二进制域多项式基表示的模约减运算算法(多项式求余算法)

模约减：在乘法和平方算法中需要模约减以使结果的次数低于m，模约减运算由多项式长除法完成。设c(x)为一个次数i(i<=2m-2)的多项式，设f(x)为m次不可约多项式。我们可以通过消除最高项x^i来降低c(x)的次数。

c(x)=c(x)+f(x)*x^(i-m)

这个过程一直持续到c(x)的次数低于m。

如果不可约多项式想普通多项式一样存储在内存中，即由它的系数组成二进制比特串来表示，上述公式可以通过将f(x)左移(i-m)位然后加到c(x)来实现，次数大于等于m的项都需要进行多项式移位。如果内存空间不是问题，那么可以通过预计算f(x)*x^j(j=0,1...w-1)来提高运算速度,w表示二进制比特串的位数。

这种方法被用在下图所示的算法.图中，步骤1执行预运算，如果多个约减计算的f(x)相同，则步骤1可只计算一次。在步骤2中，对c(x)从高到低逐位扫描，如果该项为1，则将f(x)加到c(x)上来消除该项。由于步骤1的预运算，步骤2.1中不需要对f(x)进行移位操作。

过程分析：令c(x)=110011101,f(x)=100101 ,m=5，此处w=1，

i=8：c[8]=1,j=8-5 =3 c(x)=110011101+f(x)*x^3=110011101+100101000=010110101 i=7：c[7]=1,j=7-5 =2 c(x)=010110101+f(x)*x^2=010110101+010010100=000100001 i=6：c[6]=0,c(x)= 000100001

i=5：c[5]=1,c(x)=000100001+100101=000000100

注：本算法的原理如下图所示

这里r(x)=00101，算法中使用f(x)参与计算个人理解应该是为了达到直接消除最高次项的目的，否则要在最后对c(x)和000011111进行按位相与处理，算法的本质是对c(x)进行按位求模运算。下面的算法与此相同。

此算法为第一个算法的优化版，可减少计算过程中的内存消耗，运算过程如下：令c(x)=110011101,f(x)=100101 ,m=5，此处w=1

i=8：c[8]=1,j=8-5=3 c{3}+f(x)=110011+100101=010110 c(x)=010110101

i=7：c[7]=1,j=7-5 =2 c{2}+f(x)=0101101+100101=0001000 c(x)=000100001

i=6：c[6]=0,c(x)=000100001

i=5：c[5]=1, j=5-5=0 c{0}+f(x)= 000100001+ 100101= 000000100 c(x)= 000000100