数理经济学

《数理经济学》期末论文

市场模型的均衡分析初探

付青涛

数学与统计学学院

2010212353

目录

1.摘要1

2.正文 2

2.1 市场模型的初步建立 2

2.1.1 单商品市场模型 2

2.1.2 两种商品市场模型 2

2.2 比较静态分析 3

2.3 市场价格动态分析 5

3结语 6

4参考文献 6

1.摘要

在经济体系中，一个经济事务所处在各种经济力量的相互作用之中，如果有关经济事务各方面的各种力量能够相互制约或者相互抵消，那么该经济事务就处于相对静止状态，并将保持该状态不变，此时我们称该经济事务处于均衡状态1。

本文从局部但商品市场模型逐渐普遍为全局多商品市场模型，并用多重数学工具对其均衡进行探究。

本文涵盖的主要经济分析内容有：静态（或均衡）分析，比较静态分析，动态分析。其次本文为强调数学对经济学的价值，我们用相关数学方法演示解决市场模型均衡分析的各种问题，介绍了矩阵代数，微分方程等数学工具辅助本文过程及结果分析。

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2.正文

2.1 市场模型初步建立 2.1.1 单商品市场模型

首先只考虑一种商品，模型中只需包括三个变量：商品的需求量（d Q ）,商品的供给量（S Q ）以及该商品的价格（P ）根据一般市场规律，我们假定d Q 为P 的线性减函数，S Q 为P 的线性增函数，则在标准均衡条件d Q =S Q 下，转化为数学表达式，模型可以写成：

d Q =S Q ,

d Q =a-bP,(,0),(,0)

s a b Q c dP c d >=-+> （Ⅰ）2

然后我们求解三个内生变量d Q ，S Q ，和P

解的 *

P =

a c

b d ++ （1.1） *

Q =ad bc b d

-+ （1.2）

2.1.2两种商品市场模型

下面我们考虑两种商品的模型 （Ⅱ）

（求解及限制条件此处略）。

下面我们着重用各种均衡分析的方法，借助数学工具来对这些市场模型进行初步的分析。

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1210112210112222201122201122;

0,,,,

,d d d s d s d s Q Q Q a a P a P Q b b P b P Q Q Q c c P c P Q d d P d P -==++=++==++=++

2.2 比较静态分析

比较静态分析的核心问题，即求变化率的问题，当所考察的变量变化很小时，与求函数的导数问题相一致。首先，我们提出这样的问题：及当任意外生变量或参数发生变化是，内生变量的均衡值将如何变化？ 我们再一次考察模型（I ）

我们由上面已经给出的解（1.1）可以得出下面四个偏导数：

*1

P a b d ∂=∂+， *2

()

()P a c b b d ∂-+=∂+， *1

P c b d ∂=∂+， *2

()

()P a c d b d ∂-+=∂+， 在此模型中，因为所有参数被限定为正值，所以我们得到定论；

**P P a c ∂∂=∂∂>0 , **

P P b d

∂∂=∂∂<0. 这表明，当参数a 增加时，均衡价格**P 会高于原来均衡价格*

P ； 当参数b 增加时，均衡价格**P 会低于原来均衡价格*

P 。

上面我们由导数得到了均衡价格*

P 随参数变动的变动情况，实际上也可以得出*

Q 随参数变动的变动情况，但当我们把导数拆开，把dP 和dQ 看做一个单独的整体，我们便可以使用微分这个数学工具对市场模型进行弹性分析3。 我们定义需求的点弹性（用希腊字母d ε表示）为：

d

ε≡

//dP dQ

Q P

，

（上式右边已将微分dP 和dQ 重排成比率dP/dQ ，它是需求函数Q=f(P)的导数或边际函数，分母Q/P 看做需求函数的平均函数） 如果

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> 有弹性 当d ε = 1，需求在该点

为单位弹性

< 缺乏弹性

在上面单商品的分析时，我们讨论了这样一种情况：模型内生变量的均衡只可由外生变量和参数显示表示，而且，简单的偏微分就可以解决全部问题，但是，当模型含有以一般形式存在的函数时，由于难以得到显示解，偏微分技术显然不够用，因此我们下面用全微分，隐函数法来分析一般市场模型的均衡问题。 首先，建立一般均衡模型：4

00,

(,)(/0;/0),()(/0).

d s d s Q Q Q D P Y D P D Y Q S P dS dP ==∂∂<∂∂>=> 假设函数D 和S 都有连续的偏导数，并且有限制条件知道供给函数为严格单调增函数。类似的，需求函数表明他是收入和价格的严格增函数。

我们运用隐函数定理，联立方程组的方法及克莱姆法则可以解得： 首先将模型重排为

1002

0F P,Q;Y =D P Y -Q=F P,Q;Y =S P -Q=（）（，）0，

（）（）0.

则有：

*00D --1Y ||D 0-1Y P ==Y |J||J|

d d ∂⎛⎫

⎪∂∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭（）>0， （1.3）

*

0***00D

D --P Y ||D dS

dS 0Y Q ==

Y |J||J|

dP d dP d ∂∂⎛⎫ ⎪

∂∂

⎪∂ ⎪ ⎪∂⎝⎭（）>0。 (1.4) 其中

1

12

2F D

-1Q P

=dS F F -1dP

P Q F P J ⎛⎫∂∂∂⎛⎫ ⎪

⎪∂∂∂ ⎪= ⎪ ⎪∂∂ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭

∂∂⎝⎭ 其中需求和供给函数（包括哪些在雅可比行列式中的供求函数）的所有导数均在初始均衡处计算其值

由（1.3）,我们的定性结论是：收入水平的提高（下降）会导致均衡价格的提高（下降）。如果供给函数和需求函数在初始均衡的导数值为已知，则当然也可以得到定量的结论。

由（1.4），我们的有类似（1.3）的同样的定性结论。

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