子空间交的基
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1)dim(V
2)dimL(
1,,
k,
1,,
l)
dim(V
1)dim(V
2)dim(V
1V
2)
dim(V
1V
2).
（2）z
1,,z
d显然为V
1V
2中的d个向量，因dim(V
1V
2)d，故只要证明z
1,,z
d线性无关即可。
设
q
iz
i0，则有
i1
d
q
y
i
i1j1
dl
ij
j0（1）
q
x
iis
i1s1
dk
s0（2）
（1）证明ddim(V
1V
2);
（2）令z
i
y
i
j
j
x
i
s
s,i1,2,,d.证明z
1,z
2,,z
d为V
1V
2的基。
j1s1
lk
证明：（1）（*）即
x
1
x
1
k-
1,,-
lkபைடு நூலகம்
0，
y
1
y
l
其基础解系中所含向量个数
dklr
1,,
k,
1,,
l
dim(V
1)dim(V
2)dimL(
1,,
k,
1,,
l)
dim(V
i
1,x
i
2,,x
i
k,y
i
1,y
i
2,,y
i
l)T,i1,2,,d线性无关，故q
1q
d0，故z
1,,z
d为V
1V
2的基。
2/2
子空间交的基
定理：设V
1,V
2为域P上线性空间Pn的子空间，
1,
2,,
k为V
1的基，
1,
2,,
l为V
2的基，考虑x
1,x
2,,x
k,y
1,y
2,,y
l的齐次线性方程组：x
1
1x
2
2x
k
ky
1
1y
2
2y
l
l（*）设（*）的基础解系为(x
i
1,x
i
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i
k,y
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i
l)T,i1,2,,d。
1/2
d
由（1），
q
iy
i
j
j1
i1
ld
j0，而
1,,
l线性无关，故
q
iy
i
j0,j1,,l。
i1
d
同理，由（2）可得
q
ix
i
sj0,s1,,k。于是
i1
q(x
i
i1
d
i
1,x
i
k,y
i
1,,y
i
l)T
T
ddd
d
q
ix
i
1,,
q
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k
q
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i
1,,
q
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il
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i1
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但(x
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d显然为V
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2中的d个向量，因dim(V
1V
2)d，故只要证明z
1,,z
d线性无关即可。
设
q
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i0，则有
i1
d
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y
i
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（1）证明ddim(V
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i
y
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1,z
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2的基。
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证明：（1）（*）即
x
1
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0，
y
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l
其基础解系中所含向量个数
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1,,
k,
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l
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1)dim(V
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1q
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1V
2的基。
2/2
子空间交的基
定理：设V
1,V
2为域P上线性空间Pn的子空间，
1,
2,,
k为V
1的基，
1,
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l为V
2的基，考虑x
1,x
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k,y
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1
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i
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由（1），
q
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i
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j1
i1
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l线性无关，故
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同理，由（2）可得
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i
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