高考数学二轮复习圆锥曲线张

[解析] 由椭圆和双曲线的方程可知，F1，F2为它
们的公共焦点，不妨设|PF1|>|PF2|，则
|PF1|＋|PF2|＝4 |PF1|－|PF2|＝2
，所以||PPFF12||＝ ＝31
，
又|F1F2|＝2 3，由余弦定理可知
cos∠F1PF2＝－13.
[例2]
(2011·山东威海检测)设椭圆E：
当切线AB的斜率不存在时，易得x21＝x22＝
8 3
，由椭圆E的方程得y
2 1
＝y
2 2
＝
8 3
，显然
O→A
⊥
O→B.
综上所述，存在圆x2＋y2＝83满足题意．
如右图所示，过原点O作OD⊥AB，垂足
为D，则D为切点，设∠OAB＝θ，则θ为锐
角，
且|AD|＝32tan6θ，|BD|＝2 3 6tanθ， 所以|AB|＝2 3 6tanθ＋ta1nθ. 因为2≤|OA|≤2 2，所以 22≤tanθ≤ 2. 令x＝tanθ，易证： 当x∈ 22，1时，|AB|＝23 6x＋1x单调递减．
ax22＋
y2 b2
＝1百度文库a，
b>0)过M(2， 2)，N( 6，1)两点，O为坐标原点．
(1)求椭圆E的方程；
(2)是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条
切线与椭圆E恒有两个交点A，B且 O→A⊥O→B？若存在，写
出该圆的方程，并求|AB|的取值范围；若不存在，说明理
由．
[分析] (1)将已知点的坐标分别代入椭圆的方程，得a， b.(2)假设满足题意的圆存在，依据直线与圆相切的条件及 OA⊥OB的坐标关系，来求假设中的圆的半径R，若求出R， 则存在，进而求|AB|的取值范围，否则不存在．
2．从题型上看，以解答题为主，难度较大．
椭圆、双曲线、抛物线的定义及几何性质
[例1] 已知直线l1：4x－3y＋6＝0和直线l2：x＝－ 1，抛物线y2＝4x上一动点P到直线l1和直线l2的距离之和 的最小值是( )
A．2
B．3
11 C. 5
37 D.16
[分析] 直线l2实质是抛物线的准线，而动点P在抛物 线上，故可利用抛物线的定义将P到l2的距离转化为P到焦 点的距离再结合图形求解．
2. (文)对圆锥曲线的考查一直是高考的一个热点，文 科多考查圆锥曲线的定义、方程和性质．高考文科试题对 圆锥曲线的考查，在客观题中会以求椭圆离心率、双曲线 的渐近线方程和定义的应用为主，主观题多以求圆锥曲线 方程、圆锥曲线与平面向量相结合组成综合性大题，考查 他们的思维能力，实现试题的区分度．
(理)理科对本部分的考题类型大部分是二个选择、一 个填空、一个解答题．客观题的难度为中等，解答题相对 较难，且往往为压轴题．平面向量的介入，增加了本部分 高考命题的广度与深度，成为近几年高考命题的一大靓点， 备受命题者的青睐，本专题还经常结合函数、方程、不等 式、数列、三角等知识进行综合考查．
预计在今年高考中：
1．圆锥曲线仍是高考的热点之一主要考查两大类问题： 一是根据条件，求出表示平面曲线的方程；二是通过方程， 研究平面曲线的性质，其热点有：(1)以客观题的形式考查 圆锥曲线的基本概念和性质；(2)求平面曲线的方程和轨迹； (3)圆锥曲线的有关元素计算、关系证明或范围确定；(4)涉 及与圆锥曲线对称变换、最值或位置关系有关的问题．
[解析] (1)将M，N的坐标代入椭圆E的方程，得
a42＋b22＝1 a62＋b12＝1
，解得a2＝8，b2＝4.
所以椭圆E的方程为x82＋y42＝1.
(2)证明：假设满足题意的圆存在，其方程为x2＋y2＝ R2，其中0<R<2.设该圆的任意一条切线AB和椭圆E交于A(x1， y1)，B(x2，y2)两点，当直线AB的斜率存在时，令直线AB的 方程为y＝kx＋m①
已知P为椭圆
x2 4
＋y2＝1和双曲线x2－
y2 2
＝1的一个
交点，F1，F2为椭圆的两个焦点，那么∠F1PF2的余
弦值为________．
[答案] －31
[分析] 圆锥曲线的定义反映了它们的基本特征，理 解定义是掌握其性质的基础．因此，对于圆锥曲线的定义 不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中 要 求 |PF1| ＋ |PF2|>|F1F2| ， 双 曲 线 的 定 义 中 要 求 ||PF1| － |PF2||<|F1F2|.
1．了解圆锥曲线的实际背景，了解圆锥曲线在刻画现 实世界和解决实际问题中的作用．
2．掌握椭圆、抛物线的定义、几何图形、标准方程及 简单性质．
3．了解双曲线的定义、几何图形和标准方程，知道它 的简单几何性质．
4．了解圆锥曲线的简单应用． 5．理解数形结合的思想．
1．本部分考查的内容主要是：圆锥曲线的标准方程及 几何性质，直线与圆锥曲线的位置关系，圆锥曲线中的定 点、定值及最值问题，轨迹方程的探求，参数的范围问题 等．
当x∈[1， 2]时，|AB|＝23 6x＋1x单调递 增．
所以436≤|AB|≤2 3.
[评析] (1)在题解中，结合韦达定理转化条件OA⊥OB， 得x1x2＋y1y2＝0，进而得到关于参数m，k的关系式是解决 直线与圆锥曲线相交问题的常用技巧，应熟练掌握．
(2)在求|AB|的取值范围时，两种方法均是建立了关于 某一变量的函数模型，不过选用的自变量有所不同．在此 过程应认真体会自变量选取的方法及其定义域的确定
将其代入椭圆E的方程并整理，得
(2k2＋1)x2＋4kmx＋2m2－8＝0.
由韦达定理得 x1＋x2＝－2k42k＋m1，x1x2＝22mk22＋－18.②
因为O→A⊥O→B，所以x1x2＋y1y2＝0.③
∵y1＝kx1＋m，y2＝kx2＋m， ∴(1＋k2)x1x2＋km(x1＋x2)＋m2＝0. 联立②，得m2＝83(1＋k2)．④ 因为直线AB和圆相切，因此R＝ 1|m＋| k2， 由④得R＝2 3 6，所以存在圆x2＋y2＝83满足题意．
[答案] A
[解析] 如图所示，动点P到 l2：x＝－1的距离可转化为P到F 的距离，由图可知，距离和的最 小值即F到直线l1的距离
d＝ |43＋2＋64| 2＝2.故选A.
[评析] 这类求距离之和的最小值问题，通常的办法 是利用圆锥曲线的定义，将其中的一个距离转化(转化为到 另一焦点或到准线的距离)，然后结合图形进行分析判断， 求得最值，这时往往是在三点共线的情况下取得最值．