2017年考研数学二真题及答案分析(word版)

（3）设数列收敛，则（ ） 当时， 当时， 当时， 当时，
【答案】D 【解析】特值法：（A）取，有，A错； 取，排除B,C.所以选D.
（4）微分方程的特解可设为 （A） （B） （C） （D）
【答案】A 【解析】特征方程为： 故特解为：选C.
（5）设具有一阶偏导数，且对任意的，都有，则
（A） （B） （C） （D） 【答案】C 【解析】是关于的单调递增函数，是关于的单调递减函数， 所以有，故答案选D.
2017年全国硕士研究生入学统一考试
数学二真题分析
（word版）
一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个
选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸
指定位置上.
（1））若函数在处连续，则（ ）
(A)
(B)
(C)
(D)
【答案】A 【解析】在处连续选A. （2）设二阶可导函数满足且，则（ ） 【答案】B 【解析】 为偶函数时满足题设条件，此时，排除C,D. 取满足条件，则，选B.
（7）设为三阶矩阵，为可逆矩阵，使得，则（ ） （A） （B） （C） （D）
【答案】 B 【解析】
, 因此B正确。
（8）设矩阵,则（ ）
（A）
（B）
（C） （D）
【答案】B 【解析】由可知A的特征值为2,2,1, 因为，∴A可相似对角化，即 由可知B特征值为2,2,1. 因为，∴B不可相似对角化，显然C可相似对角化，∴，但B不相似于C.
（6）甲乙两人赛跑，计时开始时，甲在乙前方10（单位：m）处，图
中实线表示甲的速度曲线（单位：），虚线表示乙的速度曲线，三块阴
影部分面积的数值依次为10,20,3，计时开始后乙追上甲的时刻记为（单
位：s），则（ ）
（A）
（B） （C） （D）
【答案】B 【解析】从0到这段时间内甲乙的位移分别为则乙要追上甲，则 ，当时满足，故选C.
（20）（本题满分11分）已知平面区域计算二重积分。
【答案】 【解析】 （21）（本题满分11分）设是区间内的可导函数，且，点是曲线L: 上任 意一点，L在点P处的切线与y轴相交于点，法线与x轴相交于点，若，求 L上点的坐标满足的方程。 【答案】 【解析】设的切线为，令得，法线,令得。由得，即。令，则，按照齐 次微分方程的解法不难解出, （22）（本题满分11分）设3阶矩阵有3个不同的特征值，且。 证明： 若，求方程组的通解。 【答案】（I）略；（II）通解为 【解析】 （I）证明：由可得，即线性相关， 因此，，即A的特征值必有0。 又因为A有三个不同的特征值，则三个特征值中只有1个0，另外两个非 0. 且由于A必可相似对角化，则可设其对角矩阵为 ∴ （II）由（1），知，即的基础解系只有1个解向量， 由可得，则的基础解系为， 又，即，则的一个特解为， 综上，的通解为
（23）（本题满分11分）设二次型在正交变换下的标准型，求的值及一 个正交矩阵. 【答案】 【解析】 ，其中 由于经正交变换后，得到的标准形为， 故， 将代入，满足，因此符合题意，此时，则 ， 由，可得A的属于特征值-3的特征向量为； 由，可得A的属于特征值6的特征向量为 由，可得A的属于特征值0的特征向量为 令，则，由于彼此正交，故只需单位化即可：， 则，
二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸指 定位置上. (9) 曲线的斜渐近线方程为_______
【答案】 【解析】 (10) 设函数由参数方程确定，则______ 【答案】 【解析】 (11) _______ 【答案】1 【解析】 (12) 设函数具有一阶连续偏导数，且，，则 【答案】 【解析】故
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（19）（本题满分10分）设函数在区间上具有2阶导数，且，证明： 方程在区间内至少存在一个实根； 方程在区间内至少存在两个不同实根。 【答案】 【解析】 （I）二阶导数， 解：1）由于，根据极限的保号性得 有，即 进而 又由于二阶可导，所以在上必连续 那么在上连续，由根据零点定理得： 至少存在一点，使，即得证 （II）由（1）可知，，令，则 由罗尔定理，则， 对在分别使用罗尔定理： 且，使得，即 在至少有两个不同实根。 得证。
， 因此，即，再由，可得
【答案】 【解析】 （13）
【答案】. 【解析】交换积分次序： . （14）设矩阵的一个特征向量为，则
【答案】-1 【解析】设，由题设知，故 故.
三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸指定位置上.解 答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （15）（本题满分10分）求极限 【答案】 【解析】，令，则有
（16）（本题满分10分）设函数具有2阶连续偏导数，，求， 【答案】 【解析】 结论：
（17）（本题满分10分）求 【答案】 【解析】
（18）（本题满分10分）已知函数由方程确定，求的极值 【答案】极大值为，极小值为 【解析】 两边求导得：
（1） 令得 对（1）式两边关于x求导得 （2） 将代入原题给的等式中，得， 将代入（2）得 将代入（2）得 故为极大值点，；为极小值点，