高考数学考点总复习 第十五讲 导数的应用 PPT课件

答案:B
4.(2010 安徽联考)设函数f x 1 x3 ax2 5x 6在区间
3
1,3上是单调函数,则实数a的取值范围是( )
A.[ 5 , )
B., 3
C.(, 3] [ 5, )
D.[ 5, 5]
解析 :因为f x x2 2axHale Waihona Puke Baidu 5,由题意得f x 在区
间1, 3 上符号不变.
(2)求函数极值的方法
解方程f′(x)=0,当f′(x0)=0时, ①如果在x0附近左侧f′(x)>0,右侧f′(x)<0,那么f(x0)是极大值.②
如果在x0附近左侧f′(x)<0,右侧f′(x)>0,那么f(x0)是极小值.③ 如果f′(x)在点x0的左､右两侧符号不变,则f(x0)不是函数极 值.
答案:D
2.(2010·重庆统考)已知函数f(x)=x3-3x,则函数f(x)在区间[-
2,2]上的最大值是(
)
A.0
B.1
C.2
D.3
解析:f′(x)=3x2-3,当x∈[-2,-1]或[1,2]时,f′(x)≥0,f(x)单调递增; 当x∈(-1,1)时,f′(x)<0,f(x)单调递减.故极大值为f(-1)=2,极 小值为f(1)=-2,又因为f(-2)=-2,f(2)=2,∴f(x)在[-2,2]上的最 大值为2.
3.函数的最值与导数 (1)函数f(x)在[a,b]上有最值的条件 如果在区间[a,b]上函数y=f(x)的图象是一条连续不断的曲线,
那么它必有最大值和最小值. (2)求函数y=f(x)在[a,b]上的最大值与最小值的步骤 ①求函数y=f(x)在(a,b)内的极值. ②将函数y=f(x)的各极值与端点处的函数值f(a)、f(b)比较,其
余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个
桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间的
桥面工程费用为(2+
x )x万元.假设桥墩等距离分
布,所以桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费
用为y万元.
(1)试写出y关于x的函数关系式;
(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?
故a≤
x2 2x
5
1 2
x
5 x
,
而t
|x1
1 2
(1
5)
3,
t
|
x
3
1 2
3
5 3
7 3
,
由1知a≤ 3.由12可知a的取值范围
为(, 3] [ 5, ).故选C.
答案:C
5.已知函数f(x)的导函数的图象如图所示,则下列说法正确的 有________.
①函数f(x)在区间(-3,1)内单调递减; ②函数f(x)在区间(1,7)内单调递减; ③当x=-3时,函数f(x)有极大值; ④当x=7时,f(x)有极小值.
值.
[解]1由题意得f x 3ax2 2x b. 因此g x f x f x ax3 3a 1 x2 b 2 x b. 因为函数g x是奇函数,所以g x g x , 即对任意实数x,有a x3 3a 1x2 b 2x b ax3 3a 1 x2 b 2 x b , 从而3a 1 0, b 0,解得a 1 , b 0,因此f x
减.第(2)问转化为f(x)极小值<m<f(x)极大值.
[解]1 f x 3x2 3a 3 x2 a ,当a 0时,
对x R,有f x 0, 当a 0时, f x的单调增区间为, . 当a 0时,由f x 0,解得x a或x a; 由f x 0,解得 a x a. 当a 0时, f x的单调增区间为(, a ), ( a, ); f x的单调减区间为( a, a ).
2.定义在开区间(a,b)上的可导函数,如果只有一个极值点,该 极值点必为最值点.
【典例3】(2010·重庆)已知函数f(x)=ax3+x2+bx(其中常数 a,b∈R),g(x)=f(x)+f′(x)是奇函数.
(1)求f(x)的表达式; (2)讨论g(x)的单调性,并求g(x)在区间[1,2]上的最大值与最小
由前面讨论知, g x在区间1, 2上的最大值与最小
值只能在x 1, 2, 2时取得,而g 1 5 , g( 2) 4 2 , g
3
3
(2) 4 .因此g x在区间1, 2上的最大值
3
为g( 2) 4 2 ,最小值为g 2 4 .
3
3
类型四
生活中的优化问题
解题准备:利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤:
第十五讲导数的应用
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1.函数的单调性与导数
在区间(a,b)内,函数的单调性与其导数的正负关系:(1)如果 f′(x)>0,那么y=f(x)在这个区间内单调递增.(2)如果f′(x)<0, 那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.(3)如果f′(x)=0,那 么f(x)在这个区间内为常数.
[分析]对(1),先设辅助未知数,再确定函数关系;对(2),先利用 导数求出最优解.
[解]1设需新建n个桥墩,则n 1 x m,
即n m 1, x
所以y f x 256n n 1 (2 x)x
256
m x
1
m x
(2
x )x 256 m m x
x 2m 256.
2由1知,f x
解析:由图象可得,在区间(-3,1)内f(x)的导函数值大于零,所以 f(x)单调递增;在区间(1,7)内f(x)的导函数值小于零,所以f(x) 单调递减;在x=-3左右的导函数符号不变,所以x=-3不是函 数的极大值点;在x=7左右的导函数符号由负到正,所以函 数f(x)在x=7处有极小值.故填②④.
中最大的一个是最大值,最小的一个是最小值.
4.解决优化问题的基本思路
考点陪练
1.已知函数f(x)=x3+ax2+3x-9,且在x=-3时取得极值,则a的值 为( )
A.2
B.3
C.4
D.5
解析:由题意得f′(x)=3x2+2ax+3.又f(x)在x=-3时取得极值,所 以f′(-3)=30-6a=0,解得a=5.故选D.
[反思感悟]容易把f′(x)>0(f′(x)<0)看成是f(x)为增函数(减函数) 的充要条件,从而求错参数的范围.
类型二
函数的极值
解题准备:运用导数求可导函数y=f(x)极值的步骤:
(1)先求函数的定义域,再求函数y=f(x)的导数f′(x);
(2)求方程f′(x)=0的根;
(3)检查f′(x)在方程根的左右的值的符号,如果左正右负,那么
(1)分析实际问题中各量之间的关系,列出实际问题的数学模 型,写出实际问题中变量之间的函数关系y=f(x).
(2)求函数的导数f′(x),解方程f′(x)=0.
(3)比较函数在区间端点和使f′(x)=0的点的数值的大小,最大 (小)者为最大(小)值.
【典例4】某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,
3
的解析式为f x 1 x3 x2.
3
2由1知g x 1 x3 2x,所以gx x2 2,
3
令g x 0,解得x1 2, x2 2,则当x 2 或x 2时, gx 0,从而g x 在区间(, 2], [ 2, )上是减函数;当 2 x 2时, gx 0, 从而g x在[ 2, 2]上是增函数.
[反思感悟]此题虽是研究两个函数图象的交点个数问题,但实 质仍然是研究函数的单调性和极值问题,导数法求单调区 间的主要步骤是:求导;解不等式.求极值的一般方法是:求 导;求根;讨论根左右导数的符号,确定极值并求值.
类型三
函数的最值
解题准备:1.根据最值的定义,求在闭区间[a,b]上连续,开区间 (a,b)内可导的函数的最值时,可将过程简化,即不用判断使 f′(x)=0成立的点是极大值点还是极小值点,直接将极值点 与端点的函数值进行比较,就可判定最大(小)值.
(2)∵f(x)在x=-1处取得极值, ∴f′(-1)=3×(-1)2-3a=0.∴a=1. ∴f(x)=x3-3x-1,f′(x)=3x2-3. 由f′(x)=0,解得x1=-1,x2=1. 由(1)中f(x)的单调性可知,f(x)在x=-1处取得极 大值f(-1)=1,在x=1处取得极小值f(1)=-3. ∵直线y=m与函数y=f(x)的图象有三个不同的交点, 结合f(x)的单调性可知,m的取值范围是(-3,1).
1 若在该区间上为增函数, 则有
f
x
x2
2ax
5≥0, 故a≥
x2 2x
5
1 2
x
5 x
,
而x
1,
3
, 令t
1 2
x
5 x
,
显然,
t在[1,
5]
上单调递增,在[ 5,3]上单调递减,故最大值为
t
|
x
5
1 2
5
5 5
5,
所以a≥ 5;
2若在该区间上为减函数,则有f x x2 2ax 5 0,
【典例1】已知函数f(x)=x3-ax-1. (1)若f(x)在实数集R上单调递增,求实数a的取值范围; (2)是否存在实数a,使f(x)在(-1,1)上单调递减?若存在,求出a
的取值范围;若不存在,说明理由. [分析]第(1)问由f(x)在R上是增函数知f′(x)≥0在R上恒成立,进
而转化为最值问题;(2)作法同第(1)问.
答案:②④
类型一
函数的单调性
解题准备:求函数单调区间的基本步骤是:①确定函数f(x)的定 义域;②求导数f′(x);③由f′(x)>0(或f′(x)<0)解出相应的x的 取值范围.当f′(x)>0时,f(x)在相应的区间上是单调递增函数; 当f′(x)<0时,f(x)在相应的区间上是单调递减函数.
256m x2
1 2
mx
1 2
m 2x2
3
(x2
512).
令f x 0,得x 3 512,所以x 64.当0 x 64时,
2
f x 0, f x在区间0, 64内为减函数;
当64 x 640时, f x 0, f x在区间64, 640
内为增函数.所以f x在x 64处取得最小值,
2.函数的极值与导数 (1)函数极值的定义 若函数f(x)在点x=a处的函数值f(a)比它在点x=a附近其他点
的函数值都小,且f′(a)=0,而且在x=a附近的左侧f′(x)<0,右 侧f′(x)>0,则a点叫函数的极小值点,f(a)叫做函数的极小值. 若函数f(x)在点x=b处的函数值f(b)比它在点x=b附近其他点 的函数值都大,且f′(b)=0,而且在x=b附近的左侧f′(x)>0,右 侧f′(x)<0,则b点叫函数的极大值点,f(b)叫函数的极大值,极 大值和极小值统称为极值.
答案:C
3.f(x)是定义在(-∞,+∞)上的可导的奇函数,且满足 xf′(x)<0,f(1)=0,则不等式f(x)<0的解为()
A.(-∞,-1)∪(0,1) B.(-1,0)∪(1,+∞) C.(-∞,-1)∪(1,+∞) D.(-1,0)∪(0,+∞)
解析:由xf′(x)<0知,当x>0时,f′(x)<0,即函数在(0,+∞)内单调递 减,而f(1)=0,故当x>0时,由f(x)<0可得x>1,又因为函数为奇 函数,故当x<0时,不等式f(x)<0的解集为0>x>-1,故选B.
此时n m 1 640 1 9.
x
64
故需新建9个桥墩才能使y最小.
[反思感悟]本题将导数应用于工程的最优化问题的解决之中, 可以说是一个很好的设计,不仅考查了考生对函数､导数等 相关知识的掌握程度,还考查了考生数学建模能力及其解 决实际问题的能力.该题常见的错误有:①不能正确理解各 个量之间的正确关系,导致函数关系出错;②求错导函数;③ 解应用题没有总结,解答不完整.
[解](1)由已知f′(x)=3x2-a, ∵f(x)在(-∞,+∞)上是单调增函数, ∴f′(x)=3x2-a≥0在(-∞,+∞)上恒成立, 即a≤3x2对x∈R恒成立. ∵3x2≥0,∴只需a≤0, 又a=0时,f′(x)=3x2≥0,f(x)=x3-1在R上是增函数, ∴a≤0.
(2)由f′(x)=3x2-a≤0在(-1,1)上恒成立, 得a≥3x2,x∈(-1,1)恒成立. ∵-1<x<1,∴3x2<3,∴只需a≥3. 当a≥3时,f′(x)=3x2-a在x∈(-1,1)上恒有f′(x)<0, 即f(x)在(-1,1)上为减函数,∴a≥3. 故存在实数a≥3,使f(x)在(-1,1)上单调递减.
f(x)在这个根处取得极大值.如果左负右正,那么f(x)在这个
根处取得极小值.
【典例2】已知函数f(x)=x3-3ax-1,a≠0. (1)求f(x)的单调区间; (2)若f(x)在x=-1处取得极值,直线y=m与y=f(x)的图象有三个
不同的交点,求m的取值范围. [分析]第(1)问应用f′(x)>0⇒f(x)单调递增,f′(x)<0⇒f(x)单调递