容斥原理万能解法之图示法

容斥原理之图示法

济南华图杨东时

为了使广大考生更好的准备2015年山东省公务员考试，我们为大家准备了数学运算中的一些解题技巧。

数学运算作为行测中的重要模块，数学运算中涉及到多种题型，但每种题型的出现频率有所差异，其中容斥原理相对来说出现的频率还是比较高的，但容斥原理中会出现各种不同的公式，不仅增加了学习的负担，更重要的是如果不能透彻的理解公式的适用条件，很可能用错，费时费力。所以容斥原理，重在理解！

容斥原理其实就是我们中学时所学的集合问题。主要包括两集合问题和三集合问题。容斥原理理解到位的话必须借助图示，并且我们所推导出来的公式也是来源于图示所以容斥原理的理解关键在于图示的理解！

一、两集合问题：

公式：满足条件A+满足条件B－两者都满足=总个数-两者都不满足

两集合的问题公式就是通过上图得到的:A,B所覆盖的面积=集合A+集合B-两集合重复的部分（即两者都满足的）=总个数-A,B都不满足

【真题】某科研单位共有68名科研人员，其中45人具有硕士以上学历，30人具有高级职称，12人兼而有之。没有高级职称也没有硕士以上学历的科研人员是多少人？（）

A. 13

B. 10

C. 8

D. 5

【解析】首先判定这是关于学历和职称的两集合问题。解法1：这道题给出的量完全符合两集合的公式，所以可以直接代入公式计算即：45+30-12=68-x

解出x=5。

解法2：图示法，根据图示A,B 对应的数值分别为45,30，重复的部分为12，则AB 都不满足的为68-（45+30-12）=5

二、三集合问题：

三集合问题较两集合的问题复杂，所以理解更为重要！

对应的标准公式：

公式对应的意义为ABC 所覆盖的面积为A,B,C3个面积和-重复部分（A ∩B,B ∩C,A ∩C ）这时最中间的部分多减了1次，再加上即为ABC 所覆盖的面积。

【真题】某专业有学生50人，现开设有甲、乙、丙三门选修课。有40人选修甲课程，36人选修乙课程，30人选修丙课程，兼选甲、乙两门课程的有28人，兼选甲、丙两门课程的有26人，兼选乙、丙两门课程的有24人，甲、乙、丙三门课程均选的有20人，问三门课程均未选的有多少人？（ ）

A.1人

B.2人

C.3人

D.4人

【解析】这个题目为三集合问题，通过分析题目给出的条件和问题都符合公式所以可以直接代入公式：40+36+30-28-26-24+20=50－x 解得x=2

这里需要注意的是满足条件AB 和只满足条件AB 的区别。公式中A ∩B 表示的是满足条件AB ，而只满足条件AB 的为下图右边所示的部分红色部分

三者都不满足的个数

总个数-|C B A ||C A |-|C B |-||-||||||||=+++= B A C B A C B A

满足条件AB只满足条件AB

如果三集合题目中的条件不能完全满足公式时，我们就需要借助图示来解题

根据上图我们可以得出ABC所覆盖的面积为ABC三个集合的面积-重复1次的部分（即红，蓝，绿三部分）-重复2次（黑色部分）

【真题】某乡镇对集贸市场36种食品进行检查，发现超过保质期的7种，防腐添加剂不合格的9种，产品外包装标识不规范的6种。其中，两项同时不合格的5种，三项同时不合格的2种。问三项全部合格的食品有多少种?（）

A. 14

B. 21

C. 23

D. 32

【解析】这个题目为三集合问题，通过分析题目给出的条件和问题不完全符合公式所以需要借助图示来分析题目：题目给出的是两项同时不合格即为只满足2项的有5种（为上图中红，蓝，绿三部分）三项同时不合格为2种（黑色部分）所以36－（6+7+9－5－2×2）=23

通过以上几个真题我们了解到无论题目给出的量是否符合公式，我们都可以用图示法来分析，所以理解好图示，特别是三集合的不同部分所代表的意义对于我们解决容斥问题具有很大的帮助！