第三章 恒定电流的磁场

第三章 恒定电流的磁场
1 学习方法：与电场平行、进行对比，即宜于理解，又复习电场。

2 内容线索：1）如何求解磁场问题？理论方面：基本方程，位函数（引入矢量位），边界条件。

应用方面：电感的计算；2）基本概念：磁场的能量
§3.1恒流磁场的基本方程
1 恒定电流不仅产生电场，也产生磁场。

它们都不随时间变化，即
0→∂∂t ，由此可以得到
恒流磁场的基本方程
微分形式：⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⋅∇=⨯∇H B B J H μ0 积分形式⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧==⋅⋅=⋅⎰⎰⎰H B s d B s d J l d H s c s μ0 2 恒流磁场的性质：恒流磁场的源是旋度（涡旋）源－恒定电流，即磁场是有旋场；恒流磁场没有散度源，是无源场（无散场）；磁力线成闭合曲线，它围绕着恒定电流，两者呈右手螺旋关系。

§3.2 恒流磁场的位函数
分标量位和矢量位两种，一般不同时使用。

前者用于无电流区域，后者用于有电流情况
1 标量位：在无电流区域，0=J ，有0=⨯∇H ，因此可以定义标量位函数，以简化磁场
的计算。

标量位定义如下
m H ϕ-∇=
同样由0=⋅∇=⋅∇H B μ得
02=-∇=∇⋅-∇=⋅∇m m H ϕϕ
即标量位的拉普拉斯方程： 02=∇m ϕ
标量位没有物理意义。

2 标量位的计算与标量位的参考点：定义与电位相似，只是多了电流项。

安培环路定律可得： ⎰=⋅A M B N A
kI l d H 即 ⎰⎰⎰⎰+⋅=⋅⇒=⋅+⋅A N B
A M
B A M B B N A kI l d H l d H kI l d H l d H 由此可见任意两点之间磁场不同路径的线积分，其结果仅相差一个常数项（恒定电流），求导后不影响磁场的计算结果。

又因为⎰-=⋅AMB mB mA l d H ϕϕ ，令B 为标量磁位参考点，即0=mB ϕ
则 ⎰+⋅=A X B mA
kI l d H ϕ 积分路径AXB 指A 点到B 点的任意路径。

3 恒流磁场的矢量位：矢量位既可以用于无电流的区域，也可以用于有电流的区域。

其定义
的前提是0=⋅∇B ，因为数学上有任意矢量旋度的散度恒等于零，即0≡⨯∇⋅∇A ，我们可
以令 A B ⨯∇=
A 即矢量磁位。

4 上式规定了A 的旋度，即它的旋度源，根据矢量场的数学理论，还需规定它的散度源，矢量场A
才能唯一被确定。

否则任意两个具有同样旋度的矢量场之间相差一个标量的梯度与一个常矢量的和：
A B ⨯∇=
A B '⨯∇=
则有0)(='-⨯∇A A 由上一章电位分析可知，只要ψ-∇='-A A
自动满足上式。

结论得证
5 如何规定A ⋅∇的值：可以有不同的选择，选择的准则是简化矢量磁位的计算
6 矢量磁位的计算：
1）关于矢量磁位的微分方程
J H B A μμ=⨯∇=⨯∇=⨯∇⨯∇
另有矢量恒等式：J A A A μ=∇-⋅∇∇=⨯∇⨯∇2)(
如果我们令 0=⋅∇A （称作库仑规范）
则有 J A μ-=∇2
在直角坐标系上面的矢量泊松方程可分解为三个标量方程
z z y y x x J A J A J A μμμ-=∇-=∇-=∇2
22,, 2）矢量磁位的微分方程的解
3）矢量磁位的应用：。