金融工程讲稿(第三章CAPM模型)

第三章 两基金分离定理与资本资产定价模型

第二节 资本资产定价模型（CAPM ）

资本资产定价模型（CAPM ）是近代金融学的奠基石。1952年，马柯维茨（Herry M. Markowitz ）在其博士论文《投资组合的选择》一文中首先提出建立现代资产组合管理的理论，12年后，威廉·夏普（William Sharpe ）、约翰·林特纳（John Lintner ）与简·莫辛（Jan Mossin ）将其发展成资本资产定价模型。

马科维茨投资组合理论的中心是“分散原理”，他应用数学上的二维规划建立起一整套理论模型，系统地阐述了如何通过有效的分散化来选择最优投资组合的理论与方法。马科维茨的理论有一定的局限性：偏重于质的分析而缺乏量的分析，无从知道证券该分散到何种程度才能达到风险和收益的最佳组合。

夏普在此基础上对证券市场价格机制进行了积极深入的研究，于1964年建立了资本资产定价模型，较好地描述了证券市场上人们的行为准则，使证券均衡价格、证券收益——风险处于一种清晰的状态。该模型的重要意义是将数学引入了理性投资分析，为金融市场的发展和规范提供了依据。它所涉及到的数学理论并不是很复杂的，用一些积分和概率论的基础知识就可以解决，但它后来的发展远远超过了这些。

一、资本市场线

若不考虑无风险证券，符合正确投资策略的优化组合在有效组合边界上。加入无风险证券后，新的最优化组合的点一定落在连接f r 点和包含所有可能的有风险组合的双曲线所围区域及其边界的某一点的直线上。如图1，效用值最大的半直线一定是和有效组合边界相切的那一条。

图1

1、资本市场线的定义

与有效组合边界相切的那一条半直线构成了无风险证券和有风险资产组合的有效边界，这条半直线就被称为资本市场线（CAL —capital market line ）。 因为有系统风险存在，最小方差组合A 点不是无风险的，所以有结论：（1）有效组合边界和代表预期收益率大小的纵坐标轴不接触；（2）A 点的预期收益率高于无风险利率f r ，即A 点要高于代表无风险证券收益、落在纵轴上的坐标点

E(r) r

f r 。

当考虑无风险证券后，根据市场是否允许卖空无风险利率，新的有效组合将分成以下两种情况进行讨论：

（1）不允许卖空无风险利率时，资本市场线f r M 和原来的有效组合边界MB 部分构成新的有效组合。

（2）允许卖空无风险利率时，资本市场线f r MR 构成新的有效组合。资本市场线在切点M 右上方包含的投资组合，是卖空了无风险证券（即以无风险利率贷款）后，将所得的资金投资于M 点所代表的有风险资产组合。

设()M r E 和M σ分别为M 点所代表的有风险资产组合的预期收益率和标准差，有风险资产组合的投资资金比例为M ω，则投资于无风险证券的资金比例为M ω-1。那么加上无风险证券后的预期收益率和标准差()P r E 和P σ为：

()()P M f

M f P r r E r r E σσ-+= (1)

M M P σωσ= (2)

(1)式即为通过无风险利率点f r 与市场组合点M 的资本市场线的方程。 其斜率()M f

M r r E σ-就是夏普比（Sharpe ’s ratio ），表示单位市场风险的超额收

益率，夏普比越大越好。

2、两基金分离定理依然成立

其中一项基金是无风险证券，另一项是切点M 代表的有风险资产的组合。

3、结论

（1）资本市场线上任何一点所代表的投资组合都可以由一定比例的无风险证券和M 点所代表的有风险资产组合生成。

（2）最佳投资设计方案与投资者的收益/风险偏好无关，投资者的收益/风险偏好体现在组合中无风险证券所占的比重。

4、应用

只要找到切点M 代表的有风险资产的组合，再加上无风险证券，就能生成最佳投资方案。

二、市场组合

1、市场组合的定义

市场组合就是一个缩小了的市场盘子，它包含市场上存在的所有资产，且组合中各种资产的比例和市场上每种资产的总市值占所有资产总市值的比例相同。

有风险资产的市场组合是从市场组合中拿掉无风险证券后的组合。

在图1中，资本市场线与有风险资产的有效组合边界的切点M 所代表的资

产组合就是有风险资产的市场组合。

（1）任何市场上的资产都必然被包含在M点所代表的资产组合里。

（2）当市场均衡时，对任何一种资产都不会有过度的需求和过度的供给。

2、指数化投资

指数化投资是成熟证券市场的一种重要的投资方法，即完全按照证券价格指数所包含的证券构建投资组合来进行投资。

构筑指数化投资的步骤：（1）按照市场的组成比例构筑有风险资产的组合；（2）将资金按照投资者的收益/风险偏好分投到无风险证券和所构筑的有风险市场组合中。

指数化投资在选取目标跟踪指数的时候通常有两个基本要求，一是对其构成基本个体的要求，即对构成指数的成份股的具体要求，需要其具有良好的流动性、收益平稳性、样本稳定性、行业及市场代表性和未来成长性等；二是对目标指数作为一个整体的要求，需要目标指数能及时反映市场平均走势，指数波动程度小，走势平稳抗操纵，能具有较低的跟踪成本和较小的跟踪误差等等。

主动性投资不仅风险高，而且收益低；而指数化投资的多样化组合能够降低风险。指数化投资策略提供的是市场平均回报。而积极的投资策略是争取获得高于市场平均回报的收益，即击败市场，这只有在市场本身存在缺陷时才能实现。如果市场是充分有效率的，击败市场就是不可能的。

三、资本资产定价模型（CAPM）

资本资产定价模型讨论的是单项有风险资产在资本市场上的定价问题，该模型建立在一系列较为严格的假设条件下。

（一）假设条件

1、投资者通过投资组合在某一段时期内的预期收益率和标准差来评价这个投资组合。用收益率的期望来衡量收益的好坏，用方差来度量风险的大小，所以也称为均值—方差证券组合模型。

2、投资者永不满足，而且厌恶风险，其原则是收益一定时，风险最小化（单位收益的风险最小），风险一定时，收益最大化（单位风险的收益最大）。

3、市场处于完善的竞争状态——存在许多投资者，且每位投资者的财富份额都很小，所以投资者都是价格的接受者，不具备“做市”的力量。

4、所有投资者都有相同的投资期限，只计划持有投资资产一个相同的周期，他们只关心投资计划期内的情况，不考虑计划期以后的事情。

5、投资者只能交易公开交易的金融工具如股票、债券等，不把人力资本（教育）、私人企业、政府融资项目等考虑在内。

6、容许卖空无风险证券，即投资者可以不受限制地以固定的无风险利率借贷。

7、所有的投资工具都可以无限分割，如果投资者愿意，他可以单独买卖资产的任何一部分。

8、市场环境无摩擦——无税和无交易成本。

9、对于所有投资者而言，信息是免费的，而且是立即可得的。

10、所有投资者的行为都是理性的，都遵循马柯维茨的投资组合选择模型来优化自己的投资行为。

11、一致性预期——所有的投资者都以相同的观点和分析方法来对待各种投资工具，对所交易的金融工具未来收益现金流的概率分布、预期值和方差等都有相同的估计。