然和社会等因素对房地产开发具有后效性影响，使得房价与影响其变化的经济变量之间的定量关系无法精确表达。

针对上述问题，我们对此运用线性回归模型进行分析，并据此给出理论解释。

通过分析我们知道，在众多因素的影响之下，我们找出影响房价上涨的因素:土地及建设成本，居民收入，房价利润，人口因素，投机行为，国家政策等，我们据此提出一些建设性建议。

比如政府可以通过加大宏观调控，如：提高利率，增大二套房的购买难度，并帮助消费者改善心理预期，防止投机者继续投机获利干预市场，通过这些措施来抑制房价非正常上涨。

小组经过讨论，将通过层次分析法与线性回归模型对房价进行分析和预测，其中我们将用层次分析法来分析出影响房价的主要因素，并在问题二中将较主要因素与房价通过统计回归模型建立关系，并对房价进行预测。

在最后我们将通过问题一和问题二中的结论以及相关资料分析解决问题三。

问题重述：
住房问题关系国计民生，既是经济问题，更是影响社会稳定的重要民生问
题。

有的城市房价过高，上涨过快，加大了居民通过市场解决住房问题的难度，而部分投机者通过各种融资渠道买入房屋囤积，期望获得高额利润，这导致房价居高不下。

因此，如何有效遏制房价过快上涨，遏制房地产投机，是一个备受关注的社会问题。

为此，国家出台了一系列调控政策。

现在请你就以下几个方面的问题进行讨论：
1、通过分析找出影响房价的主要原因，并建立一个城市房价的数学模型，对房价的形成、演化和房地产投机进行分析。

2、选择某一地区（如北京、上海、深圳），调查近些年（如2000年至2010年）房价变化情况，并根据你所调查的数据，预测下一阶段（如2011年）该地区房价的走势。

3、请根据国家和各地方政府的一系列调控房价的政策（如购房贷款政策等等）出台的时间与房价的变化情况，分析这些政策对调控房价所起的作用。

关键词：层次分析法统计回归MATLAB
问题1分析
本问是要求我们通过分析相关数据，来找出影响房价的主要原因。

同时，根据得出的结论深入细致的分析房价形成、演化机理和房地产投机。

针对本问，我们利用了网络等相关资源，查找各主导因素间的变化关系，确立变量，通过建立层次分析模型，找到主要因素。

首先，我们知道，要去逐一分析每一种经济影响房价的因素是不可能办到的，只能抓住主要因素去着重分析。

所以我们经互联网搜索及查阅相关资料，并经过小组成员讨论大致得出以下几条对房价的影响产生主导作用的因素：土地价格和建设成本、居民收入、消费者需求、国家政策等。

我们从相关资料中获取了大量数据，从实际出发来看这些数据可以作为理论支撑的基础，因此给我们得模型提供了数据依靠。

（1）我们通过当前现状分析，构建层次分析模型进行理论说明，图形如下：
影响房价的原因的层次分析模型
说明：
房价利润M1；人口因素M5; 税收政策M9;
土地及建设成本M2；住房环境M6; 房价：C层
投机行为M3；货币政策M7；中间层：O层
居民收入M4；土地政策M8; 下层：M层
房地产商期望O1 消费者需求O2 国家政策O3
(2)①建立判断矩阵C={O1,O2,O3}表示准则中3个影响因素。

A是三阶正互反矩阵，其最大特征值λ=3，相应的特征向量作归一化，
W1=(0.5414,0.2857,0.1419)T
②建立判断矩阵O1={M1,M2,M3}表示准则中3个影响因素。

用MATLAB 对判断矩阵进行一致性检验： 一致性指标:
max λ=3.0092
CI =
max
3
31
λ-=-0.0046
经查表得RI=0.58
CR=CI
RI
=0.0079<0.1 所以矩阵B 可当做正互反矩阵使用。

经过MATLAB 求得权重W2=T
(0.5396,0.2970,0.1634) ③建立判断矩阵O2={M4,M5,M6}表示准则中3个影响因素。

用MATLAB 对判断矩阵进行一致性检验： 一致性指标:
max λ=2.8955
CI =
max 3
31
λ-=-0.0526
经查表得RI=0.58
CR=CI RI
=0.0901<0.1
所以矩阵C可当做正互反矩阵使用。

经过MATLAB求得权重W3=(0.6578,0.2320,0.1102)T
④建立判断矩阵O3={M7,M8,M9}表示准则中3个影响因素。

用MATLAB对判断矩阵进行一致性检验：
一致性指标: max
λ=3.1079
CI =max
3
31
λ-
=
-
0.0539
经查表得RI=0.58
CR=
CI
RI
=0.0930<0.1
所以矩阵D可当做正互反矩阵使用。

经过MATLAB求得权重W4=(0.6817,0.2363,0.0819)T
（3）综合排序：因为已经求出W是方案层对目标层的权重，可以体现不同因素对房价的影响程度，按大小排序可以得出解决方案。

（4）九种影响因素的排列顺序：已知方案层对目标层的权重W= W1*Wk(k=2,3,4)，所以可以得出九种因素的排名情况为：
由表格可知，其影响房价的主要因素为土地及建设成本、房价利润、居民收入和国家政策。

其中最主要的影响因素是土地及建设成本。

我们就根据这一结果来分析一下房价的形成、演化机理及房地产投机。

实际上整个过程一再前面模型及数学表达式中描述了，这里我们结果更明显提出来，在模型的建立过程中，发现土地价格与建设成本和房价呈线形关系，且这部分占房价的很大一部分，房地产上对价格的预测也是土地价格与建设成本的具体体现。

当土地价格与建设成本越高，直接导致房价升高，反之也成立。

具体房价升高多少，在国家政策调控的环境下，是由房地产商决定的，当房地产商们恶意升高房价时，就会进入房地产投机时期。

在不断恶意炒高房价的同时赚取大笔资金，在这过程中投机者门开始了这一恶性循环，导致房价居高不下。

所谓的投机就是存在一个价值与价格不等的投资机会，投机者门就是把握了这个机会，比较低价格购进房产或土地修建房产，囤积待价格成高标价格后销售，赚取差价来获得暴利。

问题2分析
房价的高低涉及社会生活中多方面的经济利益,也是百姓生活中关注比较多､比较重要的问题之一｡能否较为准确地预测未来房价,对社会经济发展和人民生活极其重要。

问题二是对房价的走势进行估计和预测。

需要我们去搜集2000年至2010年平均房价的数据以及在这些年中几种因素的数据变化情况，进而帮助我们来更好的分析这个问题。

首先，我们根据题目提示，我们把北京市地区的房价情况定为具体研究城市的房价情况，然后再继续考虑接下来的数据代入
计算等步骤。

针对本问，我们一定要具备的资料就是该城市的历年房价的真实数据，从而才能真正意义上的通过建立模型、求解，拟算出下一阶段该城市的房价走势。

通过分析，本题我们采用统计回归的模型，来预测下一年房价的变化趋势。

对于北京市，我们调查了2000年至2010年房价变化情况，并根据我们所调查的数据，预测下一阶段（如2011年）该地区房价的走势。

并且我们依据不同的因素，将会采用2种方案来预测，从而使得方案更加合理。

由上图可得如下表格：
年份土地及建设成
本占房价比
（%）房价（元/平方
米）
土地及建设成
本（元/平方
米）
房价利润（元/
平方米）
2000 76 3800 2888912 2001 75 4000 30001000 2002 73 4200 30661134 2003 78 3900 3042858 2004 78 4500 3510990
2005 73 5800 42341566
2006 78 7200 56161584
2007 77 13000 100102990
2008 78 11000 85802420
2009 76 23800 180885712
2010 78 28000 218406160
方案一：通过查资料，我们得到了上面的一张关于北京朝阳区最近10年的房
价变化曲线，把数据制作成表格的形式，在对曲线的分析中，并且我们将选取问题一中分析出的三个主要因素来通过统计回归模型找出房价与它们之间的关系并最终预测三者如何影响房价变化。

根据问题一中分析可得三个因素为：房价利润、居民收入、土地及建设成本，因为它们与房价呈线性关系，所以它们的线性的组合仍为线性，故我们选用多元线性方程来建立此模型。

用最小二乘法对房价和影响房价的各个因素进行线性拟合，得
（1）房价（y）与土地价格及建设成本（x1）之间的关系
回归方程: y=1.2889X1+101.3221
相关系数: r=0.9945567314 正相关很强
相关指数: R^2=0.989143092 回归效果很好
（2）房价（y）与房价利润（x2）之间的关系
回归方程: y=5.2076X2-491.2862
相关系数: r=0.99455673140 正相关很强.
相关指数: R^2=0.989143092 回归效果很好.
（3)房价（y）居民收入（x3）之间的关系
回归方程：y=22X3-2.3895
相关系数：r=0.90191185821066 正相关很强
相关指数：R^2=0.813445 回归效果很好
2.由以上三个方程组合在一起，我们建立如下线性回归模型，其表达式为：Y=β0+β1X1+β2X2+β3X3+ξ
利用各年数据，对线性方程组进行求解，确定自变量的系数，即求出β0、β1、β2、β3的值。

全国平均房价与各量的数据如下表所示
（2001年至2010年数据统计）
将以
上数据
代入公
式利用
MATLAB
求解如
图所
示：
参数参数估计值参数置信区间
β0562.1132 [-668.1000 1792.3000]
β1 1.0836 [ 0.900 1.300]
β20.9455 [ 0.200 1.700]
β3-0.5067 [ -1.500 0.500] R^2=0.999821 F=11194.979 P<0.0001
得方程式：Y=562.1132+1.0836X1+0.9455X2-0.5067X3
我们再次通过对时间与三个因素的数据进行最小二乘法拟合，得到三个因素在2011年的预测值，并把数据天如下表中。

其中各个因素具体数据如下：
通
过
方
程，
把
个
因
素
的
数
据
代
入，得到2011年的房价为24386（元/平方米）。

方案二：通过查资料，我们得到了一张关于北京楼市最近10年的房价变化曲线，把数据制作成表格的形式，在对曲线的分析中，我们将通过北京市的年份（2000-2010）与房价变化的关系并通过统计回归建立二次型方程，并用最小二乘法进行拟合，最后通过方程预测北京市房价的狭义阶段情况（如2011年），如下：
2000年到2010年北京市房价数据
年数0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 价格3800 4000 4200 3900 4500 5800 7200 13000 11000 23800 28000
Y=β + β0X + β1X2+ε
利用MATLAB求解，得出参数值
>> x=0:1:10;
y=[3800 4000 4200 3900 4500 5800 7200 13000 11000 23800 28000];
A=polyfit(x,y,2)
z=polyval(A,11)
plot(x,y,'k+',x,z,'r')
A =1.0e+003 *
0.4241 -2.0458 5.3119
z =3.4127e+004
用MATLAB得到
的拟合曲线如图
所示
所以曲线方程是
2
Y=0.4241 -2.0458 X + 5.3119X
通过曲线方程预测2011年的北京市的房价（X=11）在34127 元/平方米左右。

通过上述两种方案我们可以看出，方案一由于考虑到的影响因素较多，其结果更贴近真实情况，而方案二只是将房价和时间进行线性拟合，由于房价与时间之间没有必然联系，故所得模型及结论与实际情况存在较大偏差。

所以我们小组一致认为方案一的可靠性较高。

问题3分析
我们小组通过查找历年相关资料发现，我国楼市今年来异常火爆，房地产价格过高已成为一个很大的民生问题。

所谓安居乐业，没有房子居住当然难以乐业了。

房地产市场是否过高，在国际上是有一个普遍的尺度去度量的。

一个是房价与收入比，再一个就是房价与房租比，考察这两个指标，中国的主要城市的房价都是过高的。

房价问题成为民生问题就必然会引起高层的重视了，调控房地产市场也就显得很迫切了。

为此，国家连续出台了多项商品房房价调控政策，以此来干预房地产商对商品房价格的制定。

为了方便突显国家房价调控政策对房价调控的能力和起到的作用，我们特意选取了多个不同时间点的具体地区的具体房价和同一时期所出台的调控政策来加以说明，如下：
北京市2008年至2010年平均房价
2008.10 20939 2010.03 24196 2008.11 20343 2010.04 24825 2008.12 20282 2010.05 25048 2009.01 20387 2010.06 25048 2009.02 20492 2010.07 25162 2009.03 20883 2010.08 25932 2009.04 20925 2010.09 26762 2009.05 21008 2010.10 27107 2009.06 21113 2010.11 27617 2009.07 21177 2010.12 28002
据
以
上
实
际
数
据，
我
们
利
用
MAT
LAB
软
件
画
出
了
“
时
间
—
房价”关系曲线：
我国2008至2010来出台的一些关于控制房价的相关政策
结果分析：通过分析国家对房价抑制政策出台以及房价变化图，我们得
到国家宏观调控政策在短期内可以取得一定的成效，即在一定程度上能够有效控制市场经济中房价的异常变动，在短期内，我们应该可以看到这个政策出台对房价上涨的抑制作用，因为它首先改变了人们的购买预期。

以前人心惶惶，怕房价上涨都争着买房，这种提前消费或者没能力消费都不是真实的需求，造成了房价虚高，政府出台这样一个政策，让老百姓心中有底。

但由于价格是由市场决定的，在长期效果和整体趋势上，政府调控不能够改变价格变动的本质和性质。

房价最终的变化要参考多种因素，政府政策只是一种短期影响因素。

经过小组成员之间的讨论及相关资料的帮助，我们可以得出这样的结论：国家宏观调控政策可以调整减缓房价的剧烈变化，但不能改变房价变化的发展方向。

在市场经济环境下，除非改变国家基本经济政策与市场的本质定位，才可能改变市场对价格的绝对作用，否则所有的一切都无法从根本上解决问题。

附录：
问题1中计算最大特征值程序：
format rat
a=
111213
212223
313233 a a a
a a a
a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
[v,d]=eig(a)
Max=max(max(d))
计算权重的程序：format rat
a=
111213
212223
313233 a a a
a a a
a a a ⎛⎫ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭
[x,y]=eig(a)
[m m]=find(y==max(max(y)))
w=x(:,m)/sum(x(:,m))
随机一致性指标RI的数值
问题2：土地与房价的一次拟合的MATLAB程序：
x=[3000 3066 3042 3510 4234 5616 10010 8580 18088 21840]
y=[4000 4200 3900 4500 5800 7200 13000 11000 23800 28000];
a=polyfit(x,y,1)
plot(x,y,'k+',x,z,'r')
土地与时间用MATLAB进行一次拟合进而得到2011年该因素的预测值：
x=1:1:10（10个年份）
y=[3000 3066 3042 3510 4234 5616 10010 8580 18088 21840] （每年相对应的值）a=polyfit(x,y,1)
z=polyval(a,11) （所得的预测值）
plot(x,y,'k+',x,z,'r')
用MATLAB求解Y=β0+β1X1+β2X2+β3X3中的参数的程序：
x1=[3000 3066 3042 3510 4234 5616 10010 8580 18088 21840]
x2=[800 1105 708 821 1360 1389 2702 2238 4688 5372]
x3=[1128 1184 1273 1402 1451 1564 1657 1795 2021 2320]
y=[4000 4200 3900 4500 5800 7200 13000 11000 23800 28000]
a=y/[x1;x2;x3;ones(size(x1))]
利用MATLAB统计工具箱中的regress求解回归方程的决定系数，统计量值和统计量对应的概率值：
x1=[3000 3066 3042 3510 4234 5616 10010 8580 18088 21840]
x2=[800 1105 708 821 1360 1389 2702 2238 4688 5372]
x3=[1128 1184 1273 1402 1451 1564 1657 1795 2021 2320]
y=[4000 4200 3900 4500 5800 7200 13000 11000 23800 28000]
[b,bint,r,rint,stats]=regress(y',[x1' x2' x3' ones(size(x1'))])。