利用导数研究函数的极值和最值问题

利用导数研究函数的极值和最值问题

１．利用导数研究函数的极值的一般步骤：

（１）确定函数的定义域．

（２）求)(x f '．

（３）①若求极值，则先求方程 0)(='x f 的全部实根，再检验)(x f '在方程根的左右两侧值的符号，求出极值．（当根中有参数时，要注意讨论根是否在定义域内）

②若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程 0)(='x f 的根的大小或存在情况，从而求解．

２．求连续函数)(x f y =在[]b a , 上的最大值与最小值的步骤：

（１）求函数 )(x f y =在()b a ,内的极值；

（２）将函数 )(x f y =的各极值与端点处的函数值 )(a f ， )(b f 比较，其中最大的一个

是最大值，最小的一个是最小值.

例1.(2018北京,18,13分)设函数()[]

x e a x a ax x f 3414)(2+++-=. (1)若曲线)(x f y =在点()()1,1f 处的切线与x 轴平行,求a ;

(2)若)(x f 在2=x 处取得极小值,求a 的取值范围.

解析 (1)因为()[]

x e a x a ax x f 3414)(2+++-=, 所以()[]

x e x a ax x f 212)(2++-='，()e a f -='1)1(. 由题设知f '(1)=0,即()01=-e a ,解得1=a .

此时03)1(≠=e f .所以a 的值为1.

(2)由(1)得()[]

()()x x e x ax e x a ax x f 21212)(2--=++-='. 若21>a ,则当⎪⎭

⎫ ⎝⎛∈2,1a x 时0)(<'x f ; 当()+∞∈,2x 时,0)(>'x f .所以)(x f 在2=x 处取得极小值. 若21

11<-≤-x ax ,所以0)(>'x f , 所以2不是)(x f 的极小值点.

综上可知,a 的取值范围是⎪⎭

⎫ ⎝⎛∞+，21

。 方法总结：函数极值问题的常见类型及解题策略

(1)已知导函数图象判断函数极值的情况.先找导数为0的点,再判断导数为0的点的左、右两侧导数的符号.

(2)已知函数求极值.求f '(x)→求方程f '(x)=0的根→列表检验f '(x)在f '(x)=0的根的附近两侧的符号→下结论.

(3)已知极值求参数.若函数f(x)在点(x0,y0)处取得极值,则f '(x0)=0,且在该点左、右两侧导数值的符号相反.

例2.(2017北京,19,13分)已知函数x x e x f x

-=cos )(.

(1)求曲线)(x f y =在点())0(,0f 处的切线方程; (2)求函数)(x f 在区间⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值和最小值. 解析 本题考查导数的几何意义,考查利用导数研究函数的单调性、最值.

(1)因为x x e x f x

-=cos )(,

所以()1sin cos )(--='x x e x f x ,0)0(='f .

又因为1)0(=f ,所以曲线)(x f y =在点())0(,0f 处的切线方程为1=y .

(2)设()1sin cos )(--=x x e x h x

, 则()x e x x x x e x h x

x sin 2cos sin sin cos )(-=---='. 当⎪⎭⎫ ⎝⎛

∈2,0πx 时,0)(<'x h ,所以)(x h 在区间⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减. 所以对任意⎥⎦⎤

⎝⎛

∈2,0πx 有0)0()(=

所以函数f(x)在区间⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减. 因此)(x f 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡2,0π上的最大值为1)0(=f ,最小值为22ππ-=⎪⎭

⎫ ⎝⎛f . 解题思路：

(1)先求导,再利用导数的几何意义求出切线的斜率,最后利用点斜式求出切线方程。

(2)设()1sin cos )(--=x x e x h x

,对)(x h 求导,进而确定)(x h 的单调性,最后求出最值. 方法总结

1. 求切线方程问题:

(1)根据导数的几何意义求出指定点处的导数值,即切线的斜率;

(2)求出指定点处的函数值;(3)求出切线方程.

2.利用导数研究函数的单调性:

(1)求出函数)(x f 的定义域;

(2)求出函数)(x f 的导函数)(x f ';

(3)令0)(>'x f 得到)(x f 在定义域内的单调递增区间；令0)(<'x f 得到)(x f 在定义域

内的单调递减区间.

例3.(2014北京,18,13分,已知函数x x x x f sin cos )(-=,⎥⎦

⎤⎢⎣⎡∈2,0πx . (1)求证:0)(≤x f ;

(2)若b x x a <

⎫ ⎝⎛∈2,0πx 恒成立,求a 的最大值与b 的最小值. 解析 (1)由x x x x f sin cos )(-=得x x x x x x x f sin cos sin cos )(-=--='. 因为在区间⎪⎭⎫ ⎝⎛2,0π上0sin )(<-='x x x f ,所以)(x f 在区间⎥⎦

⎤⎢⎣⎡2,0π上单调递减. 从而0)0()(=≤f x f .

(2)当0>x 时,“a x x >sin ”等价于“0sin >-ax x ”,“b x

x

令cx x x g -=sin )(,则c x x g -='cos )(.

当0≤c 时,0)(>x g 对任意⎪⎭

⎫ ⎝⎛

∈2,0πx 恒成立. 当1≥c 时,因为对任意⎪⎭

⎫ ⎝⎛

∈2,0πx ,0cos )(<-='c x x g , 所以)(x g 在区间⎥⎦⎤⎢⎣⎡20π，上单调递减.从而0)0()(=

⎫

⎝⎛∈2,0πx 恒成立. 当10<

⎫ ⎝⎛∈2,00πx 使得0cos )(00=-='c x x g .